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119
Algebra.tex
119
Algebra.tex
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@ -336,7 +336,7 @@ $e = 0, g^n = n \cdot g, \inv g = -g$
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\begin{proposition}
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Sei $G$ eine endliche Gruppe, $g \in G$ mit $\ord_G(g)=k$. Dann gilt:
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\begin{enumerate}
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\item $g^n = e \iff k | n$
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\item $g^n = e \iff k \mid n$
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\item $\ord_G (g^t) = \frac{k}{\ggT(k, t)}$
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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@ -351,7 +351,7 @@ $e = 0, g^n = n \cdot g, \inv g = -g$
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\begin{proof}
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$G = \hull g \implies \ord_G(g) = n \overset{2.}{\implies}\ord_G(g^{\frac nd}) = \frac n {\ggT(n, \frac nd)} = d$ \\
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Umgekehrt, sei $H' \le G$ mit $\abs{H'} = d$. Nach Satz ~\ref{satz:zyklisch}: $H'$ ist zyklisch,
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$H' = \hull{g^s}$ mit $s$ minimal, sodass $g^s \in H'$. Es ist $e = g^n \in H' \overset{1.}{\implies} s | n$ \\
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||||
$H' = \hull{g^s}$ mit $s$ minimal, sodass $g^s \in H'$. Es ist $e = g^n \in H' \overset{1.}{\implies} s \mid n$ \\
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||||
$\abs{H'} = \ord(g^s) = \frac{n}{\ggT(n, s)} = \frac ns \implies d = \frac ns \implies s = \frac nd$
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\end{proof}
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@ -361,9 +361,9 @@ $e = 0, g^n = n \cdot g, \inv g = -g$
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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$a^r = e, b^s = e \implies a^{rs} = e, b^{rs} = e \overset{\text{abelsch}}{\implies} (ab)^rs = e
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\implies \ord_G(ab) | rs$ \\
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\implies \ord_G(ab) \mid rs$ \\
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Angenommen: $\ord_G(ab) < rs$. Dann $\exists p \in \Primes: (ab)^{\frac{rs}p} = e$. \\
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Sei oBdA $p|r (\implies p \nmid r, \text{ weil }(r, s) = 1)$
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Sei oBdA $p\mid r (\implies p \nmid r, \text{ weil }(r, s) = 1)$
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\[
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(ab)^{\frac{rs}p} = a^{\frac{rs}p} \cdot b^{\frac{rs}p} = (a^s)^{\frac rp} \cdot
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{\underbrace{(b^s)}_{=e}}^{\frac{rs}p} = (a^s)^{\frac{rs}p} = e
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@ -376,7 +376,7 @@ Für $p \in \Primes$ bezeichnet $\nu_p(n)$ die Vielfachheit von $p$ in $n$.
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\begin{lemma}
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Sei $G$ endliche abelsche Gruppe. Dann gilt:
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\[
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\forall g \in G: \ord_G(g) | \max_{h\in G} \{\ord_G(h)\}
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\forall g \in G: \ord_G(g) \mid \max_{h\in G} \{\ord_G(h)\}
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\]
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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@ -635,8 +635,8 @@ für passende $h, h' \in H$
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\begin{korollar}
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\begin{enumerate}
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\item $H \le G \implies \abs H | \abs G$
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\item $g \in G \implies \ord_G(g) | \abs G$
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\item $H \le G \implies \abs H \mid \abs G$
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\item $g \in G \implies \ord_G(g) \mid \abs G$
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\item $g^{\abs G} = e \forall g \in G$
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\end{enumerate}
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\end{korollar}
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@ -842,7 +842,7 @@ Der \underline{Homomorphiesatz} besteht aus 3 Teilen:
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\end{proof}
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\begin{bsp}[Anwendung]
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$G = \Z, K:= n\Z, H = l\Z$ mit $l|n$.
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||||
$G = \Z, K:= n\Z, H = l\Z$ mit $l\mid n$.
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\[
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||||
\faktor{\faktor{\Z}{n\Z}}{\faktor{l\Z}{n\Z}} \cong \faktor{\Z}{l\Z},\,
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||||
\underset{=\frac{\abs{\faktor{\Z}{n\Z}}(=n)}{\abs{\faktor{l\Z}{n\Z}}}}{\abs{\faktor{\faktor{\Z}{n\Z}}{\faktor{l\Z}{n\Z}}}} = \abs{\faktor{\Z}{l\Z}} = l
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@ -1059,7 +1059,7 @@ Gruppenstruktur definieren, die $G_1 \times \dots \times G_k$ zum äußeren Prod
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$\abs G = mn$ mit $(m, n) = 1 \overset{G \text{ zyklisch}}\implies \exists H_1, H_2 \le G$ mit
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$\abs{H_1} = m, \abs{H_2} = n$. $H_1, H_2 \trianglelefteq G$, da $G$ abelsch. $H_1 \cap H_2 = \{e\}$, denn
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||||
$g \in H_1 \cap H_2 \implies \ord(g) | m \land \ord(g) | n \implies g = e$. $\implies \abs{H_1H_2} =
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||||
$g \in H_1 \cap H_2 \implies \ord(g) \mid m \land \ord(g) \mid n \implies g = e$. $\implies \abs{H_1H_2} =
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\abs{H_1} \abs{H_2} = mn$
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||||
\end{proof}
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@ -1076,8 +1076,11 @@ Gruppenstruktur definieren, die $G_1 \times \dots \times G_k$ zum äußeren Prod
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\begin{satz}[Hauptsatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen]
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||||
Jede endlich erzeugte abelsche Gruppe $G$ ist direktes Produkt zyklischer Untergruppen.
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\[
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||||
\exists r \in \Z^+, k_1, k_2, \dots, k_s \in \N \text{ mit } k_1 | k_2 | k_3 \dots | k_s,
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||||
\text{ sodass } G \cong \Z^r \times \faktor{\Z}{k_1\Z} \times \cdots \times \faktor{\Z}{k_s\Z}
|
||||
\exists r \in \Z^+, k_1, k_2, \dots, k_s \in \N \text{ mit } k_1 \mid k_2 \mid k_3 \dots \mid k_s,
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||||
\]
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||||
sodass
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||||
\[
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||||
G \cong \Z^r \times \faktor{\Z}{k_1\Z} \times \cdots \times \faktor{\Z}{k_s\Z}
|
||||
\]
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||||
($k_1, \dots, k_s$ sind eindeutig bestimmt)
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\end{satz}
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@ -1089,7 +1092,7 @@ Gruppenstruktur definieren, die $G_1 \times \dots \times G_k$ zum äußeren Prod
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\begin{bsp}[Anwendung]
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Sei $\abs G = 200$ mit $G$ abelsch. Wie viele nicht-isomorphe Gruppen gibt es?
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||||
$\to$ Finde alle $(k_1, k_2, \dots, k_s)$ mit $k_1|k_2|\dots|k_s$ und $\prod_{i=1}^{s} k_i = 200$.
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||||
$\to$ Finde alle $(k_1, k_2, \dots, k_s)$ mit $k_1\mid k_2\mid\dots\mid k_s$ und $\prod_{i=1}^{s} k_i = 200$.
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item[$s=1$:] $k_1 = 200 = 2^3 \cdot 5^2$
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\item[$s=2$:] $(k_1, k_2) \in \{ (2, 100), (10, 20), (5, 40) \}$
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@ -1099,13 +1102,13 @@ Gruppenstruktur definieren, die $G_1 \times \dots \times G_k$ zum äußeren Prod
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\end{bsp}
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\begin{satz}
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Sei $G$ eine abelsche Gruppe mit $\abs G = n$, $d|n$. Dann existiert $H \le G$ mit $\abs H = d$.
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Sei $G$ eine abelsche Gruppe mit $\abs G = n$, $d\mid n$. Dann existiert $H \le G$ mit $\abs H = d$.
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(das heißt Folgerung aus Lagrange (~\ref{satz:lagrange})hinsichtlich der Ordnung von Untergruppen ist für abelsche Gruppen
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umkehrbar!)
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\end{satz}
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\begin{proof}
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$G \cong \faktor{\Z}{k_1\Z} \times \cdots \times \faktor{\Z}{k_s\Z}$ mit $k_1|\dots|k_s$.
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$k_1 \cdots k_s = n. d|n \implies d= l_1 \cdots l_s$ mit $l_1 \cdots l_s = d$ und $l_i | k_i$ für
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$G \cong \faktor{\Z}{k_1\Z} \times \cdots \times \faktor{\Z}{k_s\Z}$ mit $k_1\mid\dots\mid k_s$.
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||||
$k_1 \cdots k_s = n. d\mid n \implies d= l_1 \cdots l_s$ mit $l_1 \cdots l_s = d$ und $l_i \mid k_i$ für
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$i = 1, \dots, s$.
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Rest im Proseminar
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@ -1118,7 +1121,7 @@ inneres direktes Produkt: $G, N_1, N_2 \trianglelefteq G$ mit $N_1N_2 = G$ \& $N
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Dies ist der Fall, wenn $\abs G = lm$ mit $(l,m) = 1$ und Normalteiler $N_1, N_2$ existieren mit
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$\abs{N_1} = l, \abs{N_2} = m$. $\abs{N_1 N_2} = \frac{\abs{N_1}\cdot \abs{N_2}}{\abs{N_1 \cap N_2}}$ und
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$\abs{N_1 \cap N_2} = 1$, denn $g \in N_1 \cap N_2 \implies \ord(g) | l \land \ord(g) | m$, woraus wegen
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||||
$\abs{N_1 \cap N_2} = 1$, denn $g \in N_1 \cap N_2 \implies \ord(g) \mid l \land \ord(g) \mid m$, woraus wegen
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||||
$(l, m) = 1, \ord(g) = 1$ folgt.
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Wir wissen bereits, dass für $H \le G, N \trianglelefteq G$ gilt:
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@ -1438,7 +1441,7 @@ wobei $G_{s_i}$ die disjunkten Orbits der Länge $> 1$ durchläuft.
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\begin{proof}
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$\abs S = \abs{S^G} + \sum \abs{\faktor G {G_{x_i}}}$. Aus
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$\abs G = p^r = \abs{\faktor G {G_{x_i}}} \cdot \abs{Gx_i}$ folgt, dass \\
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$p | \sum \abs{\faktor G {G_{x_i}}}$. Daraus folgt die Behauptung.
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$p \mid \sum \abs{\faktor G {G_{x_i}}}$. Daraus folgt die Behauptung.
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\end{proof}
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\begin{korollar} \label{sylowkorollar1}
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@ -1503,9 +1506,9 @@ wobei $G_{s_i}$ die disjunkten Orbits der Länge $> 1$ durchläuft.
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$p \nmid \abs S$ gilt $p \nmid \abs{\bigcup_{X \in S} GX} \implies \exists X \in S: p \nmid \abs{GX}$.
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Wegen $\underbrace{\abs G}_{=p^r m} = \underbrace{\abs{GX}}_{p^r \nmid} \cdot \abs{G_X}$ folgt
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$p^r | \abs{G_X}$. Behauptung: Es gilt sogar $\abs{G_X} = p^r$. $G_X$ operiert auf $X$ durch
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$p^r \mid \abs{G_X}$. Behauptung: Es gilt sogar $\abs{G_X} = p^r$. $G_X$ operiert auf $X$ durch
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Multiplikation, die Orbits $G_X x$ entsprechen den Rechtsnebenklassen von $G_X$. Jeder Orbit hat genau
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$\abs{G_X}$ Elemente, daher gilt $\abs{G_X} | \underbrace{\abs{X}}_{=p^r}$ und daher folgt
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$\abs{G_X}$ Elemente, daher gilt $\abs{G_X} \mid \underbrace{\abs{X}}_{=p^r}$ und daher folgt
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$\abs{G_X} = p^r$. Somit ist $G_X$ eine $p$-Sylow Untergruppe von $G$.
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\end{proof}
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@ -1546,7 +1549,7 @@ wobei $G_{s_i}$ die disjunkten Orbits der Länge $> 1$ durchläuft.
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\begin{satz}[3. Sylowsatz] \label{sylowsatz3}
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\begin{enumerate}
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\item $\abs{\syl_p(G)} | m$
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\item $\abs{\syl_p(G)} \mid m$
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\item $\abs{\syl_p(G)} \equiv 1 \mod p$
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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@ -1567,7 +1570,7 @@ wobei $G_{s_i}$ die disjunkten Orbits der Länge $> 1$ durchläuft.
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\end{equation}
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Kombiniert man die beiden
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Aussagen (~\ref{eq:1.8.11.1}, ~\ref{eq:1.8.11.2}), folgt
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$\abs{\syl_p(P)} | \underbrace{\abs{\faktor GP}}_m$
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$\abs{\syl_p(P)} \mid \underbrace{\abs{\faktor GP}}_m$
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\item Durch Einschränkung dieser Aktion auf $P$ erhalten wir eine Aktion von $P$ auf $\syl_p(G)$.
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||||
Behauptung: $P$ ist der einzige Fixpunkt dieser Aktion. Sei $Q$ ein Fixpunkt der Aktion, das heißt
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$g Q \inv g = Q \forall g \in P$. Das bedeutet: $P \subseteq N_G(Q)$. Wir wenden nun den
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@ -1583,7 +1586,7 @@ wobei $G_{s_i}$ die disjunkten Orbits der Länge $> 1$ durchläuft.
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Jede Gruppe $G$ der Ordnung $143$ ist zyklisch.
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||||
$143 = 11 \cdot 13$, daher besitzt $G$ 13 beziehungsweise 11-Sylow Untergruppen.
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||||
$\underbrace{\abs{\syl_{11}(G)} | 13}_{\implies \in \{1, 13\}},
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||||
$\underbrace{\abs{\syl_{11}(G)} \mid 13}_{\implies \in \{1, 13\}},
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||||
\underbrace{\abs{\syl_{11}} \equiv 1 \mod {11}}_{\in \{1, 12, 23, \dots\}}$
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||||
Es folgt: $\abs{\syl_{11}(G)} = 1 \implies S_{11} \trianglelefteq G$. $S_{11}$ ist die einzige 11-Sylow
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Untergruppe von $G$.
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@ -1603,7 +1606,7 @@ wobei $G_{s_i}$ die disjunkten Orbits der Länge $> 1$ durchläuft.
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\[
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||||
\abs{\syl_q(G)} \equiv 1 \mod q \implies \in \{1, q+1, 2q+1, \dots\}
|
||||
\]
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||||
$\abs{\syl_q(G)} | p$. Wegen $p < q$ kommt nur $\abs{\syl_q(G)} = 1$ in Frage. Darum ist die $p$-Sylow
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||||
$\abs{\syl_q(G)} \mid p$. Wegen $p < q$ kommt nur $\abs{\syl_q(G)} = 1$ in Frage. Darum ist die $p$-Sylow
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||||
Untergruppe Normalteiler. Könnten wir zeigen, dass auch $\abs{\syl_p(G)} = 1$, so wäre $G$ zyklisch.
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||||
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||||
$\abs{\syl_p(G)} \equiv 1 \mod p$ und teilt $q$, daher $\abs{\syl_p(G)} \in \{1, q\}$. Wäre
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||||
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@ -1679,7 +1682,7 @@ wobei $G_{s_i}$ die disjunkten Orbits der Länge $> 1$ durchläuft.
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\begin{proof}
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Angenommen $\mathcal A_5$ habe einen Normalteiler $U$.
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||||
\begin{description}
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||||
\item[1. Fall:] $5 | \abs U$. Dann enthält $U$ eine Untergruppe der Ordnung 5, also eine 5-Sylow Untergruppe von
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||||
\item[1. Fall:] $5 \mid \abs U$. Dann enthält $U$ eine Untergruppe der Ordnung 5, also eine 5-Sylow Untergruppe von
|
||||
$\mathcal A_5$, zum Beispiel $\hull \sigma$, wobei $\sigma$ ein 5-Zyklus ist. Nach dem 2. Sylowsatz
|
||||
~\ref{sylowsatz2} ist jede andere 5-Sylow Untergruppe zu $\sigma$ konjugiert. Daher wegen
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||||
$U \trianglelefteq \mathcal A_5$ in $U$ enthalten, sodass $U$ alle 5-Zyklen enthält. Davon gibt es 24.
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||||
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@ -1688,7 +1691,7 @@ wobei $G_{s_i}$ die disjunkten Orbits der Länge $> 1$ durchläuft.
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|||
Ein analoges Vorgehen zeigt, dass auch alle 3-Zykel in $U$ enthalten sind. Davon gibt es 20, also
|
||||
$U \mathcal A_5$
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||||
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||||
\item[2. Fall:] $3 | \abs U$ Wir zeigen wieder, dass $U$ alle 3-Zykel enthält. Es folgt $\abs U \ge 21$,
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||||
\item[2. Fall:] $3 \mid \abs U$ Wir zeigen wieder, dass $U$ alle 3-Zykel enthält. Es folgt $\abs U \ge 21$,
|
||||
damit muss schon $\abs U = 30$ gelten.
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||||
Da U auch alle 5-Zykel enthält, folgt wie vorher ein Widerspruch.
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||||
\end{description}
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||||
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@ -2040,7 +2043,7 @@ $\faktor{(R,+)}{(I,+)}$ ist also eine abelsche Gruppe. Wir definieren nun eine R
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|||
\end{proof}
|
||||
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||||
\begin{bsp}
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||||
Für $d | n$ gilt $n\Z \le d\Z$, beides Ideale in $\Z$. Aus dem
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||||
Für $d \mid n$ gilt $n\Z \le d\Z$, beides Ideale in $\Z$. Aus dem
|
||||
2. Isomorphiesatz ~\ref{ringisomorphiesatz2} folgt somit:
|
||||
$\faktor {\faktor \Z {n\Z}} {\faktor {d\Z} {n\Z}}
|
||||
\underset{\substack{| \\ \text{als Ringe!}}}{\cong} \faktor \Z {d\Z}$. \\
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||||
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@ -2304,9 +2307,9 @@ $\abs{\faktor \Z{m\Z}} < \infty \implies (m)$ ist genau dann maximal, wenn $m \i
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|||
$(0)$ ist nicht maximal.
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||||
|
||||
\begin{defin}
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||||
Für zwei Ideale $I, J \ideal R$ schreiben wir $I | J: \iff J \subseteq I$.
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||||
Für zwei Ideale $I, J \ideal R$ schreiben wir $I \mid J: \iff J \subseteq I$.
|
||||
\end{defin}
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||||
Achtung, $I$ und $J$ sind hier \dq umgedreht\dq. Für $6\Z \subseteq 2\Z \land 2 | 6$ erscheint
|
||||
Achtung, $I$ und $J$ sind hier \dq umgedreht\dq. Für $6\Z \subseteq 2\Z \land 2 \mid 6$ erscheint
|
||||
diese Definition natürlich.
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||||
|
||||
\begin{defin}
|
||||
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@ -2325,8 +2328,8 @@ diese Definition natürlich.
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|||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
$R = \Z, (m), (n) \ideal \Z. \, m\Z + n\Z = d\Z$ mit $d | m \land d | n$ und $h | m \land
|
||||
h | n \implies h | d$, das heißt $d = \ggT(m, n)$.
|
||||
$R = \Z, (m), (n) \ideal \Z. \, m\Z + n\Z = d\Z$ mit $d \mid m \land d \mid n$ und $h \mid m \land
|
||||
h \mid n \implies h \mid d$, das heißt $d = \ggT(m, n)$.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{defin}
|
||||
|
|
@ -2491,14 +2494,14 @@ Für $s \in S$ ist $\varphi_S(s) = \frac s1 \in (\inv SR)^*$ wegen $\frac s1 \cd
|
|||
|
||||
$R$ sei ab jetzt stets Integritätsbereich.
|
||||
\begin{defin}
|
||||
$a$ heißt Teiler von $b$ (schreibe $a | b$)$: \iff \exists c \in R: b = ac$.
|
||||
$a$ heißt Teiler von $b$ (schreibe $a \mid b$)$: \iff \exists c \in R: b = ac$.
|
||||
\end{defin}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $a | a, 1 | a, a | 1 \iff a \in R^*$
|
||||
\item $a | b \iff b \in (a) \iff (b) \subseteq (a) \iff (a) | (b)$
|
||||
\item $a \sim b: a$ heißt zu $b$ assoziiert, falls $a | b \land b | a$. Dies ist äquivalent
|
||||
\item $a \mid a, 1 \mid a, a \mid 1 \iff a \in R^*$
|
||||
\item $a \mid b \iff b \in (a) \iff (b) \subseteq (a) \iff (a) \mid (b)$
|
||||
\item $a \sim b: a$ heißt zu $b$ assoziiert, falls $a \mid b \land b \mid a$. Dies ist äquivalent
|
||||
mit $(a) = (b)$. Es ist $a \sim b \iff b = ua$ mit $u \in R^*$ (denn $a \sim b \iff
|
||||
\begin{cases}
|
||||
b = ac \\
|
||||
|
|
@ -2512,8 +2515,8 @@ $R$ sei ab jetzt stets Integritätsbereich.
|
|||
\begin{defin} \label{ggTdef}
|
||||
Ein Element $d \in R$ heißt ein größter gemeinsamer Teiler, $\ggT$, von $a, b$, falls:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $d | a \land d | b$
|
||||
\item $\forall d' \in R: d' | a \land d' | b \implies d' | d$
|
||||
\item $d \mid a \land d \mid b$
|
||||
\item $\forall d' \in R: d' \mid a \land d' \mid b \implies d' \mid d$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{defin}
|
||||
ACHTUNG: In Integritätsbereichen muss nicht immer ein $\ggT$ zu je zwei Elementen existieren!
|
||||
|
|
@ -2523,24 +2526,24 @@ multipliziert werden kann.
|
|||
\begin{bsp} \label{bsp:2.6.4}
|
||||
$R = \Z + \Z\sqrt{-5} = \left\{x + y\sqrt{-5}: x, y \in \Z\right\}$.
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||||
\begin{align*}
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||||
a & := 2 + 2\sqrt{-5} = 2(1 + \sqrt{-5}) & 2 | a \land 2 | b \\
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||||
a & := 2 + 2\sqrt{-5} = 2(1 + \sqrt{-5}) & 2 \mid a \land 2 \mid b \\
|
||||
b & := 6 = 2 \cdot 3 = (1 + \sqrt{-5})(1 - \sqrt{-5})
|
||||
& 1+\sqrt{-5} | a \land 1 + \sqrt{-5} | b
|
||||
& 1+\sqrt{-5} \mid a \land 1 + \sqrt{-5} \mid b
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||||
\end{align*}
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||||
Angenommen $\exists d:= \alpha + \beta\sqrt{-5}$ ein $\ggT$ von $a, b$, so muss gelten:
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\[
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||||
2 | d \land 1 + \sqrt{-5} | d
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||||
2 \mid d \land 1 + \sqrt{-5} \mid d
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||||
\]
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||||
$2 | \alpha + \beta \sqrt{-5} \implies \alpha, \beta \equiv 0 \pmod 2$ \\
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||||
$\alpha + \beta\sqrt{-5} | 2 + 2 \sqrt{-5} \iff
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||||
\left(\frac \alpha 2 + \frac \beta 2 \sqrt{-5} | \left(1 + \sqrt{-5}\right)\right)$ \\
|
||||
$2 \mid \alpha + \beta \sqrt{-5} \implies \alpha, \beta \equiv 0 \pmod 2$ \\
|
||||
$\alpha + \beta\sqrt{-5} \mid 2 + 2 \sqrt{-5} \iff
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||||
\left(\frac \alpha 2 + \frac \beta 2 \sqrt{-5} \mid \left(1 + \sqrt{-5}\right)\right)$ \\
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||||
$\implies d = \pm 2 \lor d = \pm(2 + 2\sqrt{-5})$ \\
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||||
Angenommen $d = \pm(2 + 2\sqrt{-5})$. $(x + y\sqrt{-5})(2+2\sqrt{-5}) = 6 \iff
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||||
(x+y\sqrt{-5})(1 + \sqrt{-5}) = 3 \iff \begin{cases}
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||||
x - 5y = 3 \\ x + y = 0 \end{cases} \iff \begin{cases}
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||||
6x = 3 \\ x + y = 0\end{cases}$ \\
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||||
$x = \frac 12 \notin \Z$ \\
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||||
Angenommen $d = \pm 2 \implies 1 + \sqrt{-5} | 2$\\
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||||
Angenommen $d = \pm 2 \implies 1 + \sqrt{-5} \mid 2$\\
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||||
$(x + y\sqrt{-5})(1+\sqrt{-5}) = 2 \iff \begin{cases} x-5y = 2 \\ x+ y = 0\end{cases}\iff
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||||
\begin{cases} 6x = 2 \\ x = y\end{cases}$ \Lightning
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||||
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@ -2559,7 +2562,7 @@ multipliziert werden kann.
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\begin{defin}
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Sei $p \in R \setminus R^*, p \neq 0$.
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||||
\[
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||||
p \text{ heißt prim}:\iff \forall a, b \in R: p | ab \implies p|a \lor p | b
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||||
p \text{ heißt prim}:\iff \forall a, b \in R: p \mid ab \implies p\mid a \lor p \mid b
|
||||
\]
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||||
\[
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||||
p \text{ heißt irreduzibel}:\iff \forall a, b \in R: p = ab \implies a \in R^* \lor b \in R^*
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||||
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@ -2589,7 +2592,7 @@ multipliziert werden kann.
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|||
\begin{align*}
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||||
\implies & ((a) \neq (0), (a) \neq R \land (a) \ssq (b) \implies
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||||
(a) = (b) \lor (b) = R) \\
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||||
\iff & (a\neq 0, a \notin R^* \land b | a \implies a \sim b \lor b \in R^*) \\
|
||||
\iff & (a\neq 0, a \notin R^* \land b \mid a \implies a \sim b \lor b \in R^*) \\
|
||||
\iff & (a \neq 0, a \notin R^* \land a = bc \implies a \sim b \lor b \in R^*) \\
|
||||
\iff & (a \neq 0, a \notin R^* \land a = bc \implies c \in R^* \lor b \in R^*) \\
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||||
\iff & a\text{ ist irreduzibel.}
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||||
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@ -2597,12 +2600,12 @@ multipliziert werden kann.
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\end{description}
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||||
\item Sei $p$ prim
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\begin{align*}
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||||
\iff & p \notin R^*, p \neq 0 \land p | ab \implies p | a \lor p | b \\
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||||
\iff & p \notin R^*, p \neq 0 \land p \mid ab \implies p \mid a \lor p \mid b \\
|
||||
\iff & (p) \neq R, (p)\neq (0) \land (ab)\ssq(p)\implies(a)\ssq(p)\lor(b)\ssq(p) \\
|
||||
\iff & (p) \neq R, (p) \neq (0) \land ab \in (p) \implies a \in (p) \lor b \in (p)
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||||
\end{align*}
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||||
\item Sei $p$ prim und $p = ab$. Es folgt $p | ab \implies p|a\lor p|b$.
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oBdA sei $p|a$, das heißt $\exists c \in R$ mit $pc = a$. Dann gilt:
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||||
\item Sei $p$ prim und $p = ab$. Es folgt $p \mid ab \implies p\mid a\lor p\mid b$.
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||||
oBdA sei $p\mid a$, das heißt $\exists c \in R$ mit $pc = a$. Dann gilt:
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$p = ab = pcb$ und da $R$ Integritätsbereich ist, folgt $cb = 1$ das
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heißt $b \in R^*$ und $p$ ist daher irreduzibel.
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\end{enumerate}
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@ -2622,9 +2625,9 @@ multipliziert werden kann.
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$a, b \in R.\, \ggT(a, b) = d \iff (a) + (b) = (d)$. Ist $I := aR + bR$, so gilt
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$(a) \in I \land (b) \in I$ und $I = (\tilde d)$. Es folgt:
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\begin{align*}
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\tilde d|a \land \tilde d|b & \implies \tilde d | d
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& \text{(Definition des ggT \ref{ggTdef})} \\
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d | a \land d | b \implies d | c \forall c \in I & \implies d | \tilde d
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||||
\tilde d\mid a \land \tilde d\mid b & \implies \tilde d \mid d
|
||||
& \text{(Definition des ggT \ref{ggTdef})} \\
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||||
d \mid a \land d \mid b \implies d \mid c \forall c \in I & \implies d \mid \tilde d
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||||
\end{align*}
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$(d) = (\tilde d)$ impliziert $d = u\tilde d$ mit $u \in R^*$.
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\end{proof}
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@ -2644,8 +2647,8 @@ multipliziert werden kann.
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Diese Zerlegung ist bis auf Einheiten eindeutig.
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Angenommen $r = p_1 \cdots p_n = q_1 \cdots q_m$ mit $p_i, q_j$ prim, oBdA $n \le m$.
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$p_1 | q_1 \cdots q_m$ und $p_1$ ist prim $\implies \exists i: p_1 | q_i$, oBdA $i = 1$.
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Also: $p_1 | q_1$, das heißt $\exists u_1 \in R$ mit $q_1 = u_1 p_1$. $q_1$ ist prim
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||||
$p_1 \mid q_1 \cdots q_m$ und $p_1$ ist prim $\implies \exists i: p_1 \mid q_i$, oBdA $i = 1$.
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||||
Also: $p_1 \mid q_1$, das heißt $\exists u_1 \in R$ mit $q_1 = u_1 p_1$. $q_1$ ist prim
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||||
$\implies q_1$ ist irreduzibel und wegen $p_1 \notin R^*$ folgt $u_1 \in R^*$.
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Durch Iteration dieses Verfahrens folgt $n = m$ und
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@ -2718,7 +2721,7 @@ Wir zeigen nun, dass jeder Hauptidealbereich faktoriell ist.
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Angenommen $\exists x_0 \in R, x_0 \neq 0, x_0 \in R^*$, das keine solche Zerlegung besitzt.
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Dann ist $x_0$ nicht irreduzibel, sodass $x_0 = a_0 b_0$ mit $a_0, b_0 \neq 0, \notin R^*$.
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Nicht beide können eine Zerlegung in irreduzible Elemente besitzen, oBdA $a_0 =: x_1$ hat
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keine. Es ist $x_1 | x_0$, aber $x_1 \not\sim x_0$.
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||||
keine. Es ist $x_1 \mid x_0$, aber $x_1 \not\sim x_0$.
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||||
Durch Iteration dieses Prozesses erhalten wir eine Folge $x_0, x_1, \dots$ von Elementen aus
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$R$ mit $(x_0) \subsetneqq (x_1) \subsetneqq (x_2) \subsetneqq \cdots$. Dies liefert einen
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Widerspruch zu $R$ ist noethersch.
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@ -2770,9 +2773,9 @@ Wir zeigen nun, dass jeder Hauptidealbereich faktoriell ist.
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y= \varepsilon_2 \prod_{p \in \mathcal P} p^{\nu_p(y)}.
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\]
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Setze $d := \ggT(x, y) = \prod_{p\in \mathcal P} p^{\min\{\nu_p(x), \nu_p(y)\}}$.
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Dann gilt: $d | x \land d | y$. Ist $\tilde d | x, \tilde d | y$, so ist
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Dann gilt: $d \mid x \land d \mid y$. Ist $\tilde d \mid x, \tilde d \mid y$, so ist
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||||
$\nu_p(\tilde d) \le \nu_p(x)$ und $\nu_p(\tilde d) \le \nu_p(y) \forall p \in \mathcal P$.
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||||
$\implies \nu_p(\tilde d) \le \min\{\nu_p(x), \nu_p(y)\}$ und somit $\tilde d | d$.
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||||
$\implies \nu_p(\tilde d) \le \min\{\nu_p(x), \nu_p(y)\}$ und somit $\tilde d \mid d$.
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||||
\end{enumerate}
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\end{proof}
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@ -2780,7 +2783,7 @@ Wir zeigen nun, dass jeder Hauptidealbereich faktoriell ist.
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\begin{defin}
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Für $d \neq 0, 1$ quadratfrei definiere
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\[
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||||
\Q\left(\sqrt d\right) := \left\{a + b\sqrt d | a, b \in \Q\right\} \ssq \C.
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||||
\Q\left(\sqrt d\right) := \left\{a + b\sqrt d \mid a, b \in \Q\right\} \ssq \C.
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||||
\]
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||||
$\Q\left(\sqrt{d}\right)$ heißt quadratischer Zahlkörper.
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\end{defin}
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@ -2849,7 +2852,7 @@ Siehe dazu \ref{bsp:2.6.4}.
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In $\mc O_{-5} = \Z + \Z\sqrt{-5}$ gilt $6 = 2 \cdot 3 = \left(1+\sqrt{-5}\right)\left(1-\sqrt{-5}\right)$.
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Wir wissen bereits: $1 + \sqrt{-5}$ ist irreduzibel in $\mc O_{-5}$.
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Wäre $\mc O_{-5}$ faktoriell, so folgte daraus: $1 + \sqrt{-5}$ ist prim.
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$1+ \sqrt{-5} | 2 \lor 1 + \sqrt{-5} | 3$, was aber nicht der Fall ist.
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$1+ \sqrt{-5} \mid 2 \lor 1 + \sqrt{-5} \mid 3$, was aber nicht der Fall ist.
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$\mc O_{10}$ ist auch nicht faktoriell,
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$6 = 2 \cdot 3 = \left(4 + \sqrt{10}\right)\left(4 - \sqrt{10}\right)$
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