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Algebra.tex
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Algebra.tex
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@ -225,7 +225,7 @@ Operationen erklärt sind.
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a \circ c = c \circ a = e
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\end{cases}
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.
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c = c\circ e = c \circ (a \circ b) = (c \circ a) \circ = e \circ b = b$
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c = c\circ e = c \circ (a \circ b) = (c \circ a) \circ b = e \circ b = b$
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\item In $G_2, G_3$ könnte man auf $
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\begin{cases}
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e \circ a = a \\
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@ -262,9 +262,9 @@ $e = 0, g^n = n \cdot g, \inv g = -g$
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Sei $(G, \circ)$ eine Gruppe, $g \in G$.
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\begin{itemize}
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\item $\abs G =: \ord(G), \ord_G(g) := \min\{ n>0: g^n = e\}$ (kann auch $\infty$ sein)
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\item $\exp(G) := \min\{n>0: \forall g \in g: g^n = e\}$
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\item $\exp(G) := \min\{n>0: \forall g \in G: g^n = e\}$
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\item $Z(G) := \{h \in G: g \circ h = h \circ g \forall g \in G\}$ Zentrum von $G$
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\item $Z_g(G) := \{h \in G: g \circ h = h \circ g\}$ Zentralisation von $g$ in $G$
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\item $Z_g(G) := \{h \in G: g \circ h = h \circ g\}$ Zentralisator von $g$ in $G$
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\end{itemize}
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\end{defin}
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@ -517,7 +517,7 @@ von $p$ in $n$.
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\begin{bsp}
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\begin{itemize}
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\item $G = (\R, +), H= (R^*, \cdot), \phi: \fun G H x {e^x}$ ist ein
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\item $G = (\R, +), H= (\R^*, \cdot), \phi: \fun G H x {e^x}$ ist ein
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Monomorphismus. Wählt man $H = (\R^{+*}, \cdot)$ so erhält man einen Isomorphismus. $\log$ ist die
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zugehörige Umkehrabbildung.
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\item $G, H$ Gruppen. $\phi: \fun G H g {e_H}$ ist stets ein
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@ -2268,8 +2268,8 @@ abelsche Gruppe. Wir definieren nun eine Ringstruktur auf $\faktor R I$.
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\begin{defin}
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Seien $(R; \boxplus, \boxdot)$ und $(S, \oplus, \odot)$ Ringe. Dann ist $R\times S$ mit den Verknüpfungen
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\begin{align*}
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& +: & (r, s) + (r', s') = (r \boxplus r', s\oplus s') \\
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& \cdot: & (r, s) \cdot (r', s') = (r \boxdot r', s \odot s')
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+: & (r, s) + (r', s') = (r \boxplus r', s\oplus s') \\
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\cdot: & (r, s) \cdot (r', s') = (r \boxdot r', s \odot s')
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\end{align*}
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ein Ring, das sogenannte direkte Produkt $R \times S$ von $R$ und $S$.
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\begin{itemize}
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@ -2280,9 +2280,9 @@ abelsche Gruppe. Wir definieren nun eine Ringstruktur auf $\faktor R I$.
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\item $R, S$ Integritätsbereich $\overset{\text{i.A.}}{\cancel{\implies}} R \times S$
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Integritätsbereich.
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\[
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(r, 0_S) (0_R, s) = (0_R, 0_s) = 0_{R\times S}
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(r, 0_S) (0_R, s) = (0_R, 0_S) = 0_{R\times S}
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\]
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\item Für beliebige Indexmenge $I$ bezeichnet $\prod_{i\ in I} R_i = \{
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\item Für beliebige Indexmenge $I$ bezeichnet $\prod_{i \in I} R_i = \{
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(r_i)_{i\in I}: r_i \in R_i\}$ das direkte Produkt der $R_i$.
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\end{itemize}
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\[
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