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Thanks a lot Simon :)

Algebra.tex

@@ -1100,14 +1100,14 @@ Umgekehrt sind $G_1, \dots, G_k$ Gruppen, so wollen wir auf
 
 \begin{bemerkung}
 	\begin{itemize}
-		\item $G_1 \times G_k$ abelsch $\iff \forall A_i: G_i$ abelsch
+		\item $G_1 \times \cdots \times G_k$ abelsch $\iff \forall A_i: G_i$ abelsch
 		\item $G_1 \times G_2 \cong G_2 \times G_1$
 		\item $G \times H_1 \cong G \times H_2$ falls $H_1 \cong H_2$
 	\end{itemize}
 \end{bemerkung}
 
 \begin{bsp}
-	$(\C, +), R, iR \trianglelefteq \C$ und $\C = \R + i\R, \R \cap i\R = \{0\}$ \\
+	$(\C, +), \R, i\R \trianglelefteq \C$ und $\C = \R + i\R, \R \cap i\R = \{0\}$ \\
 	\C\ ist innere direkte Summe von \R\ und $i\R$. \\
 	$\C := \{(x,y): x, y\in \R\} = \R \times \R$ ist äußere direkte Summe von \R\ und \R.
 	$\C \cong \R + i\R \cong \R \times \R$
@@ -1118,7 +1118,7 @@ Umgekehrt sind $G_1, \dots, G_k$ Gruppen, so wollen wir auf
 	das äußere direkte Produkt der Gruppen $N_i$, so ist $G \cong H$.
 \end{satz}
 \begin{proof}
-	$\phi: \fun G H g {(g_1, \dots, g_k)}$, wobei $g = g_1 \cdots _k$ mit $g_i \in N_i$.
+	$\phi: \fun G H g {(g_1, \dots, g_k)}$, wobei $g = g_1 \cdots g_k$ mit $g_i \in N_i$.
 	Die Eindeutigkeit der Darstellung von $g$ als $g_1 \cdots g_k$ mit $g_i \in G_i$ garantiert
 	Wohldefiniertheit von $\phi$. $\phi$ ist klarerweise surjektiv.
 
@@ -1244,7 +1244,7 @@ Es gilt nach wie vor: jedes $g \in G$ kann eindeutig als $g
 Es gilt im Allgemeinen nicht mehr: $nh = hn$! Das bedeutet
                    $(n_1 h_1) (n_2 h_2) \overset{\text{i.A.}}{\neq} (n_1 n_2
                    h_1 h_2)$ Für festes $h \in H$ ist $\gamma_h: \fun N N n {h
-                   n \inv h}$. $\gamma_n \in \Aut(N)$ und setze $\gamma: \fun H
+                   n \inv h}$. $\gamma_h \in \Aut(N)$ und setze $\gamma: \fun H
                    {\Aut(N)} h {\gamma_h}$. $\gamma$ ist ein Homomorphismus:
                    $\gamma_{hh'}(n) = hh'n(hh')^{-1} = h\underbrace{(h'n
                    \inv{h'})}_{\gamma_{h'}(n)} \inv h =
@@ -1286,7 +1286,7 @@ Umgekehrt: Seien $N, H$ Gruppen und $\gamma:\fun H {\Aut(N)}
 	      \end{align*}
 	\item Neutrales Element: $(e_N, e_H)$ ist das neutrale Element.
 	      \[
-		      (e_N, e_H) (n, h) = (e_N \gamma_{e_H}(n), e_H, h)
+		      (e_N, e_H) (n, h) = (e_N \gamma_{e_H}(n), e_H h)
 		      =(n, h)
 	      \]
 	\item Inverses Element: $(n, h)^{-1} := (\gamma_h^{-1}(\inv n), \inv h)$
@@ -1955,7 +1955,7 @@ wobei $G_{s_i}$ die disjunkten Orbits der Länge $> 1$ durchläuft.
 Weitere Begriffe: (in unitären Ringen)
 
 \begin{defin}
-	Sei $a \in R$. Falls $\exists b \in R$ mit $ab = a$, so heißt $b$ Rechtsinverses von $a$. Falls $ba = 1$, so
+	Sei $a \in R$. Falls $\exists b \in R$ mit $ab = 1$, so heißt $b$ Rechtsinverses von $a$. Falls $ba = 1$, so
 	heißt $b$ Linksinverses von $a$.
 
 	Falls $a$ ein Rechtsinverses $b_1$ und ein Linksinverses $b_2$ besitzt und
@@ -3549,7 +3549,7 @@ ist ein Ringhomomorphismus.
 \begin{bsp}
 	$f(X) = (3X+1)(X+2)$ ist reduzibel in $\Z[X]$, aber $f \mod 3$ ist irreduzibel über $\faktor \Z {3\Z}[X]$.
 
-	$f(X) = 4x^2 + 4$ ist irreduzibel in $\Z[X]$, aber $f \mod 3 = X^2 + 1$ ist irreduzibel über $\faktor \Z {3\Z}[X]$
+	$f(X) = 4x^2 + 4$ ist reduzibel in $\Z[X]$, aber $f \mod 3 = X^2 + 1$ ist irreduzibel über $\faktor \Z {3\Z}[X]$
 \end{bsp}
 
 \begin{proof}[von \cref{prop:unbewiesen}]
@@ -3582,8 +3582,8 @@ ist ein Ringhomomorphismus.
 
 Irreduzible Polynome in $\C[X]$. Fundamentalsatz der
                    Algebra: jedes nicht-konstante Polynom aus $\C[X]$ besitzt
-                   mindestens eine Nullstelle. Sei also $\deg(f) \ge 2$, Dann
-                   $\exists a \in \C: f(a) = 0$ und daher $f(x) = (x-a) * q(x)$
+                   mindestens eine Nullstelle. Sei also $\deg(f) \ge 1$, Dann
+                   $\exists a \in \C: f(a) = 0$ und daher $f(x) = (x-a) \cdot q(x)$
                    mit $q(x)\in\C[X], \deg(q) < \deg(f).$
 
 Irreduzible Polynome in $\R[X]$. Sei $R[X]\ni f = (x -
@@ -3719,9 +3719,9 @@ Es gilt: $R, S$ seien KREs. Dann ist $(R \times S)^* = R^* \times S^*$.
 	\varphi(m) = \varphi(p_1^{\alpha_1}) \cdots \varphi(p_k^{\alpha_k})$. \\
 	Behauptung: $\varphi(p^\alpha) = p^\alpha - p^{\alpha-1}$ ($p^{\alpha-1} =
 	\#$Vielfache von $p$ zwischen 1 und $p^\alpha$.) \\ $\implies \varphi(m) =
-	(p_1^{\alpha_1} - p_1^{\alpha_1} - 1) \cdots (p^{\alpha_k} - p^{\alpha_k} -
-	1) = p_1 ^{\alpha_1} (1 - \frac 1 {p_1}) \cdots p_k^{\alpha_k} (1 - \frac 1
-	{pk}) = m(1 - \frac 1 {p_1}) \cdots (1 - \frac 1 {p_k})
+	\left(p_1^{\alpha_1} - p_1^{\alpha_1 - 1}\right) \cdots \left(p^{\alpha_k} - p^{\alpha_k -
+	1}\right) = p_1 ^{\alpha_1} \left(1 - \frac 1 {p_1}\right) \cdots p_k^{\alpha_k} \left(1 - \frac 1
+	{pk}\right) =\\ m\left(1 - \frac 1 {p_1}\right) \cdots \left(1 - \frac 1 {p_k}\right)
 	\implies$Behauptung.
 
 	Es ist $\abs{\Z_m^*} = \varphi(m)$. Für $a \in \Z_m^*$ gilt daher