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a800356e7f
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9303E1C32E3A14A0
72
Algebra.tex
72
Algebra.tex
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@ -18,8 +18,9 @@
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\usetikzlibrary{tikzmark,calc,arrows,arrows.meta,angles,math,decorations.markings}
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\usepackage{pgfplots}
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\usepackage{framed}
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\usepackage[hyperref,amsmath,thmmarks,thref,framed]{ntheorem}
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\usepackage[hyperref,amsmath,thmmarks,framed]{ntheorem}
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\usepackage[colorlinks=true, linkcolor=magenta, psdextra, pdfencoding=auto]{hyperref}
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\usepackage[capitalize,nameinlink]{cleveref}
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\usepackage{tcolorbox}
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\usepackage{lmodern}
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\usepackage{eucal}
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@ -79,19 +80,26 @@
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\newshadedtheorem{theo}{Theorem}[section]
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\newshadedtheorem{satz}[theo]{Satz}
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\newcommand{\satzautorefname}{Satz}
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\theoremstyle{nonumberbreak}
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\newshadedtheorem{nonumbersatz}{Satz}
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\theoremstyle{break}
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\newshadedtheorem{lemma}[theo]{Lemma}
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\newcommand{\lemmaautorefname}{Lemma}
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\newshadedtheorem{korollar}[theo]{Korollar}
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\newcommand{\korollarautorefname}{Korollar}
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\newshadedtheorem{folgerung}[theo]{Folgerung}
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\newcommand{\folgerungautorefname}{Folgerung}
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\newshadedtheorem{proposition}[theo]{Proposition}
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\newcommand{\propositionautorefname}{Proposition}
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\newtcbox{\definBox}{colback=pastellblau!17,colframe=pastellblau!94,boxsep=0pt,left=7pt,right=7pt,top=7pt,bottom=7pt}
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\def\theoremframecommand{\definBox}
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\newshadedtheorem{defin}[theo]{Definition}
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\newcommand{\definautorefname}{Definition}
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\newtcbox{\miscBox}{colback=gray!17,colframe=gray!80}
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\def\theoremframecommand{\miscBox}
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\newshadedtheorem{bemerkung}[theo]{Bemerkung}
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\newcommand{\bemerkungautorefname}{Bemerkung}
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\newshadedtheorem{bsp}[theo]{Beispiel}
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\newtcbox{\warnBox}{colback=red!17,colframe=red!80}
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@ -376,7 +384,7 @@ $e = 0, g^n = n \cdot g, \inv g = -g$
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\end{korollar}
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\begin{proof}
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$G = \hull g \implies \ord_G(g) = n \overset{2.}{\implies}\ord_G(g^{\frac nd}) = \frac n {\ggT(n, \frac nd)} = d$ \\
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Umgekehrt, sei $H' \le G$ mit $\abs{H'} = d$. Nach Satz ~\ref{satz:zyklisch}: $H'$ ist zyklisch,
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Umgekehrt, sei $H' \le G$ mit $\abs{H'} = d$. Nach \cref{satz:zyklisch}: $H'$ ist zyklisch,
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$H' = \hull{g^s}$ mit $s$ minimal, sodass $g^s \in H'$. Es ist $e = g^n \in H' \overset{1.}{\implies} s \mid n$ \\
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$\abs{H'} = \ord(g^s) = \frac{n}{\ggT(n, s)} = \frac ns \implies d = \frac ns \implies s = \frac nd$
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\end{proof}
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@ -802,7 +810,7 @@ Existiert zu jedem Normalteiler $N \trianglelefteq G$ eine
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(gh)N$. Das Assoziativgesetz gilt, da es in $G$ gilt. Das neutrale Element von $\faktor GN$ ist $eN = N$.
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Das inverse Element von $aN = \inv aN$.
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||||
Lagrange(~\ref{satz:lagrange}) impliziert $[G:N] = \abs{\faktor GN} =
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Lagrange(\cref{satz:lagrange}) impliziert $[G:N] = \abs{\faktor GN} =
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\frac{\abs G}{\abs N}$.
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\end{proof}
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@ -848,9 +856,9 @@ $G$ abelsch $\implies$ Jeder Quotient ist abelsch.
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Der \underline{Homomorphiesatz} besteht aus 3 Teilen:
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\begin{itemize}
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\item ~\ref{homomorphiesatz1}: $\ker\phi \trianglelefteq G$
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\item ~\ref{homomorphiesatz2}: $N \trianglelefteq G \implies \exists H, \phi \in \Hom(G, H): N = \ker(\phi)$
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||||
\item ~\ref{homomorphiesatz3}: $\phi \in \Hom(G, H) \implies \faktor G{\ker(\phi)} \cong \phi(G)$
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||||
\item \cref{homomorphiesatz1}: $\ker\phi \trianglelefteq G$
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\item \cref{homomorphiesatz2}: $N \trianglelefteq G \implies \exists H, \phi \in \Hom(G, H): N = \ker(\phi)$
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||||
\item \cref{homomorphiesatz3}: $\phi \in \Hom(G, H) \implies \faktor G{\ker(\phi)} \cong \phi(G)$
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\end{itemize}
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\begin{bsp}[Anwendung auf zyklische Gruppen]
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@ -1015,7 +1023,7 @@ Falls $\abs G = \abs U \cdot \abs V$, so gilt: $G = UV$ und
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\end{satz}
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\begin{proof}
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\begin{itemize}
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||||
\item[$\implies$:] 1. folgt aus der Definition, 2. aus Lemma ~\ref{produktlemma}.\\
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||||
\item[$\implies$:] 1. folgt aus der Definition, 2. aus \cref{produktlemma}.\\
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||||
3. Sei $x \in G_i \cap (G_1 \cdots G_{i-1} \cdot G_{i+1} \cdots G_k)$.
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$x = e \cdots e x e \cdots e = a_1 \cdots a_{i-1} \cdot e \cdot a_{i+1} \cdots a_k$\\
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$\overset{\mathclap{\substack{\text{wegen Eindeutigkeit}\\|}}}{\implies} x = e$
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@ -1054,7 +1062,7 @@ Falls $\abs G = \abs U \cdot \abs V$, so gilt: $G = UV$ und
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\end{enumerate}
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\end{korollar}
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\begin{proof}
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1., 3. klar. 2. folgt aus ~\ref{produktlemma}
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||||
1., 3. klar. 2. folgt aus \cref{produktlemma}
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\end{proof}
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\begin{korollar}
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@ -1064,7 +1072,7 @@ Falls $\abs G = \abs U \cdot \abs V$, so gilt: $G = UV$ und
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\]
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\end{korollar}
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\begin{proof}
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||||
Für $k = 2$ ist dies eine Folgerung aus dem 1. Isomorphiesatz ~\ref{isomorphiesatz1}. \\
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||||
Für $k = 2$ ist dies eine Folgerung aus dem 1. Isomorphiesatz~\ref{isomorphiesatz1}. \\
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||||
$k > 2: G=(N_1 \cdots N_k)$. $N_{k+1}$ mit $(N_1 \cdots N_k) \cap N_{k+1} = \{ e \}$. Überdies gilt
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$(N_1 \cdots N_k) \trianglelefteq G$, denn $a \cdot N_1 \cdots N_k = N_1 a N_2 \cdots N_k = \dots
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= N_1 \cdots N_k \cdot a$, da jedes $N_i \trianglelefteq G$. \\
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@ -1148,7 +1156,7 @@ Umgekehrt sind $G_1, \dots, G_k$ Gruppen, so wollen wir auf
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|||
\]
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\end{korollar}
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||||
\begin{proof}
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Direkte Folgerung aus Lemma ~\ref{dirprodlemma}
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Direkte Folgerung aus \cref{dirprodlemma}
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\end{proof}
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\begin{satz}[Hauptsatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen]
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@ -1181,7 +1189,7 @@ Umgekehrt sind $G_1, \dots, G_k$ Gruppen, so wollen wir auf
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\begin{satz}
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Sei $G$ eine abelsche Gruppe mit $\abs G = n$, $d\mid n$. Dann existiert $H \le G$ mit $\abs H = d$.
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(das heißt Folgerung aus Lagrange (~\ref{satz:lagrange})hinsichtlich der Ordnung von Untergruppen ist für abelsche Gruppen
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(das heißt Folgerung aus Lagrange (\cref{satz:lagrange}) hinsichtlich der Ordnung von Untergruppen ist für abelsche Gruppen
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umkehrbar!)
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\end{satz}
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\begin{proof}
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@ -1194,7 +1202,7 @@ Umgekehrt sind $G_1, \dots, G_k$ Gruppen, so wollen wir auf
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\section{Semidirekte Produkte}
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inneres direktes Produkt: $G, N_1, N_2 \trianglelefteq G$
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||||
Inneres direktes Produkt: $G, N_1, N_2 \trianglelefteq G$
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mit $N_1N_2 = G$ \& $N_1 \cap N_2 = \{e\} \implies G$ ist
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inneres direktes Produkt von $N_1, N_2$.
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@ -1534,7 +1542,7 @@ semidirektes Produkt von $N^*$ und $H^*$.
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\]
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\end{korollar}
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||||
\begin{proof}
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||||
Direkte Folgerung aus ~\ref{linksaktion}.
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Direkte Folgerung aus \cref{linksaktion}.
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||||
\end{proof}
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||||
\begin{korollar}[Bahngleichung/Orbitzerlegungsformel]
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@ -1546,7 +1554,7 @@ semidirektes Produkt von $N^*$ und $H^*$.
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der Aktion $\alpha$ durchläuft.
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\end{korollar}
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||||
\begin{proof}
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Direkte Folgerung aus ~\ref{linksaktion}
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||||
Direkte Folgerung aus \cref{linksaktion}
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\end{proof}
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Alternativ:
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\[
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@ -1608,7 +1616,7 @@ wobei $G_{s_i}$ die disjunkten Orbits der Länge $> 1$ durchläuft.
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|||
Sei $G$ eine $p$-Gruppe, dann ist $\abs G \equiv \abs{Z(G)} \mod p$ und $\abs{Z(G)} > 1$.
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\end{korollar}
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\begin{proof}
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||||
Sei $\alpha: G \times G \to G$ die Konjugation, nach Proposition ~\ref{sylowprop} gilt
|
||||
Sei $\alpha: G \times G \to G$ die Konjugation, nach \cref{sylowprop} gilt
|
||||
$\abs G \equiv \abs{Z(G)} \mod p$. Wegen $\abs G = p^r$ gilt $\abs{Z(G)} \equiv 0 \mod p$, daher folgt
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||||
$\abs{Z(G)} > 1$.
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||||
\end{proof}
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||||
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@ -1617,7 +1625,7 @@ wobei $G_{s_i}$ die disjunkten Orbits der Länge $> 1$ durchläuft.
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|||
Jede Gruppe $G$ der Ordnung $p^2$ ist abelsch.
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\end{korollar}
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\begin{proof}
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||||
Es gilt nach Korollar ~\ref{sylowkorollar1}: $\abs{Z(G)} \in \{p, p^2\}$. Angenommen es gelte $\abs{Z(G)} = p$.
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||||
Es gilt nach \cref{sylowkorollar1}: $\abs{Z(G)} \in \{p, p^2\}$. Angenommen es gelte $\abs{Z(G)} = p$.
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||||
Wegen $Z(G) \trianglelefteq G$, können wir die Gruppe $\faktor G {Z(G)}$ bilden. $\abs{\faktor G {Z(G)}}
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= p \implies \faktor G {Z(G)}$ ist zyklisch, das heißt $\exists x \in G$ mit $\faktor G {Z(G)} =
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||||
\hull{xZ(G)}$. Jedes $gZ(G)$ lässt sich als $(xZ(G))^r = x^rZ(G)$ schreiben (für geeignetes $r$).
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@ -1697,7 +1705,7 @@ wobei $G_{s_i}$ die disjunkten Orbits der Länge $> 1$ durchläuft.
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|||
Jede $p$-Untergruppe von $G$ ist in einer $p$-Sylow Untergruppe von $G$ enthalten.
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\end{korollar}
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\begin{proof}
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||||
Wähle im 2. Sylowsatz ~\ref{sylowsatz2} für $P$ die $p$-Untergruppe von $G$, für $Q$ eine $p$-Sylow
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||||
Wähle im 2. Sylowsatz~\ref{sylowsatz2} für $P$ die $p$-Untergruppe von $G$, für $Q$ eine $p$-Sylow
|
||||
Untergruppe von $G$. Bis auf den letzten Schritt folgt das gleiche, insbesondere $P \subseteq h Q \inv h$.
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||||
Da $Q$ schon $p$-Sylow Untergruppe ist, ist $h Q \inv h$ auch eine.
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\end{proof}
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@ -1706,7 +1714,7 @@ wobei $G_{s_i}$ die disjunkten Orbits der Länge $> 1$ durchläuft.
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|||
$\abs{\syl_p(G)} = 1 \iff$ die $p$-Sylow Untergruppe von $G$ ist Normalteiler.
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\end{korollar}
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||||
\begin{proof}
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||||
Folgt unmittelbar aus dem 2. Sylowsatz ~\ref{sylowsatz2}.
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||||
Folgt unmittelbar aus dem 2. Sylowsatz~\ref{sylowsatz2}.
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\end{proof}
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\begin{satz}[3. Sylowsatz] \label{sylowsatz3}
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@ -1720,7 +1728,7 @@ wobei $G_{s_i}$ die disjunkten Orbits der Länge $> 1$ durchläuft.
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\begin{enumerate}
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||||
\item Sei $P \in \syl_p(G)$. $G$ operiert auf $\syl_p(G)$ durch
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Konjugation, diese Aktion hat nur einen Orbit nach dem 2.
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||||
Sylowsatz ~\ref{sylowsatz2}. Es folgt: $\syl_p(G) = GP$,
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||||
Sylowsatz~\ref{sylowsatz2}. Es folgt: $\syl_p(G) = GP$,
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||||
insbesondere $\abs{\syl_p(G)} = \abs{GP}$.
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\begin{equation}
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\label{eq:1.8.11.1}
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||||
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@ -1731,7 +1739,7 @@ wobei $G_{s_i}$ die disjunkten Orbits der Länge $> 1$ durchläuft.
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\label{eq:1.8.11.2}
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||||
\end{equation}
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||||
Kombiniert man die beiden
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Aussagen (~\ref{eq:1.8.11.1}, ~\ref{eq:1.8.11.2}), folgt
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||||
Aussagen (\ref{eq:1.8.11.1}, \ref{eq:1.8.11.2}), folgt
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||||
$\abs{\syl_p(P)} \mid \underbrace{\abs{\faktor GP}}_m$
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||||
\item Durch Einschränkung dieser Aktion auf $P$ erhalten wir eine
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Aktion von $P$ auf $\syl_p(G)$. Behauptung: $P$ ist der einzige
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@ -2227,18 +2235,18 @@ Sei $T \subseteq R$ eine beliebige Teilmenge, $R$ ein Ring
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||||
$\phi$ ist Homomorphismus:
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\begin{description}
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||||
\item[$+$] wurde schon in ~\ref{isomorphiesatz2} gezeigt
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||||
\item[$+$] wurde schon in \cref{isomorphiesatz2} gezeigt
|
||||
\item[$\cdot$] $\phi((r + I) (s + I)) = \phi(rs + I) = rs + J = (r + J)(s + J) =
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||||
\phi(r + I)\phi(s + I)$
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||||
\end{description}
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||||
und surjektiv. $\ker(\phi) = \{r + I \in \faktor R I: \phi(r + I) = J \} =
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||||
\{ r+ I \in \faktor R I: r \in J\} = \faktor J I$.
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||||
Mithilfe des Homomorphiesatzes ~\ref{Ringhomomorphiesatz} folgt die Behauptung.
|
||||
Mithilfe des Homomorphiesatzes~\ref{Ringhomomorphiesatz} folgt die Behauptung.
|
||||
\end{proof}
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||||
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||||
\begin{bsp}
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||||
Für $d \mid n$ gilt $n\Z \le d\Z$, beides Ideale in $\Z$. Aus dem
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||||
2. Isomorphiesatz ~\ref{ringisomorphiesatz2} folgt somit:
|
||||
2. Isomorphiesatz~\ref{ringisomorphiesatz2} folgt somit:
|
||||
$\faktor {\faktor \Z {n\Z}} {\faktor {d\Z} {n\Z}}
|
||||
\underset{\substack{| \\ \text{als Ringe!}}}{\cong} \faktor \Z {d\Z}$. \\
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||||
ACHTUNG: Gruppentheorie: es gilt sogar
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||||
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@ -2447,7 +2455,7 @@ Sei $T \subseteq R$ eine beliebige Teilmenge, $R$ ein Ring
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|||
$\cdot$ und die Absorptionseigenschaft $rx \in \bigcup_{I\in T}I$ für $r \in R$ folgt ebenso.
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||||
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||||
Überdies gilt: $\bigcup_{I\in T}I \neq R$, da $\forall I \in T: 1 \notin I$ und daher auch
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||||
$1 \notin \bigcup_{I\in T} I$. Nach dem Lemma von Zorn ~\ref{zorn} enthält $\Sigma$ ein
|
||||
$1 \notin \bigcup_{I\in T} I$. Nach dem Lemma von Zorn~\ref{zorn} enthält $\Sigma$ ein
|
||||
bezüglich $\subseteq$ maximales Element, dieses ist ein maximales Ideal von $R$.
|
||||
\end{proof}
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||||
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||||
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@ -2473,7 +2481,7 @@ Sei $T \subseteq R$ eine beliebige Teilmenge, $R$ ein Ring
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|||
$I$ enthält.
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||||
\end{korollar}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Anwendung des Satzes ~\ref{maxideal} auf $\faktor RI$ liefert ein maximales Ideal $\bar m$ in
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||||
Anwendung von \cref{maxideal} auf $\faktor RI$ liefert ein maximales Ideal $\bar m$ in
|
||||
$\faktor RI$. Dieses Ideal entspricht eindeutig einem Ideal $m$ von $R$, das $I$ enthält.
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||||
Da die Bijektion von $\phi: \fun R {\faktor RI} r {r+I}$ induziert wird, ist sie
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||||
inklusionserhaltend. $\implies m \ideal R$ ist maximal.
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||||
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@ -2845,14 +2853,14 @@ multipliziert werden kann.
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|||
$(a) \in I \land (b) \in I$ und $I = (\tilde d)$. Es folgt:
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||||
\begin{align*}
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||||
\tilde d\mid a \land \tilde d\mid b & \implies \tilde d \mid d
|
||||
& \text{(Definition des ggT \ref{ggTdef})} \\
|
||||
& \text{(Definition des ggT~\ref{ggTdef})} \\
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||||
d \mid a \land d \mid b \implies d \mid c \forall c \in I & \implies d \mid \tilde d
|
||||
\end{align*}
|
||||
$(d) = (\tilde d)$ impliziert $d = u\tilde d$ mit $u \in R^*$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
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||||
\begin{bemerkung}
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||||
Im Beispiel \ref{bsp:2.6.4}: in $\Z + \Z[\sqrt{-5}]$ existiert der $\ggT$ von $2+2\sqrt{-5}$
|
||||
Im \cref{bsp:2.6.4}: in $\Z + \Z[\sqrt{-5}]$ existiert der $\ggT$ von $2+2\sqrt{-5}$
|
||||
und $6$ nicht, denn das von 2 und $1+\sqrt{-5}$ erzeugte Ideal ist kein Hauptideal.
|
||||
\end{bemerkung}
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||||
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||||
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@ -3082,7 +3090,7 @@ Es gilt: $\mc N(xy) = \mc N(x) \mc N(y)$ für $x, y \in Q\left(\sqrt d\right)$ (
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|||
Für welche $d$ ist $\mc O_d$ faktoriell und wie weist man es
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||||
nach? Es sind jedenfalls nicht alle $\mc O_d$ sind
|
||||
faktoriell, z.B. $\mc O_{-5}$ ist es nicht! Siehe dazu
|
||||
\ref{bsp:2.6.4}.
|
||||
\cref{bsp:2.6.4}.
|
||||
|
||||
In $\mc O_{-5} = \Z + \Z\sqrt{-5}$ gilt $6 = 2 \cdot 3 =
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||||
\left(1+\sqrt{-5}\right)\left(1-\sqrt{-5}\right)$. Wir
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||||
|
|
@ -3325,7 +3333,7 @@ Sei zunächst $R$ unitärer Ring.
|
|||
(das bedeutet: $\ker(\ev_a) = (X-a))$)
|
||||
\end{korollar}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Teile $f$ durch $X-a$ mit Rest. Nach dem vorigen Satz \ref{satz:koeffizienten} gilt:
|
||||
Teile $f$ durch $X-a$ mit Rest. Nach dem vorigen \cref{satz:koeffizienten} gilt:
|
||||
$f(X) = (X-a)q(X) + r(X)$ mit $\deg(r) < 1$. Falls $r(X) \neq 0$, so muss $r(X) = r \in R$ gelten.
|
||||
Wende nun $\ev_a$ an: $f(a) = r\implies r = 0$. Die Umkehrung ist klar.
|
||||
\end{proof}
|
||||
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|
@ -3441,7 +3449,7 @@ Jedes $f \in R[X]$ kann als $I(f) \cdot f^*$ geschrieben werden, mit $f^*$ primi
|
|||
\end{korollar}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Beweis per Induktion nach $n$.
|
||||
IA: $n=1$: Satz \ref{satz:faktoriellpoly} \\
|
||||
IA: $n=1$: \cref{satz:faktoriellpoly} \\
|
||||
Sei gezeigt, dass $R[X_1, \dots, X_{n-1}]$ faktoriell ist.
|
||||
$R[X_1, \dots, X_{n}] \cong (R[X_1, \dots, X_{n-1}])[X_n]$ und dies ist faktoriell nach
|
||||
IV und der Aussage für $n = 1$.
|
||||
|
|
@ -3500,7 +3508,7 @@ Wir schreiben: $f(X) = a_n X^n + \dots a_1 X + a_0, a_i \in
|
|||
\]
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||||
Es gilt $\binom pi \equiv 0 \pmod p$ für $1 \le i \le p-1$,
|
||||
sodass $f(Y+1)$ die Bedingungen für die Anwendung von
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||||
\ref{satz:eisenstein} erfüllt ($f(Y+1) = Y^{p-1} +
|
||||
\cref{satz:eisenstein} erfüllt ($f(Y+1) = Y^{p-1} +
|
||||
\binom{p}{p-1}Y^{p-2} + \dots + \binom p2 Y + \binom pi$).
|
||||
$\implies \underbrace{f(Y+1)}_{=f(X)}$ ist irreduzibel.
|
||||
|
||||
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@ -3540,7 +3548,7 @@ ist ein Ringhomomorphismus.
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$f(X) = 4x^2 + 4$ ist irreduzibel in $\Z[X]$, aber $f \mod 3 = X^2 + 1$ ist irreduzibel über $\faktor \Z {3\Z}[X]$
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\end{bsp}
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\begin{proof}[von \ref{prop:unbewiesen}]
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\begin{proof}[von \cref{prop:unbewiesen}]
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Sei $f$ reduzibel in $R[X]$ als $f = gh$ mit $\deg g, \deg h \ge 1$.
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Dann gilt $\bar f = \overline{gh} = \bar g \bar h$ mit $\deg \bar g, \deg \bar h \ge 1$.
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Daher sind $\bar g, \bar h$ keine Einheiten in $\faktor R {\mc PR}[X]$ (denn $\faktor R {\mc PR}$ ist IB, Einheiten in $\faktor R {\mc PR}[X]$ sind die Einheiten von $\faktor R {\mc PR}$).
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