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36
Algebra.tex
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@ -2616,13 +2616,13 @@ nach $S$. Neutrales Element: $\frac 01$, Eins: $\frac 11$
\[
\varphi_S:\fun R {\inv SR} r {\frac r1}
\]
Für $s \in S$ ist $\varphi_S(s) = \frac s1 \in (\inv SR)^*$ wegen $\frac s1
\cdot \frac 1s = \frac ss$. \\
$\varphi$ ist im Allgemeinen nicht injektiv.
\begin{align*}
\ker(\varphi) & = \left\{r\in R: \frac r1 = \frac 01 \right\} \\
& = \{r \in R: \exists u \in S: ru = u\}
& = \{r \in R: \exists u \in S: ru = 0\}
\end{align*}
Für $s \in S$ ist $\varphi_S(s) = \frac s1 \in (\inv SR)^*$ wegen $\frac s1 \cdot \frac 1s
= \frac ss$
\begin{bemerkung}
\begin{itemize}
@ -2640,7 +2640,7 @@ Für $s \in S$ ist $\varphi_S(s) = \frac s1 \in (\inv SR)^*$ wegen $\frac s1 \cd
S:= R \setminus \mathcal P
\]
$S$ ist multiplikativ abgeschlossen, da $\mathcal P$ prim.
$\inv{R\setminus \mathcal P}R =: R_{\mathcal P}$ heißt Lokalisierung von $R$ bei
$\inv{(R\setminus \mathcal P)}R =: R_{\mathcal P}$ heißt Lokalisierung von $R$ bei
$\mathcal P$.
$R_{\mc P}$ ist kommutativer Ring mit Eins mit genau einem maximalen Ideal
$m := \left\{\frac rs: r \in \mc P, s\in R \setminus \mc P\right\}$.
@ -2771,25 +2771,13 @@ multipliziert werden kann.
\leavevmode
\begin{enumerate}
\item
\begin{description}
\item{$\implies$:} $a$ sei irreduzibel $\implies$
\begin{align*}
& (a \neq 0, a \notin R^*, a = bc \land b
\notin R^* \implies c \in R^*) \\
\iff & ( (a) \neq (0), (a) \neq R, (a) = (bc) \land (b) \neq R \implies (c) = R ) \\
\implies & ( (a) \neq (0), (a) \neq R, (a) \subsetneqq (c) = R ) \\
\implies & (a) \text{ maximal in der Menge der Hauptideale von } R
\end{align*}
\item{$\impliedby$:} Sei $(a)\neq(0)$ maximal in der Menge aller Hauptideale von $R$
\begin{align*}
\implies & ((a) \neq (0), (a) \neq R \land (a) \ssq (b) \implies
(a) = (b) \lor (b) = R) \\
\iff & (a\neq 0, a \notin R^* \land b \mid a \implies a \sim b \lor b \in R^*) \\
\iff & (a \neq 0, a \notin R^* \land a = bc \implies a \sim b \lor b \in R^*) \\
\iff & (a \neq 0, a \notin R^* \land a = bc \implies c \in R^* \lor b \in R^*) \\
\iff & a\text{ ist irreduzibel.}
\end{align*}
\end{description}
\begin{align*}
a\text{ sei irreduzibel }\iff & (a \neq 0, a \notin R^*, a = bc \land b
\notin R^* \implies c \in R^*) \\
\iff & ( (a) \neq (0), (a) \neq R, (a) = (bc) \land (b) \neq R \implies (c) = R ) \\
\iff & ( (a) \neq (0), (a) \neq R, (a) \subsetneqq (c) = R ) \\
\iff & (a) \text{ maximal in der Menge der Hauptideale von } R
\end{align*}
\item Sei $p$ prim
\begin{align*}
\iff & p \notin R^*, p \neq 0 \land p \mid ab \implies p \mid a \lor p \mid b \\
@ -3163,7 +3151,7 @@ betrachte
liefert $f(X_1, \dots, X_d) = \sum_{(i_1, \dots, i_d)} a_{i_1, \dots, i_d}
X_1^{i_1} \cdot \dots \cdot X_d^{i_d}$
\[
\deg(f) := \sup\{i_1 + \dots + i_d: a_{i_1} \cdot \dots \cdot a_{i_d} \neq 0\} \text{ falls } f \neq 0.
\deg(f) := \sup\{i_1 + \dots + i_d: a_{i_1, \dots, i_d} \neq 0\} \text{ falls } f \neq 0.
\]
Setze: $\deg(0) = -\infty$.