Complete VO 15.12.2022

Algebra.tex

@@ -2884,7 +2884,6 @@ $6 = 2 \cdot 3 = \left(4 + \sqrt{10}\right)\left(4 - \sqrt{10}\right)$
 
 $\mc O_{-43}$ ist HIB, aber nicht euklidisch.
 
-Der folgende Teil meiner Mitschrift ist noch unvollständig. %TODO: remove
 \chapter{Polynomringe}
 \section{Grundlagen}
 
@@ -2963,9 +2962,10 @@ Setze: $\deg(0) = -\infty$.
 	\begin{enumerate}
 		\item $PQ(x)$ hat führenden Koeffizienten $a_n b_m \neq 0$ (Da $R$ IB).
 		      \[
-			      \deg(PQ) = n+m.
+			      \implies \deg(PQ) = n+m.
 		      \]
-		\item Falls $m < n$ %TODO Whatever this is
+		\item Falls $m < n$ oder $m < n$, so ist der führende Koeffizient von $P + Q$ gerade $b_m$ oder $a_n$.
+		      Falls $n=m$: führender Koeffizient von $P+Q$ hat Index $\le n( = m )$.
 	\end{enumerate}
 \end{proof}
 
@@ -2995,7 +2995,7 @@ Setze: $\deg(0) = -\infty$.
 	$\ev_a$ heißt Evaluationsabbildung an der Stelle $a$.
 \end{satz}
 \begin{proof}
-	Die Homomorphie ist direkte ??? %TODO
+	Die Homomorphie ist direkte Konsequenz
 	der Definitionen von $+, \star$ in $R[X]$ für kommutative Ringe mit 1. Durch Auswertung an allen $a \in S$
 	erhalten wir eine Funktion
 	\[