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117
Algebra.tex
117
Algebra.tex
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@ -2765,4 +2765,121 @@ Wir zeigen nun, dass jeder Hauptidealbereich faktoriell ist.
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\end{enumerate}
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\end{proof}
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\section{Quadratische Zahlenkörper und Zahlringe}
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\begin{defin}
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Für $d \neq 0, 1$ quadratfrei definiere
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\[
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\Q\left(\sqrt d\right) := \left\{a + b\sqrt d | a, b \in \Q\right\} \ssq \C.
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\]
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$\Q\left(\sqrt{d}\right)$ heißt quadratischer Zahlkörper.
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\end{defin}
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Ein Element $\alpha + \beta \sqrt d, (\alpha, \beta) \in \Q \times \Q$, heißt ganz in
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$\Q\left(\sqrt{d}\right)$, falls das normierte Polynom $f \in \Q[x]$ von kleinstem Grad mit
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$f\left(\alpha + \beta \sqrt d\right) = 0$ schon in $\Z[x]$ liegt (das heißt
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$\alpha + \beta \sqrt d$ Nullstelle eines \underline{normierten} Polynoms aus $\Z[x]$ ist).
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Falls $\alpha \in \Q \cap \Q\left(\sqrt d\right), \alpha = \frac ab$, so hat $f(x) = bx -a$ eine Nullstelle
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in $\frac ab$, liegt in $\Z[x]$, ist normiert $\iff b = 1$.
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$\alpha = \frac ab$ ist ganz in $\Q\left(\sqrt d\right) \iff b = \pm 1$.
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Für $\alpha + \beta \sqrt d \in \Q\left(\sqrt d\right) \setminus \Q:$
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\[
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\left(x- \left(\alpha + \beta \sqrt d\right)\right)\left(x - \left(\alpha - \beta \sqrt d\right)\right)
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= x^2 - 2\alpha x + \left(\alpha^2 - d\beta^2\right) \in \Q[x]
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\]
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$\alpha + \beta \sqrt d$ ist ganz $\iff P(x) \in \Z[x]$.
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$P(x) \in \Z[x] \iff 2\alpha \in \Z \land \alpha^2 - d \beta^2 \in \Z$.
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\begin{description}
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\item[1. Fall:] $\alpha \in \Z \land \alpha^2 - d \beta^2 \in \Z \iff (\alpha, \beta) \in \Z \times \Z$
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\item[2. Fall:] $\alpha = \frac u2$, dann muss auch $\beta = \frac v2$.
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$\frac {u^2} 4 - \frac {dv^2} 4 \in \Z \iff u^2 - db^2 \equiv 0 \pmod 4$. Es ist $u^2 \equiv 1 \pmod 4
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\land v^2 \equiv 1 \pmod 4$. Falls $d \equiv 2, 3 \pmod 4$: diese Gleichung ist nie erfüllt. Falls aber
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$d \equiv 1 \pmod 4$ ist sie immer erfüllt.
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\end{description}
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Wir erhalten:
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\[
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\alpha + \beta \sqrt d\text{ ist ganz in }\Q\left(\sqrt d\right) \iff
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\begin{cases}
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\alpha, \beta \in \Z & \text{für } d\equiv 2, 3 \pmod 4 \\
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(\alpha, \beta \in \Z) \lor (2\alpha, 2\beta \in \Z & \text{mit } 2 \alpha \equiv 2\beta \pmod 2)
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\end{cases}
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\]
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\begin{defin}
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Der Ring $\mathcal O_d$ der ganzen Zahlen in $\Q\left(\sqrt d\right)$ ist $\Z + \Z\omega$, wobei
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$\omega = \frac{1+ \sqrt d}2$ für $d \equiv 1 \pmod 4$ und $\omega = \sqrt d$ für $d \equiv 2, 3\pmod 4$.
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\end{defin}
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Überprüfe: $\mc O_d$ ist wirklich ein Ring.
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\begin{defin}
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In $\Q\left(\sqrt d\right)$ definieren wir die Norm von $\alpha + \beta \sqrt d$ durch
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\[
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\mc N\left(\alpha + \beta \sqrt d\right) =
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\left(\alpha + \beta \sqrt d\right)\left(\alpha - \beta \sqrt d\right) =
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\alpha^2 - d \beta^2
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\]
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\end{defin}
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Es gilt: $\mc N(xy) = \mc N(x) \mc N(y)$ für $x, y \in Q\left(\sqrt d\right)$ ($\mc N$ ist multiplikativ).
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\begin{bemerkung}
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$x \in \mc O_d^* \iff \mc N(x) = \pm 1 (\in \Z^*)$ \\
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$x \in \mc O_d^* \iff \exists y \in \mc O_d: xy = 1$. Es folgt $\mc N(xy) = \mc N(x) \mc N(y) = 1$.
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$\mc N(x), \mc N(y) \in \Z$ (klar falls $x, y \in \Z + \Z\sqrt d, \frac{u^2}4+\frac{v^2}4d =
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\frac{u^2+v^2 d}4 \in \Z$). $\implies \mc N(x) \in \pm 1$. \\
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Falls $\mc N(x) = \pm 1, x = \alpha + \beta \sqrt d, \implies
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\left(\alpha + \beta \sqrt d\right) \left(a - \beta \sqrt d\right) = \pm 1$, das heißt $x \in \mc O_d^*$.
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\end{bemerkung}
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Für welche $d$ ist $\mc O_d$ faktoriell und wie weist man es nach?
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Es sind jedenfalls nicht alle $\mc O_d$ sind faktoriell, z.B. $\mc O_{-5}$ ist es nicht!
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Siehe dazu \ref{bsp:2.6.4}.
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In $\mc O_{-5} = \Z + \Z\sqrt{-5}$ gilt $6 = 2 \cdot 3 = \left(1+\sqrt{-5}\right)\left(1-\sqrt{-5}\right)$.
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Wir wissen bereits: $1 + \sqrt{-5}$ ist irreduzibel in $\mc O_{-5}$.
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Wäre $\mc O_{-5}$ faktoriell, so folgte daraus: $1 + \sqrt{-5}$ ist prim.
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$1+ \sqrt{-5} | 2 \lor 1 + \sqrt{-5} | 3$, was aber nicht der Fall ist.
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$\mc O_{10}$ ist auch nicht faktoriell,
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$6 = 2 \cdot 3 = \left(4 + \sqrt{10}\right)\left(4 - \sqrt{10}\right)$
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\begin{defin}
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Eine Funktion $\nu: R \setminus \{0\} \to \Z^+$ mit $\nu(mn) \ge \nu(m) \forall m, n \in R\setminus\{0\}$
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heißt euklidische Normfunktion auf dem Integritätsbereich $R$, falls für $m, n \in R, m \neq 0$
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Elemente $q, r \in R$ existieren mit $n = qm + r$ und $\nu(r) < \nu(m)$ oder $r = 0$. Der Ring $R$ heißt
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dann euklidischer Ring.
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\end{defin}
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\begin{bsp}
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\begin{enumerate}
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\item $R = \Z, \nu = \abs{\cdot}$. Satz von der Division mit Rest liefert: \Z\ ist euklidisch.
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\item $R = \Z + \Z i (= \mc O_{-1}), \nu = \mc N$. Seien $a, b \in \Z[i]$. Zu zeigen: $\exists
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q, r \in \Z[i]$ mit $a = qb + r$ und $\underbrace{\mc N(r) < \mc N(b)}_{\text{sogar }\mc N(r) \le \frac{\N(b)} 2} \lor r = 0$.
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Schreiben $\frac ab = \xi + i \eta$ mit $\xi, \eta \in \Q$. Es existieren $k, l \in \Z$ mit
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$\abs{\xi - k} \le \frac 12, \abs{\eta - l} \le \frac 12$. $\mc N((\xi + i \eta) - (k + i l)) =
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\mc N(\underbrace{(\xi - k)}_{\abs{\cdot} \le \frac 12} + i \underbrace{(\eta - l)}_{\abs{\cdot}\le \frac 12}) \le \frac 12$
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Setze nun: $q := k + il, r = a - qb$
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\begin{align*}
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\mc N(r) & = \mc N(a - qb) = \mc N(a - (k + il)b) = \mc N(b\left(\frac ab - (k + il)\right)) \\
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& = \mc N(b) \cdot \underbrace{\mc N(\frac{a}{b} - (k + il))}_{\le \frac 12}
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\le \frac 12 \mc N(b)
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\end{align*}
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Es folgt: $\Z[i]$ ist euklidisch mit $\nu = \mc N$.
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\end{enumerate}
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\end{bsp}
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\begin{satz}
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$R$ euklidisch $\implies R$ HIB ($\implies R$ faktoriell)
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Sei $I \ideal R$. Ist $I = \{0\} \implies I = (0)$.\\
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Falls $I \neq (0)$, so existiert ein $0 \neq a \in I$ mit $\nu(a)$ ist minimal. $(a) \in I$ und wir
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behaupten: $(a) = I$. Sei $b \in I$. Dann ist $b = qa + r$ mit $q, r \in R$ und $\nu(r) < \nu(a)$ oder
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$r = 0$ (da $R$ euklidisch!).
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$r = \underbrace{b}_{\in I} - \underbrace{q}_{\in I}\underbrace{a}_{\in I} \in I$, ein Widerspruch zu
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$\nu(a)$ minimal, es sei denn $r = 0$ und $b \in (a)$. Da $b$ beliebig war, folgt $(a) = I$.
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\end{proof}
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$\mc O_{-43}$ ist HIB, aber nicht euklidisch.
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\end{document}
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