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237
Algebra.tex
237
Algebra.tex
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@ -95,6 +95,7 @@
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|||
\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
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\DeclareMathOperator{\syl}{Syl}
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\DeclareMathOperator{\Char}{char}
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\DeclareMathOperator*{\bigcdot}{\bullet}
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\newcommand\hull[1]{\left\langle #1 \right\rangle}
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\newcommand\norm[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
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@ -305,8 +306,7 @@ $e = 0, g^n = n \cdot g, \inv g = -g$
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\end{itemize}
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\end{defin}
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\begin{satz}
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\label{satz:zyklisch}
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\begin{satz} \label{satz:zyklisch}
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||||
Sei $G$ eine zyklische Gruppe, $H \le G$. Dann ist $H$ zyklisch.
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||||
\end{satz}
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\begin{proof}
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@ -606,8 +606,7 @@ für passende $h, h' \in H$
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|||
$G = \bigcup_{n=1}^{[G:H]} Ha_n$, wobei $Ha_i \neq Ha_j$ für $i \neq j$ falls $[G:H] < \infty$
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\end{defin}
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\begin{satz}[Satz von Lagrange]
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\label{satz:lagrange}
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||||
\begin{satz}[Satz von Lagrange] \label{satz:lagrange}
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||||
Sei $G$ eine Gruppe, $H \le G$. Sind zwei der Größen $\abs G, [G:H], \abs H$ endlich, so ist es auch die
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Dritte. Es gilt:
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\[
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@ -693,8 +692,7 @@ für passende $h, h' \in H$
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$(4) \implies (1) \checkmark$
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\end{proof}
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\begin{proposition}
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\label{homomorphiesatz1}
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\begin{proposition} \label{homomorphiesatz1}
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||||
Sei $\phi \in \Hom(G,H)$. Dann ist $\ker(\phi) \trianglelefteq G$.
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||||
\end{proposition}
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\begin{proof}
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@ -745,8 +743,7 @@ $G$ abelsch $\implies$ Jeder Quotient ist abelsch.
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|||
$\faktor{\mathcal S_n}{\mathcal A_n}$ ist abelsch.
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\end{bsp}
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\begin{proposition}
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\label{homomorphiesatz2}
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||||
\begin{proposition} \label{homomorphiesatz2}
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||||
Sei $N \trianglelefteq G$. Dann existiert $H$ und $\phi \in \Hom(G, H)$ mit $\ker(\phi) = N$.
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||||
\end{proposition}
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\begin{proof}
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@ -757,8 +754,7 @@ $G$ abelsch $\implies$ Jeder Quotient ist abelsch.
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|||
$g \in \ker(\phi) \iff gN = n \iff g \in N$, das heißt $N = \ker(\phi)$
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
\begin{korollar}
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\label{homomorphiesatz3}
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\begin{korollar} \label{homomorphiesatz3}
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||||
$\phi\in \Hom(G, H)$ impliziert $\faktor G{\ker(\phi)} \cong \phi(G)$
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\end{korollar}
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\begin{proof}
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@ -788,8 +784,7 @@ Der \underline{Homomorphiesatz} besteht aus 3 Teilen:
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Falls $n \neq 0$, so ist $G \cong \faktor{\Z}{n\Z}$
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||||
\end{proof}
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\begin{satz}[1. Isomorphiesatz]
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||||
\label{isomorphiesatz1}
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||||
\begin{satz}[1. Isomorphiesatz] \label{isomorphiesatz1}
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||||
Sei $G$ eine Gruppe, $U \le G$ und $N \trianglelefteq G$. Dann ist $U \cdot N$ eine Untergruppe von $G$,
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||||
$U \cap N \trianglelefteq U$ und $\faktor{UN}N \cong \faktor{U}{U\cap N}$
|
||||
\end{satz}
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||||
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@ -815,7 +810,7 @@ Der \underline{Homomorphiesatz} besteht aus 3 Teilen:
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|||
\]
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||||
\end{bsp}
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||||
\begin{satz}[2. Isomorphiesatz]
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||||
\begin{satz}[2. Isomorphiesatz] \label{isomorphiesatz2}
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||||
Sei $G$ eine Gruppe, $K, H \trianglelefteq G, K \le H$. Dann ist $K \trianglelefteq H$ und es gilt:
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||||
\[
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||||
\faktor{\faktor G K}{\faktor H K} \cong \faktor G H
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||||
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@ -894,8 +889,7 @@ $G = UV$ und jedes Element aus $G$ kann eindeutig $g = uv$ mit $u \in U, v \in V
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|||
\end{enumerate}
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||||
\end{defin}
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||||
\begin{lemma}
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||||
\label{produktlemma}
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||||
\begin{lemma} \label{produktlemma}
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||||
Die Bedingungen 1: und 2: implizieren:
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\[
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||||
N_i \cap N_j = \{ e\}\text{ für } i \neq j
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||||
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@ -1040,8 +1034,7 @@ Gruppenstruktur definieren, die $G_1 \times \dots \times G_k$ zum äußeren Prod
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|||
Gesamt: $\phi$ ist Isomorphismus.
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||||
\end{proof}
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||||
\begin{lemma}
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||||
\label{dirprodlemma}
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||||
\begin{lemma} \label{dirprodlemma}
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||||
Seien $G, H$ zyklische Gruppen $\abs G = m, \abs H = n$ mit $\ggT(m,n) = 1$, dann ist $\abs{G\times H}=mn$.
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||||
Jede zyklische Gruppe der Ordnung $mn$ mit $\ggT(m,n)=1$ ist direktes Produkt zweier Untergruppen $U, V$ mit
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||||
$\abs U = m, \abs V = n$
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@ -1337,8 +1330,7 @@ semidirektes Produkt von $N^*$ und $H^*$.
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|||
\end{bsp}
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\pagebreak
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\begin{proposition}
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\label{linksaktion}
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||||
\begin{proposition} \label{linksaktion}
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||||
$\alpha: G\times S \to S$ sei eine Aktion.
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Für $X \subseteq S$ ist $G_X$ eine Untergruppe von $G$ (die Stabilisatoruntergruppe von $X$).
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@ -1428,8 +1420,7 @@ wobei $G_{s_i}$ die disjunkten Orbits der Länge $> 1$ durchläuft.
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|||
Eine endliche Gruppe $G$ mit $\abs G = p^r$ für ein $r \ge 1, p \in \Primes$ heißt $p$-Gruppe.
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||||
\end{defin}
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\begin{proposition}
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\label{sylowprop}
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\begin{proposition} \label{sylowprop}
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||||
Sei $\alpha: G \times S \to S$ die Aktion einer $p$-Gruppe $G$ auf einer endlichen Menge $S$.
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||||
Dann gilt $\abs S \equiv \abs{S^G} \mod p$
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||||
\end{proposition}
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@ -1439,8 +1430,7 @@ wobei $G_{s_i}$ die disjunkten Orbits der Länge $> 1$ durchläuft.
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|||
$p | \sum \abs{\faktor G {G_{x_i}}}$. Daraus folgt die Behauptung.
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||||
\end{proof}
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||||
\begin{korollar}
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\label{sylowkorollar1}
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||||
\begin{korollar} \label{sylowkorollar1}
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||||
Sei $G$ eine $p$-Gruppe, dann ist $\abs G \equiv \abs{Z(G)} \mod p$ und $\abs{Z(G)} > 1$.
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||||
\end{korollar}
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||||
\begin{proof}
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@ -1508,8 +1498,7 @@ wobei $G_{s_i}$ die disjunkten Orbits der Länge $> 1$ durchläuft.
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|||
$\abs{G_X} = p^r$. Somit ist $G_X$ eine $p$-Sylow Untergruppe von $G$.
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||||
\end{proof}
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||||
\begin{satz}[2. Sylowsatz]
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||||
\label{sylowsatz2}
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||||
\begin{satz}[2. Sylowsatz] \label{sylowsatz2}
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||||
Seien $P, Q$ zwei $p$-Sylow Untergruppen von $G$. Dann sind $P$ und $Q$ konjugiert, das heißt
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||||
$\exists g \in G$ mit $gP\inv g = Q$. Die Gruppe $G$ agiert auf $\syl_p(G)$ durch Konjugation und diese
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||||
Aktion ist transitiv.
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@ -1544,8 +1533,7 @@ wobei $G_{s_i}$ die disjunkten Orbits der Länge $> 1$ durchläuft.
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|||
Folgt unmittelbar aus dem 2. Sylowsatz \ref{sylowsatz2}.
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
\begin{satz}[3. Sylowsatz]
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||||
\label{sylowsatz3}
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||||
\begin{satz}[3. Sylowsatz] \label{sylowsatz3}
|
||||
\begin{enumerate}
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||||
\item $\abs{\syl_p(G)} | m$
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||||
\item $\abs{\syl_p(G)} \equiv 1 \mod p$
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@ -1946,6 +1934,201 @@ Wir betrachten in diesem Abschnitt nur mehr Ringe mit 1
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|||
Für $I \ideal R$ ist $I$ insbesondere Normalteiler von $(R, +)$, da $R$ bezüglich $+$ kommutativ ist.
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||||
$\faktor{(R,+)}{(I,+)}$ ist also eine abelsche Gruppe. Wir definieren nun eine Ringstruktur auf $\faktor R I$.
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\begin{satz}
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||||
Sei $I \ideal R$. Dann ist $\faktor R I$ mit den Verknüpfungen
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||||
$\begin{aligned}(a+I) + (b+I) := a+b+I \\ (a+I)\cdot (b+I) := ab + I\end{aligned}$
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ein Ring und $\phi: \fun R {\faktor R I} r {r+ I}$ ein Ringepimorphismus.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Bezüglich $+$ ist die Aussage bereits in der Gruppentheorie gezeigt. $R_1 \checkmark$
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||||
$\cdot$ ist wohldefiniert: seien $a', b' \in R$ mit $a' = a +x, b' = b + y$ mit $x, y \in I$.
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\[
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||||
(a' + I)(b'+I) = (a + x + I)(b + y + I) =
|
||||
ab + \underbrace{ay}_{\in I} + \underbrace{xb}_{\in I} + \underbrace{xy}_{\in I} + I = ab + I
|
||||
\]
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||||
$R_2, R_3$ gelten in $\faktor R I$, da sie in $R$ gelten.
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||||
$\phi$ ist Homomorphismus, da $+, \cdot$ so definiert sind, dass Homomorphie gilt. Einselement von
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$\faktor R I$ ist $1 + I$.
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\end{proof}
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\begin{satz}[Homomorphiesatz für Ringe]
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||||
\label{Ringhomomorphiesatz}
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||||
Sei $I \ideal R$. Dann ist $\faktor R I$ homomorphes Bild von $R$. Der Kern eines Ringhomomorphismus
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||||
$\phi: R \to S$ ist ein Ideal in $R$ und es gilt:
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||||
\[
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||||
\faktor R {\ker(\phi)} \cong \phi(R)
|
||||
\]
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||||
\end{satz}
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||||
\begin{proof}
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||||
Die Abbildung $\fun {\faktor R {\ker(\phi)}} {\phi(R)} r {r+ \ker(\phi)}$ ist wohldefiniert und wegen
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||||
$r + \ker(\phi) = s + \ker(\phi) \iff r - s \in \ker(\phi) \iff \phi(r) = \phi(s)$ auch injektiv,
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||||
surjektiv nach Konstruktion.
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
\begin{defin}
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||||
Seien $I, J$ Ideale von $R$.
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||||
\begin{align*}
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||||
I \cap J & := \{x \in R | x \in I \land x \in J\} \ideal R \\
|
||||
I + J & := \{ x + y | x \in I, y \in J \} \ideal R \\
|
||||
IJ & := \left\{ \sum_{i=1}^n x_i y_i | x_i \in I, y_i \in J, n \in \N \right\}
|
||||
\end{align*}
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||||
\end{defin}
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||||
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||||
\begin{bemerkung}
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||||
$I \cap J, I + J$ und $IJ$ sind Ideale in $R$.
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||||
\[
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||||
R(I + J) = \underbrace{RI}_{\subseteq I} + \underbrace{RJ}_{\subseteq J} \subseteq I + J
|
||||
\]
|
||||
und analog $(I + J) R$.
|
||||
Für $r \in R$ gilt
|
||||
\begin{align*}
|
||||
r \sum_{i=1}^n x_i y_i = \sum_{i=1}^n \underbrace{(rx_i)}_{\in I} y_i & = \sum_{i=1}^n x_i' y_i \\
|
||||
\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right) r & = \sum_{i=1}^n x_i \underbrace{y_i r}_{\in J} = \sum_{i=1}^n x_i y_i'
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
Weiters:
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item $I+ J = (I \cup J)$
|
||||
\item $IJ \subseteq I \cap J$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
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||||
\begin{satz}[1. Isomorphiesatz] \label{ringisomorphiesatz1}
|
||||
Sei $R$ ein Ring, $I \ideal R, T \le R$. Dann ist $T + I$ ein Teilring von $R$, $T \cap I$ ein Ideal
|
||||
von $T$ und es gilt:
|
||||
\[
|
||||
\faktor {T+I} I \cong \faktor T {T \cap I}.
|
||||
\]
|
||||
\end{satz}
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||||
\begin{proof}
|
||||
in dem Proseminar
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||||
\end{proof}
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||||
|
||||
\begin{satz}[2. Isomorphiesatz] \label{ringisomorphiesatz2}
|
||||
Sei $R$ ein Ring, $I, J \ideal R$ mit $I \subseteq J$.
|
||||
Dann ist $\faktor J I$ ein Ideal von $\faktor R I$ und es gilt
|
||||
\[
|
||||
\faktor {\faktor R I} {\faktor J I} \cong \faktor R J.
|
||||
\]
|
||||
\end{satz}
|
||||
\begin{proof}
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||||
Sei $\phi: \fun {\faktor RI} {\faktor RJ} {r + I} {r + J}$. $\phi$ ist wohldefiniert: $r + I = r' + I
|
||||
\iff r - r' \in I \implies r- r' \in J \implies r + J = r' + J$
|
||||
|
||||
$\phi$ ist Homomorphismus:
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||||
\begin{description}
|
||||
\item[$+$] wurde schon in \ref{isomorphiesatz2} gezeigt
|
||||
\item[$\cdot$] $\phi((r + I) (s + I)) = \phi(rs + I) = rs + J = (r + J)(s + J) =
|
||||
\phi(r + I)\phi(s + I)$
|
||||
\end{description}
|
||||
und surjektiv. $\ker(\phi) = \{r + I \in \faktor R I: \phi(r + I) = J \} =
|
||||
\{ r+ I \in \faktor R I: r \in J\} = \faktor J I$.
|
||||
Mithilfe des Homomorphiesatzes \ref{Ringhomomorphiesatz} folgt die Behauptung.
|
||||
\end{proof}
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||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
Für $d | n$ gilt $n\Z \le d\Z$, beides Ideale in $\Z$. Aus dem
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||||
2. Isomorphiesatz \ref{ringisomorphiesatz2} folgt somit:
|
||||
$\faktor {\faktor \Z {n\Z}} {\faktor {d\Z} {n\Z}}
|
||||
\underset{\substack{| \\ \text{als Ringe!}}}{\cong} \faktor \Z {d\Z}$. \\
|
||||
ACHTUNG: Gruppentheorie: es gilt sogar
|
||||
$\faktor {d\Z} {n\Z} \underset{\substack{|\\\text{als Gruppe}}}{\cong} \faktor \Z {\frac nd \Z}$,
|
||||
aber \underline{nicht} als Ringisomorphismus.
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\underset{\rotatebox{270}{$\mapsto$}}{(dk + n\Z)}
|
||||
\underset{\rotatebox{270}{$\mapsto$}}{(dk' + n\Z)} & =
|
||||
\underset{\rotatebox{270}{$\mapsto$}}{d(dkk') + n\Z} \\
|
||||
(k + \frac nd \Z) (k' + \frac nd \Z) & \neq dkk' + \frac nd \Z
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\section{Produkte \& Algebren}
|
||||
\begin{defin}
|
||||
Seien $(R; \boxplus, \boxdot)$ und $(S, \oplus, \odot)$ Ringe. Dann ist $R\times S$ mit den Verknüpfungen
|
||||
\begin{align*}
|
||||
& +: & (r, s) + (r', s') = (r \boxplus r', s\oplus s') \\
|
||||
& \cdot: & (r, s) \cdot (r', s') = (r \boxdot r', s \odot s')
|
||||
\end{align*}
|
||||
ein Ring, das sogenannte direkte Produkt $R \times S$ von $R$ und $S$.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Sind $R, S$ Ringe mit 1, so ist auch $R \times S$ einer, $1_{R\times S} = (1_R, 1_S)$.
|
||||
\item $R \times S$ ist kommutativ $\iff R$ \& $S$ kommutativ.
|
||||
\item $(R \times S)^* = R^* \times S^*$
|
||||
\item $R, S$ Integritätsbereich $\overset{\text{i.A.}}{\cancel{\implies}} R \times S$
|
||||
Integritätsbereich.
|
||||
\[
|
||||
(r, 0_S) (0_R, s) = (0_R, 0_s) = 0_{R\times S}
|
||||
\]
|
||||
\item Für beliebige Indexmenge $I$ bezeichnet $\prod_{i\ in I} R_i = \{ (r_i)_{i\in I}: r_i \in R_i\}$
|
||||
das direkte Produkt der $R_i$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\[
|
||||
\bigoplus_{i\in I} R_i := \{(r_i)_{i \in I}: r_i \in R_i, r_i = 0 \text{ für alle bis auf
|
||||
endlich viele }i\}
|
||||
\]
|
||||
heißt direkte Summe der $R_i$.
|
||||
\end{defin}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
\[
|
||||
I \ideal R \times S \iff I = I_R \times I_S \text{ mit }I_R \ideal R, I_S \ideal S
|
||||
\]
|
||||
\end{proposition}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
im Proseminar
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{defin}
|
||||
Ein Ring $(A, +, \cdot)$ heißt Algebra über dem Körper \K, falls eine Skalarmultiplikation
|
||||
$\bigcdot: \K \times A \to A$ existiert, sodass $(A, +, \bigcdot)$ ein \K-Vektorraum ist und
|
||||
\[
|
||||
\forall x, y \in A, \lambda \in \K: \lambda \bigcdot (x y) = (\lambda \bigcdot x) y =
|
||||
x (\lambda \bigcdot y).
|
||||
\]
|
||||
\end{defin}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $M_{n\times n}(\K)$ und allgemeiner $\End(V)$, wobei $V$ ein \K-Vektorraum.
|
||||
\item $\K[x]$
|
||||
\item $\operatorfont{Abb}(M \to \K)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
Analog zu Ringen: kommutative/unitäre Algebren. $\phi$ Algebrahomomorphismus $\iff \phi$
|
||||
Ringhomomorphismus und $\phi(\lambda x) = \lambda \phi(x) \forall \lambda \in \K, x \in A$.
|
||||
|
||||
\begin{defin}
|
||||
Ein Ring/Algebra heißt einfach, wenn er/sie keine nicht-trivialen Ideale besitzt und nicht degeneriert
|
||||
ist (das heißt es gilt nicht $x \cdot y = 0 \forall x, y, \in R/A$).
|
||||
\end{defin}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
Sei $R$ ein kommutativer Ring.
|
||||
\[
|
||||
R \text{ einfach} \iff R \text{ ist Körper}.
|
||||
\]
|
||||
\begin{description}
|
||||
\item[$\impliedby$:] Sei $R$ Körper, $I \ideal R$ mit $I \neq (0). \exists a \neq 0$ in $I$. $R$
|
||||
Körper $\implies \exists \inv a \in R \underbrace{\inv a}_{\in R} \underbrace{a}_{\in I} \in I$,
|
||||
das heißt $1 \in I \implies I = R$.
|
||||
\item[$\implies$:] Sei $a \in R. (a) = 0 \lor (a) = R \implies \exists r \in R$ mit $ra = 1$, also
|
||||
$r = \inv a$, das heißt $a \in R^* \implies R$ ist Körper.
|
||||
\end{description}
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
$M_{n\times n}(\K)$ ist keine einfache Algebra, \R, \C\ sind einfache Algebren.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{defin}
|
||||
Eine endlichdimensionale, einfache Algebra über \K, für die $Z(A) = \K\cdot 1_A$, heißt zentral-einfach.
|
||||
\end{defin}
|
||||
|
||||
\R\ ist eine zentral-einfache Algebra über \R, \C\ ebenso, aber \C\ ist nicht zentral-einfach über \R.
|
||||
|
||||
\begin{warnung}
|
||||
Ich kann dieses Semester nicht so viel Zeit in meine Mitschrift investieren, wie ich das letztes
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Semester konnte. Es wird vermutlich passieren, dass ich irgendwann plötzlich und unvermittelt aufhöre, hier
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