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Algebra.tex

@@ -214,7 +214,7 @@ Kürzungsregel:
 \end{itemize}
 Gruppentafel: alle möglichen Verknüpfungen von je 2 Elementen aus $G$ bestimmt die Gruppe eindeutig \\
 Für $g \in G$ schreiben wir $g^2 := g \circ g, g^n := \underbrace{g \circ \cdots \circ g}_{n\text{ mal}}$
-und es gilt $g^m \circ g^n = g^{m+2}$ für $m, n \in \Z$ \\
+und es gilt $g^m \circ g^n = g^{m+n}$ für $m, n \in \Z$ \\
 Falls die Verknüpfung in einer abelschen Gruppe als $+$ geschrieben wird, so schreibt man
 $e = 0, g^n = n \cdot g, \inv g = -g$
 
@@ -339,7 +339,7 @@ $e = 0, g^n = n \cdot g, \inv g = -g$
 \end{korollar}
 \begin{proof}
 	$G = \hull g \implies \ord_G(g) = n \overset{2.}{\implies}\ord_G(g^{\frac nd}) = \frac n {\ggT(n, \frac nd)} = d$ \\
-	Umgekehrt, sei $H' \le G$ mit $\abs{H'} = d$. Nach Satz \ref{satz:zyklisch}: $H'$ ist zyklisch,
+	Umgekehrt, sei $H' \le G$ mit $\abs{H'} = d$. Nach Satz ~\ref{satz:zyklisch}: $H'$ ist zyklisch,
 	$H' = \hull{g^s}$ mit $s$ minimal, sodass $g^s \in H'$. Es ist $e = g^n \in H' \overset{1.}{\implies} s | n$ \\
 	$\abs{H'} = \ord(g^s) = \frac{n}{\ggT(n, s)} = \frac ns \implies d = \frac ns \implies s = \frac nd$
 \end{proof}
@@ -726,7 +726,7 @@ mit $N = \ker(\phi)$?
 		(gh)N$. Das Assoziativgesetz gilt, da es in $G$ gilt. Das neutrale Element von $\faktor GN$ ist $eN = N$.
 	Das inverse Element von $aN = \inv aN$.
 
-	Lagrange(\ref{satz:lagrange}) impliziert $[G:N] = \abs{\faktor GN} = \frac{\abs G}{\abs N}$.
+	Lagrange(~\ref{satz:lagrange}) impliziert $[G:N] = \abs{\faktor GN} = \frac{\abs G}{\abs N}$.
 \end{proof}
 
 $\phi: G \to H$ Homomorphismus $\implies \ker(\phi) \trianglelefteq G$ \\
@@ -769,9 +769,9 @@ $G$ abelsch $\implies$ Jeder Quotient ist abelsch.
 
 Der \underline{Homomorphiesatz} besteht aus 3 Teilen:
 \begin{itemize}
-	\item \ref{homomorphiesatz1}: $\ker\phi \trianglelefteq G$
-	\item \ref{homomorphiesatz2}: $N \trianglelefteq G \implies \exists H, \phi \in \Hom(G, H): N = \ker(\phi)$
-	\item \ref{homomorphiesatz3}: $\phi \in \Hom(G, H) \implies \faktor G{\ker(\phi)} \cong \phi(G)$
+	\item ~\ref{homomorphiesatz1}: $\ker\phi \trianglelefteq G$
+	\item ~\ref{homomorphiesatz2}: $N \trianglelefteq G \implies \exists H, \phi \in \Hom(G, H): N = \ker(\phi)$
+	\item ~\ref{homomorphiesatz3}: $\phi \in \Hom(G, H) \implies \faktor G{\ker(\phi)} \cong \phi(G)$
 \end{itemize}
 
 \begin{bsp}[Anwendung auf zyklische Gruppen]
@@ -930,7 +930,7 @@ $G = UV$ und jedes Element aus $G$ kann eindeutig $g = uv$ mit $u \in U, v \in V
 \end{satz}
 \begin{proof}
 	\begin{itemize}
-		\item[$\implies$:] 1. folgt aus der Definition, 2. aus Lemma \ref{produktlemma}.\\
+		\item[$\implies$:] 1. folgt aus der Definition, 2. aus Lemma ~\ref{produktlemma}.\\
 			3. Sei $x \in G_i \cap (G_1 \cdots G_{i-1} \cdot G_{i+1} \cdots G_k)$.
 			$x = e \cdots e x e \cdots e = a_1 \cdots a_{i-1} \cdot e \cdot a_{i+1} \cdots a_k$\\
 			$\overset{\mathclap{\substack{\text{wegen Eindeutigkeit}\\|}}}{\implies} x = e$
@@ -954,7 +954,7 @@ $G = UV$ und jedes Element aus $G$ kann eindeutig $g = uv$ mit $u \in U, v \in V
 				\implies & a_1 \inv b_1 a_2 \cdots a_k = \underbrace{b_1 \inv b_1}_e b_2 \cdots b_k          \\
 				         & a_1 \inv b_1 a_2 \inv b_2 \cdots a_k = \underbrace{b_2 \inv b_2}_e b_3 \cdots b_k \\
 				         & \underbrace{a_1 \inv b_1}_{\in G_1} \cdots \underbrace{a_k \inv b_k}_{G_k} = e
-				\implies a_1 \inv b_i = e \text{ wegen \ref{eq:1.5.3}} \implies a_i = b_1 \forall i
+				\implies a_1 \inv b_i = e \text{ wegen ~\ref{eq:1.5.3}} \implies a_i = b_1 \forall i
 			\end{align*}
 	\end{itemize}
 \end{proof}
@@ -968,7 +968,7 @@ $G = UV$ und jedes Element aus $G$ kann eindeutig $g = uv$ mit $u \in U, v \in V
 	\end{enumerate}
 \end{korollar}
 \begin{proof}
-	1., 3. klar. 2. folgt aus \ref{produktlemma}
+	1., 3. klar. 2. folgt aus ~\ref{produktlemma}
 \end{proof}
 
 \begin{korollar}
@@ -978,7 +978,7 @@ $G = UV$ und jedes Element aus $G$ kann eindeutig $g = uv$ mit $u \in U, v \in V
 	\]
 \end{korollar}
 \begin{proof}
-	Für $k = 2$ ist dies eine Folgerung aus dem 1. Isomorphiesatz \ref{isomorphiesatz1}. \\
+	Für $k = 2$ ist dies eine Folgerung aus dem 1. Isomorphiesatz ~\ref{isomorphiesatz1}. \\
 	$k > 2: G=(N_1 \cdots N_k)$. $N_{k+1}$ mit $(N_1 \cdots N_k) \cap N_{k+1} = \{ e \}$. Überdies gilt
 	$(N_1 \cdots N_k) \trianglelefteq G$, denn $a \cdot N_1 \cdots N_k = N_1 a N_2 \cdots N_k = \dots
 		= N_1 \cdots N_k \cdot a$, da jedes $N_i \trianglelefteq G$. \\
@@ -1059,7 +1059,7 @@ Gruppenstruktur definieren, die $G_1 \times \dots \times G_k$ zum äußeren Prod
 	\]
 \end{korollar}
 \begin{proof}
-	Direkte Folgerung aus Lemma \ref{dirprodlemma}
+	Direkte Folgerung aus Lemma ~\ref{dirprodlemma}
 \end{proof}
 
 \begin{satz}[Hauptsatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen]
@@ -1089,7 +1089,7 @@ Gruppenstruktur definieren, die $G_1 \times \dots \times G_k$ zum äußeren Prod
 
 \begin{satz}
 	Sei $G$ eine abelsche Gruppe mit $\abs G = n$, $d|n$. Dann existiert $H \le G$ mit $\abs H = d$.
-	(das heißt Folgerung aus Lagrange (\ref{satz:lagrange})hinsichtlich der Ordnung von Untergruppen ist für abelsche Gruppen
+	(das heißt Folgerung aus Lagrange (~\ref{satz:lagrange})hinsichtlich der Ordnung von Untergruppen ist für abelsche Gruppen
 	umkehrbar!)
 \end{satz}
 \begin{proof}
@@ -1364,7 +1364,7 @@ semidirektes Produkt von $N^*$ und $H^*$.
 	\]
 \end{korollar}
 \begin{proof}
-	Direkte Folgerung aus \ref{linksaktion}.
+	Direkte Folgerung aus ~\ref{linksaktion}.
 \end{proof}
 
 \begin{korollar}[Bahngleichung/Orbitzerlegungsformel]
@@ -1376,7 +1376,7 @@ semidirektes Produkt von $N^*$ und $H^*$.
 	durchläuft.
 \end{korollar}
 \begin{proof}
-	Direkte Folgerung aus \ref{linksaktion}
+	Direkte Folgerung aus ~\ref{linksaktion}
 \end{proof}
 Alternativ:
 \[
@@ -1434,7 +1434,7 @@ wobei $G_{s_i}$ die disjunkten Orbits der Länge $> 1$ durchläuft.
 	Sei $G$ eine $p$-Gruppe, dann ist $\abs G \equiv \abs{Z(G)} \mod p$ und $\abs{Z(G)} > 1$.
 \end{korollar}
 \begin{proof}
-	Sei $\alpha: G \times G \to G$ die Konjugation, nach Proposition \ref{sylowprop} gilt
+	Sei $\alpha: G \times G \to G$ die Konjugation, nach Proposition ~\ref{sylowprop} gilt
 	$\abs G \equiv \abs{Z(G)} \mod p$. Wegen $\abs G = p^r$ gilt $\abs{Z(G)} \equiv 0 \mod p$, daher folgt
 	$\abs{Z(G)} > 1$.
 \end{proof}
@@ -1443,7 +1443,7 @@ wobei $G_{s_i}$ die disjunkten Orbits der Länge $> 1$ durchläuft.
 	Jede Gruppe $G$ der Ordnung $p^2$ ist abelsch.
 \end{korollar}
 \begin{proof}
-	Es gilt nach Korollar \ref{sylowkorollar1}: $\abs{Z(G)} \in \{p, p^2\}$. Angenommen es gelte $\abs{Z(G)} = p$.
+	Es gilt nach Korollar ~\ref{sylowkorollar1}: $\abs{Z(G)} \in \{p, p^2\}$. Angenommen es gelte $\abs{Z(G)} = p$.
 	Wegen $Z(G) \trianglelefteq G$, können wir die Gruppe $\faktor G {Z(G)}$ bilden. $\abs{\faktor G {Z(G)}}
 		= p \implies \faktor G {Z(G)}$ ist zyklisch, das heißt $\exists x \in G$ mit $\faktor G {Z(G)} =
 		\hull{xZ(G)}$. Jedes $gZ(G)$ lässt sich als $(xZ(G))^r = x^rZ(G)$ schreiben (für geeignetes $r$).
@@ -1521,7 +1521,7 @@ wobei $G_{s_i}$ die disjunkten Orbits der Länge $> 1$ durchläuft.
 	Jede $p$-Untergruppe von $G$ ist in einer $p$-Sylow Untergruppe von $G$ enthalten.
 \end{korollar}
 \begin{proof}
-	Wähle im 2. Sylowsatz \ref{sylowsatz2} für $P$ die $p$-Untergruppe von $G$, für $Q$ eine $p$-Sylow
+	Wähle im 2. Sylowsatz ~\ref{sylowsatz2} für $P$ die $p$-Untergruppe von $G$, für $Q$ eine $p$-Sylow
 	Untergruppe von $G$. Bis auf den letzten Schritt folgt das gleiche, insbesondere $P \subseteq h Q \inv h$.
 	Da $Q$ schon $p$-Sylow Untergruppe ist, ist $h Q \inv h$ auch eine.
 \end{proof}
@@ -1530,7 +1530,7 @@ wobei $G_{s_i}$ die disjunkten Orbits der Länge $> 1$ durchläuft.
 	$\abs{\syl_p(G)} = 1 \iff$ die $p$-Sylow Untergruppe von $G$ ist Normalteiler.
 \end{korollar}
 \begin{proof}
-	Folgt unmittelbar aus dem 2. Sylowsatz \ref{sylowsatz2}.
+	Folgt unmittelbar aus dem 2. Sylowsatz ~\ref{sylowsatz2}.
 \end{proof}
 
 \begin{satz}[3. Sylowsatz] \label{sylowsatz3}
@@ -1543,7 +1543,7 @@ wobei $G_{s_i}$ die disjunkten Orbits der Länge $> 1$ durchläuft.
 	\leavevmode
 	\begin{enumerate}
 		\item Sei $P \in \syl_p(G)$. $G$ operiert auf $\syl_p(G)$ durch Konjugation, diese Aktion hat nur einen
-		      Orbit nach dem 2. Sylowsatz \ref{sylowsatz2}. Es folgt: $\syl_p(G) = GP$, insbesondere
+		      Orbit nach dem 2. Sylowsatz ~\ref{sylowsatz2}. Es folgt: $\syl_p(G) = GP$, insbesondere
 		      $\abs{\syl_p(G)} = \abs{GP}$.
 		      \begin{equation}
 			      \label{eq:1.8.11.1}
@@ -1555,12 +1555,12 @@ wobei $G_{s_i}$ die disjunkten Orbits der Länge $> 1$ durchläuft.
 			      \label{eq:1.8.11.2}
 		      \end{equation}
 		      Kombiniert man die beiden
-		      Aussagen (\ref{eq:1.8.11.1}, \ref{eq:1.8.11.2}), folgt
+		      Aussagen (~\ref{eq:1.8.11.1}, ~\ref{eq:1.8.11.2}), folgt
 		      $\abs{\syl_p(P)} | \underbrace{\abs{\faktor GP}}_m$
 		\item Durch Einschränkung dieser Aktion auf $P$ erhalten wir eine Aktion von $P$ auf $\syl_p(G)$.
 		      Behauptung: $P$ ist der einzige Fixpunkt dieser Aktion. Sei $Q$ ein Fixpunkt der Aktion, das heißt
 		      $g Q \inv g = Q \forall g \in P$. Das bedeutet: $P \subseteq N_G(Q)$. Wir wenden nun den
-		      2. Sylowsatz \ref{sylowsatz2} in $N_G(Q)$ an auf die $p$-Sylow Untergruppen $P$ und $Q$ von
+		      2. Sylowsatz ~\ref{sylowsatz2} in $N_G(Q)$ an auf die $p$-Sylow Untergruppen $P$ und $Q$ von
 		      $N_G(Q): \exists g \in N_G(Q): Q = g Q \inv g = P$.
 
 		      Daher gilt:
@@ -1658,7 +1658,7 @@ wobei $G_{s_i}$ die disjunkten Orbits der Länge $> 1$ durchläuft.
 	einen Gruppenhomomorphismus $\fun {G} {\mathcal S_{\syl_3(G)}} {g} {\tau_g: S \mapsto g S \inv g}$.
 	Wegen $\abs G = 36$ und $\abs{\mathcal S_{\syl_3(G)}} = 24$ ist $\tau$ nicht injektiv. Folglich gilt
 	$\ker(\tau) \neq \{e \}$. Weiters gilt $\ker(\tau) \neq G$. Wäre $\ker(\tau) = G$, so folgte
-	$g S \inv g = S \forall g \in G$ was einen Widerspruch zum 2. Sylowsatz \ref{sylowsatz2} ergäbe.
+	$g S \inv g = S \forall g \in G$ was einen Widerspruch zum 2. Sylowsatz ~\ref{sylowsatz2} ergäbe.
 	Somit ist $\ker(\tau)$ ein echter Normalteiler von $G$.
 \end{proof}
 
@@ -1670,7 +1670,7 @@ wobei $G_{s_i}$ die disjunkten Orbits der Länge $> 1$ durchläuft.
 	\begin{description}
 		\item[1. Fall:] $5 | \abs U$. Dann enthält $U$ eine Untergruppe der Ordnung 5, also eine 5-Sylow Untergruppe von
 			$\mathcal A_5$, zum Beispiel $\hull \sigma$, wobei $\sigma$ ein 5-Zyklus ist. Nach dem 2. Sylowsatz
-			\ref{sylowsatz2} ist jede andere 5-Sylow Untergruppe zu $\sigma$ konjugiert. Daher wegen
+			~\ref{sylowsatz2} ist jede andere 5-Sylow Untergruppe zu $\sigma$ konjugiert. Daher wegen
 			$U \trianglelefteq \mathcal A_5$ in $U$ enthalten, sodass $U$ alle 5-Zyklen enthält. Davon gibt es 24.
 			Es folgt: $\abs U = 30$.
 
@@ -1854,7 +1854,7 @@ Ringhomomorphismus. Es ist $\ker(\chi) = \{0\}$ oder $d\Z$ für ein $d \in \N\se
 Dieses $d$ heißt die Charakteristik ($\Char(R)$) von $R$. $\Char(R) = 0 \iff \chi$ injektiv.
 Falls $\Char(R) \neq 0$ so ist $\Char(R)=d$ die kleinste natürliche Zahl für die $d\cdot 1_r = 0$.
 Wegen $\im(\chi) \le R$ folgt, dass jeder Ring einen Teilring $\Primes(R)$, den Primring von $R$ enthält,
-der isomorph zu \Z\ bzw $\faktor \Z{d\Z}$ ist.
+der isomorph zu \Z\ bzw. $\faktor \Z{d\Z}$ ist.
 
 Für Integritätsbereiche $R$ gilt sogar: $\Char(R) = 0$ oder $\Char(R) = p$, prim (Übung 46).
 Falls $R$ ein Integritätsbereich mit $\Char(R) = p$, dann gilt:
@@ -2019,18 +2019,18 @@ $\faktor{(R,+)}{(I,+)}$ ist also eine abelsche Gruppe. Wir definieren nun eine R
 
 	$\phi$ ist Homomorphismus:
 	\begin{description}
-		\item[$+$] wurde schon in \ref{isomorphiesatz2} gezeigt
+		\item[$+$] wurde schon in ~\ref{isomorphiesatz2} gezeigt
 		\item[$\cdot$] $\phi((r + I) (s + I)) = \phi(rs + I) = rs + J = (r + J)(s + J) =
 				\phi(r + I)\phi(s + I)$
 	\end{description}
 	und surjektiv. $\ker(\phi) = \{r + I \in \faktor R I: \phi(r + I) = J \} =
 		\{ r+ I \in \faktor R I: r \in J\} = \faktor J I$.
-	Mithilfe des Homomorphiesatzes \ref{Ringhomomorphiesatz} folgt die Behauptung.
+	Mithilfe des Homomorphiesatzes ~\ref{Ringhomomorphiesatz} folgt die Behauptung.
 \end{proof}
 
 \begin{bsp}
 	Für $d | n$ gilt $n\Z \le d\Z$, beides Ideale in $\Z$. Aus dem
-	2. Isomorphiesatz \ref{ringisomorphiesatz2} folgt somit:
+	2. Isomorphiesatz ~\ref{ringisomorphiesatz2} folgt somit:
 	$\faktor {\faktor \Z {n\Z}} {\faktor {d\Z} {n\Z}}
 		\underset{\substack{| \\ \text{als Ringe!}}}{\cong} \faktor \Z {d\Z}$. \\
 	ACHTUNG: Gruppentheorie: es gilt sogar
@@ -2235,7 +2235,7 @@ In diesem Abschnitt bezeichnet $R$ stets einen kommutativen Ring mit Eins.
 	$\cdot$ und die Absorptionseigenschaft $rx \in \bigcup_{I\in T}I$ für $r \in R$ folgt ebenso.
 
 	Überdies gilt: $\bigcup_{I\in T}I \neq R$, da $\forall I \in T: 1 \notin I$ und daher auch
-	$1 \notin \bigcup_{I\in T} I$. Nach dem Lemma von Zorn \ref{zorn} enthält $\Sigma$ ein
+	$1 \notin \bigcup_{I\in T} I$. Nach dem Lemma von Zorn ~\ref{zorn} enthält $\Sigma$ ein
 	bezüglich $\subseteq$ maximales Element, dieses ist ein maximales Ideal von $R$.
 \end{proof}
 
@@ -2261,7 +2261,7 @@ In diesem Abschnitt bezeichnet $R$ stets einen kommutativen Ring mit Eins.
 	$I$ enthält.
 \end{korollar}
 \begin{proof}
-	Anwendung des Satzes \ref{maxideal} auf $\faktor RI$ liefert ein maximales Ideal $\bar m$ in
+	Anwendung des Satzes ~\ref{maxideal} auf $\faktor RI$ liefert ein maximales Ideal $\bar m$ in
 	$\faktor RI$. Dieses Ideal entspricht eindeutig einem Ideal $m$ von $R$, das $I$ enthält.
 	Da die Bijektion von $\phi: \fun R {\faktor RI} r {r+I}$ induziert wird, ist sie
 	inklusionserhaltend. $\implies m \ideal R$ ist maximal.
@@ -2370,7 +2370,7 @@ verträglich ist, also
 		\phi: \fun R {\faktor R {I_1} \times \cdots \times \faktor R {I_n}} x {(x \pmod {I_1}, \dots, x \pmod {I_n})}.
 	\]
 	$\phi$ ist Ringhomomorphismus, da $\equiv_{I_i}$ eine Kongruenzrelation ist. Nach dem
-	Chinesischen Restsatz \ref{chinrest} ist $\phi$ surjektiv.
+	Chinesischen Restsatz~\ref{chinrest} ist $\phi$ surjektiv.
 	\[
 		\ker(\phi) = \{x\in R | x \equiv 0 \pmod {I_i}, i = 1, \dots, n\} = I_1 \cap \dots \cap I_n
 	\]