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138
Algebra.tex
138
Algebra.tex
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@ -2129,6 +2129,144 @@ Ringhomomorphismus und $\phi(\lambda x) = \lambda \phi(x) \forall \lambda \in \K
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\R\ ist eine zentral-einfache Algebra über \R, \C\ ebenso, aber \C\ ist nicht zentral-einfach über \R.
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\section{Kommutative Ringe und Integritätsbereiche}
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In diesem Abschnitt bezeichnet $R$ stets einen kommutativen Ring mit Eins.
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\begin{defin}
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$\mathcal P \ideal R$ heißt Primideal, falls $\mathcal P \neq R$ und
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\[
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\forall r,s \in R: rs \in \mathcal P \implies r \in \mathcal P \lor s \in \mathcal P
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\]
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\end{defin}
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\begin{bsp}
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$R = \Z: (m)$ ist prim $\iff m \in \Primes \lor m = 0$.
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\end{bsp}
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\begin{satz}
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$I \ideal R$ ist Primideal $\iff \faktor RI$ ist Integritätsbereich.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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\begin{align*}
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\faktor RI \text{ ist Integritätsbereich } & \iff
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\begin{multlined}
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\faktor RI \neq \{0\} \land \big( (r+I)(s+I) = 0+I \\
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\implies r+I = 0+I \lor s+I = 0+I \big)
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\end{multlined} \\
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& \iff R\neq I \land (rs \in I \implies r \in I \lor s \in I) \\
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& \iff I \text{ ist Primideal.}
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\end{align*}
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\end{proof}
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\begin{proposition}
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Ist $\phi: R \to S$ ein Ringhomomorphismus, $J \ideal S$ ein Primideal, dann ist
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$\inv \phi(J) \ideal R$ auch ein Primideal.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Sei $I := \inv\phi(J)$.
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\[
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rs \in I \implies \phi(rs) = \phi(r)\phi(s) \in J
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\]
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Weil $J \ideal S$ Primideal ist, gilt $\phi(r) \in J \lor \phi(s) \in J$ und somit
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$r \in I \lor s \in I$.
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\end{proof}
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\begin{defin}
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$m \ideal R$ heißt maximales Ideal, falls $m \neq R$ und $m \subseteq I \ideal R \implies
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m = I \lor I = R$.
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\end{defin}
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\begin{bsp}
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$R = \Z. (m)$ ist maximal $\iff m \in \Primes$. $\{0\}$ ist in \Z\ kein maximales Ideal und
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$\{0\}$ ist maximal genau dann, wenn $R$ einfach ist, das heißt wenn $R$ ein Körper ist.
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\end{bsp}
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\begin{satz}
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$I \ideal R$ ist maximal $\iff \faktor RI$ ist ein Körper.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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\begin{description}
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\item[$\implies$:] Sei $I \ideal R$ maximal. Dann gilt $I \neq R$ und somit
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$\faktor RI \neq \{0\}$. Für $a + I \neq I$ betrachten wir das von $I$ und $a$ erzeugte
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Ideal $J:= \{x + ay | x \in I, y \in R\}$. Dann gilt $J \supsetneqq I$ und wegen $I$
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maximal folgt $J = R$. $\implies \exists \alpha \in I: \alpha + ay = 1$. Das heißt
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$\alpha + ay + I = 1+I$ in $\faktor RI$ und wegen $\alpha \in I: (a+I)(y+I)=ay+I=1+I$,
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sodass $a+ I \in \left(\faktor RI\right)^*$
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\item[$\impliedby$:] Sei $\faktor RI$ ein Körper. Sei $I \subsetneqq J \subseteq R$.
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Sei $a \in J \setminus I$, dann ist $a + I \neq 0 + I$ und $\exists b \in R$ mit
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$\underbrace{(a + I) (b + I)}_{ab + I} = 1 + I$. $1 - ab \in I \subset J$.
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Wegen $a \in J$ ist auch $ab \in J$ und somit $(1 - ab) + ab = 1 \in J \implies J = R$.
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\end{description}
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\end{proof}
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\begin{proposition}
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$\phi: R \to S$ Ringhomomorphismus, $J \ideal S$ maximal. Falls $\phi$ surjektiv ist, so
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folgt $\inv\phi(J) \ideal R$ maximal.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Sei $I \ideal R$ mit $\inv\phi(J) \subseteq I$. Dann gilt $\ker(\phi) \subseteq I$. Da $\phi$
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surjektiv ist, ist $\phi(I) \ideal S$ das $J$ enthält. Wegen $J$ maximal folgt $\phi(I) = J
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\lor \phi(I) = S$. Es folgt: $\inv\phi(\phi(I)) = I$ wegen $\ker(\phi) \subseteq I$.
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Es folgt also $I = \inv\phi(J) \lor I = \inv\phi(S) = R$, das heißt $\inv\phi(J)$ ist maximal.
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\end{proof}
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\begin{bsp}
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Die Surjektivität von $\phi$ ist wesentlich! $R = \Z, S = \Q, \phi: \Z \hookrightarrow \Q$.
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$\{0\}$ ist maximal in $\Q$, aber $\inv\phi(\{0\}) = \{0\}$ ist nicht maximal in \Z.
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\end{bsp}
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\subsubsection{Wiederholung:}
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\begin{lemma}[Zorn] \label{zorn}
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Sei $(M, \le)$ eine nichtleere, partiell geordnete Menge. Besitzt \underline{jede}
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totalgeordnete Teilmenge von $M$ eine obere Schranke in $M$, so besitzt $M$ ein maximales
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Element. ($m \in M$ heißt maximal, falls $\forall x \in M: m \le x \implies m = x$)
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\end{lemma}
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\begin{satz}\label{maxideal}
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Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, $R \neq \{0\}$. Dann enthält $R$ ein maximales Ideal.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Sei $\Sigma$ die Menge aller Ideale $\neq R$ von $R$. $\Sigma$ ist bezüglich $\subseteq$
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partiell geordnet und $\Sigma \neq \emptyset$ wegen $\{0\} \in \Sigma$. Ist
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$T \subseteq \Sigma$ eine totalgeordnete Teilmenge, so ist $\bigcup_{I \in T} I$ eine obere
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Schranke, die in $\Sigma$ liegt.
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Es gilt nämlich $\forall x, y \in \bigcup_{I \in T} I: x \in I_1, y \in I_2$, oBdA:
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$I_1 \subseteq I_2 \implies x + y \in I_2 \to x + y \in \bigcup_{I\in T} I$. Analog bezüglich
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$\cdot$ und die Absorptionseigenschaft $rx \in \bigcup_{I\in T}I$ für $r \in R$ folgt ebenso.
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Überdies gilt: $\bigcup_{I\in T}I \neq R$, da $\forall I \in T: 1 \notin I$ und daher auch
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$1 \notin \bigcup_{I\in T} I$. Nach dem Lemma von Zorn \ref{zorn} enthält $\Sigma$ ein
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bezüglich $\subseteq$ maximales Element, dieses ist ein maximales Ideal von $R$.
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\end{proof}
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\begin{lemma}
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Sei $I \ideal R, \faktor RI$ der Quotientenring. Dann entsprechen die Ideale $\bar J$ von
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$\faktor RI$ bijektiv den Idealen $J$ von $R$, welche $I$ enthalten.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Sei $\Pi: R \to \faktor RI$ der kanonische Epimorphismus. Sei $\bar J \ideal \faktor RI$. Dann
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ist $\inv\Pi\left(\bar J\right) =: J \ideal R$ und $\inv\Pi\left(\bar J\right) \supseteq
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\inv\Pi\left(0_{\faktor R I}\right) = \ker(\Pi) = I$.
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Umgekehrt, sei $J \ideal R$ mit $J \supseteq I.\, \bar J := \Pi(J) \ideal \faktor RI$, da
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$\Pi$ surjektiv ist. Es gilt:
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\begin{align*}
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& \inv\Pi(\Pi(J)) = J \text{ wegen } \ker(\Pi) = I \subseteq J. \\
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& \Pi(\inv\Pi(\bar J)) = \bar J \text{ wegen } \Pi \text{ surjektiv.}
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\end{align*}
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\end{proof}
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\begin{korollar}
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Sei $I \ideal R$ ein echtes Ideal. Dann existiert ein maximales Ideal von $m$ von $R$, das
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$I$ enthält.
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\end{korollar}
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\begin{proof}
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Anwendung des Satzes \ref{maxideal} auf $\faktor RI$ liefert ein maximales Ideal $\bar m$ in
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$\faktor RI$. Dieses Ideal entspricht eindeutig einem Ideal $m$ von $R$, das $I$ enthält.
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Da die Bijektion von $\phi: \fun R {\faktor RI} r {r+I}$ induziert wird, ist sie
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inklusionserhaltend. $\implies m \ideal R$ ist maximal.
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\end{proof}
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\begin{warnung}
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Ich kann dieses Semester nicht so viel Zeit in meine Mitschrift investieren, wie ich das letztes
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Semester konnte. Es wird vermutlich passieren, dass ich irgendwann plötzlich und unvermittelt aufhöre, hier
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