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TeX
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TeX
\documentclass[12pt, a4paper]{report}
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\usepackage[mark]{gitinfo2}
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\renewcommand{\gitMark}{\gitBranch\,@\,\gitAbbrevHash{}\textbullet{}\gitAuthorName\,(\gitAuthorEmail)\,@\,\gitAuthorDate}
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\PassOptionsToPackage{dvipsnames}{xcolor}
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\geometry{a4paper, top=35mm, left=25mm, right=25mm, bottom=30mm}
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\pgfplotsset{compat=1.17}
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\title{Algebra}
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\date{Wintersemester 2022}
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\author{Leonhard Summerer \\ \small \LaTeX-Satz: Anton Mosich}
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\newcounter{textbox}
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\def\tl{\stepcounter{textbox}\tikzmarknode{a\thetextbox}{\strut}}
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\def\br{\tikzmarknode{b\thetextbox}{\strut}
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\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
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\draw ($(a\thetextbox.north west)+(-0.4\arraycolsep,0ex)$) rectangle
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($(b\thetextbox.south east)+(0.2\arraycolsep,0ex)$);
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\end{tikzpicture}
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}
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% https://tex.stackexchange.com/questions/481978/how-to-write-the-block-matrix-in-latex
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\newcommand\R{\ensuremath{\mathbb{R}}}
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\newcommand\C{\ensuremath{\mathbb{C}}}
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\newcommand\Primes{\ensuremath{\mathbb{P}}}
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\newcommand\K{\ensuremath{\mathbb{K}}}
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\newcommand\Z{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
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\newcommand\N{\ensuremath{\mathbb{N}}}
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\newcommand\Q{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
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\newcommand\mapsfrom{\rotatebox{180}{$\mapsto$}}
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\newcommand\ssq{\subseteq}
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\newcommand\eps{\varepsilon}
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\theoremsymbol{\ensuremath{\square}}
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\theorembodyfont{\normalfont}
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\theoremheaderfont{\normalfont\it}
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\qedsymbol{\Lightning}
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\theoremseparator{.}
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\newtheorem*{proof}{Beweis}
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\definecolor{pastellblau}{HTML}{5BCFFA}
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\definecolor{pastellrosa}{HTML}{F5ABB9}
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\definecolor{weiss}{HTML}{FFFFFF}
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\theoremstyle{break}
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\theoremseparator{:\smallskip}
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\theoremindent=1em
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\theoremheaderfont{\kern-1em\normalfont\bfseries}
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\theoremsymbol{}
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\newtcbox{\theoremBox}{colback=pastellrosa!17,colframe=pastellrosa!87,boxsep=0pt,left=7pt,right=7pt,top=7pt,bottom=7pt}
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\def\theoremframecommand{\theoremBox}
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\newshadedtheorem{theo}{Theorem}[section]
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\newshadedtheorem{satz}[theo]{Satz}
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\newcommand{\satzautorefname}{Satz}
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\theoremstyle{nonumberbreak}
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\newshadedtheorem{nonumbersatz}{Satz}
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\theoremstyle{break}
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\newshadedtheorem{lemma}[theo]{Lemma}
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\newcommand{\lemmaautorefname}{Lemma}
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\newshadedtheorem{korollar}[theo]{Korollar}
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\newcommand{\korollarautorefname}{Korollar}
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\newshadedtheorem{folgerung}[theo]{Folgerung}
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\newcommand{\folgerungautorefname}{Folgerung}
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\newshadedtheorem{proposition}[theo]{Proposition}
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\newcommand{\propositionautorefname}{Proposition}
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\newtcbox{\definBox}{colback=pastellblau!17,colframe=pastellblau!94,boxsep=0pt,left=7pt,right=7pt,top=7pt,bottom=7pt}
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\def\theoremframecommand{\definBox}
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\def\theoremframecommand{\miscBox}
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\newshadedtheorem{bemerkung}[theo]{Bemerkung}
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\newcommand{\bemerkungautorefname}{Bemerkung}
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\newshadedtheorem{bsp}[theo]{Beispiel}
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\def\theoremframecommand{\warnBox}
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\theoremstyle{nonumberbreak}
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\newshadedtheorem{warnung}{Warnung}
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\DeclareMathOperator{\ord}{ord}
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\DeclareMathOperator{\ggT}{ggT}
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\DeclareMathOperator{\kgV}{kgV}
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\DeclareMathOperator*{\bigcdot}{\bullet}
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\newcommand\hull[1]{\left\langle #1 \right\rangle}
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\newcommand\norm[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
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\newcommand\ontop[2]{\genfrac{}{}{0pt}{0}{#1}{#2}}
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\newcommand\abs[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
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\newcommand\real{\mathfrak{Re}}
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\newcommand\inv[1]{#1^{-1}}
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\newcommand\fun[4]{
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\begin{aligned}{#1} & \to {#2} \\ {#3} & \mapsto {#4}
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\end{aligned}
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}
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\newcommand\mc\mathcal
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\newcommand\nt\trianglelefteq
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\newcommand\ideal\triangleleft
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\newcommand\einheit[1]{\left( #1 \right)^*}
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\newcommand\rk[1]{\faktor \Z {#1 \Z}}
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\crefname{kongruenz}{Kongruenz}{Kongruenz}
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\newif\ifhideproofs
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%\hideproofstrue
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\ifhideproofs
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\usepackage{environ}
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\NewEnviron{hide}{}
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\let\proof\hide
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\let\endproof\endhide
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\fi
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\begin{document}
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\tikzset{%
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-||-/.style={decoration={markings,
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|
mark=at position 0.5 with {\draw[thick, -] (-.2,-.2) -- (0, .2);\draw[thick, -] (0, -.2) -- (.2, .2);}},
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|
postaction={decorate}},
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}
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\begin{titlepage}
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\begin{tikzpicture}[remember picture, overlay]
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% Trans pride flag
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\foreach[count=\i] \col in {pastellblau,pastellrosa,weiss,pastellrosa,pastellblau}
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\node (back names) [shape=rectangle,
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fill=\col,
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minimum width=\paperwidth / 5,
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anchor=south west,
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minimum height=\paperheight] at ([xshift=(\i - 1)*(\paperwidth / 5)]current page.south west) {};
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% % Title, Author & Date
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\node at ([yshift = -.45\paperheight]current page.north) {\Huge{ \textbf{Algebra} }};
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\node at ([yshift = -.52\paperheight]current page.north) {\Large{Leonhard Summerer}};
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|
\node at ([yshift = -.55\paperheight]current page.north) {\large{\LaTeX-Satz: Anton Mosich}};
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\node at ([yshift = -.60\paperheight]current page.north) {\large{Wintersemester 2022}};
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\end{tikzpicture}
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\end{titlepage}
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\tableofcontents
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\chapter{Gruppen}
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\section{Grundlagen}
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$M_1, M_2, M_1 \times M_2, \dots$ Mengen \\
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Relationen auf $M$ ($a \mathfrak{R} b$ für $a,b\in M$) \\
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$f: \fun{M_1}{M_2} a b$
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Operationen:
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\begin{itemize}
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\item $f: M\times \cdots \times M \to M$ innere Operation
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\item $g: \fun {\Omega \times M \times \cdots \times M}M{(\omega_1, a_2, \dots, a_k)}{g(\omega_1, a_2, \dots, a_k)}$ äußere Operation
|
|
\item 0-äre Operation: zeichnet ein Element aus $M$ aus
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|
\item unäre Operation: $f: M\to M$ (Bsp.: $M=\Z: x\mapsto -x$)
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|
\item binäre Operation: $f: M\times M \to M$ (Bsp.: $M=V$, mit $V$
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|
Vektorraum über \K$: (v_1, v_2) \mapsto v_1 + v_2$)
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|
\end{itemize}
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|
Algebra: Untersuchung von Mengen auf denen eine oder mehrere
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|
Operationen erklärt sind.
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\begin{defin}
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Sei $G \neq \emptyset$ zusammen mit einer inneren, binären Operation $\circ$ heißt Gruppe $(G, \circ)$, falls:
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\begin{enumerate}[label=$G_\arabic*$:]
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|
\item $\forall a, b, c \in G: (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$ Assoziativität
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|
\item $\exists e \in G: \forall a \in G: a \circ e= e \circ a = a$ neutrales Element
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|
\item $\forall a \in G: \exists \inv a \in G: a \circ \inv a = \inv a \circ a = e$ inverses Element
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|
\end{enumerate}
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|
Gilt zusätzlich
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\begin{itemize}
|
|
\item[$G_4$:] $\forall a, b \in G: a \circ b = b \circ a$,
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|
\end{itemize}
|
|
so heißt $(G, \circ)$ abelsch oder kommutativ.
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|
\end{defin}
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|
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|
\begin{bemerkung}
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\begin{itemize}
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|
\item In einer Gruppe ist das neutrale Element stets eindeutig
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|
bestimmt. Angenommen $e, e'$ seien neutral: $e = e \circ e' = e'
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|
\circ e = e'$
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\item In einer Gruppe ist das inverse Element zu einem Element $a$
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|
stets eindeutig bestimmt. Sei $
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\begin{cases}
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a \circ b = b \circ a = e \\
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|
a \circ c = c \circ a = e
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\end{cases}
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|
.
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|
c = c\circ e = c \circ (a \circ b) = (c \circ a) \circ = e \circ b = b$
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|
\item In $G_2, G_3$ könnte man auf $
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\begin{cases}
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e \circ a = a \\
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b \circ a = e
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|
\end{cases}
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|
$ reduzieren und
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$a \circ e = a, a \circ b = e$ folgern $(b = \inv a)$ \\
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|
Sei $b \circ a = e, c\circ b = e$
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|
\begin{align*}
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|
& a = e \circ a = (c \circ b) \circ a = c \circ (b \circ a) = c \circ e \\
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|
& a\circ e = (c \circ e) \circ e = c \circ e = c \circ (b \circ a) = (c \circ b) \circ a = e \circ a \\
|
|
& a \circ b = e \circ a \circ b = (c \circ b) \circ (a \circ b) = c \circ ((b\circ a) \circ b) =
|
|
c \circ (e \circ b) = c \circ b = e
|
|
\end{align*}
|
|
\item $(G, \circ)$ mit nur $G_1$ heißt Halbgruppe.
|
|
\item $(G, \circ)$ mit nur $G_1, G_2$ heißt Monoid (Bsp.: $(\N, +)$ ist ein kommutativer Monoid).
|
|
\end{itemize}
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|
\end{bemerkung}
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|
\subsubsection{Rechenregeln}
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Kürzungsregel:
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\begin{itemize}
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|
\item $a \circ b = a \circ c \implies b = c, b \circ a = c \circ a \implies b = c$
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|
\item $\inv{(\inv a)} = a$
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|
\item $(a \circ b)^{-1} = \inv b \circ \inv a$
|
|
\end{itemize}
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|
Gruppentafel: alle möglichen Verknüpfungen von je 2 Elementen aus $G$ bestimmt die Gruppe eindeutig \\
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|
Für $g \in G$ schreiben wir $g^2 := g \circ g, g^n := \underbrace{g \circ \cdots \circ g}_{n\text{ mal}}$
|
|
und es gilt $g^m \circ g^n = g^{m+n}$ für $m, n \in \Z$ \\
|
|
Falls die Verknüpfung in einer abelschen Gruppe als $+$ geschrieben wird, so schreibt man
|
|
$e = 0, g^n = n \cdot g, \inv g = -g$
|
|
|
|
\begin{defin}
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|
Sei $(G, \circ)$ eine Gruppe, $g \in G$.
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|
\begin{itemize}
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|
\item $\abs G =: \ord(G), \ord_G(g) := \min\{ n>0: g^n = e\}$ (kann auch $\infty$ sein)
|
|
\item $\exp(G) := \min\{n>0: \forall g \in g: g^n = e\}$
|
|
\item $Z(G) := \{h \in G: g \circ h = h \circ g \forall g \in G\}$ Zentrum von $G$
|
|
\item $Z_g(G) := \{h \in G: g \circ h = h \circ g\}$ Zentralisation von $g$ in $G$
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
\begin{bsp}
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|
\begin{itemize}
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|
\item $(\Z, +), (\Q, +), (\R, +), (\C, +)$
|
|
\item $(\Q \setminus \{0\}, \cdot), (\R \setminus \{0\}, \cdot), (\C\setminus \{0\}, \cdot)$
|
|
\item $(\Z_n, +)$
|
|
\item Sei $\mathcal S_M := \{f: M \to M: f \text{ bijektiv}\}$
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|
(Symmetrische Gruppe der Menge $M$) bildet eine Gruppe bezüglich
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|
der Verknüpfung von Abbildungen $\circ$. Ist $M=\{1, \dots, n\}$
|
|
so schreiben wir $\mathcal S_n$. Es gilt $\abs{\mathcal S_n} =
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|
n!$
|
|
\item Sei $M$ eine Menge, $G$ eine Gruppe. $\operatorfont{Abb}(M, G) :=
|
|
\{f: M \to G\}$ \\ $(f_1\cdot f_2)(m) := f_1(m)\cdot f_2(m)$
|
|
\item Sei \K\ Körper, $M_n(\K): n \times n$ Matrizen über \K.\\
|
|
$\GL_n(\K): \{A \in M_n(\K): \det(A) \neq 0\}$ allgemeine lineare
|
|
Gruppe.
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|
\end{itemize}
|
|
\end{bsp}
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|
\section{Untergruppen, Erzeuger und zyklische Gruppen}
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|
\begin{defin}
|
|
$\emptyset \neq H \subseteq G$ heißt Untergruppe $(H, \circ)$ von $(G, \circ)$ falls $(H, \circ)$
|
|
selbst die Eigenschaften $G_1-G_3$ erfüllt. Wir schreiben dann $(H, \circ) \le (G, \circ)$ beziehungsweise
|
|
$H \le G$. Insbesondere muss $\circ$ eine innere Operation auf $H$ definieren,
|
|
$e \in H$ und mit $a \in H$ auch $\inv a \in H$
|
|
\end{defin}
|
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|
|
\begin{lemma}
|
|
$H \le G \iff H \neq \emptyset \land \forall a, b \in H: a \inv b \in H$
|
|
\end{lemma}
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|
\begin{proof}
|
|
$H \neq \emptyset \implies \exists h \in H \implies h \inv h = e \in H$ \\
|
|
Seien $\underbrace{a}_{=e}, b \in H$. Dann gilt: $e \inv b \in H$, das heißt $\inv b \in H$.
|
|
Wegen $\inv b \in H$ folgt $a (\inv b)^{-1} = ab \in H \implies ab \in H$. Die Umkehrung ist klar.
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{bemerkung}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Für jede Gruppe $G : \{e\}, G$ sind stets Untergruppen von $G$.
|
|
Alle anderen Untergruppen von $G$ heißen echte Untergruppen.
|
|
\item Für zwei Untergruppen $H_1, H_2$ von $G$ ist auch $H_1 \cap H_2$
|
|
eine Untergruppe. Allgemeiner: sind $(H_i)_{i\in I}$ Untergruppen
|
|
von $G$, so ist $\bigcap_{i\in I} H_i$ eine Untergruppe von $G$.
|
|
\item Für $g \in G$ ist $\hull g := \{ g^n: n\in \Z\}$ die von $g$
|
|
erzeugte Untergruppe von $G$. $\ord_G(g) = \abs{\hull g}$
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
\begin{defin}
|
|
Sei $\emptyset \neq S \subseteq G$. Dann heißt $\bigcap\limits_{\substack{H\le G\\S\subseteq H}}H$ die
|
|
von $S$ erzeugte Untergruppe in $G: \hull S$. $\hull S$ ist die kleinste Untergruppe, die $S$ enthält.
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
\begin{proposition}
|
|
\[
|
|
\hull S = \{ s_1 \circ \cdots \circ s_n: s_i \in S \cup \inv S, n \in \N \} (=:\bar S)
|
|
\]
|
|
\end{proposition}
|
|
\begin{proof}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $S \subseteq \bar S$ \checkmark
|
|
\item $\bar S \subseteq \hull S$ (da $\hull S$ eine Untergruppe von G ist, die $S$ enthält)
|
|
\item Behauptung: $\bar S \le G$: Seien $a, b \in \bar S$. OBdA $a =
|
|
s_1 \circ \cdots \circ s_n, t_1 \circ \cdots \circ t_m$ (mit
|
|
$s_i, t_j \in S \cup \inv S$) \\ $a \circ \inv b = s_1 \circ
|
|
\cdots \circ s_n \circ \inv t_m \circ \cdots \circ \inv t_1 \in
|
|
\bar S$ \\ $\bar S \subseteq \hull S \implies \hull S \subseteq
|
|
\bar S$
|
|
\end{itemize}
|
|
Alles in Allem: $\hull S = \bar S$
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{defin}
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|
\begin{itemize}
|
|
\item $G$ heißt endlich erzeugt, falls $\exists S \subseteq G$ mit $\abs S < \infty$ und $\hull S = G$.
|
|
\item $G$ heißt zyklisch, falls $\exists g \in G: \hull g = G$
|
|
\item Jede endliche Gruppe ist endlich erzeugt.
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $(\Z, +)$ ist von 1 erzeugt, also zyklisch.
|
|
\item $(\R, +)$ ist nicht endlich erzeugt, da überabzählbar
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
\begin{satz}
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|
\label{satz:zyklisch}
|
|
Sei $G$ eine zyklische Gruppe, $H \le G$. Dann ist $H$ zyklisch.
|
|
\end{satz}
|
|
\begin{proof}
|
|
Sei $G = \hull g$. $H \le G \implies H \neq \emptyset$. Falls $H = \{e\}$, so ist $H$ zyklisch. \checkmark \\
|
|
Falls $H \neq \{e\}$, so enthält $H$ mindestens ein weiteres Element $u$. \\
|
|
$u = g^s$ mit $s \in \Z$ (oBdA sogar $s \in \N$, sonst $u \to \inv u$). Wir wählen nun unter allen
|
|
$u = g^s$ mit $s \in \N \setminus \{0\}$ eines mit $s$ minimal. \\
|
|
Behauptung: $H = \hull u = \hull{g^s}$ \\
|
|
$\hull{g^s} \subseteq H$, weil $H \le G$ die $g^s$ enthält. Sei $h \in H$ beliebig. $h \in G \implies
|
|
\exists m \in \Z: h = g^m$. Es ist $m = l \cdot s + r$ mit $0 \le r < s$. $h = g^m = g^{ls+r} \in H$
|
|
$\implies \underbrace{g^{-ls}}_{\in H} \cdot g^{ls+r} = g^r \in H$. Weil $s$ minimal gewählt wurde gilt
|
|
$r = 0$, das heißt $h = g^{ls} \in \hull{g^s}$
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{proposition}
|
|
Sei $G$ eine endliche Gruppe, $g \in G$ mit $\ord_G(g)=k$. Dann gilt:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $g^n = e \iff k \mid n$
|
|
\item $\ord_G (g^t) = \frac{k}{\ggT(k, t)}$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{proposition}
|
|
\begin{proof}
|
|
In der Übung
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{korollar}
|
|
Ist $\hull g = G$ eine endliche, zyklische Gruppe, so gibt es zu jeden Teiler $d$ von $n := \ord(G)$ genau
|
|
eine Untergruppe der Ordnung $d: H = \hull{g^{\frac nd}}$
|
|
\end{korollar}
|
|
\begin{proof}
|
|
$G = \hull g \implies \ord_G(g) = n \overset{2.}{\implies}\ord_G(g^{\frac nd}) = \frac n {\ggT(n, \frac nd)} = d$ \\
|
|
Umgekehrt, sei $H' \le G$ mit $\abs{H'} = d$. Nach \cref{satz:zyklisch}: $H'$ ist zyklisch,
|
|
$H' = \hull{g^s}$ mit $s$ minimal, sodass $g^s \in H'$. Es ist $e = g^n \in H' \overset{1.}{\implies} s \mid n$ \\
|
|
$\abs{H'} = \ord(g^s) = \frac{n}{\ggT(n, s)} = \frac ns \implies d = \frac ns \implies s = \frac nd$
|
|
\end{proof}
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|
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\begin{proposition}
|
|
Sei $G$ eine endliche, abelsche Gruppe, $a, b \in G$ mit $\ord_G(a) = r, \ord_G(b)=s$ mit
|
|
$\underbrace{(r, s)}_{\rlap{\scriptsize{Notation für $\ggT(r,s)$}}} = 1$. Dann gilt $\ord_G(ab)=rs$.
|
|
\end{proposition}
|
|
\begin{proof}
|
|
$a^r = e, b^s = e \implies a^{rs} = e, b^{rs} = e \overset{\text{abelsch}}{\implies} (ab)^{rs} = e
|
|
\implies \ord_G(ab) \mid rs$ \\
|
|
Angenommen: $\ord_G(ab) < rs$. Dann $\exists p \in \Primes: (ab)^{\frac{rs}p} = e$. \\
|
|
Sei oBdA $p\mid r (\implies p \nmid s, \text{ weil }(r, s) = 1)$
|
|
\[
|
|
(ab)^{\frac{rs}p} = a^{\frac{rs}p} \cdot b^{\frac{rs}p} = (a^s)^{\frac rp} \cdot
|
|
{\underbrace{(b^s)}_{=e}}^{\frac{r}p} = (a^s)^{\frac{r}p} = e
|
|
\]
|
|
Die Ordnung von $a$ und daher von $a^s$ ist aber $r$ und daher sicher $>
|
|
\frac rp$. \qed
|
|
\end{proof}
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|
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|
Für $p \in \Primes$ bezeichnet $\nu_p(n)$ die Vielfachheit
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von $p$ in $n$.
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|
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\begin{lemma}
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|
Sei $G$ endliche abelsche Gruppe. Dann gilt:
|
|
\[
|
|
\forall g \in G: \ord_G(g) \mid \max_{h\in G} \{\ord_G(h)\}
|
|
\]
|
|
\end{lemma}
|
|
\begin{proof}
|
|
Sei $a \in G$ mit $\max\limits_{h\in G} \{\ord_G(h)\} =: m$. \\
|
|
Angenommen: $\exists b \in G$ mit $=: \ord_G(b) \nmid m \implies
|
|
\exists p \in \Primes$ mit $\underbrace{\nu_p(n)}_{=:e'} > \underbrace{\nu_p(m)}_{=:e}$ \\
|
|
Betrachte die Elemente $a^{p^e}$ und $b^{\frac{n}{p^{e'}}}$.
|
|
\[
|
|
\ord_G\left(a^{p^e}\right) = \frac{m}{p^e}, \ord_G\left(b^{\frac{n}{p^{e'}}}\right) = p^{e'}
|
|
\]
|
|
Dann ist $\ggT\left(a^{p^e}, b^{\frac{n}{p^{e'}}}\right) = 1 \implies
|
|
\ord_g\left(a^{p^e} \cdot b^{\frac{n}{p^{e'}}}\right) = \frac{m}{p^e} \cdot
|
|
p^{e'} = m \cdot p^{\overbrace{\scriptstyle{(e'-e)}}^{\ge 1}} > m$ \qed
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
Sei \K\ ein Körper.
|
|
Jede endliche Untergruppe $G$ von $(\K \setminus \{0\}, \cdot)$ ist zyklisch.
|
|
\end{satz}
|
|
\begin{proof}
|
|
$m := \max_{g\in G} \{ \ord_G(g) \} = \kgV \{\ord_G(g): g \in G \}$ \\
|
|
$\implies$ alle $g \in G$ sind Nullstellen des Polynoms $x^m -1\in \K[x]$.
|
|
Ist $a \in G$ mit $\ord_G(a) = m$, so sind $a^0, a^1, \dots, a^{m-1}$ paarweise verschiedene Nullstellen
|
|
dieses Polynoms. \\
|
|
$\implies a^0, \dots a^{m-1}$ sind alle Nullstellen von $x^m - 1$ (weil Polynom vom Grad $m$ nur $m$ Nullstellen
|
|
haben kann) und es gilt $G = \hull a$
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{bsp}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $\K = \C, \mathbb{E}_n := \{x \in \C: x^n = 1\}$
|
|
\item $\K = \Z_p, p \in \Primes, \Z_p^* := \{\bar a \in \Z_p: \bar a \neq \bar 0 \}$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{bsp}
|
|
|
|
\section{Gruppenhomomorphismen}
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|
|
\begin{defin}
|
|
Seien $(G, \circ)$ und $(H, \square)$ Gruppen.
|
|
$\phi: G \to H$ heißt Gruppenhomomorphismus falls:
|
|
\[
|
|
\forall a, b \in G: \phi(a \circ b) = \phi(a) \square \phi(b)
|
|
\]
|
|
$\ker(\phi) := \{ g \in G: \phi(g) = e_H \}$ \\
|
|
$\im(\phi) := \{ h \in H: \exists g \in G: \phi(g) = h \}$
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
\begin{lemma}
|
|
$\phi: G \to H$ sei Gruppenhomomorphismus. Dann gilt:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $\phi(e_G) = e_H$
|
|
\item $\phi(\inv a) = \inv{\phi(a)}$
|
|
\item $\ker(\phi) \le G, \im(\phi) \le H$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{lemma}
|
|
\begin{proof}
|
|
\leavevmode
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \[
|
|
\begin{cases}
|
|
\phi(e_G) = \phi(e_G \cdot e_G) = \phi(e_G) \cdot \phi(e_G) \\
|
|
\phi(e_G) = \phi(e_G) \cdot e_H
|
|
\end{cases}
|
|
\implies e_H = \phi(e_G)
|
|
\]
|
|
\item \[
|
|
\begin{cases}
|
|
e_H = \phi(e_G) = \phi(a \inv a) = \phi(a) \cdot \phi(\inv a) \\
|
|
e_H = \phi(a) \cdot \inv{\phi(a)}
|
|
\end{cases}
|
|
\implies \phi(\inv a) = \inv{\phi(a)}
|
|
\]
|
|
\item
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $\phi(g) = \phi(g') = e_H \implies \phi(gg') = \phi(g) \cdot \phi(g') = e_H$ \\
|
|
$\phi(\inv g) = \inv{\phi(g)} = e_H$
|
|
\item $h_1, h_2 \in \im(\phi)$. Seien $g_1, g_2 \in G$ mit $\phi(g_1) = h_1, \phi(g_2) = h_2$. \\
|
|
$\phi(g_1 g_2) = \phi(g_1) \cdot \phi(g_2) = h_1 h_2 \in \im(\phi)$ \\
|
|
$\phi(\inv g_1) = \inv{\phi(g_1)} = \inv h_1\in \im(\phi)$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{bemerkung}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item
|
|
Sei $\phi: G \to H$ Gruppenhomomorphismus. Falls
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $G = H$: Endomorphismus
|
|
\item $\phi$ injektiv: Monomorphismus.
|
|
\item $\phi$ surjektiv: Epimorphismus.
|
|
\item $\phi$ bijektiv: Isomorphismus (falls $G = H$: Automorphismus)
|
|
\end{itemize}
|
|
\item $G, H, K$ seien Gruppen, $\phi: G \to H, \psi: H \to K$ Gruppenhomomorphismen.\\
|
|
$\psi \circ \phi: G \to K$ ist Gruppenhomomorphismus.
|
|
\item $\phi: G \to H$ Isomorphismus $\implies \inv \phi: H \to G$ auch Isomorphismus. \\
|
|
Seien $a, b \in H$. z.Z.: $\inv \phi(ab) = \inv \phi(a) \inv\phi(b)$. Seien $g, h \in G$ mit
|
|
$\phi(g) = a, \phi(h) = b$. $\inv\phi(ab) = \inv\phi(\phi(g)\phi(h)) = \inv\phi(\phi(gh)) = gh =
|
|
\inv\phi(a) \inv\phi(b)$ $\inv{}$ analog.
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
\begin{bsp}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $G = (\R, +), H= (R^*, \cdot), \phi: \fun G H x {e^x}$ ist ein
|
|
Monomorphismus. Wählt man $H = (\R^{+*}, \cdot)$ so erhält man einen Isomorphismus. $\log$ ist die
|
|
zugehörige Umkehrabbildung.
|
|
\item $G, H$ Gruppen. $\phi: \fun G H g {e_H}$ ist stets ein
|
|
Gruppenhomomorphismus.
|
|
\item $G = \Z, H = \Z_n, \phi: \fun{\Z}{\Z_n}a{a + n\Z}$ heißt der
|
|
kanonische Epimorphismus.
|
|
\item $G = \GL_n(\K), H=\K^*, \det: \fun G H A {\det A}$ ist
|
|
Epimorphismus.
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{bsp}
|
|
\[
|
|
\SL_n(\Z_p) := \{ A \in \GL_n(\Z_p): \det A = 1 \}
|
|
\]
|
|
|
|
$G, H$ Gruppen. $\Hom(G, H) := \{ \phi: G \to H, \phi \text{ Gruppenhomomorphismus} \}$ \\
|
|
$\Aut(G) := \{ \phi: G \to G, \phi \text{ Isomorphismus} \}$ ist Gruppe bezüglich der Komposition von
|
|
Abbildungen $\circ$. \\
|
|
$\Hom(G, H) \neq \emptyset$
|
|
|
|
Sei $G = \hull g$ eine zyklische Gruppe. Bestimme $\Aut(G)$.
|
|
Für jedes $a \in G$ gilt: $\exists s \in \Z$ mit $a = g^s
|
|
\implies \phi(a) = \phi(g^s) = \phi(g)^s$ \\ 2 Fälle:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $\abs G = \infty$ ($\implies G$ isomorph zu $(\Z, +)$) \\
|
|
$\Z = \hull 1 \implies \hull{\phi(1)} = \Z \implies \phi(1) \in \{1, -1\}$
|
|
\[
|
|
\Aut(G) = \{ \id, ()^{-1} \}
|
|
\]
|
|
\item $\abs G = n.\, \underset{\substack{\iff \\\ord_G(g) = \abs G}}{G = \hull g} \implies
|
|
\hull{\phi(g)} = G$ \\
|
|
$\ord_G(g^s) = \frac{\abs G}{\ggT(\abs G), s)} = \abs G \implies \phi(g) = g^s$ mit
|
|
$(\ggT(\underbrace{\abs G}_n, s) = 1)$
|
|
\[
|
|
\Aut(G) = \{ f_s: g \mapsto g^s \text{ mit } \ggT(s, \abs G) = 1 \}
|
|
\]
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
Sei nun $G$ eine beliebige Gruppe, $a \in G$. Dann definiert
|
|
\[
|
|
\phi_a: \fun G G g {a g \inv a}
|
|
\]
|
|
einen Automorphismus von G.
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item injektiv: $a g \inv a = h \iff g = \inv a h a$
|
|
\item surjektiv: \checkmark
|
|
\end{itemize}
|
|
Solche Automorphismen heißen \underline{innere Automorphismen}.
|
|
|
|
\begin{bemerkung}
|
|
$\phi$ innerer Automorphismus $\implies \phi|_{Z(G)} = \id$
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
\begin{bsp}
|
|
$G = \GL_n(\R)$ \\
|
|
$\phi: \fun G G A {(A^t)^{-1}}$ ist Automorphismus von $G$.
|
|
\[
|
|
((AB)^t)^{-1} = (B^t A^t)^{-1} = (A^t)^{-1} (B^t)^{-1}
|
|
\]
|
|
$\phi$ ist \underline{nicht} innerer Automorphismus, denn
|
|
$\left (
|
|
\begin{smallmatrix}
|
|
d \\
|
|
& \ddots \\
|
|
& & d
|
|
\end{smallmatrix}
|
|
\right) \in Z(G)$.
|
|
\[
|
|
\phi\left(\left (
|
|
\begin{smallmatrix}
|
|
d \\ & \ddots \\ & & d
|
|
\end{smallmatrix}
|
|
\right )\right ) =
|
|
\left(
|
|
\begin{smallmatrix}
|
|
\inv d \\ & \ddots \\ & & \inv d
|
|
\end{smallmatrix}
|
|
\right)
|
|
\]
|
|
\end{bsp}
|
|
|
|
\begin{proposition}
|
|
$\phi: G \to H$ Gruppenhomomorphismus. Dann gilt:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $U \le G \implies \phi(U) \le H$
|
|
\item $U' \le H \implies \phi^{-1}(U') \le G$
|
|
\item $\phi$ ist injektiv $\iff \ker(\phi) = \{e_G\}$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{proposition}
|
|
\begin{proof}
|
|
\leavevmode
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Seien $u_1, u_2 \in U, \phi(u_1) \phi(u_2) = \phi(u_1u_2)\in
|
|
\phi(U), \phi(\inv u_1) = \phi(u_1)^{-1} \in \phi(U)$
|
|
\item $u_1, u_2 \in \inv\phi(U') \implies \phi(u_1), \phi(u_2) \in U' \implies
|
|
\phi(u_1) \phi(u_2) = \phi(u_1u_2) \in U'$ \\
|
|
$\implies u_1u_2 \in \inv\phi(U')$ \\
|
|
Analog mit $\phi(u_1)^{-1}$.
|
|
\item
|
|
\begin{align*}
|
|
\phi \text{ injektiv } & \iff (\phi(g) = \phi(h) \implies g = h) \\
|
|
& \iff (\phi(g) \phi(h)^{-1} = e_H \implies g = h) \\
|
|
& \iff (\phi(gh^{-1}) = e_H \implies g = h) \\
|
|
& \iff \ker(\phi) = e_G
|
|
\end{align*}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\section{Nebenklassen, Normalteiler \& Faktorgruppen}
|
|
|
|
\begin{defin}
|
|
Sei $G$ eine Gruppe, $H \le G, a \in G$.
|
|
\[
|
|
Ha := \{ha | h\in H\}
|
|
\]
|
|
heißt Rechtsnebenklasse von $G$ nach $H$.
|
|
\[
|
|
aH := \{ah | h \in H \}
|
|
\]
|
|
heißt Linksnebenklasse von $G$ nach $H$.
|
|
|
|
Achtung: im Allgemeinen sind $aH$, $Ha$ keine Untergruppen von $G$.
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
\[
|
|
Ha = Hb \iff
|
|
\begin{cases}
|
|
Ha \subseteq Hb \\
|
|
Hb \subseteq Ha
|
|
\end{cases}
|
|
\iff
|
|
\begin{cases}
|
|
a \in Hb \\
|
|
b \in Ha
|
|
\end{cases}
|
|
\iff
|
|
\begin{cases}
|
|
a = hb \\
|
|
b = h'a
|
|
\end{cases}
|
|
\]
|
|
für passende $h, h' \in H$
|
|
\[
|
|
\iff a = hb \iff a \inv b \in H
|
|
\]
|
|
|
|
\begin{lemma}
|
|
Es gilt: $G = \bigcup\limits_{a\in G} Ha, Ha \cap Hb = \emptyset$ oder $Ha = Hb$.
|
|
\end{lemma}
|
|
\begin{proof}
|
|
\[
|
|
G = \bigcup_{a\in G} a \subseteq \bigcup_{a \in G} Ha
|
|
\]
|
|
Falls $Ha \cap Hb \neq \emptyset$, dann gilt $a \inv b \in H$ und somit $Ha
|
|
= Hb$.
|
|
|
|
Achtung: $Ha = aH$ ist im Allgemeinen nicht erfüllt, aber $\abs{Ha} =
|
|
\abs{aH}$ gilt immer.
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{defin}
|
|
$\faktor GH$ bezeichnet die Menge aller Linksnebenklassen von $G$ nach $H$.
|
|
|
|
$H \backslash G$ bezeichnet die Menge aller Rechtsnebenklassen von $G$ nach $H$.
|
|
|
|
$\abs{\faktor G H} = \abs{H \\ G}$, denn $Ha = Hb \iff a \inv b \in H, aH = bH \iff b \inv a \in H$
|
|
|
|
$\abs{\faktor GH}$ heißt der Index der von $H$ in $G$ und wird bezeichnet mit $[G:H]$
|
|
|
|
$G = \bigcup_{n=1}^{[G:H]} Ha_n$, wobei $Ha_i \neq Ha_j$ für $i \neq j$ falls $[G:H] < \infty$
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
\begin{satz}[Satz von Lagrange] \label{satz:lagrange}
|
|
Sei $G$ eine Gruppe, $H \le G$. Sind zwei der Größen $\abs G, [G:H], \abs H$ endlich, so ist es auch die
|
|
Dritte. Es gilt:
|
|
\[
|
|
\abs G = \abs H \cdot [G : H]
|
|
\]
|
|
\end{satz}
|
|
\begin{proof}
|
|
$\abs G < \infty \implies \abs H, [G:H] < \infty$. Seien also $\abs H, [G:H] < \infty$.
|
|
Sei $f: \fun{Ha}{Hb}{ha}{hb}$. Dann ist $f$ bijektiv. $h_1b = h_2b \implies h_1 = h_2 \implies h_1a =h_2a$.
|
|
Es folgt $\abs{Ha} = \abs{Hb} \forall a, b \in G$ und somit $\abs{Ha} = \abs H \forall a \in G$.
|
|
Dann gilt: $\abs G = [G:H] \cdot \abs H$ (da $[G:H] < \infty$ vorausgesetzt, daher
|
|
$G = \bigcup_{n=1}^{[G:H]}Ha_n$). Insbesondere ist $\abs G < \infty$.
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{korollar}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $H \le G \implies \abs H \mid \abs G$
|
|
\item $g \in G \implies \ord_G(g) \mid \abs G$
|
|
\item $g^{\abs G} = e \forall g \in G$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{korollar}
|
|
\begin{proof}
|
|
\leavevmode
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item ist klar
|
|
\item $\ord_G(g) = \abs{\hull g}$ und teilt daher $\abs G$.
|
|
\item Weil $\abs G$ ein Vielfaches von $\ord_G(g)$ ist.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{bsp}
|
|
$G = \mathcal{S}_4$. Behauptung: $\mathcal{S}_4$ hat Untergruppen der Ordnung $1,2,3,4,6,8,12,24$
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item[1:] $\{e\}$
|
|
\item[2:] $\hull{(12)}$ hat Ordnung 2
|
|
\item[3:] $\hull{(123)}$ hat Ordnung 3
|
|
\item[4:] $V_4 = \{ \id, (12)(34), (13)(24), (14)(23) \}$ (heißt Klein'sche Vierergruppe)
|
|
\item[6:] $\iota(\mathcal S_3) \hookrightarrow \mathcal S_4$ hat Ordnung 6
|
|
\item[8:] $D_4 = \hull{(13), (1234)}$ hat Ordnung 8
|
|
\item[12:] $\mathcal A_4 := \{ \sigma \in \mathcal S_4 \text{ mit } \sgn(\sigma) = +1\}$
|
|
\item[24:] $G$
|
|
\end{itemize}
|
|
Nicht immer gibt es zu jedem Teiler der Gruppenordnung eine Untergruppe dieser Ordnung. Beispiel:
|
|
$\mathcal A_4$ hat keine Untergruppe der Ordnung 6 (Übung)
|
|
\end{bsp}
|
|
|
|
\begin{korollar}
|
|
$\abs G = p \in \Primes \implies G$ ist zyklisch.
|
|
\end{korollar}
|
|
\begin{proof}
|
|
Sei $g \in G, g \neq e. \abs{\hull g}$ teilt $\abs G = p \implies \abs{\hull g} = p \implies \hull g = G$
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{defin}
|
|
$N \le G$ heißt Normalteiler, falls
|
|
\[
|
|
\forall g \in G: gN = Ng
|
|
\]
|
|
das heißt die Rechtsnebenklassen stimmen mit den Linksnebenklassen überein.
|
|
|
|
Achtung: $gN = Ng$ bedeutet nicht, dass $gn = ng \forall n \in N$!
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
\begin{bsp}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $V_4, \mathcal A_4$ sind Normalteiler von $\mathcal S_4$.
|
|
\item $\{e\}, G$ sind Normalteiler von $G$.
|
|
\item In abelschen Gruppen sind alle Untergruppen normal.
|
|
\item $\SL_n(\K)$ ist Normalteil von $\GL_n(\K)$.
|
|
\end{itemize}
|
|
Wir schreiben $U \le G$ für Untergruppen, $N \trianglelefteq G$ für Normalteiler.
|
|
\end{bsp}
|
|
|
|
\begin{lemma}
|
|
$(1)N \trianglelefteq G \iff (2)gN \subseteq Ng \forall g \in G \iff (3)gN\inv g \subseteq N \forall g \in G
|
|
\iff (4)gN\inv g = N \forall g \in G$
|
|
\end{lemma}
|
|
\begin{proof}
|
|
$(1) \implies (2) \checkmark$ \\
|
|
$(2) \implies (3) \checkmark$ \\
|
|
$(3) \implies (4):$ Es gilt $gN\inv g \subseteq N$ und $\inv gNg \subseteq N \forall g \in G$.
|
|
$N = (g \inv g) N (g \inv g) = g(\inv g N g) \inv g \subseteq gN\inv g$ Insgesamt: $N = gN\inv g$ \\
|
|
$(4) \implies (1) \checkmark$
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{proposition}
|
|
\label{homomorphiesatz1}
|
|
Sei $\phi \in \Hom(G,H)$. Dann ist $\ker(\phi) \trianglelefteq G$.
|
|
\end{proposition}
|
|
\begin{proof}
|
|
Sei $N := \ker(\phi)$. Zu Zeigen: $g N \inv g \subseteq N \forall g \in G$. Sei $n \in N: \phi(gn\inv g) =
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|
\phi(g) \overbrace{\phi(n)}^{e_H} \phi(g)^{-1} = \phi(g) \phi(g)^{-1} = e_H$, das heißt $gn\inv g \in N$.
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\end{proof}
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\begin{bsp}[Anwendung]
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\begin{itemize}
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\item $\det: \fun {\GL_n(\K)} {\K^*} A {\det A}$.
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Dann ist $\ker(\det) = \SL_n(\K)$. Es folgt: $\SL_n(\K) \trianglelefteq \GL_n(\K)$
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\item $\sgn: \fun {\mathcal S_4} {\{\pm 1\}} \sigma {\sgn{\sigma}}$. $\ker(\sigma) = \mathcal A_4$.
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|
Daher gilt $\mathcal A_4 \trianglelefteq \mathcal S_4$.
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|
\end{itemize}
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\end{bsp}
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Existiert zu jedem Normalteiler $N \trianglelefteq G$ eine
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Gruppe $H$, und ein Homomorphismus $\phi: G \to H$ mit $N =
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\ker(\phi)$?
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\begin{satz}
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Sei $N \trianglelefteq G$. Dann bilden die Linksnebenklassen $\{ gN: g\in G\}$ eine Gruppe bezüglich der
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Verknüpfung $gN \cdot hN := (g\cdot h)N$. Diese Gruppe wird mit $\faktor GN$ bezeichnet und heißt Faktorgruppe
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oder Quotientengruppe von G nach N.
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Es gilt $\abs{\faktor GN} = \frac{\abs G}{\abs N}$.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Die Verknüpfung $(gN)(hN) = (gh)N$ ist wohldefiniert. Sei $gN = g'N, hN = h'N$, das heißt $g' = g n_1$ und
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$h' = hn_2$ für passende $n_1, n_2 \in N$. $(g'h')N = (gn_1hn_2)N = g(n_1h)n_2N =
|
|
g(h\overbrace{n_3}^{\mathclap{\substack{\in N, \text{ passend} \\ \text{weil } N \trianglelefteq G}}})n_2N =
|
|
(gh)N$. Das Assoziativgesetz gilt, da es in $G$ gilt. Das neutrale Element von $\faktor GN$ ist $eN = N$.
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Das inverse Element von $aN = \inv aN$.
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Lagrange(\cref{satz:lagrange}) impliziert $[G:N] = \abs{\faktor GN} =
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\frac{\abs G}{\abs N}$.
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\end{proof}
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$\phi: G \to H$ Homomorphismus $\implies \ker(\phi) \trianglelefteq G$ \\
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$N \trianglelefteq G \implies \faktor G N$ ist selbst eine Gruppe.
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\begin{bsp}
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$G = \Z, N = n\Z.$\\
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$\underbrace{\faktor {\Z}{n\Z}}_{\text{Faktorgruppe}} = \underbrace{\Z_n}_{\text{Gruppe der Restklassen}}$
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\end{bsp}
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$G$ abelsch $\implies$ Jeder Quotient ist abelsch.
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\begin{bsp}
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$\mathcal{S}_n$ ist nicht ablesch für $n \ge 3$. $\mathcal A_n \trianglelefteq \mathcal S_n$.
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$\faktor{\mathcal S_n}{\mathcal A_n}$ ist abelsch.
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\end{bsp}
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\begin{proposition}
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\label{homomorphiesatz2}
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Sei $N \trianglelefteq G$. Dann existiert $H$ und $\phi \in \Hom(G, H)$ mit $\ker(\phi) = N$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Wähle $H := \faktor GN$ und $\phi: \fun G {\faktor GN} g {gN}$ ist surjektiver Homomorphismus.
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\[
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(gN)(hN) = g(Nh)N = g(hN)N = (gh)N
|
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\]
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$g \in \ker(\phi) \iff gN = n \iff g \in N$, das heißt $N = \ker(\phi)$
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\end{proof}
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\begin{korollar}
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\label{homomorphiesatz3}
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$\phi\in \Hom(G, H)$ impliziert $\faktor G{\ker(\phi)} \cong \phi(G)$
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\end{korollar}
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\begin{proof}
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$N := \ker(\phi)$. Es ist $\faktor GN$ Gruppe. Setze $f: \fun{\faktor GN}{\phi(G)}{gN}{\phi(g)}$. $f$ ist wohldefiniert
|
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und injektiv, denn $gN = hN \iff g \inv h \in N = \ker(\phi) \iff \phi(g) = \phi(h)$. Surjektivität ist klar.
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|
$f$ ist Homomorphismus:
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\[
|
|
f((gN)(hN)) = f(ghN) = \phi(gh) = \underbrace{\phi(g)}_{f(gN)} \underbrace{\phi(h)}_{f(hN)}
|
|
\]
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\end{proof}
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Der \underline{Homomorphiesatz} besteht aus 3 Teilen:
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\begin{itemize}
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\item \cref{homomorphiesatz1}: $\ker\phi \trianglelefteq G$
|
|
\item \cref{homomorphiesatz2}: $N \trianglelefteq G \implies \exists H, \phi \in \Hom(G, H): N = \ker(\phi)$
|
|
\item \cref{homomorphiesatz3}: $\phi \in \Hom(G, H) \implies \faktor G{\ker(\phi)} \cong \phi(G)$
|
|
\end{itemize}
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\begin{bsp}[Anwendung auf zyklische Gruppen]
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Zu jedem $n \in \N$ existiert eine bis auf Isomorphie eindeutige zyklische Gruppe dieser Ordnung $n$,
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nämlich $\faktor{\Z}{n\Z}$. Alle unendlichen zyklischen Gruppen sind isomorph zu \Z.
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|
\end{bsp}
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\begin{proof}
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|
Sei $G = \hull a = \{a^m: m \in \Z\}$. Setze $\phi: \fun \Z G m {a^m}$ ist surjektiver Homomorphismus.
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|
$\ker(\phi) \trianglelefteq \Z \implies \exists n: \ker(\phi) = n\Z$ für ein $n \in \N$.\\
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|
Falls $n = 0$, so ist $G \cong \faktor{\Z}{\{0\}} \cong \Z$.\\
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|
Falls $n \neq 0$, so ist $G \cong \faktor{\Z}{n\Z}$
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\end{proof}
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\begin{satz}[1. Isomorphiesatz] \label{isomorphiesatz1}
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Sei $G$ eine Gruppe, $U \le G$ und $N \trianglelefteq G$. Dann ist $U \cdot N$ eine Untergruppe von $G$,
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|
$U \cap N \trianglelefteq U$ und $\faktor{UN}N \cong \faktor{U}{U\cap N}$
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\end{satz}
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\begin{proof}
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|
Seien $u_1n_1, u_2n_2 \in UN$. Dann gilt
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\begin{align*}
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|
(u_1n_1)(u_2n_2)^{-1} & = (u_1n_1)(\inv n_2 \inv u_2) = {u_1(n_1 n_2) \inv u_2}= \\
|
|
& = u_1 (n_3 \inv u_2) = u_1(\inv u_2 n_4) = (u_1 \inv u_2) n_4 \in UN
|
|
\end{align*}
|
|
mit $n_3, n_4 \in N$ passend gewählt $\implies UN \le G$.
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|
|
|
$N \trianglelefteq UN$ ist klar, da sogar $N \trianglelefteq G$. Sei $\phi$ der kanonische
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|
Epimorphismus $\phi: \fun G {\faktor GN} g {gN}$. Sei $\bar \phi := \phi|_U$. $\bar \phi(u) = uN$ für $u \in U$.
|
|
Für $v \in N$ gilt: $\bar \phi(u) = uN = u(vN) = (uv)N \in \faktor{UN}N$. $\bar\phi: U \to \faktor{UN}N$ ist homomorph.
|
|
$\bar\phi$ ist surjektiv.
|
|
\[
|
|
\ker(\bar\phi) = \{u\in U: \bar\phi(u) = e_{\faktor{UN}N}\} = \{u \in U: \underbrace{\bar\phi(u)}_{=uN} = N\}
|
|
= \{u \in U: u \in N\} = U\cap N
|
|
\]
|
|
Homomorphiesatz liefert Behauptung.
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|
\end{proof}
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|
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\begin{bsp}[Anwendung]
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\[
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|
\underset{=\frac{\abs{UN}}{\abs{N}}}{\abs{\faktor{UN}N}} =
|
|
\underset{=\frac{\abs U}{\abs{U\cap N}}}{\abs{\faktor U{U\cap N}}} \implies \frac{\abs U \abs N}{\abs{ U\cap N }}
|
|
\]
|
|
\end{bsp}
|
|
|
|
\begin{satz}[2. Isomorphiesatz] \label{isomorphiesatz2}
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|
Sei $G$ eine Gruppe, $K, H \trianglelefteq G, K \le H$. Dann ist $K \trianglelefteq H$ und es gilt:
|
|
\[
|
|
\faktor{\faktor G K}{\faktor H K} \cong \faktor G H
|
|
\]
|
|
\end{satz}
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\begin{proof}
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$K \trianglelefteq H$ da normal in $G$. Betrachte $\phi: \fun {\faktor GK}{\faktor GH}{gK}{gH}$.
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|
\begin{itemize}
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|
\item $\phi$ ist wohldefiniert,
|
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denn $gK = g'K \iff g \inv{g'} \in K \implies g \inv{g'} \in H \implies gH = g'H$.
|
|
\item $\phi$ ist Homomorphismus, denn $\phi((gK)(g'K))= \phi(gg'K) = gg'H = gHg'H = \phi(gK)\phi(g'K)$.
|
|
\item $\phi$ ist surjektiv nach Konstruktion.
|
|
\item $\ker(\phi) = \{x \in \faktor GK: \phi(x) = e_{\faktor GH}\} =
|
|
\{ x \in \faktor GK: \phi(x) H \} = \{ x \in \faktor GK: xH = H \} = \{ xK: x\in H \} = \faktor HK$
|
|
\end{itemize}
|
|
Aus dem Homomorphiesatz folgt die Behauptung.
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{bsp}[Anwendung]
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$G = \Z, K:= n\Z, H = l\Z$ mit $l\mid n$.
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\[
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|
\faktor{\faktor{\Z}{n\Z}}{\faktor{l\Z}{n\Z}} \cong \faktor{\Z}{l\Z},\,
|
|
\underset{=\frac{\abs{\faktor{\Z}{n\Z}}(=n)}{\abs{\faktor{l\Z}{n\Z}}}}{\abs{\faktor{\faktor{\Z}{n\Z}}{\faktor{l\Z}{n\Z}}}} = \abs{\faktor{\Z}{l\Z}} = l
|
|
\implies \abs{\faktor{l\Z}{n\Z}} = \frac nl
|
|
\]
|
|
$\faktor{l\Z}{n\Z}$ ist Untergruppe von $\faktor{\Z}{n\Z}$ und daher zyklisch mit der Orndung $\frac nl$.
|
|
\[
|
|
\implies \faktor{l\Z}{n\Z} \cong \faktor{\Z}{\frac nl \Z}
|
|
\]
|
|
\end{bsp}
|
|
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|
\begin{defin}
|
|
Seien $F, G, H$ Gruppen, $\phi \in \Hom(F, G), \psi \in \Hom(G, H)$.
|
|
Dann heißt $F \overset\phi\to G \overset\psi\to H$ exakt bei oder in $G$, falls
|
|
\[
|
|
\ker(\psi) = \im(\phi).
|
|
\]
|
|
Für $F = \{e\}$ muss $\phi(e) = e_G$ gelten und Exaktheit bei $G$ ist
|
|
äquivalent zur Injektivität von $\psi$. Für $H = \{e\}$ muss $\psi(g) = e
|
|
\forall g \in G$ und Exaktheit bei $G$ ist äquivalent zur Surjektivität von
|
|
$\phi$.
|
|
|
|
Seien $F, G, H$ multiplikativ geschrieben, so fasst man die Eigenschaften
|
|
$\im(\phi) = \ker(\psi)$, $\phi$ surjektiv, $\psi$ injektiv zusammen in der
|
|
Aussage $1 \to F \overset\phi\to G \overset\psi\to H \to 1$ ist exakt bei
|
|
$F, G, H$. und fasst dies zusammen in $1 \to F \overset\phi\to G
|
|
\overset\psi\to H \to 1$ ist kurze exakte Sequenz.
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
\begin{bsp}
|
|
$G$ sei Gruppe, $N\trianglelefteq G$, $\iota: N \to G$ die Inklusionsabbildung,
|
|
$\pi: \fun G {\faktor G N} g {gN}$
|
|
der kanonische Epimorphismus. Dann ist
|
|
\[
|
|
1 \to N \overset\iota\to G \overset\pi\to \faktor G N \to 1
|
|
\]
|
|
eine kurze exakte Sequenz.
|
|
\end{bsp}
|
|
|
|
\section{Direkte Produkte}
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|
\begin{itemize}
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|
\item Zerlegung von Gruppen
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|
\item Konstruktion von Gruppen aus geg. Gruppen
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|
\end{itemize}
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|
1. Isomorphiesatz: $U, V \trianglelefteq G, \abs{UV} = \frac{\abs U \abs V}{\abs{U \cap V}}$,
|
|
Sei $\abs{U \cap V} = 1 \implies \abs{UV} = \abs{U} \abs{V}$.
|
|
|
|
Falls $\abs G = \abs U \cdot \abs V$, so gilt: $G = UV$ und
|
|
jedes Element aus $G$ kann eindeutig $g = uv$ mit $u \in U,
|
|
v \in V$ geschrieben werden. \\ (denn ang. $g = u_1 v_1 =
|
|
u_2 v_2 \implies \underset{\in U}{\inv u_1 u_2} =
|
|
\underset{\in V}{v_1 \inv v_2} \implies \inv u_1 u_2 = v_1
|
|
\inv v_2 \in U \cap V = \{e \} \implies v_1= v_2 \land u_1 =
|
|
u_2$)
|
|
|
|
\begin{defin}
|
|
$G$ heißt inneres Produkt ihrer Normalteiler $N_1, \dots, N_k$, falls
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $G = N_1 \cdot N_2 \cdots N_k$
|
|
\item $g = n_1 \cdots n_k$ mit $n_i \in N_i$ für $i=1,\dots,k$ ist eindeutig
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
\begin{lemma}
|
|
\label{produktlemma}
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|
Die Bedingungen 1: und 2: implizieren:
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|
\[
|
|
N_i \cap N_j = \{ e\}\text{ für } i \neq j
|
|
\]
|
|
\[
|
|
ab=ba \forall a \in N_i,\forall b\in N_j
|
|
\]
|
|
\end{lemma}
|
|
\begin{proof}
|
|
Sei $x \in N_i \cap N_j$. Dann gilt:
|
|
\[
|
|
x = e \cdots e \underset{\mathclap{\substack{|\\i-\text{te Stelle}}}}{x} e \cdots e
|
|
= e \cdots e \underset{\mathclap{\substack{|\\j-\text{te Stelle}}}}{x} e \cdots e
|
|
\overset{\mathclap{\substack{\text{Darstellung eindeutig}\\|}}}{\implies} x = e
|
|
\]
|
|
Sei $a \in N_i, b \in N_j$, wobei $i \neq j$.
|
|
\[
|
|
\begin{rcases}
|
|
b \in N_j \implies a b \inv a \in N_j \implies a b \inv a \inv b \in N_j \\
|
|
\inv a \in N_i \implies b \inv a \inv b \in N_i \implies a b \inv a \inv b \in N_i
|
|
\end{rcases}
|
|
\begin{aligned}
|
|
& \implies a b \inv a \inv b\in N_i \cap N_j = \{e\} \\
|
|
& \implies ab = ba \forall a \in N_i, b \in N_j
|
|
\end{aligned}
|
|
\]
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
Sei $G$ eine Gruppe, $G_1, \dots, G_k \le G$, dann ist $G$ das innere direkte Produkt von $G_1,\dots,G_k$
|
|
genau dann, wenn:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $G = G_1 \cdots G_k$
|
|
\item $ab=ba$ für $a \in G_i, b\in G_j$ für $i \neq j$
|
|
\item $G_i \cap (G_1 \cdots G_{i-1}\cdot G_{i+1} \cdots G_k) = \{ e \}$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
\begin{proof}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item[$\implies$:] 1. folgt aus der Definition, 2. aus \cref{produktlemma}.\\
|
|
3. Sei $x \in G_i \cap (G_1 \cdots G_{i-1} \cdot G_{i+1} \cdots G_k)$.
|
|
$x = e \cdots e x e \cdots e = a_1 \cdots a_{i-1} \cdot e \cdot a_{i+1} \cdots a_k$\\
|
|
$\overset{\mathclap{\substack{\text{wegen Eindeutigkeit}\\|}}}{\implies} x = e$
|
|
\item[$\impliedby$:] 1. $\implies a \in G, a = a_1 \cdots a_k$ mit $a_i \in G_i$. \\
|
|
Behauptung: $G_i \trianglelefteq G$. Sei $b \in G_i$. Zu Zeigen: $a b \inv a \in G_i$
|
|
\[
|
|
a b \inv a = a_1 \cdots a_k b \inv a_k \cdots \inv a_1 \overset{2:}{=}
|
|
a_1 \cdots (a_i b \inv a_i) \cdots a_1 \overset{2:}{=} a_i b a_i^{-1} \in G_i
|
|
\implies G_i \trianglelefteq G
|
|
\]
|
|
Behauptung: $e = a_1 \cdots a_k \implies a_i = e, \; (i=1, \dots,
|
|
k), a_i \in G_i$.
|
|
\begin{align}
|
|
\nonumber & \implies \inv a_i = a_1 \cdots a_{i-1} \inv a_i a_i a_{i+1} \cdots a_k =
|
|
a_1 \cdots a_{i-1} \cdot a_{i+1} \cdots a_k \\
|
|
\nonumber & \implies \inv a_i \in G_i \cap (G_1 \cdots G_{i-1} \cdot G_{i+1} \cdots G_k) \overset{3.}{=}
|
|
\{e\} \\
|
|
\label{eq:1.5.3} & \implies e = e \cdots e \text{ ist eindeutig}
|
|
\end{align}
|
|
Allgemein: ang. $a_1 \cdots a_k = b_1 \cdots b_k$ mit $a_i, b_i \in G_i$.
|
|
\begin{align*}
|
|
\implies & a_1 \inv b_1 a_2 \cdots a_k = \underbrace{b_1 \inv b_1}_e b_2 \cdots b_k \\
|
|
& a_1 \inv b_1 a_2 \inv b_2 \cdots a_k = \underbrace{b_2 \inv b_2}_e b_3 \cdots b_k \\
|
|
& \underbrace{a_1 \inv b_1}_{\in G_1} \cdots \underbrace{a_k \inv b_k}_{G_k} = e
|
|
\implies a_1 \inv b_i = e \text{ wegen ~\ref{eq:1.5.3}} \implies a_i = b_1 \forall i
|
|
\end{align*}
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{korollar}
|
|
Für $k = 2$ ist $G$ direktes Produkt von $N_1$ und $N_2$ genau dann, wenn
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $N_1, N_2 \trianglelefteq G$
|
|
\item $G=N_1 N_2$ und
|
|
\item $N_1 \cap N_2 = \{e\}$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{korollar}
|
|
\begin{proof}
|
|
1., 3. klar. 2. folgt aus \cref{produktlemma}
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{korollar}
|
|
$G$ sein inneres Produkt seiner Normalteiler $N_1, \dots, N_k$. Dann gilt
|
|
\[
|
|
\abs G = \abs{N_1} \cdots \abs{N_k}
|
|
\]
|
|
\end{korollar}
|
|
\begin{proof}
|
|
Für $k = 2$ ist dies eine Folgerung aus dem 1. Isomorphiesatz~\ref{isomorphiesatz1}. \\
|
|
$k > 2: G=(N_1 \cdots N_k)$. $N_{k+1}$ mit $(N_1 \cdots N_k) \cap N_{k+1} = \{ e \}$. Überdies gilt
|
|
$(N_1 \cdots N_k) \trianglelefteq G$, denn $a \cdot N_1 \cdots N_k = N_1 a N_2 \cdots N_k = \dots
|
|
= N_1 \cdots N_k \cdot a$, da jedes $N_i \trianglelefteq G$. \\
|
|
Aus $k = 2$ folgt $\abs G = \abs{N_1 \cdots N_k} \abs{N_{k+1}}$. Aus der Induktionsannahme folgt:
|
|
\[
|
|
\abs{N_1 \cdots N_k} = \abs{N_1} \cdots \abs{N_k}\text{, also } \abs G = \abs{N_1} \cdots \abs{N_k}
|
|
\cdot \abs{N_{k+1}}
|
|
\]
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
Umgekehrt sind $G_1, \dots, G_k$ Gruppen, so wollen wir auf
|
|
$G_1 \times \dots \times G_k$ eine Gruppenstruktur
|
|
definieren, die $G_1 \times \dots \times G_k$ zum äußeren
|
|
Produkt macht.
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|
|
|
\begin{defin}
|
|
$G:= G_1 \times \dots \times G_k = \{(g_1, \dots, g_k): g_i \in G_i\}$ mit der Operation
|
|
$gh := (g_1h_1, \dots, g_kh_k)$ heißt äußeres direktes Produkt der $G_1, \dots G_k$.
|
|
(falls $(G_i, +)$: äußere direkte Summe)
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
\begin{bemerkung}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $G_1 \times G_k$ abelsch $\iff \forall A_i: G_i$ abelsch
|
|
\item $G_1 \times G_2 \cong G_2 \times G_1$
|
|
\item $G \times H_1 \cong G \times H_2$ falls $H_1 \cong H_2$
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{bemerkung}
|
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|
\begin{bsp}
|
|
$(\C, +), R, iR \trianglelefteq \C$ und $\C = \R + i\R, \R \cap i\R = \{0\}$ \\
|
|
\C\ ist innere direkte Summe von \R\ und $i\R$. \\
|
|
$\C := \{(x,y): x, y\in \R\} = \R \times \R$ ist äußere direkte Summe von \R\ und \R.
|
|
$\C \cong \R + i\R \cong \R \times \R$
|
|
\end{bsp}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
Ist $G$ das innere direkte Produkt seiner Normalteiler $N_i, i\in [k]$ und $H := N_1 \times \dots \times N_k$
|
|
das äußere direkte Produkt der Gruppen $N_i$, so ist $G \cong H$.
|
|
\end{satz}
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\begin{proof}
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$\phi: \fun G H g {(g_1, \dots, g_k)}$, wobei $g = g_1 \cdots _k$ mit $g_i \in N_i$.
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Die Eindeutigkeit der Darstellung von $g$ als $g_1 \cdots g_k$ mit $g_i \in G_i$ garantiert
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Wohldefiniertheit von $\phi$. $\phi$ ist klarerweise surjektiv.
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Sei $(g_1, \dots, g_k) = (a_1, \dots, a_k) \implies g_i = a_i, i \in [k]
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\implies g_1 \cdots g_k = a_1 \cdots a_k$, also $\phi$ injektiv.
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$\phi$ ist Homomorphismus:
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\begin{multline*}
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\phi((a_1 \cdots a_k) \cdot (b_1 \cdots b_k)) =
|
|
\phi(\underbrace{a_1b_1}_{\in N_1} \underbrace{a_2b_2}_{\in N_2} \cdots a_k b_k) = (a_1b_1, \dots,
|
|
a_k, b_k) \\
|
|
= (a_1, \dots, a_k) \cdot (b_1, \dots, b_k) = \phi(a_1, \dots, a_k) \cdot \phi(b_1, \dots b_k)
|
|
\end{multline*}
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Gesamt: $\phi$ ist Isomorphismus.
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\end{proof}
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\begin{lemma}
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\label{dirprodlemma}
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Seien $G, H$ zyklische Gruppen $\abs G = m, \abs H = n$ mit $\ggT(m,n) = 1$, dann ist $\abs{G\times H}=mn$.
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|
Jede zyklische Gruppe der Ordnung $mn$ mit $\ggT(m,n)=1$ ist direktes Produkt zweier Untergruppen $U, V$ mit
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|
$\abs U = m, \abs V = n$
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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oBdA: $G = \faktor \Z {m\Z}, H = \faktor \Z {n\Z}$. Behauptung: $G \times H$ wird von $(1, 1)$ erzeugt.
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Es ist nämlich für $i \neq j \in \{0, 1, \dots, mn-1\} (i, i) \neq (j, j)$, denn aus $(i, i) = (j, j)$
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folgt $i \equiv j \pmod m \land i \equiv j \pmod n$ und das ist wegen $(m, n) = 1$ zu
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$i \equiv j \pmod{mn}$ äquivalent.
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$\abs G = mn$ mit $(m, n) = 1 \overset{G \text{ zyklisch}}\implies \exists H_1, H_2 \le G$ mit
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|
$\abs{H_1} = m, \abs{H_2} = n$. $H_1, H_2 \trianglelefteq G$, da $G$ abelsch. $H_1 \cap H_2 = \{e\}$, denn
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|
$g \in H_1 \cap H_2 \implies \ord(g) \mid m \land \ord(g) \mid n \implies g = e$. $\implies \abs{H_1H_2} =
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\abs{H_1} \abs{H_2} = mn$
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\end{proof}
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\begin{korollar}
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Sei $n := \prod_{i=1}^r p_i^{\alpha_i}$ die Primfaktorzerlegung von $n$. Dann gilt
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\[
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\faktor{\Z}{n\Z} \cong \faktor{\Z}{p_1^{\alpha_1}\Z} \times \cdots \times \faktor{\Z}{p_r^{\alpha_r}\Z}
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|
\]
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\end{korollar}
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\begin{proof}
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Direkte Folgerung aus \cref{dirprodlemma}
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\end{proof}
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\begin{satz}[Hauptsatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen]
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Jede endlich erzeugte abelsche Gruppe $G$ ist direktes Produkt zyklischer Untergruppen.
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\[
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|
\exists r \in \Z^+, k_1, k_2, \dots, k_s \in \N \text{ mit } k_1 \mid k_2 \mid k_3 \dots \mid k_s,
|
|
\]
|
|
sodass
|
|
\[
|
|
G \cong \Z^r \times \faktor{\Z}{k_1\Z} \times \cdots \times \faktor{\Z}{k_s\Z}
|
|
\]
|
|
($k_1, \dots, k_s$ sind eindeutig bestimmt)
|
|
\end{satz}
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|
\begin{proof}
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Hier gibt es einen \dq einfachen\dq\ induktionsbeweis, für eine etwas allgemeinere Form der Aussage folgt in
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Algebra 2 ein Beweis
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\end{proof}
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\begin{bsp}[Anwendung]
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Sei $\abs G = 200$ mit $G$ abelsch. Wie viele nicht-isomorphe Gruppen gibt es?
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$\to$ Finde alle $(k_1, k_2, \dots, k_s)$ mit $k_1\mid k_2\mid\dots\mid k_s$ und $\prod_{i=1}^{s} k_i = 200$.
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|
\begin{itemize}
|
|
\item[$s=1$:] $k_1 = 200 = 2^3 \cdot 5^2$
|
|
\item[$s=2$:] $(k_1, k_2) \in \{ (2, 100), (10, 20), (5, 40) \}$
|
|
\item[$s=3$:] $(k_1, k_2, k_3) \in \{ (2, 2, 50), (2, 10, 10) \} $
|
|
\end{itemize}
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|
Es gibt genau 6 paarweise nicht isomorphe abelsche Gruppen $G$ mit $\abs G = 200$.
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\end{bsp}
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\begin{satz}
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Sei $G$ eine abelsche Gruppe mit $\abs G = n$, $d\mid n$. Dann existiert $H \le G$ mit $\abs H = d$.
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|
(das heißt Folgerung aus Lagrange (\cref{satz:lagrange}) hinsichtlich der Ordnung von Untergruppen ist für abelsche Gruppen
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umkehrbar!)
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\end{satz}
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\begin{proof}
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$G \cong \faktor{\Z}{k_1\Z} \times \cdots \times \faktor{\Z}{k_s\Z}$ mit $k_1\mid\dots\mid k_s$.
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|
$k_1 \cdots k_s = n. d\mid n \implies d= l_1 \cdots l_s$ mit $l_1 \cdots l_s = d$ und $l_i \mid k_i$ für
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$i = 1, \dots, s$.
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Rest im Proseminar
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\end{proof}
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\section{Semidirekte Produkte}
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Inneres direktes Produkt: $G, N_1, N_2 \trianglelefteq G$
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mit $N_1N_2 = G$ \& $N_1 \cap N_2 = \{e\} \implies G$ ist
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|
inneres direktes Produkt von $N_1, N_2$.
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Dies ist der Fall, wenn $\abs G = lm$ mit $(l,m) = 1$ und
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Normalteiler $N_1, N_2$ existieren mit $\abs{N_1} = l,
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|
\abs{N_2} = m$. $\abs{N_1 N_2} = \frac{\abs{N_1}\cdot
|
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\abs{N_2}}{\abs{N_1 \cap N_2}}$ und $\abs{N_1 \cap N_2} =
|
|
1$, denn $g \in N_1 \cap N_2 \implies \ord(g) \mid l \land
|
|
\ord(g) \mid m$, woraus wegen $(l, m) = 1, \ord(g) = 1$
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|
folgt.
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Wir wissen bereits, dass für $H \le G, N \trianglelefteq G$
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gilt:
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\[
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|
NH \le G
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|
\]
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|
\begin{defin}
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|
$G$ heißt inneres semidirektes Produkt seiner Untergruppen $H$ und $N$, falls
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\begin{enumerate}
|
|
\item $N \trianglelefteq G$
|
|
\item $G = NH$
|
|
\item $N \cap H = \{e\}$
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|
\end{enumerate}
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|
Man schreibt dafür $G = N \rtimes H$.
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\end{defin}
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Es gilt nach wie vor: jedes $g \in G$ kann eindeutig als $g
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= nh$ mit $n \in N, h \in H$ dargestellt werden, das heißt
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$\fun{N\times H} G {(n,h)} {nh}$ ist bijektiv. Angenommen
|
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$n_1h_1 = n_2h_2 \implies \underbrace{\inv n_2 n_1}_{\in N}
|
|
= \underbrace{h_2 \inv h_1}_{\in H} \implies \inv n_2 n_1 =
|
|
e = h_2 \inv h_1 \implies n_2 = n_1, h_2 = h_1$
|
|
|
|
Es gilt im Allgemeinen nicht mehr: $nh = hn$! Das bedeutet
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|
$(n_1 h_1) (n_2 h_2) \overset{\text{i.A.}}{\neq} (n_1 n_2
|
|
h_1 h_2)$ Für festes $h \in H$ ist $\gamma_h: \fun N N n {h
|
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n \inv h}$. $\gamma_n \in \Aut(N)$ und setze $\gamma: \fun H
|
|
{\Aut(N)} h {\gamma_h}$. $\gamma$ ist ein Homomorphismus:
|
|
$\gamma_{hh'}(n) = hh'n(hh')^{-1} = h\underbrace{(h'n
|
|
\inv{h'})}_{\gamma_{h'}(n)} \inv h =
|
|
\gamma_h(\gamma_{h'}(n)) = \gamma_h\circ\gamma_{h'} (n)$ $G$
|
|
ist durch $N, H$ und $\gamma$ eindeutig definiert, denn
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|
$(n_1h_1)\cdot(n_2h_2) = n_1 \gamma_{h_1}(n_2) \cdot h_1 h_2
|
|
= n_1 h_1 n_2 \inv h_1 h_1 h_2 = n_1 h_1 n_2 h_2$. Dieses
|
|
Produkt ist direkt $\iff (n_1h_1)(n_2h_2) = n_1n_2h_1h_2
|
|
\iff \gamma_h(n) = n \forall h \in H \iff \gamma:H\to
|
|
\Aut(N)$ ist trivialer Homomorphismus.
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|
|
|
\begin{bsp}
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|
$G = \mathcal S_4$.
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $V_4 \trianglelefteq \mathcal S_4$. Wir betrachten $H = \{\sigma \in \mathcal S_4:
|
|
\sigma(4) = 4\}$. $\abs{V_4} = 4, \abs H = 6, V_4 \cap H = \{\id\} \implies \mathcal S_4 = V_4 \rtimes
|
|
H$.
|
|
\item $\mathcal A_4 \trianglelefteq \mathcal S_4, \hull{(34)}. \abs{\mathcal A_4} = 12,
|
|
\abs{\hull{(34)}} = 2, \mathcal A_4 \cap \hull{(34)} = \{\id\} \implies \mathcal S_4 =
|
|
\mathcal A_4 \rtimes \hull{(34)}$
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{bsp}
|
|
|
|
Umgekehrt: Seien $N, H$ Gruppen und $\gamma:\fun H {\Aut(N)}
|
|
h {\gamma_h}$ ein Homomorphismus. Dann bildet die Menge
|
|
aller Paare $(n, h)$ mit $n \in N, h \in H$ zusammen mit der
|
|
Verknüpfung $(n_1, h_1)(n_2, h_2) := (n_1 \gamma_{h_1}(n_2),
|
|
h_1 h_2)$ eine Gruppe $G = N \rtimes_\gamma H$, das äußere
|
|
semidirekte Produkt von $N$ und $H$ vermöge $\gamma$.
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Assoziativität:
|
|
\begin{align*}
|
|
(n_1 \gamma_{h_1}(n_2), h_1 h_2) (n_3, h_3) & = (n_1 \gamma_{h_1}(n_2) \gamma_{h_1h_2}(n_3),
|
|
h_1h_2h_3) \\
|
|
& = (n_1 \gamma_{h_1}(n_2) \gamma_{h_1}(\gamma_{h_2}(n_3)), h_1h_2h_3) \\
|
|
& = (n_1 \gamma_{h_1}(n_2 \gamma_{h_2}(n_3)), h_1h_2h_3) \\
|
|
& = (n_1, h_1)(n_2\gamma_{h_2}(n_3), h_2h_3) = (n_1,h_1)((n_2, h_2)(n_3, h_3))
|
|
\end{align*}
|
|
\item Neutrales Element: $(e_N, e_H)$ ist das neutrale Element.
|
|
\[
|
|
(e_N, e_H) (n, h) = (e_N \gamma_{e_H}(n), e_H, h)
|
|
=(n, h)
|
|
\]
|
|
\item Inverses Element: $(n, h)^{-1} := (\gamma_h^{-1}(\inv n), \inv h)$
|
|
erfüllt
|
|
\[
|
|
(n, h)(n, h)^{-1} = (n,h)^{-1}(n, h) = (e_N, e_H).
|
|
\]
|
|
\[
|
|
(\gamma_h^{-1}(\inv n), \inv h)(n, h) =
|
|
(\underbrace{\gamma_h^{-1}(\inv n) \gamma_{\inv h}(n)}_{\gamma_{\inv h}(e_N) = e_N}, \inv h h)
|
|
= (e_N, e_H)
|
|
\]
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
Sei $N^* := \{(n, e_H): n\in N \}\subseteq G$, $H^* :=
|
|
\{(e_N, h): h\in H\} \subseteq G$. Dann gilt $N^*, H^* \le
|
|
G$.
|
|
\begin{align*}
|
|
(n_1, e_H) (n_2, e_H) & = (n_1 \underbrace{\gamma_{e_H}(n_2)}_{n_2}, e_H) \in N^* \\
|
|
(e_N, h_1)(e_N, h_2) & = (e_N \gamma_{h_1}(e_N), h_1h_2) = (e_N, h_1h_2) \in H^*
|
|
\end{align*}
|
|
$N \trianglelefteq G$ als Kern des surjektiven Homomorphismus
|
|
\[
|
|
\pi: \fun G H {(n, h)} h
|
|
\]
|
|
.
|
|
$N^* \cap H^* = \{(e_N, e_H)\} = \{e_G\}$. $G = N^*H^*$ wegen
|
|
$(n, h) = \underbrace{(n, e_H)}_{\in N^*} \underbrace{(e_N, h)}_{\in H^*} \implies G$ ist inneres
|
|
semidirektes Produkt von $N^*$ und $H^*$.
|
|
|
|
\begin{bemerkung}
|
|
$G = N \rtimes_{\gamma}H$ liefert die kurze exakte Sequenz
|
|
\[
|
|
1 \to N \overset\iota{\to} G \overset\pi{\to} H \to 1
|
|
\]
|
|
Es existiert $j: H \to G$ mit $\pi \circ j = \id_H (j(h) = (e_N, h))$.
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
\begin{bsp}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Diedergruppen. Sei $N := \faktor \Z{k\Z}, H:=\faktor{\Z}{2\Z}.
|
|
D_k := \faktor{\Z}{k\Z} \rtimes_\gamma \faktor{\Z}{2\Z}$, wobei
|
|
$\gamma:\fun {\faktor{\Z}{2\Z}}{\Aut(\faktor{\Z}{k\Z})} h
|
|
{\gamma_h:
|
|
\begin{cases}
|
|
\gamma_0(n) = n
|
|
\\
|
|
\gamma_1(n) = -n
|
|
\end{cases}
|
|
}$ heißt Diedergruppe ($k\ge 2$).
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $k = 2: \faktor{\Z}{2\Z} \times \faktor{\Z}{2\Z} \cong V_4$
|
|
\item $k = 3: \faktor{\Z}{3\Z} \rtimes_\gamma \faktor{\Z}{2\Z} \cong \mathcal S_3$
|
|
\item $k = 4: \faktor{\Z}{4\Z} \rtimes_\gamma \faktor{\Z}{2\Z}$
|
|
\end{itemize}
|
|
$D_k$ ist die Gruppe der Symmetrien des regelmäßigen $k$-Ecks. Die Drehungen um den Winkel
|
|
$\frac{2r\pi}k (0 \le r \le k-1) \leftrightarrow \faktor{\Z}{k\Z}$
|
|
Die Spiegelungen $\leftrightarrow \faktor{\Z}{2\Z}$
|
|
\item Sei $V$ ein Vektorraum, $\GL(V)$ die Gruppe der
|
|
Vektorraumautomorphismen. $T(V)$ die Gruppe der Translationen von
|
|
$V (\cong V)$. $A\GL(V) := V \rtimes_\theta \GL(V)$, wobei
|
|
$\theta: \fun {\GL(V)} {\Aut(V) (=\GL(V))} f {(v \to f(v))}$
|
|
heißt die affine Gruppe von $V$. Die Verknüpfung ist dann
|
|
folgende: $(v, f) (w, g) = (v + f(w), f\circ g)$.
|
|
\item Erinnerung: $\mathcal S_4 = V_4 \rtimes H$ mit $H:=\{\sigma \in
|
|
\mathcal S_4: \sigma(4)=4\}$.
|
|
|
|
$\mathcal S_4 = (\faktor{\Z}{2\Z}\times \faktor{\Z}{2\Z}) \rtimes_\theta \mathcal S_3$, wobei
|
|
$\theta: {\mathcal S_3}\to {\Aut(\faktor{\Z}{2\Z}\times \faktor{\Z}{2\Z})}$
|
|
Die Vektorraumautomorphismen von $\K^n$ sind $\GL_n(\K)$, diese sind genau die Gruppenautomorphismen
|
|
von $K^n$.
|
|
\[
|
|
\Aut(\faktor{\Z}{2\Z}\times \faktor{\Z}{2\Z}) = \GL_2(\faktor{\Z}{2\Z})
|
|
\]
|
|
\[
|
|
\GL_2(\faktor{\Z}{2\Z}) = \left\{
|
|
\begin{pmatrix}
|
|
1 & 0 \\
|
|
0 & 1
|
|
\end{pmatrix}
|
|
,
|
|
\begin{pmatrix}
|
|
0 & 1 \\
|
|
1 & 0
|
|
\end{pmatrix}
|
|
,
|
|
\underbrace{
|
|
\begin{pmatrix}
|
|
1 & 1 \\
|
|
0 & 1
|
|
\end{pmatrix}
|
|
}_{\mathclap{\text{hat Ordnung }2}},
|
|
\begin{pmatrix}
|
|
1 & 0 \\
|
|
1 & 1
|
|
\end{pmatrix}
|
|
,
|
|
\underbrace{
|
|
\begin{pmatrix}
|
|
1 & 1 \\
|
|
1 & 0
|
|
\end{pmatrix}
|
|
}_{\mathclap{\text{hat Ordnung }3}},
|
|
\begin{pmatrix}
|
|
0 & 1 \\
|
|
1 & 1
|
|
\end{pmatrix}
|
|
\right\}
|
|
\]
|
|
Definiere $\theta$ durch $
|
|
\begin{cases}
|
|
\theta((123)) =
|
|
\begin{pmatrix}
|
|
1 & 1 \\
|
|
1 & 0
|
|
\end{pmatrix}
|
|
\\
|
|
\theta((12)) =
|
|
\begin{pmatrix}
|
|
1 & 1 \\
|
|
0 & 1
|
|
\end{pmatrix}
|
|
\end{cases}
|
|
$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{bsp}
|
|
|
|
\section{Gruppenaktionen}
|
|
\begin{defin}
|
|
Sei $G$ eine Gruppe, $S$ eine Menge. $G$ operiert auf $S$ (von links), falls eine Abbildung
|
|
\[
|
|
\alpha: \fun{G\times S} S {(g, s)} {gs}
|
|
\]
|
|
existiert mit
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $e_G s = s \forall s \in S$
|
|
\item $(hg)s = h(gs) \forall g, h \in G, \forall s \in S$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
\begin{bemerkung}
|
|
Für festes $g \in G$ ist $\tau_g: \fun S S s {gs}$ bijektiv, denn sie besitzt ein als Inverse die
|
|
Abbildung $\tau_{\inv g}$. $(\tau_{\inv g} \circ \tau_g)(s) = \inv g (gs) = (\inv g g)s = e_G s = s$.
|
|
Es ist $\tau_{gh} = \tau_g \circ \tau_h$, also ist $\tau: \fun G {\mathcal S(S)} g {\tau_g}$ ein
|
|
Gruppenhomomorphismus. Umgekehrt definiert jeder Gruppenhomomorphismus $\tau: G \to \mathcal S(S)$ eine
|
|
Aktion von $G$ auf $S$.
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
\begin{defin}
|
|
Sei $\alpha: {G\times S} \to S$ eine Aktion von $G$ auf $S$, $X \subseteq S, s \in S, g \in G$
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $G\cdot s = Gs = \{ gs: g \in G\}$ heißt der Orbit (die Bahn) von $s$ unter der Aktion von $G$.
|
|
\item $\faktor S G := \{Gs: s \in S\}$ ist die Menge aller Orbits der Aktion von $G$.
|
|
\item $G_X := \{g \in G: gX = X\}$ heißt der Stabilisator von $X$. (es muss nicht $gx = x \forall
|
|
x \in X$ gelten!)
|
|
\item $G_{\{s\}} =: G_s = \{ g \in G: gs = s\}$ heißt Stabilisator von $s \in S$.
|
|
\item $s \in S$ heißt Fixpunkt der Aktion $\alpha$, falls $gs = s \forall g \in G$ (das heißt
|
|
$G_s = G$).
|
|
\item Die Menge aller Fixpunkte der Aktion $\alpha$ wird mit $S^G$
|
|
bezeichnet.
|
|
\item Die Aktion $\alpha$ heißt transitiv, falls $\forall s_1, s_2 \in
|
|
S \exists g \in G: gs_1=s_2$.
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
\begin{bemerkung}
|
|
$\alpha$ ist transitiv genau dann, wenn $\exists s \in S: S= Gs$.
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $\impliedby$: Sei nämlich $s_1 = g_1s, s_2 = g_2 s$. Wähle $g:= (g_2g_1^{-1})$. Dann gilt:
|
|
$(g_2 g_1^{-1}) s_1 = (g_2g_1^{-1})g_1s = g_2s=s_2$
|
|
\item $\implies$: Angenommen für ein $s_1 \in S$ gelte $Gs_1 \neq S$, das heißt $\exists s_2 \in S$ mit
|
|
$gs_1 \neq s_2 \forall g \in G$, sodass $\alpha$ nicht transitiv ist.
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
\begin{bsp}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $G = \mathcal S_n, S = \{1, \dots, n\}, \alpha: \fun {\mathcal S_n \times \{1, \dots, n\}}
|
|
{\{1, \dots, n\}} {(\sigma, i)} {\sigma(i)}$. \\
|
|
Der Stabilisator $(\mathcal S_n)_i$ besteht genau aus den Permutationen, die $i$ als Fixpunkt
|
|
haben.
|
|
|
|
Sei $\hull \sigma$ die von $\sigma \in \mathcal S_n$ erzeugte
|
|
Untergruppe von $\mathcal S_n$ und wir betrachten die
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Einschränkung von $\alpha$ auf $\hull \sigma$. $(\sigma^k, i)
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\mapsto \sigma^k(i)$. Die Orbits dieser Aktion haben die Gestalt
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$(i, \sigma(i), \sigma^2(i), \dots, \sigma^r(i))$ und entsprechen
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daher genau den Zyklen der Permutation $\sigma$.
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\item Sei $H \le G, \alpha: \fun {H \times G} G {(h, g)} {g\inv
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h=\alpha(h, g)}$. $\alpha(e, g) \mapsto g \checkmark \alpha(h_1
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h_2,g) = g(h_1h_2)^{-1} = (gh_2^{-1}) h_1^{-1} = \alpha(h_2,
|
|
g)h_1^{-1} = \alpha(h_1, \alpha(h_2, g))$. Der Orbit $H_g =
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\{\alpha(h, g): h\in H\} = \{g \inv h: h \in H\} = gH$ entspricht
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der Linksnebenklasse $gH$.
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$\faktor G H = $ Menge der Orbits = Menge der Linksnebenklassen. ($\nexists$ Fixpunkt, falls
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$H \neq \{e\}$)
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\item $G$ Gruppe, $H \le G. \faktor GH$: Linksnebenklassen von $G$ nach $H$.
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\[
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\alpha: \fun {G \times \faktor GH} {\faktor GH} {(g, g'H)} {gg'H}
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\]
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Behauptung: $\alpha$ ist transitiv. Seien $g_1H, g_2H$ beliebige
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Linksnebenklassen. Dann ist $(g_2 \inv g_1)g_1 H = g_2 (\inv g_1
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g_1) H = g_2 H$.
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\item $\alpha: \fun {G\times G} G {(g, h)} {gh}$. Dann ist $\alpha$ Aktion wegen $\exists e \in G$ und
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$G$ erfüllt das Assoziativgesetz.
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\item $\alpha: \fun {\GL(V) \times V} V {(f, v)} {f(v)}$. $V = 0$ ist ein einpunktiger Orbit.
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$V \neq 0$ hat als Orbit $V \setminus \{0\}$.
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$\End(V): $Vektorraumendomorphismen von $V$.
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\[
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\beta: \fun {\GL(V) \times \End(V)} {\End(V)} {(f, g)} {f g \inv f}
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\]
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$V = \K^n: \fun {\GL_n(\K) \times M_{n\times n}(\K)} {M_{n\times n}(\K)} {(S, A)} {SA\inv S}$.
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Orbit von A besteht aus allen zu $A$ ähnlichen Matrizen.
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\end{enumerate}
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\end{bsp}
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\begin{proposition}
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\label{linksaktion}
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$\alpha: G\times S \to S$ sei eine Aktion.
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\begin{enumerate}
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\item Für $X \subseteq S$ ist $G_X$ eine Untergruppe von $G$ (die
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Stabilisatoruntergruppe von $X$).
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\item Definiert man $s_1 \sim s_2: \iff \exists g \in G$ mit $s_1 = g
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s_2$, so ist $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $S$.
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|
\item Für $s \in S$ ist $f: \fun {\faktor G {G_s}} {Gs} {gG_s} {gs}$
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eine Bijektion von der Menge der Linksnebenklassen von $G_s$ auf
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den Orbit $Gs$
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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\begin{enumerate}
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\item $X \subseteq S, e \in G_X \implies G_X \neq \emptyset$. Seien $g, h \in G_X$, das heißt $gX = X$ und
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$hX = X$. Es folgt $(gh) X \underset{\text{Aktion}}{=} g(hX) = gX = X$, also $gh \in G_X$.
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Weiters: $\inv g X = \inv g (gX) = (\inv g g) X = eX = X$, also $\inv g \in G_X$. Also $G_X \le G$.
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\item Sei $s \in S$. Dann ist $e\cdot s = s$, also $s \sim s$. Für
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$s_1, s_2 \in S$ mit $s_1 = gs_2$ folgt $\inv g(s_1) = \inv g (g
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s_2) \underset{\text{Aktion}}{=} (\inv g g) (s_2) = e s_2 = s_2$.
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|
Für $s_1, s_2, s_3 \in S$ mit $s_1 = g s_2, s_2 = h s_3$ gilt
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$s_1 = g s_2 = g(h s_3) = (gh) s_3$. Also ist $\sim$ eine
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Äquivalenzrelation.
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Folgerung: $\faktor S \sim = \faktor S G$, daher $S =
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\bigcup_{s\in S} Gs$ und $Gs\cap Gt = \emptyset$ oder $Gs = Gt$.
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\item Seien $g_1, g_2 \in G$ und $g_1 s = g_2 s \iff (\inv g_1 g_2)s =
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s \iff \inv g_1 g_2 \in G_s$. Diese Äquivalenz liefert
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Wohldefiniertheit und Injektivität von $f$. Die Surjektivität ist
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klar.
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\end{enumerate}
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\end{proof}
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\begin{korollar}
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Die Länge des Orbits von $s$ unter $G$ ist der Index der Stabilisatoruntergruppe von $s$ in $G$.
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\[
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\abs{Gs} = [G : G_s]
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\]
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\end{korollar}
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\begin{proof}
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Direkte Folgerung aus \cref{linksaktion}.
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\end{proof}
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\begin{korollar}[Bahngleichung/Orbitzerlegungsformel]
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Sei $\alpha: G\times S \to S$ die Aktion von $G$ auf einer \underline{endlichen} Menge $S$. Dann gilt:
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\[
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\abs S = \sum_{i \in I} \abs{\faktor G {G_{s_i}}} = \sum_{i\in I} [G:G_{s_i}],
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\]
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wobei $G_{s_i}, i \in I$ ein Repräsentantensystem für die disjunkten Orbits
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der Aktion $\alpha$ durchläuft.
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\end{korollar}
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\begin{proof}
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Direkte Folgerung aus \cref{linksaktion}
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\end{proof}
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Alternativ:
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\[
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\abs S = \abs{S^G} + \sum_{i \in \tilde I} [G:G_{s_i}],
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\]
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wobei $G_{s_i}$ die disjunkten Orbits der Länge $> 1$ durchläuft.
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\begin{bsp}
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$\alpha: \fun {G\times G} G {(g, h)} {g h \inv g}$ \dq Konjugation\dq. \\
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$H, H' \le G$ heißen konjugiert, falls sie im selben Orbit bezüglich $\alpha$ liegen, das heißt
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|
$\exists g \in G: g H \inv g = H'$. Für $h \in G:$ der Orbit $Gh = \{ gh \inv g: g \in G\}$ heißt
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Konjugationsklasse von $h$. Der Stabilisator $G_h$ von $h \in G$ bezüglich $\alpha$ ist genau der Zentralisator $Z_G(h)$.
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|
Der Stabilisator $G_H$ von $H \le G$ bezüglich $\alpha$ ist der Normalisator $N_G(H)$ (das ist die
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größte Untergruppe von $G$, in der $H$ normal ist).
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\end{bsp}
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\begin{lemma}[Lemma von Burnside]
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Sei $\alpha: G \times S \to S$ eine Aktion einer endlichen Gruppe $G$ auf der endlichen Menge $S$. Dann
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gilt: $\abs{\faktor S G} = \frac 1 {\abs{G}} \cdot \sum_{g \in G} \abs{S^g}$, wobei
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$S^g := \{s \in S: gs = s\}$
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Setze $T := \{(g, s) \in G \times S: gs = s\}$. $\abs T$ kann auf 2 verschiedene Arten ermittelt werden.
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\begin{enumerate}
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\item für jedes feste $g \in G$: zähle $s \in S$ mit $gs = s$ und
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summiere über alle $g \in G$.
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|
\item für jedes feste $s \in S$: zähle $g \in G$ mit $gs = s$ und
|
|
summiere über alle $s \in S$.
|
|
\end{enumerate}
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|
\begin{enumerate}
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|
\item $\sum_{g \in G} \abs{S^g}$
|
|
\item $\sum_{s \in S} \abs{G_{s}}$
|
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\end{enumerate}
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$\sum_{s \in S} \abs{G_{s}} = \sum_{i=1}^{\abs{\faktor S G}} \sum_{y \in Gs_i} \abs{G_y}$, wobei
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$G_{S_1}, \dots, G_{S_{\abs{\faktor S G}}}$ ein Repräsentantensystem für die disjunkten Orbits bildet.
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|
Für $y, y' \in Gs_i$ gilt $\abs{G_y} = \abs{G_{y'}} = \abs{G_{s_i}}$, daher ist \\
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$\sum_{y \in G_{s_i}} \abs{G_y} = \abs{G_{s_i}} \cdot \underbrace{\abs{Gs_i}}_{[G:G_{s_i}]} = \abs G$.
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|
Schlussendlich $\sum_{s \in S} \abs{G_s} = \sum_{i=1}^{\abs{\faktor S G}} \abs{G} = \abs{\faktor S G} \abs G$
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\end{proof}
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\section{Die Sylow-Sätze}
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\begin{defin}
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Eine endliche Gruppe $G$ mit $\abs G = p^r$ für ein $r \ge 1, p \in \Primes$ heißt $p$-Gruppe.
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\end{defin}
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\begin{proposition}
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\label{sylowprop}
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Sei $\alpha: G \times S \to S$ die Aktion einer $p$-Gruppe $G$ auf einer endlichen Menge $S$.
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Dann gilt $\abs S \equiv \abs{S^G} \mod p$
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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$\abs S = \abs{S^G} + \sum \abs{\faktor G {G_{x_i}}}$. Aus
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$\abs G = p^r = \abs{\faktor G {G_{x_i}}} \cdot \abs{Gx_i}$ folgt, dass \\
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|
$p \mid \sum \abs{\faktor G {G_{x_i}}}$. Daraus folgt die Behauptung.
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\end{proof}
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\begin{korollar}
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\label{sylowkorollar1}
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Sei $G$ eine $p$-Gruppe, dann ist $\abs G \equiv \abs{Z(G)} \mod p$ und $\abs{Z(G)} > 1$.
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\end{korollar}
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\begin{proof}
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Sei $\alpha: G \times G \to G$ die Konjugation, nach \cref{sylowprop} gilt
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$\abs G \equiv \abs{Z(G)} \mod p$. Wegen $\abs G = p^r$ gilt $\abs{Z(G)} \equiv 0 \mod p$, daher folgt
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$\abs{Z(G)} > 1$.
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\end{proof}
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\begin{korollar}
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Jede Gruppe $G$ der Ordnung $p^2$ ist abelsch.
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\end{korollar}
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\begin{proof}
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Es gilt nach \cref{sylowkorollar1}: $\abs{Z(G)} \in \{p, p^2\}$. Angenommen es gelte $\abs{Z(G)} = p$.
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Wegen $Z(G) \trianglelefteq G$, können wir die Gruppe $\faktor G {Z(G)}$ bilden. $\abs{\faktor G {Z(G)}}
|
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= p \implies \faktor G {Z(G)}$ ist zyklisch, das heißt $\exists x \in G$ mit $\faktor G {Z(G)} =
|
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\hull{xZ(G)}$. Jedes $gZ(G)$ lässt sich als $(xZ(G))^r = x^rZ(G)$ schreiben (für geeignetes $r$).
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$g = x^r a$ mit $a \in Z(G)$
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Daher gilt für $g, h \in G$:
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\begin{align*}
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gh & = x^r \cdot a \cdot x^s \cdot b \;
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|
(h = x^s \cdot \underbrace{b}_{\in Z(G)}) \\
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& = x^r x^s a b = x^{r+s} ab = x^s b x^r a = hg
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|
\end{align*}
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\end{proof}
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\begin{defin}
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Sei $p \in \Primes, G$ eine endliche Gruppe der Ordnung $p^r \cdot m$ mit $r \ge 1, \ggT(m, p) = 1$.
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|
Eine Untergruppe $H \le G$ mit $\abs H = p^r$ heißt $p$-Sylow Untergruppe von $G$.
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|
$\syl_p(G)$ bezeichnet die Menge aller $p$-Sylow Untergruppen von $G$.
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\end{defin}
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\begin{bsp}
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$G = \mathcal S_4, \abs{\mathcal S_4} = 24 = 2^3 \cdot 3$. Wir betrachten die Untergruppen
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\begin{align*}
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H & := \hull{(1234), (24)} \text{ hat Ordnung } 8. \\
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|
H' & := \hull{(1243), (23)} \text{ hat Ordnung } 8. \\
|
|
H'' & := \hull{(1324), (34)} \text{ hat Ordnung } 8.
|
|
\end{align*}
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|
Dann gilt $H, H', H'' \in \syl_2(\mathcal S_4)$. Es gilt sogar
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$\syl_2(\mathcal S_4) = \{H, H', H''\}$. Wir betrachten die Untergruppen
|
|
\begin{align*}
|
|
J & := \hull{(123)} \text{ hat Ordnung } 3. \\
|
|
J' & := \hull{(124)} \text{ hat Ordnung } 3. \\
|
|
J'' & := \hull{(134)} \text{ hat Ordnung } 3. \\
|
|
J''' & := \hull{(234)} \text{ hat Ordnung } 3.
|
|
\end{align*}
|
|
$\syl_3(\mathcal S_4) = \{J, J', J'', J'''\}$
|
|
\end{bsp}
|
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|
\begin{satz}[1. Sylowsatz]
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|
$\abs G = p^r \cdot m$ mit $r \ge 1, (m, p) = 1$. Dann enthält $G$ mindestens eine $p$-Sylow Untergruppe.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Sei $S:= \{X \subseteq G: \abs X = p^r\}, \alpha: \fun {G \times S} S {(g, X)} {gX}$ liefert eine Aktion.
|
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Es gilt: $\abs S = \binom{p^r m}{p^r} = \frac{p^r m (p^r m -1)\cdots(p^r m - p^r + 1)}
|
|
{p^r (p^r-1) \cdots 1}$ und $p \nmid \abs S$. Bezeichnet $\nu_p(n)$ die Vielfachheit von $p$ in $n$,
|
|
so gilt: $\nu_p(p^r \cdot m - i) = \nu_p(p^r - i)$. Wir wissen $S = \bigcup_{X \in S} GX$. Wegen
|
|
$p \nmid \abs S$ gilt $p \nmid \abs{\bigcup_{X \in S} GX} \implies \exists X \in S: p \nmid \abs{GX}$.
|
|
|
|
Wegen $\underbrace{\abs G}_{=p^r m} = \underbrace{\abs{GX}}_{p^r \nmid}
|
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\cdot \abs{G_X}$ folgt $p^r \mid \abs{G_X}$. Behauptung: Es gilt sogar
|
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$\abs{G_X} = p^r$. $G_X$ operiert auf $X$ durch Multiplikation, die Orbits
|
|
$G_X x$ entsprechen den Rechtsnebenklassen von $G_X$. Jeder Orbit hat genau
|
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$\abs{G_X}$ Elemente, daher gilt $\abs{G_X} \mid
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|
\underbrace{\abs{X}}_{=p^r}$ und daher folgt $\abs{G_X} = p^r$. Somit ist
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|
$G_X$ eine $p$-Sylow Untergruppe von $G$.
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\end{proof}
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\begin{satz}[2. Sylowsatz] \label{sylowsatz2}
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Seien $P, Q$ zwei $p$-Sylow Untergruppen von $G$. Dann sind $P$ und $Q$ konjugiert, das heißt
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$\exists g \in G$ mit $gP\inv g = Q$. Die Gruppe $G$ agiert auf $\syl_p(G)$ durch Konjugation und diese
|
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Aktion ist transitiv.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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|
$G$ operiert auf der Menge der Linksnebenklassen von $G$ nach $Q$, also auf $\faktor G Q$. $P \le G$, die
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Einschränkung der Aktion auf $P$ liefert eine Aktion von $P$ auf $\faktor G Q$. Laut Voraussetzung gilt:
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$p \nmid \abs{\faktor G Q}$. Es folgt: diese Aktion hat mindestens einen Fixpunkt. Sei $h \in Q$ dieser
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Fixpunkt, das heißt
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$g(hQ) = hQ$
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für alle $g \in P$.
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\[
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ghQ = hQ \iff gh \in hQ \iff g \in h Q \inv h \forall g \in P\iff
|
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P \subseteq h Q \inv h
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\]
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Wegen $\abs P = \abs Q$ folgt $P = h Q \inv h$
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\end{proof}
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\begin{korollar}
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Jede $p$-Untergruppe von $G$ ist in einer $p$-Sylow Untergruppe von $G$ enthalten.
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\end{korollar}
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\begin{proof}
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Wähle im 2. Sylowsatz~\ref{sylowsatz2} für $P$ die $p$-Untergruppe von $G$, für $Q$ eine $p$-Sylow
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Untergruppe von $G$. Bis auf den letzten Schritt folgt das gleiche, insbesondere $P \subseteq h Q \inv h$.
|
|
Da $Q$ schon $p$-Sylow Untergruppe ist, ist $h Q \inv h$ auch eine.
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\end{proof}
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\begin{korollar}
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$\abs{\syl_p(G)} = 1 \iff$ die $p$-Sylow Untergruppe von $G$ ist Normalteiler.
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|
\end{korollar}
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\begin{proof}
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|
Folgt unmittelbar aus dem 2. Sylowsatz~\ref{sylowsatz2}.
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|
\end{proof}
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\begin{satz}[3. Sylowsatz] \label{sylowsatz3}
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|
\begin{enumerate}
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|
\item $\abs{\syl_p(G)} \mid m$
|
|
\item $\abs{\syl_p(G)} \equiv 1 \mod p$
|
|
\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{proof}
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\leavevmode
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\begin{enumerate}
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\item Sei $P \in \syl_p(G)$. $G$ operiert auf $\syl_p(G)$ durch
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|
Konjugation, diese Aktion hat nur einen Orbit nach dem 2.
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|
Sylowsatz~\ref{sylowsatz2}. Es folgt: $\syl_p(G) = GP$,
|
|
insbesondere $\abs{\syl_p(G)} = \abs{GP}$.
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|
\begin{equation}
|
|
\label{eq:1.8.11.1}
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|
\abs{GP} = \abs{\faktor G {G_P}} = \abs{\faktor G {N_G(P)}} = [G: N_G(P)]
|
|
\end{equation}
|
|
Es ist $P \le N_G(P)$ und
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\begin{equation}[G : P] = [G : N_G(P)] \cdot [N_G(P) : P]
|
|
\label{eq:1.8.11.2}
|
|
\end{equation}
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|
Kombiniert man die beiden
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Aussagen (\ref{eq:1.8.11.1}, \ref{eq:1.8.11.2}), folgt
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$\abs{\syl_p(P)} \mid \underbrace{\abs{\faktor GP}}_m$
|
|
\item Durch Einschränkung dieser Aktion auf $P$ erhalten wir eine
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Aktion von $P$ auf $\syl_p(G)$. Behauptung: $P$ ist der einzige
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Fixpunkt dieser Aktion. Sei $Q$ ein Fixpunkt der Aktion, das
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heißt $g Q \inv g = Q \forall g \in P$. Das bedeutet: $P
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\subseteq N_G(Q)$. Wir wenden nun den 2. Sylowsatz
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~\ref{sylowsatz2} in $N_G(Q)$ an auf die $p$-Sylow Untergruppen
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$P$ und $Q$ von $N_G(Q): \exists g \in N_G(Q): Q = g Q \inv g =
|
|
P$.
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Daher gilt: $\abs{\syl_p(G)} \equiv \underset{\substack{| \\
|
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\mathrlap{=\abs{\syl_p(G)^G}}}}{1} \mod p$
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|
\end{enumerate}
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|
\end{proof}
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\begin{bsp}
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Jede Gruppe $G$ der Ordnung $143$ ist zyklisch.
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$143 = 11 \cdot 13$, daher besitzt $G$ 13 beziehungsweise 11-Sylow Untergruppen.
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|
$\underbrace{\abs{\syl_{11}(G)} \mid 13}_{\implies \in \{1, 13\}},
|
|
\underbrace{\abs{\syl_{11}} \equiv 1 \mod {11}}_{\in \{1, 12, 23, \dots\}}$
|
|
Es folgt: $\abs{\syl_{11}(G)} = 1 \implies S_{11} \trianglelefteq G$. $S_{11}$ ist die einzige 11-Sylow
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Untergruppe von $G$.
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Analog: $\abs{\syl_{13}(G)}$ teilt 11 und ist $\equiv 1 \mod 13$, also
|
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$\exists! S_{13} \trianglelefteq G$. $G$ enthält die Normalteiler $S_{11}$
|
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und $S_{13}$. $S_{11} \cap S_{13} = \{e\}$. Es folgt wegen $\abs{S_{11}}
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\cdot \abs{S_{13}} = 11 \cdot 13 = 143$ und $\abs{S_{11} \cap S_{13}} = 1$,
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dass $G = S_{11} S_{13}$. Daher gilt auch $G \cong S_{11} \times S_{13}
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\cong \faktor{\Z}{11\Z} \times \faktor{\Z}{13\Z} \cong \faktor{\Z}{143\Z}$
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\end{bsp}
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\begin{bsp}
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$p, q$ seien verschiedene Primzahlen. Jede Gruppe $G$ mit $\abs G = p \cdot q$ hat einen nicht-trivialen
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Normalteiler.
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\emph{Beweis.} oBdA: $p < q$.
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\[
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\abs{\syl_q(G)} \equiv 1 \mod q \implies \in \{1, q+1, 2q+1, \dots\}
|
|
\]
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|
$\abs{\syl_q(G)} \mid p$. Wegen $p < q$ kommt nur $\abs{\syl_q(G)} = 1$ in Frage. Darum ist die $p$-Sylow
|
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Untergruppe Normalteiler. Könnten wir zeigen, dass auch $\abs{\syl_p(G)} = 1$, so wäre $G$ zyklisch.
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$\abs{\syl_p(G)} \equiv 1 \mod p$ und teilt $q$, daher $\abs{\syl_p(G)} \in \{1, q\}$. Wäre
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$\abs{\syl_p(G)} = q$, so folgte $q \equiv 1 \mod p$.
|
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Jede Gruppe $G$ mit $\abs G = pq, p< q$ verschiedene Primzahlen mit $q \not\equiv 1 \mod p$ ist zyklisch.
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|
\end{bsp}
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\begin{bsp}
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Wie viele Elemente der Ordnung 5 gibt es in einer Gruppe $G$ mit $\abs{G} = 20$?
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$20 = 4 \cdot 5 \implies \exists 5-$Sylow Untergruppen. $\abs{\syl_5(G)} \equiv 1 \mod 5$ und teilt 4
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$\implies \abs{\syl_5(G)} = 1$. $\exists! H \le G$ mit $\abs H = 5$, also 4 Elemente der Ordnung 5.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}
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Bestimmung einer $p$-Sylow Untergruppe von $\GL_n\left(\faktor \Z {p\Z}\right)$. \\
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Zunächst: $\abs{\GL_n\left(\faktor{\Z}{p\Z}\right)}$?
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\[
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\begin{pmatrix}
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* & * & \cdots & * \\
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\vdots \\
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* & \cdots & \cdots & *
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|
\end{pmatrix}
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, *\in \faktor{\Z}{p\Z}
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|
\]
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\begin{itemize}
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|
\item[1. Zeile:] $p^n -1$ Möglichkeiten
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\item[2. Zeile:] $p^n - p$ Möglichkeiten
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|
\item[3. Zeile:] $p^n - p^2$ Möglichkeiten
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|
\item[\vdots]
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|
\item[n. Zeile:] $p^n - p^{n-1}$ Möglichkeiten
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|
\end{itemize}
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Es folgt $\abs{\GL_n\left(\faktor{\Z}{p\Z}\right)} =
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|
\overbrace{(p^n - 1)}^{\nu_p = 0}\overbrace{(p^n - p)}^{\nu_p = 1} \cdots
|
|
\overbrace{(p^n - p^{n-1})}^{\nu_p = n-1}$. $\nu_p(()\cdots()) = 0 + 1 + \cdots + (n-1) = \frac {n(n-1)}2$
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|
Für jede $p$-Sylow Untergruppe $H$ von $G$ muss $\abs H = p^{\frac{n(n-1)}2}$ und umgekehrt. Die Matrizen
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der Gestalt
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\[
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\begin{pmatrix}
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1 & * & \cdots & * \\
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0 & \ddots & \ddots & \vdots \\
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|
\vdots & \ddots & \ddots & * \\
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|
0 & \cdots & 0 & 1
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|
\end{pmatrix}
|
|
\]
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|
bilden eine Untergruppe von $\GL_n(\Z_p)$ mit Ordnung $p^{\frac{n(n-1)}2}$.
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\end{bsp}
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\section{Einfache Gruppen}
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\begin{defin}
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|
$G$ heißt einfach, falls $N \trianglelefteq G \implies N \in \{ \{e\}, G\}$
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\end{defin}
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\begin{proposition}
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|
Alle Gruppen $G$ mit $\abs G < 60, \abs G \notin \Primes$ sind einfach.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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|
$\abs G = p^k \cdot q (p, q$ verschiedene Primzahlen) mit $q \not\equiv 1 \mod p \implies G$ nicht
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einfach.
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$\abs G = 36 = 2^2 \cdot 3^2$. Angenommen: $\abs{\syl_3(G)} > 1$ (falls $=1$, so ist die $3$-Sylow normal)
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|
dann gilt: $\abs{\syl_3(G)} = 4$. $G$ operiert auf $\syl_3(G)$ durch Konjugation. Diese Aktion induziert
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|
einen Gruppenhomomorphismus $\fun {G} {\mathcal S_{\syl_3(G)}} {g} {\tau_g: S \mapsto g S \inv g}$.
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|
Wegen $\abs G = 36$ und $\abs{\mathcal S_{\syl_3(G)}} = 24$ ist $\tau$ nicht injektiv. Folglich gilt
|
|
$\ker(\tau) \neq \{e \}$. Weiters gilt $\ker(\tau) \neq G$. Wäre $\ker(\tau) = G$, so folgte
|
|
$g S \inv g = S \forall g \in G$ was einen Widerspruch zum 2. Sylowsatz ~\ref{sylowsatz2} ergäbe.
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|
Somit ist $\ker(\tau)$ ein echter Normalteiler von $G$.
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\end{proof}
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\begin{satz}
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|
$\mathcal A_5$ ist einfach.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Angenommen $\mathcal A_5$ habe einen Normalteiler $U$.
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\begin{description}
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\item[1. Fall:] $5 \mid \abs U$. Dann enthält $U$ eine Untergruppe der Ordnung 5, also eine 5-Sylow Untergruppe von
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|
$\mathcal A_5$, zum Beispiel $\hull \sigma$, wobei $\sigma$ ein 5-Zyklus ist. Nach dem 2. Sylowsatz
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|
~\ref{sylowsatz2} ist jede andere 5-Sylow Untergruppe zu $\sigma$ konjugiert. Daher wegen
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|
$U \trianglelefteq \mathcal A_5$ in $U$ enthalten, sodass $U$ alle 5-Zyklen enthält. Davon gibt es 24.
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|
Es folgt: $\abs U = 30$.
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|
Ein analoges Vorgehen zeigt, dass auch alle 3-Zykel in $U$
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enthalten sind. Davon gibt es 20, also $U \mathcal A_5$
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|
\item[2. Fall:] $3 \mid \abs U$ Wir zeigen wieder, dass $U$ alle 3-Zykel enthält. Es folgt $\abs U \ge 21$,
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|
damit muss schon $\abs U = 30$ gelten.
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|
Da U auch alle 5-Zykel enthält, folgt wie vorher ein Widerspruch.
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|
\end{description}
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Die einzigen verbleibenden Möglichkeiten für $\abs U$ sind $\abs U = 2$ und $\abs U = 4$. Dann enthält $U$
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ein Element der Ordnung 2, also der Gestalt $(ab)(cd)$. oBdA $(12)(34) \in U$.
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|
\begin{itemize}
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|
\item $(125)(12)(34)(152) = (52)(34) \in U$ wegen $U \nt \mc A_5$.
|
|
\item $(215)(12)(34)(251) = (15)(34) \in U$ wegen $U \nt \mc A_5$.
|
|
\item $(345)(12)(34)(354) = (12)(54) \in U$ wegen $U \nt \mc A_5$.
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{bemerkung}
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|
\begin{itemize}
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|
\item $\abs G = p \implies G$ einfach.
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|
\item $\mc A_n, n \ge 5$ ist einfach.
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|
\item $\faktor {\SL_2(\Z_7)} {\{\pm I\}} =: \operatorfont{PSL}_2(\Z_7)$ hat Ordnung 168 und ist einfach.
|
|
\end{itemize}
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|
+ insgesamt 16 Familien von Matrixgruppen, die alle einfach sind.
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|
$\exists$ 26 weitere Gruppen (\dq sporadische Gruppen \dq) (kleinste hat Ordnung 7920, die größte
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|
$~8\cdot 10^{54}$ und wird Monstergruppe genannt.)
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|
\end{bemerkung}
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\chapter{Ringe}
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\section{Grundlagen}
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|
\begin{defin}
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|
$(R, +, \cdot)$ heißt Ring, falls
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|
\begin{description}
|
|
\item[$R_1$:] $(R, +)$ ist eine abelsche Gruppe.
|
|
\item[$R_2$:] $(R, \cdot)$ erfüllt: $\forall a, b, c \in R: a(bc) = (ab)c$.
|
|
\item[$R_3$:] $\forall a, b, c \in R:
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|
\begin{cases}
|
|
a(b+c) = ab + ac \\
|
|
(a+b)c = ac + bc
|
|
\end{cases}
|
|
$.
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|
\end{description}
|
|
Falls $(R, +, \cdot)$ zusätzlich
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|
\begin{description}
|
|
\item[$R_4$:] $\exists 1 \in R: 1 \cdot a = a \cdot 1 = a \forall a \in R$ gilt, so heißt $(R, +, \cdot)$
|
|
unitär (Ring mit 1)
|
|
\item[$R_5$:] $\forall a, b \in R: ab = ba$ gilt, so heißt $(R, +, \cdot)$ kommutativ.
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|
\end{description}
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
\begin{folgerung}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $0 \cdot a = a \cdot 0 = 0 \forall a \in R$
|
|
\item $(-a) \cdot b = a(-b) = -(ab) \forall a, b \in R$
|
|
\item $(-a)(-b) = ab \forall a, b \in R$
|
|
\item $a(b-c) = ab - ac \forall a, b, c \in R$
|
|
\item $(\sum_{i=1}^n a_i)(\sum_{j=1}^m b_j) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_i b_j$
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{folgerung}
|
|
|
|
\begin{bemerkung}
|
|
$R = (\Z, +, \cdot)$ ist unitärer Ring. \\
|
|
$R' = (2\Z, +, \cdot)$ ist ein Ring, aber nicht unitär.
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|
|
|
$\{0\}$ ist ein Ring, sogar ein unitärer Ring!
|
|
\end{bemerkung}
|
|
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|
\begin{bsp}
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|
\begin{itemize}
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|
\item \Z, \Q, \R, \C
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|
\item $\left(\faktor \Z {n\Z}, +, \cdot\right)$ ist Ring wenn man $(a + n\Z)(b+n\Z) := ab + n\Z$
|
|
\item $M_{n\times n}(\K)$ ist nicht kommutativer, unitärer Ring (bezüglich Matrizenmultiplikation).
|
|
\item Ist $G$ abelsche Gruppe, so ist
|
|
\[
|
|
\End(G) = \{\varphi: (G, +) \to (G, +), \varphi \text{ Gruppenhomomorphismus} \}
|
|
\]
|
|
ein Ring bezüglich
|
|
\begin{align*}
|
|
(\varphi + \psi)(g) & := \varphi(g) + \psi(g) \\
|
|
(\varphi \cdot \psi)(g) & := \varphi(\psi(g))
|
|
\end{align*}
|
|
und heißt Endomorphismenring von $G$. $\End((\Z, +)) \cong (\Z, +, \cdot)$.
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{bsp}
|
|
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|
Weitere Begriffe: (in unitären Ringen)
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|
\begin{defin}
|
|
Sei $a \in R$. Falls $\exists b \in R$ mit $ab = a$, so heißt $b$ Rechtsinverses von $a$. Falls $ba = 1$, so
|
|
heißt $b$ Linksinverses von $a$.
|
|
|
|
Falls $a$ ein Rechtsinverses $b_1$ und ein Linksinverses $b_2$ besitzt und
|
|
diese über-einstimmen, so heißt $b := b_1 = b_2$ Inverses von $a$.
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|
|
|
Man sagt $a$ ist eine Einheit in $R$. $R^*$ bezeichnet die Menger aller
|
|
Einheiten von $R$.
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\end{defin}
|
|
Also ist $\R^* = \R \setminus \{0\}$
|
|
|
|
\begin{defin}
|
|
Gilt in einem Ring $R$:
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|
$R^* = R \setminus \{\overset{\substack{\mathclap{\text{neutrales Element bezüglich }+}\\|}}{0}\}$,
|
|
so heißt $R$ Schiefkörper.
|
|
|
|
Analog zu Rechts- und Linksinversen definieren wir Rechts- und
|
|
Linksnullteiler durch: falls $\exists b \in R\setminus\{0\}$ mit $ab = 0$
|
|
(bzw. $ba = 0$), so heißt $a$ Rechts-/Linksnullteiler. Falls beides
|
|
zutrifft, so heißt $a$ Nullteiler.
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
Für $a, x, y \in R, a$ \underline{kein} Nullteiler gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
ax & = ay \implies x = y \land xa = ya \implies x = y \\
|
|
& \rotatebox{90}{$\iff$} \\
|
|
ax -ay & = 0 \iff a(x-y) = 0
|
|
\end{align*}
|
|
da $a$ kein Nullteiler folgt $x-y = 0$.
|
|
|
|
\begin{defin}
|
|
Ein kommutativer Ring mit Eins, in dem $1 \neq 0$ und der keine Nullteiler besitzt, heißt
|
|
Integritätsbereich.
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|
\end{defin}
|
|
|
|
\begin{bsp}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $\left(\faktor \Z {6\Z}\right)^* = \{1+6\Z, 5+6\Z\}$. \\
|
|
$\left(\faktor \Z {p\Z}\right)^* = \{1 + p\Z, \dots, p-1 + p\Z\} =
|
|
\faktor{\Z}{p\Z} \setminus\{0+p\Z\}$ \\
|
|
$(R^*, \cdot)$ bilden eine Gruppe für jeden kommutativen Ring $R$ mit 1.\\
|
|
Weil $\faktor \Z{p\Z}$ Körper, folgt: $\left(\faktor \Z{p\Z}\right)^*$ ist zyklisch,
|
|
daher $\cong \faktor \Z{(p-1)\Z}$
|
|
\item $\left(\faktor \Z{15\Z}\right)^* =
|
|
\{ \overline 1, \overline 2, \overline 4, \overline 7, \overline 8, \overline {11}, \overline {13}, \overline {14} \}$
|
|
ist nicht zyklisch (nachrechnen).
|
|
\item ${M_{n\times n}(R)}^* = \{A \in M_{n\times n}(R): \det(A)\in R^*\}$
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{bsp}
|
|
|
|
\section{Teilringe \& Homomorphismen}
|
|
\begin{defin}
|
|
Sei $(U, +)$ eine additive Untergruppe von $(R, +)$. Falls $U$ bezüglich $\cdot$ abgeschlossen ist, das
|
|
heißt $\forall a, b \in U$ gilt $ab\in U$, so heißt $(U, +, \cdot)$ Teilring von $(R, +, \cdot)$.
|
|
Falls $(R, +, \cdot)$ ein Ring mit 1 ist, so muss zusätzlich $1 \in U$ gelten. Wir schreiben dann
|
|
$(U, +, \cdot) \le (R, +, \cdot)$.
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
\begin{bemerkung}
|
|
$R$ unitär und $(U, +)$ bezüglich $\cdot$ abgeschlossen impliziert nicht notwendig $U$ unitär
|
|
(siehe $R = \Z, U=n\Z$).
|
|
\[
|
|
Z(R) := \{a \in R: ab = ba \forall b \in R\}
|
|
\]
|
|
ist Teilring von $R$.
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
\begin{bsp}
|
|
$M_{n\times n}(U) \le M_{n\times n}(R)$ falls $U \le R$.
|
|
\end{bsp}
|
|
|
|
\begin{defin}
|
|
$\varphi: (R, +, \cdot) \to (S, \oplus, \odot)$ heißt Ringhomomorphismus, falls $\forall r, s \in R$
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $\varphi(r + s) = \varphi(r) \oplus \varphi(s)$
|
|
\item $\varphi(r \cdot s) = \varphi(r) \odot \varphi(s)$
|
|
\item $\varphi(1_R) = 1_S$ falls $R, S$ Ringe mit 1 sind.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{defin}
|
|
Achtung: $\varphi(r) = 0 \forall r \in R$ definiert einen Ringhomomorphismus, aber keinen Ringhomomorphismus von
|
|
Ringen mit 1.
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|
Analog zu Gruppenhomomorphismen definiert man: Mono-, Epi-
|
|
und Isomorphismus. Ist $\varphi: R \to S$ ein
|
|
Ringisomorphismus, so ist $\varphi^{-1}: S \to R$ auch
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|
einer. (Übungsaufgabe 42)
|
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|
Man zeigt analog: $\varphi: R \to S$ Ringhomomorphismus
|
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$\implies$
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $\varphi^{-1}(\{0_S\}) := \ker(\varphi) \le R$
|
|
\item $\varphi(R) := \im(\varphi) \le S$
|
|
\item $\varphi(0_R) = (0_S)$
|
|
\end{enumerate}
|
|
Beweise sind jeweils Einzeiler.
|
|
|
|
Sei $R$ ein Ring mit 1. $\chi: \fun \Z R n {\underbrace{1_R
|
|
+ \cdots + 1_R}_{n\text{ mal}} =: n \cdot 1_R}$ ist der
|
|
einzige Ringhomomorphismus. Es ist $\ker(\chi) = \{0\}$ oder
|
|
$d\Z$ für ein $d \in \N\setminus\{1\}$. Dieses $d$ heißt die
|
|
Charakteristik ($\Char(R)$) von $R$. $\Char(R) = 0 \iff
|
|
\chi$ injektiv. Falls $\Char(R) \neq 0$ so ist $\Char(R)=d$
|
|
die kleinste natürliche Zahl für die $d\cdot 1_r = 0$. Wegen
|
|
$\im(\chi) \le R$ folgt, dass jeder Ring einen Teilring
|
|
$\Primes(R)$, den Primring von $R$ enthält, der isomorph zu
|
|
\Z\ bzw. $\faktor \Z{d\Z}$ ist.
|
|
|
|
Für Integritätsbereiche $R$ gilt sogar: $\Char(R) = 0$ oder
|
|
$\Char(R) = p$, prim (Übung 46). Falls $R$ ein
|
|
Integritätsbereich mit $\Char(R) = p$, dann gilt:
|
|
\[
|
|
\begin{aligned}
|
|
x^p + y^p & = {(x+y)}^p \\
|
|
x^p y^p & = (xy)^p
|
|
\end{aligned}
|
|
\forall x, y \in R
|
|
\]
|
|
sodass: $\operatorfont{Frob}_p:\fun R R x {x^p}$ ein Ringhomomorphismus ist,
|
|
der sogenannte Frobeniushomomorphismus.
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|
|
|
\section{Ideale \& Quotientenringe}
|
|
\begin{defin}
|
|
Sei $0 \neq I \le R$ sei eine additive Untergruppe. Dann heißt $I$
|
|
\begin{description}
|
|
\item[Linksideal], falls $RI \subseteq I$
|
|
\item[Rechtsideal], falls $IR \subseteq I$
|
|
\end{description}
|
|
Schreibe $I \triangleleft R$, falls $I$ Rechts- und Linksideal ist.
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
\begin{folgerung}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $I \triangleleft R \implies I$ ist bezüglich $\cdot$ abgeschlossen.
|
|
\item $\{0\}$ und $R$ sind Ideale von $R$.
|
|
\item Falls $1_R \in I$, so folgt $I=R$.
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{folgerung}
|
|
|
|
\begin{bsp}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $R = \Z, I = n\Z$ für ein beliebiges $n \in \N$
|
|
\item in $M_{n\times n}(R)$ ist $M_{n\times n}^{(i)}(R) := \left\{
|
|
\begin{psmallmatrix}
|
|
0 & \cdots & 0 & * & 0 \cdots 0 \\
|
|
\vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\
|
|
0 & \cdots & 0 & * & 0 \cdots 0
|
|
\end{psmallmatrix}
|
|
, * \in R \right\}$ ein Linksideal, aber kein Rechtsideal.
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{bsp}
|
|
In Übungsaufgabe 50: $R = \R. M_{n\times n}(\R)$ besitzt keine echten Ideale.
|
|
|
|
Sei $T \subseteq R$ eine beliebige Teilmenge, $R$ ein Ring
|
|
mit 1. Dann ist $(T) := \bigcap_{\substack{I \triangleleft
|
|
R\\ T \subseteq I}} I$ das kleinste Ideal von $R$, das $T$
|
|
enthält, das von $T$ erzeugte Ideal. In Übungsaufgabe 48
|
|
wird gezeigt, dass der Durchschnitt beliebig vieler Ideale
|
|
stets wieder ein Ideal ist. Im Fall $T = \{ a_1, \dots, a_s
|
|
\}$ schreiben wir $(a_1, \dots, a_s)$, im Fall $T = \{a\}$
|
|
so heißt $(a)$ das von $a$ erzeugte Hauptideal.
|
|
|
|
Für jedes $a \in R$ ist $Ra = \{ra: r \in R\}$ ein Linksideal und $aR$ ein
|
|
Rechtsideal von $R$. $(a) = \{x_1 + \cdots + x_n: n \in N, x_i \in RaR
|
|
\text{ für } i = 1, \dots, n\}$. Falls $R$ kommutativ ist, so gilt $(a) =
|
|
aR = Ra$ und allgemeiner $(T) = \{\sum_{\text{endlich}} r_i a_i: r_i \in R,
|
|
a_i \in T\}$.
|
|
|
|
Wir betrachten in diesem Abschnitt nur mehr Ringe mit 1
|
|
\begin{lemma}
|
|
Sei $\phi: R \to S$ ein Ringhomomorphismus. Dann ist $\ker(\phi) \ideal R$
|
|
\end{lemma}
|
|
\begin{proof}
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|
Wir wissen bereits $\ker(\phi) \le (R, +)$. Für $r \in R, s \in \ker(\phi)$ gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
\phi(rs) = \phi(r) \underbrace{\phi(s)}_{=0} = 0, \text{ das heißt } rs \in \ker(\phi) \\
|
|
\phi(sr) = \underbrace{\phi(s)}_{=0} \phi(r) = 0, \text{ das heißt } sr \in \ker(\phi)
|
|
\end{align*}
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{lemma}
|
|
Sei $\phi: R \to S$ ein Ringhomomorphismus, $I \ideal R, J \ideal S$. Dann ist $\inv\phi(J)\ideal R$.
|
|
Falls zusätzlich $\phi$ surjektiv ist, gilt auch $\phi(I) \ideal S$.
|
|
\end{lemma}
|
|
\begin{proof}
|
|
Übungsaufgabe 48
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{bsp}
|
|
$\phi:\fun \Z \Q z z$. $m\Z \ideal \Z, \phi(m\Z)$ ist aber kein Ideal in \Q.
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|
\end{bsp}
|
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|
Für $I \ideal R$ ist $I$ insbesondere Normalteiler von $(R, +)$, da $R$
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|
bezüglich $+$ kommutativ ist. $\faktor{(R,+)}{(I,+)}$ ist also eine
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|
abelsche Gruppe. Wir definieren nun eine Ringstruktur auf $\faktor R I$.
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|
\begin{satz}
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|
Sei $I \ideal R$. Dann ist $\faktor R I$ mit den Verknüpfungen
|
|
$
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|
\begin{aligned}
|
|
(a+I) + (b+I) := a+b+I \\
|
|
(a+I)\cdot (b+I) := ab + I
|
|
\end{aligned}
|
|
$
|
|
ein Ring und $\phi: \fun R {\faktor R I} r {r+ I}$ ein Ringepimorphismus.
|
|
\end{satz}
|
|
\begin{proof}
|
|
Bezüglich $+$ ist die Aussage bereits in der Gruppentheorie gezeigt. $R_1 \checkmark$
|
|
|
|
$\cdot$ ist wohldefiniert: seien $a', b' \in R$ mit $a' = a +x, b' = b + y$ mit $x, y \in I$.
|
|
\[
|
|
(a' + I)(b'+I) = (a + x + I)(b + y + I) =
|
|
ab + \underbrace{ay}_{\in I} + \underbrace{xb}_{\in I} + \underbrace{xy}_{\in I} + I = ab + I
|
|
\]
|
|
$R_2, R_3$ gelten in $\faktor R I$, da sie in $R$ gelten.
|
|
|
|
$\phi$ ist Homomorphismus, da $+, \cdot$ so definiert sind, dass Homomorphie gilt. Einselement von
|
|
$\faktor R I$ ist $1 + I$.
|
|
\end{proof}
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\begin{satz}[Homomorphiesatz für Ringe]
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\label{Ringhomomorphiesatz}
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Sei $I \ideal R$. Dann ist $\faktor R I$ homomorphes Bild von $R$. Der Kern eines Ringhomomorphismus
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$\phi: R \to S$ ist ein Ideal in $R$ und es gilt:
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\[
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\faktor R {\ker(\phi)} \cong \phi(R)
|
|
\]
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Die Abbildung $\fun {\faktor R {\ker(\phi)}} {\phi(R)} r {r+ \ker(\phi)}$ ist wohldefiniert und wegen
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|
$r + \ker(\phi) = s + \ker(\phi) \iff r - s \in \ker(\phi) \iff \phi(r) = \phi(s)$ auch injektiv,
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|
surjektiv nach Konstruktion.
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\end{proof}
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\begin{defin}
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Seien $I, J$ Ideale von $R$.
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\begin{align*}
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I \cap J & := \{x \in R | x \in I \land x \in J\} \ideal R \\
|
|
I + J & := \{ x + y | x \in I, y \in J \} \ideal R \\
|
|
IJ & := \left\{ \sum_{i=1}^n x_i y_i | x_i \in I, y_i \in J, n \in \N \right\}
|
|
\end{align*}
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\end{defin}
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\begin{bemerkung}
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$I \cap J, I + J$ und $IJ$ sind Ideale in $R$.
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\[
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|
R(I + J) = \underbrace{RI}_{\subseteq I} + \underbrace{RJ}_{\subseteq J} \subseteq I + J
|
|
\]
|
|
und analog $(I + J) R$. Für $r \in R$ gilt
|
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\begin{align*}
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|
r \sum_{i=1}^n x_i y_i = \sum_{i=1}^n \underbrace{(rx_i)}_{\in I} y_i & = \sum_{i=1}^n x_i' y_i \\
|
|
\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right) r & = \sum_{i=1}^n x_i \underbrace{y_i r}_{\in J} = \sum_{i=1}^n x_i y_i'
|
|
\end{align*}
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|
Weiters:
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\begin{itemize}
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|
\item $I+ J = (I \cup J)$
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\item $IJ \subseteq I \cap J$.
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\end{itemize}
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|
\end{bemerkung}
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\begin{satz}[1. Isomorphiesatz] \label{ringisomorphiesatz1}
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Sei $R$ ein Ring, $I \ideal R, T \le R$. Dann ist $T + I$ ein Teilring von $R$, $T \cap I$ ein Ideal
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von $T$ und es gilt:
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\[
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|
\faktor {T+I} I \cong \faktor T {T \cap I}.
|
|
\]
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\end{satz}
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\begin{proof}
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in dem Proseminar
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\end{proof}
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\begin{satz}[2. Isomorphiesatz] \label{ringisomorphiesatz2}
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|
Sei $R$ ein Ring, $I, J \ideal R$ mit $I \subseteq J$.
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|
Dann ist $\faktor J I$ ein Ideal von $\faktor R I$ und es gilt
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\[
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|
\faktor {\faktor R I} {\faktor J I} \cong \faktor R J.
|
|
\]
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|
\end{satz}
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\begin{proof}
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Sei $\phi: \fun {\faktor RI} {\faktor RJ} {r + I} {r + J}$. $\phi$ ist wohldefiniert: $r + I = r' + I
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\iff r - r' \in I \implies r- r' \in J \implies r + J = r' + J$
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|
$\phi$ ist Homomorphismus:
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\begin{description}
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\item[$+$] wurde schon in \cref{isomorphiesatz2} gezeigt
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|
\item[$\cdot$] $\phi((r + I) (s + I)) = \phi(rs + I) = rs + J = (r + J)(s + J) =
|
|
\phi(r + I)\phi(s + I)$
|
|
\end{description}
|
|
und surjektiv. $\ker(\phi) = \{r + I \in \faktor R I: \phi(r + I) = J \} =
|
|
\{ r+ I \in \faktor R I: r \in J\} = \faktor J I$.
|
|
Mithilfe des Homomorphiesatzes~\ref{Ringhomomorphiesatz} folgt die Behauptung.
|
|
\end{proof}
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|
|
|
\begin{bsp}
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|
Für $d \mid n$ gilt $n\Z \le d\Z$, beides Ideale in $\Z$. Aus dem
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|
2. Isomorphiesatz~\ref{ringisomorphiesatz2} folgt somit:
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|
$\faktor {\faktor \Z {n\Z}} {\faktor {d\Z} {n\Z}}
|
|
\underset{\substack{| \\ \text{als Ringe!}}}{\cong} \faktor \Z {d\Z}$. \\
|
|
ACHTUNG: Gruppentheorie: es gilt sogar
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|
$\faktor {d\Z} {n\Z} \underset{\substack{|\\\text{als Gruppe}}}{\cong} \faktor \Z {\frac nd \Z}$,
|
|
aber \underline{nicht} als Ringisomorphismus.
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|
\begin{align*}
|
|
\underset{\rotatebox{270}{$\mapsto$}}{(dk + n\Z)}
|
|
\underset{\rotatebox{270}{$\mapsto$}}{(dk' + n\Z)} & =
|
|
\underset{\rotatebox{270}{$\mapsto$}}{d(dkk') + n\Z} \\
|
|
(k + \frac nd \Z) (k' + \frac nd \Z) & \neq dkk' + \frac nd \Z
|
|
\end{align*}
|
|
\end{bsp}
|
|
|
|
\section{Produkte \& Algebren}
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|
\begin{defin}
|
|
Seien $(R; \boxplus, \boxdot)$ und $(S, \oplus, \odot)$ Ringe. Dann ist $R\times S$ mit den Verknüpfungen
|
|
\begin{align*}
|
|
& +: & (r, s) + (r', s') = (r \boxplus r', s\oplus s') \\
|
|
& \cdot: & (r, s) \cdot (r', s') = (r \boxdot r', s \odot s')
|
|
\end{align*}
|
|
ein Ring, das sogenannte direkte Produkt $R \times S$ von $R$ und $S$.
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Sind $R, S$ Ringe mit 1, so ist auch $R \times S$ einer,
|
|
$1_{R\times S} = (1_R, 1_S)$.
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|
\item $R \times S$ ist kommutativ $\iff R$ \& $S$ kommutativ.
|
|
\item $(R \times S)^* = R^* \times S^*$
|
|
\item $R, S$ Integritätsbereich $\overset{\text{i.A.}}{\cancel{\implies}} R \times S$
|
|
Integritätsbereich.
|
|
\[
|
|
(r, 0_S) (0_R, s) = (0_R, 0_s) = 0_{R\times S}
|
|
\]
|
|
\item Für beliebige Indexmenge $I$ bezeichnet $\prod_{i\ in I} R_i = \{
|
|
(r_i)_{i\in I}: r_i \in R_i\}$ das direkte Produkt der $R_i$.
|
|
\end{itemize}
|
|
\[
|
|
\bigoplus_{i\in I} R_i := \{(r_i)_{i \in I}: r_i \in R_i, r_i = 0 \text{ für alle bis auf
|
|
endlich viele }i\}
|
|
\]
|
|
heißt direkte Summe der $R_i$.
|
|
\end{defin}
|
|
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|
\begin{proposition}
|
|
\[
|
|
I \ideal R \times S \iff I = I_R \times I_S \text{ mit }I_R \ideal R, I_S \ideal S
|
|
\]
|
|
\end{proposition}
|
|
\begin{proof}
|
|
im Proseminar
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|
\end{proof}
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|
\begin{defin}
|
|
Ein Ring $(A, +, \cdot)$ heißt Algebra über dem Körper \K, falls eine Skalarmultiplikation
|
|
$\bigcdot: \K \times A \to A$ existiert, sodass $(A, +, \bigcdot)$ ein \K-Vektorraum ist und
|
|
\[
|
|
\forall x, y \in A, \lambda \in \K: \lambda \bigcdot (x y) = (\lambda \bigcdot x) y =
|
|
x (\lambda \bigcdot y).
|
|
\]
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
\begin{bsp}
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|
\begin{enumerate}
|
|
\item $M_{n\times n}(\K)$ und allgemeiner $\End(V)$, wobei $V$ ein \K-Vektorraum.
|
|
\item $\K[x]$
|
|
\item $\operatorfont{Abb}(M \to \K)$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{bsp}
|
|
|
|
Analog zu Ringen: kommutative/unitäre Algebren. $\phi$
|
|
Algebrahomomorphismus $\iff \phi$ Ringhomomorphismus und $\phi(\lambda x) =
|
|
\lambda \phi(x) \forall \lambda \in \K, x \in A$.
|
|
|
|
\begin{defin}
|
|
Ein Ring/Algebra heißt einfach, wenn er/sie keine nicht-trivialen Ideale besitzt und nicht degeneriert
|
|
ist (das heißt es gilt nicht $x \cdot y = 0 \forall x, y, \in R/A$).
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
\begin{bsp}
|
|
Sei $R$ ein kommutativer Ring.
|
|
\[
|
|
R \text{ einfach} \iff R \text{ ist Körper}.
|
|
\]
|
|
\begin{description}
|
|
\item[$\impliedby$:] Sei $R$ Körper, $I \ideal R$ mit $I \neq (0). \exists a \neq 0$ in $I$. $R$
|
|
Körper $\implies \exists \inv a \in R \underbrace{\inv a}_{\in R} \underbrace{a}_{\in I} \in I$,
|
|
das heißt $1 \in I \implies I = R$.
|
|
\item[$\implies$:] Sei $a \in R. (a) = 0 \lor (a) = R \implies \exists r \in R$ mit $ra = 1$, also
|
|
$r = \inv a$, das heißt $a \in R^* \implies R$ ist Körper.
|
|
\end{description}
|
|
\end{bsp}
|
|
|
|
\begin{bsp}
|
|
$M_{n\times n}(\K)$ ist keine einfache Algebra, \R, \C\ sind einfache Algebren.
|
|
\end{bsp}
|
|
|
|
\begin{defin}
|
|
Eine endlichdimensionale, einfache Algebra über \K, für die $Z(A) = \K\cdot 1_A$, heißt zentral-einfach.
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
\R\ ist eine zentral-einfache Algebra über \R, \C\ ebenso, aber \C\ ist nicht zentral-einfach über \R.
|
|
|
|
\section{Kommutative Ringe und Integritätsbereiche}
|
|
In diesem Abschnitt bezeichnet $R$ stets einen kommutativen Ring mit Eins.
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|
|
|
\begin{defin}
|
|
$\mathcal P \ideal R$ heißt Primideal, falls $\mathcal P \neq R$ und
|
|
\[
|
|
\forall r,s \in R: rs \in \mathcal P \implies r \in \mathcal P \lor s \in \mathcal P
|
|
\]
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
\begin{bsp}
|
|
$R = \Z: (m)$ ist prim $\iff m \in \Primes \lor m = 0$.
|
|
\end{bsp}
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|
\begin{satz}
|
|
$I \ideal R$ ist Primideal $\iff \faktor RI$ ist Integritätsbereich.
|
|
\end{satz}
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|
\begin{proof}
|
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\begin{align*}
|
|
\faktor RI \text{ ist Integritätsbereich } & \iff
|
|
\begin{multlined}
|
|
\faktor RI \neq \{0\} \land \big( (r+I)(s+I) = 0+I \\
|
|
\implies r+I = 0+I \lor s+I = 0+I \big)
|
|
\end{multlined}
|
|
\\
|
|
& \iff R\neq I \land (rs \in I \implies r \in I \lor s \in I) \\
|
|
& \iff I \text{ ist Primideal.}
|
|
\end{align*}
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{proposition}
|
|
Ist $\phi: R \to S$ ein Ringhomomorphismus, $J \ideal S$ ein Primideal, dann ist
|
|
$\inv \phi(J) \ideal R$ auch ein Primideal.
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|
\end{proposition}
|
|
\begin{proof}
|
|
Sei $I := \inv\phi(J)$.
|
|
\[
|
|
rs \in I \implies \phi(rs) = \phi(r)\phi(s) \in J
|
|
\]
|
|
Weil $J \ideal S$ Primideal ist, gilt $\phi(r) \in J \lor \phi(s) \in
|
|
J$ und somit $r \in I \lor s \in I$.
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{defin}
|
|
$m \ideal R$ heißt maximales Ideal, falls $m \neq R$ und $m \subseteq I \ideal R \implies
|
|
m = I \lor I = R$.
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
\begin{bsp}
|
|
$R = \Z. (m)$ ist maximal $\iff m \in \Primes$. $\{0\}$ ist in \Z\ kein maximales Ideal und
|
|
$\{0\}$ ist maximal genau dann, wenn $R$ einfach ist, das heißt wenn $R$ ein Körper ist.
|
|
\end{bsp}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
$I \ideal R$ ist maximal $\iff \faktor RI$ ist ein Körper.
|
|
\end{satz}
|
|
\begin{proof}
|
|
\begin{description}
|
|
\item[$\implies$:] Sei $I \ideal R$ maximal. Dann gilt $I \neq R$ und somit
|
|
$\faktor RI \neq \{0\}$. Für $a + I \neq I$ betrachten wir das von $I$ und $a$ erzeugte
|
|
Ideal $J:= \{x + ay | x \in I, y \in R\}$. Dann gilt $J \supsetneqq I$ und wegen $I$
|
|
maximal folgt $J = R$. $\implies \exists \alpha \in I: \alpha + ay = 1$. Das heißt
|
|
$\alpha + ay + I = 1+I$ in $\faktor RI$ und wegen $\alpha \in I: (a+I)(y+I)=ay+I=1+I$,
|
|
sodass $a+ I \in \left(\faktor RI\right)^*$
|
|
\item[$\impliedby$:] Sei $\faktor RI$ ein Körper. Sei $I \subsetneqq J \subseteq R$.
|
|
Sei $a \in J \setminus I$, dann ist $a + I \neq 0 + I$ und $\exists b \in R$ mit
|
|
$\underbrace{(a + I) (b + I)}_{ab + I} = 1 + I$. $1 - ab \in I \subset J$.
|
|
Wegen $a \in J$ ist auch $ab \in J$ und somit $(1 - ab) + ab = 1 \in J \implies J = R$.
|
|
\end{description}
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{proposition}
|
|
$\phi: R \to S$ Ringhomomorphismus, $J \ideal S$ maximal. Falls $\phi$ surjektiv ist, so
|
|
folgt $\inv\phi(J) \ideal R$ maximal.
|
|
\end{proposition}
|
|
\begin{proof}
|
|
Sei $I \ideal R$ mit $\inv\phi(J) \subseteq I$. Dann gilt $\ker(\phi) \subseteq I$. Da $\phi$
|
|
surjektiv ist, ist $\phi(I) \ideal S$ das $J$ enthält. Wegen $J$ maximal folgt $\phi(I) = J
|
|
\lor \phi(I) = S$. Es folgt: $\inv\phi(\phi(I)) = I$ wegen $\ker(\phi) \subseteq I$.
|
|
Es folgt also $I = \inv\phi(J) \lor I = \inv\phi(S) = R$, das heißt $\inv\phi(J)$ ist maximal.
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{bsp}
|
|
Die Surjektivität von $\phi$ ist wesentlich! $R = \Z, S = \Q, \phi: \Z \hookrightarrow \Q$.
|
|
$\{0\}$ ist maximal in $\Q$, aber $\inv\phi(\{0\}) = \{0\}$ ist nicht maximal in \Z.
|
|
\end{bsp}
|
|
|
|
\subsubsection{Wiederholung:}
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|
\begin{lemma}[Zorn] \label{zorn}
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|
Sei $(M, \le)$ eine nichtleere, partiell geordnete Menge. Besitzt \underline{jede}
|
|
totalgeordnete Teilmenge von $M$ eine obere Schranke in $M$, so besitzt $M$ ein maximales
|
|
Element. ($m \in M$ heißt maximal, falls $\forall x \in M: m \le x \implies m = x$)
|
|
\end{lemma}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
\label{maxideal}
|
|
Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, $R \neq \{0\}$. Dann enthält $R$ ein maximales Ideal.
|
|
\end{satz}
|
|
\begin{proof}
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|
Sei $\Sigma$ die Menge aller Ideale $\neq R$ von $R$. $\Sigma$ ist bezüglich $\subseteq$
|
|
partiell geordnet und $\Sigma \neq \emptyset$ wegen $\{0\} \in \Sigma$. Ist
|
|
$T \subseteq \Sigma$ eine totalgeordnete Teilmenge, so ist $\bigcup_{I \in T} I$ eine obere
|
|
Schranke, die in $\Sigma$ liegt.
|
|
Es gilt nämlich $\forall x, y \in \bigcup_{I \in T} I: x \in I_1, y \in I_2$, oBdA:
|
|
$I_1 \subseteq I_2 \implies x + y \in I_2 \to x + y \in \bigcup_{I\in T} I$. Analog bezüglich
|
|
$\cdot$ und die Absorptionseigenschaft $rx \in \bigcup_{I\in T}I$ für $r \in R$ folgt ebenso.
|
|
|
|
Überdies gilt: $\bigcup_{I\in T}I \neq R$, da $\forall I \in T: 1 \notin I$ und daher auch
|
|
$1 \notin \bigcup_{I\in T} I$. Nach dem Lemma von Zorn~\ref{zorn} enthält $\Sigma$ ein
|
|
bezüglich $\subseteq$ maximales Element, dieses ist ein maximales Ideal von $R$.
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{lemma}
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|
Sei $I \ideal R, \faktor RI$ der Quotientenring. Dann entsprechen die Ideale $\bar J$ von
|
|
$\faktor RI$ bijektiv den Idealen $J$ von $R$, welche $I$ enthalten.
|
|
\end{lemma}
|
|
\begin{proof}
|
|
Sei $\Pi: R \to \faktor RI$ der kanonische Epimorphismus. Sei $\bar J \ideal \faktor RI$. Dann
|
|
ist $\inv\Pi\left(\bar J\right) =: J \ideal R$ und $\inv\Pi\left(\bar J\right) \supseteq
|
|
\inv\Pi\left(0_{\faktor R I}\right) = \ker(\Pi) = I$.
|
|
|
|
Umgekehrt, sei $J \ideal R$ mit $J \supseteq I.\, \bar J := \Pi(J)
|
|
\ideal \faktor RI$, da $\Pi$ surjektiv ist. Es gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
& \inv\Pi(\Pi(J)) = J \text{ wegen } \ker(\Pi) = I \subseteq J. \\
|
|
& \Pi(\inv\Pi(\bar J)) = \bar J \text{ wegen } \Pi \text{ surjektiv.}
|
|
\end{align*}
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{korollar}
|
|
Sei $I \ideal R$ ein echtes Ideal. Dann existiert ein maximales Ideal von $m$ von $R$, das
|
|
$I$ enthält.
|
|
\end{korollar}
|
|
\begin{proof}
|
|
Anwendung von \cref{maxideal} auf $\faktor RI$ liefert ein maximales Ideal $\bar m$ in
|
|
$\faktor RI$. Dieses Ideal entspricht eindeutig einem Ideal $m$ von $R$, das $I$ enthält.
|
|
Da die Bijektion von $\phi: \fun R {\faktor RI} r {r+I}$ induziert wird, ist sie
|
|
inklusionserhaltend. $\implies m \ideal R$ ist maximal.
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{korollar}
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|
Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, $I \ideal R$ maximal $\implies I \ideal R$ prim.
|
|
\end{korollar}
|
|
\begin{proof}
|
|
$I$ maximal $\iff \faktor RI$ ist Körper $\implies \faktor RI$ ist Integritätsbereich $\iff I$
|
|
ist prim.
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{proposition}
|
|
Sei $R$ ein endlicher Integritätsbereich. Dann ist $R$ ein Körper.
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|
\end{proposition}
|
|
\begin{proof}
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|
Sei $f_a: \fun R R r {ar}$. $f_a$ für ein $a \in R$. $f_a$ ist injektiv, denn
|
|
$ar_1 = ar_2 \iff ar_1 - ar_2 = a(r_1 - r_2) = 0 \implies r_1 = r_2
|
|
\underset{\abs R < \infty}{\implies} f_a$ ist
|
|
surjektiv $\implies \exists r \in R$ mit $\underbrace{f_a(r)}_{ar} = 1$
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{korollar}
|
|
Ist $\abs{\faktor RI} < \infty$, so ist $I$ genau dann maximal, wenn es prim ist.
|
|
\end{korollar}
|
|
$R = \Z$. $(m)$ ist prim $\iff m = p \in \Primes \lor m = 0$. \\
|
|
$\abs{\faktor \Z{m\Z}} < \infty \implies (m)$ ist genau dann maximal, wenn $m \in \Primes$. \\
|
|
$(0)$ ist nicht maximal.
|
|
|
|
\begin{defin}
|
|
Für zwei Ideale $I, J \ideal R$ schreiben wir $I \mid J: \iff J \subseteq I$.
|
|
\end{defin}
|
|
Achtung, $I$ und $J$ sind hier \dq umgedreht\dq. Für $6\Z \subseteq 2\Z \land 2 \mid 6$ erscheint
|
|
diese Definition natürlich.
|
|
|
|
\begin{defin}
|
|
$I, J$ heißen teilerfremd, falls $I + J = R$
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
\begin{bemerkung}
|
|
Falls $I + J = R$, so folgt $IJ = I \cap J$ ($IJ \subseteq I \cap J$ gilt immer!).
|
|
|
|
Sei nämlich $x \in I \cap J$ und $r, s \in R, r\in I, s \in J$ mit $r+s =
|
|
1$.
|
|
\[
|
|
x = x\cdot 1 = x(r+s) =
|
|
\underbrace{x}_{\in J}\underbrace{r}_{\in I} + \underbrace{x}_{\in I}\underbrace{s}_{\in J}
|
|
\in IJ
|
|
\]
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
\begin{bsp}
|
|
$R = \Z, (m), (n) \ideal \Z. \, m\Z + n\Z = d\Z$ mit $d \mid m \land d \mid n$ und $h \mid m \land
|
|
h \mid n \implies h \mid d$, das heißt $d = \ggT(m, n)$.
|
|
\end{bsp}
|
|
|
|
\begin{defin}
|
|
Für $I \ideal R$ schreiben wir
|
|
\[
|
|
r \equiv s \pmod I:\iff r - s \in I (r, s \in R).
|
|
\]
|
|
\end{defin}
|
|
$\equiv_I$ definiert eine Äquivalenzrelation auf $R$, die mit $+, \cdot$
|
|
verträglich ist, also
|
|
\[
|
|
\begin{cases}
|
|
r \equiv s \pmod I \\
|
|
r' \equiv s' \pmod
|
|
I
|
|
\end{cases}
|
|
\implies
|
|
\begin{cases}
|
|
r+r' \equiv s+s' \pmod I \\
|
|
r\cdot r'
|
|
\equiv s \cdot s' \pmod I
|
|
\end{cases}
|
|
\]
|
|
, also eine Kongruenzrelation.
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|
|
|
\begin{satz}[Chinesischer Restsatz] \label{chinrest}
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Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, $x_1, \dots, x_n \in R, I_1, \dots, I_n \ideal R$ mit
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|
$I_i + I_j = R \forall i \neq j$.
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|
Dann existiert ein $x \in R$ mit $x \equiv x_i \pmod {I_i}$ für $i=1, \dots, n$.
|
|
\end{satz}
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\begin{proof}
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|
Halte zunächst $i \in \{1, \dots, n\}$ fest. Dann ist laut Voraussetzung:
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|
$I_i + I_j = R (j\neq i)$
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\begin{align*}
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|
& \implies \exists a_{i_j} \in I_i, b_j \in I_j\text{ mit }a_{i_j} + b_j = 1 \\
|
|
& \implies 1 = \prod_{j \neq i}(a_{i_j} + b_j) \in I_i + \prod_{j\neq i} I_j
|
|
\end{align*}
|
|
Dies liefert eine Darstellung $1 = y_i + z_i (1 \le i \le n)$ mit $y_i \in I_i$ und
|
|
$z_i \in \prod_{i \neq j} I_j$. Dies bedeutet:
|
|
\begin{align*}
|
|
z_i & \equiv 1 \pmod {I_i} \\
|
|
z_i & \equiv 0 \pmod {I_j} \text{ für } i \neq j
|
|
\,\left(\text{denn } \prod_{j\neq i} I_j \subseteq I_j\right)
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
$x := x_1 \underbrace{z_1}_{\equiv 0 \pmod {I_i}} + \cdots +
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|
\underbrace{x_i \underbrace{z_i}_{\equiv 1 \pmod {I_i}}}_{\equiv x_i \pmod {I_i}}
|
|
+ \cdots x_n \underbrace{z_n}_{\equiv 0 \pmod {I_i}}$ erfüllt $x \equiv x_i \pmod {I_i}$
|
|
\end{proof}
|
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\begin{korollar}
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|
Seien $I_1, \dots, I_n$ paarweise teilerfremde Ideale von $R$. Dann gilt:
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\[
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|
\faktor R {I_1 \cap \dots \cap I_n} \cong \faktor R {I_1} \times \cdots \times \faktor R {I_n}
|
|
\]
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|
\end{korollar}
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\begin{proof}
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Sei
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\[
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|
\phi: \fun R {\faktor R {I_1} \times \cdots \times \faktor R {I_n}} x {(x \pmod {I_1}, \dots, x \pmod {I_n})}.
|
|
\]
|
|
$\phi$ ist Ringhomomorphismus, da $\equiv_{I_i}$ eine Kongruenzrelation ist. Nach dem
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|
Chinesischen Restsatz~\ref{chinrest} ist $\phi$ surjektiv.
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|
\[
|
|
\ker(\phi) = \{x\in R | x \equiv 0 \pmod {I_i}, i = 1, \dots, n\} = I_1 \cap \dots \cap I_n
|
|
\]
|
|
Homomorphiesatz liefert die Behauptung.
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|
\end{proof}
|
|
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|
\begin{bsp}[Anwendung in $\Z$.]
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\begin{itemize}
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|
\item $N = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k} \implies \faktor \Z {n\Z} \cong
|
|
\faktor \Z {p_1^{\alpha_1} \Z} \times \cdots \times \faktor \Z {p_k^{\alpha_k}\Z}$ als Ringe!
|
|
\item Sind $m, n \in \Z$ mit $\ggT(m, n) = 1$, so gilt:
|
|
\[
|
|
\left(\faktor \Z {mn\Z}\right)^* \cong
|
|
\left(\faktor \Z {m\Z} \times \faktor \Z {n\Z}\right)^*
|
|
= \left(\faktor \Z {m\Z}\right)^* \times \left(\faktor \Z {n\Z}\right)^*
|
|
\]
|
|
\begin{align*}
|
|
& \abs{\left(\faktor \Z {mn\Z}\right)}
|
|
= \abs{\{r \in \{1, \dots, mn-1\}: (r, mn) = 1\}} \\
|
|
& = \abs{\{r \in \{1, \dots, m-1\}: (r, m) = 1\}} \cdot
|
|
\abs{r \in \{1, \dots, n-1\}: (r, n) = 1\}}
|
|
\end{align*}
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{bsp}
|
|
|
|
Für Integritätsbereiche $R$ kann man stets eine Einbettung
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|
in einen Körper (Quotientenkörper von $R$) vornehmen, analog
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zur Einbettung von \Z\ in \Q. Auf $(R \times R^*)$ wird eine
|
|
Äquivalenzrelation definiert durch
|
|
\[
|
|
(r, s) \sim (r', s'): \iff rs' - r's = 0
|
|
\]
|
|
Auf $\faktor {R\times R^*} \sim$ ist eine Körperstruktur durch
|
|
\begin{align*}
|
|
(a, b) + (c, d) & := (ad +bc, bd) \\
|
|
(a, b) \cdot (c, d) & := (ac, bd)
|
|
\end{align*}
|
|
$(0, r)$ ist neutrales Element bezüglich $+$, $(r, r)$ ist Einselement.
|
|
$(a, b)^{-1} = (b, a)$ für $a, b \in R^*$.
|
|
|
|
Ist $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, $S \subseteq R$ eine
|
|
multiplikativ abgeschlossene Teilmenge (das heißt $1 \in S
|
|
\land (a, b \in S \implies ab \in S)$), so ist auf $R \times
|
|
S$ eine Äquivalenzrelation definiert durch:
|
|
\[
|
|
(r, s) \sim (r', s'): \iff \exists u \in S \text{ mit } (rs' - sr') \cdot u = 0
|
|
\]
|
|
Reflexivität und Symmetrie sind klar, Transitivität: $(r', s') \sim (r'',
|
|
s'')$ d.h. $\exists u' \in S: (r's''-s'r'')u' = 0$ Es ist dann $(r s'' - s
|
|
r'')s' u u' = 0 $, denn
|
|
\begin{align*}
|
|
\underbrace{r s' u(u's'')}_{} & - \underbrace{r''s' u'(us)}_{} \\
|
|
=-r'su(u's'') & +r's''u'(us) = 0
|
|
\end{align*}
|
|
$(r, s) \to \frac rs$. Die Menge aller Äquivalenzklassen $\frac rs$ bezeichnet man mit
|
|
$\inv SR$. Auf $\inv SR$ definiere $ \frac as + \frac bt := \frac{at+bs}{st},\,
|
|
\frac as \cdot \frac bt := \frac{ab}{st}$. Wohldefiniertheit überprüfen!
|
|
|
|
$(\inv SR, +, \cdot)$ wird zu einem kommutativen Ring mit Eins und heißt Lokalisierung von $R$
|
|
nach $S$. Neutrales Element: $\frac 01$, Eins: $\frac 11$
|
|
\[
|
|
\varphi_S:\fun R {\inv SR} r {\frac r1}
|
|
\]
|
|
Für $s \in S$ ist $\varphi_S(s) = \frac s1 \in (\inv SR)^*$ wegen $\frac s1
|
|
\cdot \frac 1s = \frac ss$. \\ $\varphi$ ist im Allgemeinen nicht injektiv.
|
|
\begin{align*}
|
|
\ker(\varphi) & = \left\{r\in R: \frac r1 = \frac 01 \right\} \\
|
|
& = \{r \in R: \exists u \in S: ru = 0\}
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\begin{bemerkung}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $\varphi$ ist trivial, falls $0 \in S$.
|
|
\item $\varphi$ ist injektiv, falls $0 \notin S \land R$ ist Integritätsbereich.
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
\begin{bsp}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $R$ Integritätsbereich, $S = R\setminus \{0\}$ liefert für $\inv SR$ den
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|
Quotientenkörper von $R$.
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|
\item $R$ kommutativer Ring mit Eins, $\mathcal P$ sei Primideal von $R$. Setze
|
|
\[
|
|
S:= R \setminus \mathcal P
|
|
\]
|
|
$S$ ist multiplikativ abgeschlossen, da $\mathcal P$ prim.
|
|
$\inv{(R\setminus \mathcal P)}R =: R_{\mathcal P}$ heißt Lokalisierung von $R$ bei
|
|
$\mathcal P$.
|
|
$R_{\mc P}$ ist kommutativer Ring mit Eins mit genau einem maximalen Ideal
|
|
$m := \left\{\frac rs: r \in \mc P, s\in R \setminus \mc P\right\}$.
|
|
$m$ ist maximal, da jedes $\frac{r'}s \notin m$ erfüllt $r' \in R \setminus \mc P$, das
|
|
heißt $\frac{r'} s \cdot \frac s {r'} = \frac 11$ und ist invertierbar, sodass jedes Ideal,
|
|
das $r'$ enthält schon ganz $R_{\mc P}$ ist.
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|
|
|
Ein kommutativer Ring mit Eins, der genau ein maximales Ideal
|
|
besitzt, heißt lokaler Ring.
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|
\item $R = \Z, \mc P = (2), \Z_{(2)} = \left\{ x = \frac pq: q \equiv 1 \pmod 2\right\}$
|
|
\item $R = \Z, S = 2\Z \setminus \{0\}$
|
|
\begin{align*}
|
|
\inv S\Z & = \left\{x = \frac pq: q \equiv 0 \pmod 2\right\} \\
|
|
& = \Q
|
|
\end{align*}
|
|
\item $R = \Z, S = \{1, 2, 2^2, \dots \},
|
|
\inv S\Z = \left\{ x = \frac pq: \exists k \in \N: q = 2^k\right\}$
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{bsp}
|
|
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|
\section{Teilbarkeit, faktorielle Ringe}
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|
$R$ sei ab jetzt stets Integritätsbereich.
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\begin{defin}
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|
$a$ heißt Teiler von $b$ (schreibe $a \mid b$)$: \iff \exists c \in R: b = ac$.
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
\begin{bemerkung}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $a \mid a, 1 \mid a, a \mid 1 \iff a \in R^*$
|
|
\item $a \mid b \iff b \in (a) \iff (b) \subseteq (a) \iff (a) \mid (b)$
|
|
\item $a \sim b: a$ heißt zu $b$ assoziiert, falls $a \mid b \land b \mid a$. Dies ist äquivalent
|
|
mit $(a) = (b)$. Es ist $a \sim b \iff b = ua$ mit $u \in R^*$ (denn $a \sim b \iff
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|
\begin{cases}
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|
b = ac \\
|
|
a = bd
|
|
\end{cases}
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|
$ Es folgt $b = bdc$ und $R$ ist IB $\implies 1 = cd$,
|
|
woraus $c,d \in R^*$ folgt.)
|
|
\item in $R = \Z: a \sim b \iff a = \pm b$.
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
\begin{defin}
|
|
\label{ggTdef}
|
|
Ein Element $d \in R$ heißt ein größter gemeinsamer Teiler, $\ggT$, von $a, b$, falls:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $d \mid a \land d \mid b$
|
|
\item $\forall d' \in R: d' \mid a \land d' \mid b \implies d' \mid d$
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{defin}
|
|
ACHTUNG: In Integritätsbereichen muss nicht immer ein $\ggT$ zu je zwei Elementen existieren!
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|
Auch wenn einer existiert, so ist er nicht eindeutig, da er mit beliebigen Einheiten
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multipliziert werden kann.
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|
\begin{bsp}
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\label{bsp:2.6.4}
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$R = \Z + \Z\sqrt{-5} = \left\{x + y\sqrt{-5}: x, y \in \Z\right\}$.
|
|
\begin{align*}
|
|
a & := 2 + 2\sqrt{-5} = 2(1 + \sqrt{-5}) & 2 \mid a \land 2 \mid b \\
|
|
b & := 6 = 2 \cdot 3 = (1 + \sqrt{-5})(1 - \sqrt{-5})
|
|
& 1+\sqrt{-5} \mid a \land 1 + \sqrt{-5} \mid b
|
|
\end{align*}
|
|
Angenommen $\exists d:= \alpha + \beta\sqrt{-5}$ ein $\ggT$ von $a, b$, so muss gelten:
|
|
\[
|
|
2 \mid d \land 1 + \sqrt{-5} \mid d
|
|
\]
|
|
$2 \mid \alpha + \beta \sqrt{-5} \implies \alpha, \beta \equiv 0 \pmod 2$ \\
|
|
$\alpha + \beta\sqrt{-5} \mid 2 + 2 \sqrt{-5} \iff
|
|
\left(\frac \alpha 2 + \frac \beta 2 \sqrt{-5} \mid \left(1 + \sqrt{-5}\right)\right)$ \\
|
|
$\implies d = \pm 2 \lor d = \pm(2 + 2\sqrt{-5})$ \\
|
|
Angenommen $d = \pm(2 + 2\sqrt{-5})$. $(x + y\sqrt{-5})(2+2\sqrt{-5}) = 6 \iff
|
|
(x+y\sqrt{-5})(1 + \sqrt{-5}) = 3 \iff
|
|
\begin{cases}
|
|
x - 5y = 3 \\
|
|
x + y = 0
|
|
\end{cases}
|
|
\iff
|
|
\begin{cases}
|
|
6x = 3 \\
|
|
x + y = 0
|
|
\end{cases}
|
|
$ \\
|
|
$x = \frac 12 \notin \Z$ \\
|
|
Angenommen $d = \pm 2 \implies 1 + \sqrt{-5} \mid 2$\\
|
|
$(x + y\sqrt{-5})(1+\sqrt{-5}) = 2 \iff
|
|
\begin{cases}
|
|
x-5y = 2 \\
|
|
x+ y = 0
|
|
\end{cases}
|
|
\iff
|
|
\begin{cases}
|
|
6x = 2 \\
|
|
x = y
|
|
\end{cases}
|
|
$ \Lightning
|
|
|
|
Fazit: in $\Z + \Z\sqrt{-5}$ haben $a, b$ keinen $\ggT$!
|
|
|
|
\emph{Zwischenrechnung für oben:}\\
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|
Behauptung: $(x + y \sqrt{-5})(u + v\sqrt{-5}) = 1 + \sqrt{-5} \implies x + y\sqrt{-5} =
|
|
\pm(1 + \sqrt{-5}) \lor u + v\sqrt{-5} = \pm(1 + \sqrt{-5})$
|
|
Dann gilt auch: $(x - y\sqrt{-5})(u - v\sqrt{-5}) = 1 - \sqrt{-5}$ \\
|
|
$\implies (x^2 + 5y^2)(u^2 + 5v^2) = 6$, was nur 2 Möglichkeiten zulässt:
|
|
$1 \cdot 6 = 6, 2\cdot 3 = 6$. Wegen $x^2 + 5y^2 = 2/3$ hat keine Lösung in $\Z\times \Z$,
|
|
bleibt nur $(x^2 + 5y^2) = 1 \land (u^2 + 5v^2) = 6$ übrig, woraus
|
|
$x = \pm 1, u = \pm 1, v = \pm 1$ folgt.
|
|
\end{bsp}
|
|
|
|
\begin{defin}
|
|
Sei $p \in R \setminus R^*, p \neq 0$.
|
|
\[
|
|
p \text{ heißt prim}:\iff \forall a, b \in R: p \mid ab \implies p\mid a \lor p \mid b
|
|
\]
|
|
\[
|
|
p \text{ heißt irreduzibel}:\iff \forall a, b \in R: p = ab \implies a \in R^* \lor b \in R^*
|
|
\]
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
\begin{proposition}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $a$ ist irreduzibel $\iff (a) \neq (0)$ ist maximal in der Menge aller Hauptideale von $R$.
|
|
\item $a$ ist prim $\iff (a)$ ist Primideal $\neq (0)$.
|
|
\item $a$ ist prim $\implies a$ ist irreduzibel.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{proposition}
|
|
\begin{proof}
|
|
\leavevmode
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item
|
|
\begin{align*}
|
|
a\text{ sei irreduzibel }\iff & (a \neq 0, a \notin R^*, a = bc \land b
|
|
\notin R^* \implies c \in R^*) \\
|
|
\iff & ( (a) \neq (0), (a) \neq R, (a) = (bc) \land (b) \neq R \implies (c) = R ) \\
|
|
\iff & ( (a) \neq (0), (a) \neq R, (a) \subsetneqq (c) = R ) \\
|
|
\iff & (a) \text{ maximal in der Menge der Hauptideale von } R
|
|
\end{align*}
|
|
\item Sei $p$ prim
|
|
\begin{align*}
|
|
\iff & p \notin R^*, p \neq 0 \land p \mid ab \implies p \mid a \lor p \mid b \\
|
|
\iff & (p) \neq R, (p)\neq (0) \land (ab)\ssq(p)\implies(a)\ssq(p)\lor(b)\ssq(p) \\
|
|
\iff & (p) \neq R, (p) \neq (0) \land ab \in (p) \implies a \in (p) \lor b \in (p)
|
|
\end{align*}
|
|
\item Sei $p$ prim und $p = ab$. Es folgt $p \mid ab \implies p\mid
|
|
a\lor p\mid b$. oBdA sei $p\mid a$, das heißt $\exists c \in R$
|
|
mit $pc = a$. Dann gilt: $p = ab = pcb$ und da $R$
|
|
Integritätsbereich ist, folgt $cb = 1$ das heißt $b \in R^*$ und
|
|
$p$ ist daher irreduzibel.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{defin}
|
|
Ein Integritätsbereich $R$ heißt Hauptidealbereich, wenn jedes Ideal von $R$ ein
|
|
Hauptideal ist (das heißt, von einem Element erzeugt wird).
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
\begin{lemma}
|
|
In einem Hauptidealbereich existiert zu je zwei Elementen stets ein $\ggT$. Er ist
|
|
bis auf Einheiten eindeutig bestimmt.
|
|
\end{lemma}
|
|
\begin{proof}
|
|
Sei $R$ ein Hauptidealbereich (HIB, englisch: Principal Ideal Domain, PID). \\
|
|
$a, b \in R.\, \ggT(a, b) = d \iff (a) + (b) = (d)$. Ist $I := aR + bR$, so gilt
|
|
$(a) \in I \land (b) \in I$ und $I = (\tilde d)$. Es folgt:
|
|
\begin{align*}
|
|
\tilde d\mid a \land \tilde d\mid b & \implies \tilde d \mid d
|
|
& \text{(Definition des ggT~\ref{ggTdef})} \\
|
|
d \mid a \land d \mid b \implies d \mid c \forall c \in I & \implies d \mid \tilde d
|
|
\end{align*}
|
|
$(d) = (\tilde d)$ impliziert $d = u\tilde d$ mit $u \in R^*$.
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{bemerkung}
|
|
Im \cref{bsp:2.6.4}: in $\Z + \Z[\sqrt{-5}]$ existiert der $\ggT$ von $2+2\sqrt{-5}$
|
|
und $6$ nicht, denn das von 2 und $1+\sqrt{-5}$ erzeugte Ideal ist kein Hauptideal.
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
\begin{defin}
|
|
Ein Integritätsbereich $R$ heißt faktoriell (UFD = unique factorisation domain) falls jedes
|
|
$r \in R, r \neq 0, r \notin R^*$ eine Zerlegung $r = p_1 \cdots p_s$ in Primelemente
|
|
$p_1, \dots, p_s$ besitzt.
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
\begin{bemerkung}
|
|
Diese Zerlegung ist bis auf Einheiten eindeutig.
|
|
|
|
Angenommen $r = p_1 \cdots p_n = q_1 \cdots q_m$ mit $p_i, q_j$ prim, oBdA
|
|
$n \le m$. $p_1 \mid q_1 \cdots q_m$ und $p_1$ ist prim $\implies \exists
|
|
i: p_1 \mid q_i$, oBdA $i = 1$. Also: $p_1 \mid q_1$, das heißt $\exists
|
|
u_1 \in R$ mit $q_1 = u_1 p_1$. $q_1$ ist prim $\implies q_1$ ist
|
|
irreduzibel und wegen $p_1 \notin R^*$ folgt $u_1 \in R^*$.
|
|
|
|
Durch Iteration dieses Verfahrens folgt $n = m$ und
|
|
\[
|
|
\{q_1, \dots, q_n\} = \{u_1p_1, \dots u_n p_n\}.
|
|
\]
|
|
\end{bemerkung}
|
|
|
|
Wir zeigen nun, dass jeder Hauptidealbereich faktoriell ist.
|
|
|
|
\begin{lemma}
|
|
Sei $R$ ein HIB und $I_1 \ssq I_2 \ssq I_3 \ssq \cdots$ eine aufsteigende Folge von Idealen
|
|
von $R$. Dann existiert ein $N: I_N = I_{N+1} = \cdots$. Man sagt die aufsteigende Folge von
|
|
Idealen wird stationär.
|
|
\end{lemma}
|
|
\begin{proof}
|
|
Sei $I_1 \ssq I_2 \ssq \cdots$ eine aufsteigende Folge von Idealen von $R$.
|
|
\[
|
|
I := \bigcup_{n=1}^\infty I_n
|
|
\]
|
|
ist ein Ideal von $R$. Dann existiert ein $a \in R$ mit $I = (a)$. Wegen $a
|
|
\in I$ folgt: $\exists N: a \in I_N$. Dann ist $(a) \ssq I_N$ und $I_N \ssq
|
|
(a)$ und somit $I_N = I_{N+1} = \cdots$.
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{defin}
|
|
Ein kommutativer Ring mit Eins in dem jede aufsteigende Folge von Idealen stationär wird,
|
|
heißt noetherscher Ring.
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
\begin{lemma}
|
|
$R$ ist noethersch $\iff$
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item jede nichtleere Menge $M$ von Idealen von $R$ besitzt in $M$ ein
|
|
maximales Element bezüglich $\ssq$.
|
|
\item Jedes Ideal von $R$ ist endlich erzeugt
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{lemma}
|
|
\begin{proof}
|
|
\leavevmode
|
|
\begin{enumerate}
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\item Angenommen $\exists M$, die kein maximales Element besitzt. Es
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folgt:
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\[
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\forall I_1 \in M: \exists I_2\in M: I_1 \subsetneqq I_2.
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\]
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Induktiv konstruiert man so eine \underline{echt} aufsteigende
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Kette von Idealen beliebiger Länge. Ein Widerspruch zu $R$ ist
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noethersch.
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Umgekehrt, besitzt laut Voraussetzung jede Menge von Idealen ein
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maximales Element, insbesondere jede aufsteigende Folge von
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Idealen.
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\item Angenommen $I \ideal R$ ist nicht endlich erzeugt, $\{a_1, a_2,
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|
\dots\}$ ein Erzeugendensystem. Dann ist
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$\hull{a_1}\ssq\hull{a_1, a_2} \ssq\hull{a_1, a_2, a_3} \cdots$
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eine aufsteigende Folge von Idealen. Würde diese Folge stationär,
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so wäre $I$ von nur endlich vielen Elementen erzeugbar. Ein
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Widerspruch zur Voraussetzung.
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Umgekehrt: Für jede aufsteigende Kette $I_1 \ssq I_2 \ssq \cdots$
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ist auch $I:=\bigcup_{n=1}^\infty I_n$ ein Ideal und endlich
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erzeugt nach Voraussetzung. Sei $\hull{a_1, \dots, a_s} = I$.
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Dann gilt $a_1, \dots, a_s \in I$ und somit $a_1 \in I_{n_1},
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\dots, a_s \in I_{n_s}$, woraus $\{a_1, \dots, a_s\} \ssq
|
|
I_{\underbrace{\max\{n_i\}}_{=:N}}$ folgt, und es gilt $I_N =
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I_{N+1} = \cdots$. $R$ ist daher noethersch.
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|
\end{enumerate}
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\end{proof}
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\begin{lemma}
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$R$ sei ein noetherscher Integritätsbereich. Dann besitzt jedes Element $r \in R, r \neq 0,
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r \notin R^*$ eine Zerlegung in irreduzible Elemente.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Angenommen $\exists x_0 \in R, x_0 \neq 0, x_0 \in R^*$, das keine solche Zerlegung besitzt.
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Dann ist $x_0$ nicht irreduzibel, sodass $x_0 = a_0 b_0$ mit $a_0, b_0 \neq 0, \notin R^*$.
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|
Nicht beide können eine Zerlegung in irreduzible Elemente besitzen, oBdA $a_0 =: x_1$ hat
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keine. Es ist $x_1 \mid x_0$, aber $x_1 \not\sim x_0$.
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Durch Iteration dieses Prozesses erhalten wir eine Folge $x_0, x_1, \dots$ von Elementen aus
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$R$ mit $(x_0) \subsetneqq (x_1) \subsetneqq (x_2) \subsetneqq \cdots$. Dies liefert einen
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Widerspruch zu $R$ ist noethersch.
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\end{proof}
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\begin{lemma}
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\label{hiblemma}
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In Hauptidealbereichen gilt stets: $p$ irreduzibel $\implies p$ prim.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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\begin{align*}
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p\text{ irreduzibel} & \iff (p)\text{ ist maximal in der Menge der Hauptideale von }R. \\
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& \iff (p)\text{ ist maximal} \implies (p)\text{ ist Primideal} \\
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|
& \iff p\text{ ist prim}.
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\end{align*}
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\end{proof}
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\begin{satz}
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$R$ ist HIB $\implies R$ ist faktoriell.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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$R$ HIB $\implies R$ ist noethersch $\implies$ jedes $r \in R$ besitzt eine Zerlegung in
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irreduzible Elemente $\overset{\substack{\text{\ref{hiblemma}}\\|}}{\implies}$ jedes Element
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aus $R$ besitzt eine Zerlegung in prime Elemente, das heißt $R$ ist faktoriell.
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\end{proof}
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\begin{satz}
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Sei $R$ faktorieller Integritätsbereich.
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\begin{enumerate}
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\item $r \in R$ ist prim $\iff r$ ist irreduzibel.
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\item Jedes $x \neq 0$ besitzt eine bis auf Einheiten eindeutige
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Zerlegung
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\[
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X = \varepsilon \cdot \prod_{p \in \mathcal P} p^{\nu_p(x)}
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\]
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mit $\varepsilon \in R^*, \nu_p(x) \in \N, \nu_p(x) = 0$ für alle
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|
bis auf endlich viele $p, \mathcal P:$ Vertretersystem von
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Primelementen $\faktor {}\sim$
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|
\item $\forall x, y \in R: \exists \ggT(x, y)$.
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|
\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{proof}
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\leavevmode
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\begin{enumerate}
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\item $x$ ist irreduzibel hat auch eine Zerlegung $x = p_1 \cdots p_r$ mit $p_1, \dots, p_r$
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prim $\implies p_1, \dots, p_r \notin R^* \implies r = 1, x=p_1$ und $x$ ist prim.
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\item ist gezeigt. \checkmark
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\item Sei
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\[
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x = \varepsilon_1 \prod_{p \in \mathcal P} p^{\nu_p(x)},
|
|
y= \varepsilon_2 \prod_{p \in \mathcal P} p^{\nu_p(y)}.
|
|
\]
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|
Setze $d := \ggT(x, y) = \prod_{p\in \mathcal P}
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|
p^{\min\{\nu_p(x), \nu_p(y)\}}$. Dann gilt: $d \mid x \land d
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|
\mid y$. Ist $\tilde d \mid x, \tilde d \mid y$, so ist
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|
$\nu_p(\tilde d) \le \nu_p(x)$ und $\nu_p(\tilde d) \le \nu_p(y)
|
|
\forall p \in \mathcal P$. $\implies \nu_p(\tilde d) \le
|
|
\min\{\nu_p(x), \nu_p(y)\}$ und somit $\tilde d \mid d$.
|
|
\end{enumerate}
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|
\end{proof}
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|
\section{Quadratische Zahlenkörper und Zahlringe}
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\begin{defin}
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Für $d \neq 0, 1$ quadratfrei definiere
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\[
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|
\Q\left(\sqrt d\right) := \left\{a + b\sqrt d \mid a, b \in \Q\right\} \ssq \C.
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|
\]
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|
$\Q\left(\sqrt{d}\right)$ heißt quadratischer Zahlkörper.
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|
\end{defin}
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|
Ein Element $\alpha + \beta \sqrt d, (\alpha, \beta) \in \Q
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|
\times \Q$, heißt ganz in $\Q\left(\sqrt{d}\right)$, falls
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das normierte Polynom $f \in \Q[x]$ von kleinstem Grad mit
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|
$f\left(\alpha + \beta \sqrt d\right) = 0$ schon in $\Z[x]$
|
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liegt (das heißt $\alpha + \beta \sqrt d$ Nullstelle eines
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\underline{normierten} Polynoms aus $\Z[x]$ ist). Falls
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$\alpha \in \Q \cap \Q\left(\sqrt d\right), \alpha = \frac
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ab$, so hat $f(x) = bx -a$ eine Nullstelle in $\frac ab$,
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liegt in $\Z[x]$, ist normiert $\iff b = 1$. $\alpha = \frac
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ab$ ist ganz in $\Q\left(\sqrt d\right) \iff b = \pm 1$.
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|
Für $\alpha + \beta \sqrt d \in \Q\left(\sqrt d\right)
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\setminus \Q:$
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|
\[
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\left(x- \left(\alpha + \beta \sqrt d\right)\right)\left(x - \left(\alpha - \beta \sqrt d\right)\right)
|
|
= x^2 - 2\alpha x + \left(\alpha^2 - d\beta^2\right) \in \Q[x]
|
|
\]
|
|
$\alpha + \beta \sqrt d$ ist ganz $\iff P(x) \in \Z[x]$.
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$P(x) \in \Z[x] \iff 2\alpha \in \Z \land \alpha^2 - d \beta^2 \in \Z$.
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|
\begin{description}
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\item[1. Fall:] $\alpha \in \Z \land \alpha^2 - d \beta^2 \in \Z \iff (\alpha, \beta) \in \Z \times \Z$
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|
\item[2. Fall:] $\alpha = \frac u2$, dann muss auch $\beta = \frac v2$.
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|
$\frac {u^2} 4 - \frac {dv^2} 4 \in \Z \iff u^2 - db^2 \equiv 0 \pmod 4$. Es ist $u^2 \equiv 1 \pmod 4
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|
\land v^2 \equiv 1 \pmod 4$. Falls $d \equiv 2, 3 \pmod 4$: diese Gleichung ist nie erfüllt. Falls aber
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|
$d \equiv 1 \pmod 4$ ist sie immer erfüllt.
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|
\end{description}
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|
Wir erhalten:
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\[
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|
\alpha + \beta \sqrt d\text{ ist ganz in }\Q\left(\sqrt d\right) \iff
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|
\begin{cases}
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|
\alpha, \beta \in \Z & \text{für } d\equiv 2, 3 \pmod 4 \\
|
|
(\alpha, \beta \in \Z) \lor (2\alpha, 2\beta \in \Z & \text{mit } 2 \alpha \equiv 2\beta \pmod 2)
|
|
\end{cases}
|
|
\]
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|
|
|
\begin{defin}
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|
Der Ring $\mathcal O_d$ der ganzen Zahlen in $\Q\left(\sqrt d\right)$ ist $\Z + \Z\omega$, wobei
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|
$\omega = \frac{1+ \sqrt d}2$ für $d \equiv 1 \pmod 4$ und $\omega = \sqrt d$ für $d \equiv 2, 3\pmod 4$.
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|
\end{defin}
|
|
Überprüfe: $\mc O_d$ ist wirklich ein Ring.
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\begin{defin}
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|
In $\Q\left(\sqrt d\right)$ definieren wir die Norm von $\alpha + \beta \sqrt d$ durch
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\[
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|
\mc N\left(\alpha + \beta \sqrt d\right) =
|
|
\left(\alpha + \beta \sqrt d\right)\left(\alpha - \beta \sqrt d\right) =
|
|
\alpha^2 - d \beta^2
|
|
\]
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|
\end{defin}
|
|
Es gilt: $\mc N(xy) = \mc N(x) \mc N(y)$ für $x, y \in Q\left(\sqrt d\right)$ ($\mc N$ ist multiplikativ).
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\begin{bemerkung}
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|
$x \in \mc O_d^* \iff \mc N(x) = \pm 1 (\in \Z^*)$ \\
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$x \in \mc O_d^* \iff \exists y \in \mc O_d: xy = 1$. Es folgt $\mc N(xy) = \mc N(x) \mc N(y) = 1$.
|
|
$\mc N(x), \mc N(y) \in \Z$ (klar falls $x, y \in \Z + \Z\sqrt d, \frac{u^2}4+\frac{v^2}4d =
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|
\frac{u^2+v^2 d}4 \in \Z$). $\implies \mc N(x) \in \pm 1$. \\
|
|
Falls $\mc N(x) = \pm 1, x = \alpha + \beta \sqrt d, \implies
|
|
\left(\alpha + \beta \sqrt d\right) \left(a - \beta \sqrt d\right) = \pm 1$, das heißt $x \in \mc O_d^*$.
|
|
\end{bemerkung}
|
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|
Für welche $d$ ist $\mc O_d$ faktoriell und wie weist man es
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nach? Es sind jedenfalls nicht alle $\mc O_d$ sind
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faktoriell, z.B. $\mc O_{-5}$ ist es nicht! Siehe dazu
|
|
\cref{bsp:2.6.4}.
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|
|
In $\mc O_{-5} = \Z + \Z\sqrt{-5}$ gilt $6 = 2 \cdot 3 =
|
|
\left(1+\sqrt{-5}\right)\left(1-\sqrt{-5}\right)$. Wir
|
|
wissen bereits: $1 + \sqrt{-5}$ ist irreduzibel in $\mc
|
|
O_{-5}$. Wäre $\mc O_{-5}$ faktoriell, so folgte daraus: $1
|
|
+ \sqrt{-5}$ ist prim. $1+ \sqrt{-5} \mid 2 \lor 1 +
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|
\sqrt{-5} \mid 3$, was aber nicht der Fall ist.
|
|
|
|
$\mc O_{10}$ ist auch nicht faktoriell,
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|
$6 = 2 \cdot 3 = \left(4 + \sqrt{10}\right)\left(4 - \sqrt{10}\right)$
|
|
|
|
\begin{defin}
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|
Eine Funktion $\nu: R \setminus \{0\} \to \Z^+$ mit $\nu(mn) \ge \nu(m) \forall m, n \in R\setminus\{0\}$
|
|
heißt euklidische Normfunktion auf dem Integritätsbereich $R$, falls für $m, n \in R, m \neq 0$
|
|
Elemente $q, r \in R$ existieren mit $n = qm + r$ und $\nu(r) < \nu(m)$ oder $r = 0$. Der Ring $R$ heißt
|
|
dann euklidischer Ring.
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|
\end{defin}
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|
\begin{bsp}
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\begin{enumerate}
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|
\item $R = \Z, \nu = \abs{\cdot}$. Satz von der Division mit Rest liefert: \Z\ ist euklidisch.
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|
\item $R = \Z + \Z i (= \mc O_{-1}), \nu = \mc N$. Seien $a, b \in \Z[i]$. Zu zeigen: $\exists
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|
q, r \in \Z[i]$ mit $a = qb + r$ und $\underbrace{\mc N(r) < \mc N(b)}_{\text{sogar }\mc N(r) \le \frac{\N(b)} 2} \lor r = 0$.
|
|
Schreiben $\frac ab = \xi + i \eta$ mit $\xi, \eta \in \Q$. Es existieren $k, l \in \Z$ mit
|
|
$\abs{\xi - k} \le \frac 12, \abs{\eta - l} \le \frac 12$. $\mc N((\xi + i \eta) - (k + i l)) =
|
|
\mc N(\underbrace{(\xi - k)}_{\abs{\cdot} \le \frac 12} + i \underbrace{(\eta - l)}_{\abs{\cdot}\le \frac 12}) \le \frac 12$
|
|
Setze nun: $q := k + il, r = a - qb$
|
|
\begin{align*}
|
|
\mc N(r) & = \mc N(a - qb) = \mc N(a - (k + il)b) = \mc N(b\left(\frac ab - (k + il)\right)) \\
|
|
& = \mc N(b) \cdot \underbrace{\mc N(\frac{a}{b} - (k + il))}_{\le \frac 12}
|
|
\le \frac 12 \mc N(b)
|
|
\end{align*}
|
|
Es folgt: $\Z[i]$ ist euklidisch mit $\nu = \mc N$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{bsp}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
$R$ euklidisch $\implies R$ HIB ($\implies R$ faktoriell)
|
|
\end{satz}
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|
\begin{proof}
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|
Sei $I \ideal R$. Ist $I = \{0\} \implies I = (0)$.\\
|
|
Falls $I \neq (0)$, so existiert ein $0 \neq a \in I$ mit $\nu(a)$ ist minimal. $(a) \in I$ und wir
|
|
behaupten: $(a) = I$. Sei $b \in I$. Dann ist $b = qa + r$ mit $q, r \in R$ und $\nu(r) < \nu(a)$ oder
|
|
$r = 0$ (da $R$ euklidisch!).
|
|
$r = \underbrace{b}_{\in I} - \underbrace{q}_{\in I}\underbrace{a}_{\in I} \in I$, ein Widerspruch zu
|
|
$\nu(a)$ minimal, es sei denn $r = 0$ und $b \in (a)$. Da $b$ beliebig war, folgt $(a) = I$.
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|
\end{proof}
|
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|
$\mc O_{-43}$ ist HIB, aber nicht euklidisch.
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\chapter{Polynomringe}
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\section{Grundlagen}
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|
$\mc F := \{f: \N \to R | \abs{\support(f)} < \infty \}$, wobei
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$\abs{\support(f)} := \{n \in \N| f(n) \neq 0\}$
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|
Wir versehen $\mc F$ mit folgenden Operationen:
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\begin{align*}
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+: & \mc F \times \mc F \to \mc F \\
|
|
& (f + g)(n) = f(n) + g(n) \\
|
|
\cdot_R : & R \times \mc F \to \mc F \\
|
|
& (r \cdot_R f)(n) = r\ \cdot f(n) \\
|
|
\star: & \mc F \times \mc F \to \mc F & \text{Faltung} \\
|
|
& (f\star g)(n) = \sum_{k+l=n} f(k)g(l)
|
|
\end{align*}
|
|
Mit diesen Operationen wird $\mc F$ zu einer kommutativen $R$-Algebra.
|
|
\[
|
|
\delta_n: m \mapsto \delta_n(m) =
|
|
\begin{cases}
|
|
1 & m = n \\
|
|
0 & \text{sonst}
|
|
\end{cases}
|
|
\]
|
|
Dann ist $\delta_n \in \mc F$. Jedes $f \in \mc F$ kann man darstellen als
|
|
$\sum_{n} f(n) \delta_n$. $\delta_0$ ist Einselement in $\mc F: (f \star
|
|
\delta_0)(n) = \sum_{k+l=n} f(k) \delta_0(l) = f(n)$. Weiters gilt:
|
|
$\delta_1^k = \delta_k$ für $k = 0, 1, \dots (f^k:= \underbrace{f \star f
|
|
\dots}_{k-\text{mal}})$. Angenommen $\delta_1^j = \delta_j$ sei für alle $n <
|
|
k$ bereits gezeigt. Dann ist
|
|
\begin{align*}
|
|
\delta_1^j(n) & = (\delta_1^{j-1} \star \delta_1)(n) = \delta_{j-1} \star \delta_1(n)
|
|
= \sum_{k+n=n} \delta_{j-1}(l)\delta_1(k) \\
|
|
& = \sum_{k+l=n} \delta_{j-1}(k)\delta_1(l) \\
|
|
& = \underbrace{\delta_{j-1}(j-1)}_{=1} \delta_1(n-j+1)
|
|
+ \delta_{j-1}(n-1)\underbrace{\delta_1(1)}_{=1} & (\delta_1(1)\delta_{n-1}(n-1), \text{ falls }n=j) \\
|
|
& =
|
|
\begin{cases}
|
|
1 & \text{für } n=j \\
|
|
0 & \text{sonst}
|
|
\end{cases}
|
|
\implies \delta_1^j(n) = \delta_j(n) \forall n \\
|
|
& \implies \delta_1^j = \delta_j
|
|
\end{align*}
|
|
$\implies$ jedes $f \in \mc F$ hat Darstellung als $\sum_{n \in \support(f)} f(n) \delta_1^n$.
|
|
|
|
\begin{defin}
|
|
Die Abbildungen $f \in \mc F$ heißen Polynome. $\mc F$ heißt Polynomring/Algebra in $\delta_1$ über $R$.
|
|
\begin{align*}
|
|
\mc F & =: R[\delta_1] \\
|
|
\delta_1 & := X,\, f(X) = \sum_{i=0}^d a_i X^i \text{ mit } a_i := f(i) \\
|
|
& \implies f \leftrightarrow (a_0, \dots, a_d)
|
|
\end{align*}
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
\begin{align*}
|
|
& (a_0, a_1, a_2) \star (b_0, b_1) = (a_0 b_0, a_0 b_1 + a_1 b_0, a_2 b_0 + b_1 a_1, a_2 b_1) \\
|
|
\widehat= & (a_0 + a_1 X + a_2 X^2)(b_0 + b_1 X)
|
|
= a_0 b_0 + (a_0 b_1 + a_1 b_0)X + (a_1 b_2 + a_2 b_0)X^2 + a_2 b_1 X^3
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
$a_0$: konstanter Koeffizient.\\
|
|
$d := \max{n: a_n \neq 0}$ heißt führender Koeffizient, $d := \deg(f)$. Für Polynomringe in $d$ Variablen,
|
|
betrachte
|
|
\[
|
|
\mc F := \{f: \N \to R | \abs{\support(f)} < \infty\}
|
|
\]
|
|
liefert $f(X_1, \dots, X_d) = \sum_{(i_1, \dots, i_d)} a_{i_1, \dots, i_d}
|
|
X_1^{i_1} \cdot \dots \cdot X_d^{i_d}$
|
|
\[
|
|
\deg(f) := \sup\{i_1 + \dots + i_d: a_{i_1, \dots, i_d} \neq 0\} \text{ falls } f \neq 0.
|
|
\]
|
|
Setze: $\deg(0) = -\infty$.
|
|
|
|
\begin{satz}
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|
Sei $R$ Integritätsbereich, dann gilt für $\deg: \fun {R[X_1, \dots, X_d]} {\N\cup\{-\infty\}} P {\deg(P)}$:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $\deg(PQ) = \deg(P) + \deg(Q)$.
|
|
\item $\deg(P+Q) \le \max\{\deg(P), \deg(Q)\}, P, Q \neq 0$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{satz}
|
|
\begin{proof}
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$(d=1)$\\
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|
Sei $P(X)=\sum_{i=0}^n a_i X^i, Q(X) = \sum_{j=0}^m b_j X^j (a_n \neq 0 \neq b_m)$.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $PQ(x)$ hat führenden Koeffizienten $a_n b_m \neq 0$ (Da $R$ IB).
|
|
\[
|
|
\implies \deg(PQ) = n+m.
|
|
\]
|
|
\item Falls $m < n$ oder $m < n$, so ist der führende Koeffizient von $P + Q$
|
|
gerade $b_m$ oder $a_n$. Falls $n=m$: führender Koeffizient von $P+Q$ hat
|
|
Index $\le n( = m )$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{proof}
|
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\begin{korollar}
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|
$R$ ist Integritätsbereich $\implies R[X]$ ist Integritätsbereich, $(R[X])^* = R^*$
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|
\end{korollar}
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\begin{proof}
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Seien $f, g \neq 0$ in $\R[X]$. Dann ist $\deg(f) > -\infty$ und $\deg(g) > -\infty$, also
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$\deg(fg)=\deg(f) + \deg(g) > -\infty \implies fg \neq 0$
|
|
|
|
Sei $0 \neq f \in R[X]$ und $g \in R[X]$ mit $f\cdot g = 1$.
|
|
\[
|
|
\deg(fg) = 0 = \underbrace{deg(f)}_{>-\infty} + \underbrace{\deg(g)}_{>-\infty}
|
|
\implies \deg(f) =0 = \deg(g).
|
|
\]
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|
Also können wir f, g mit konstanten Koeffizienten identifizieren, für diese
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|
gilt ${\underbrace{f_0g_0}_{\in R^*} = 1} \implies f, g$ sind Einheiten,
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|
also in $(R[X])^*$.
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\end{proof}
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\begin{satz}
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Seien $R, S$ kommutative Ringe mit Einselement, $R \le S$. Dann definiert die Abbildung
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\[
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\ev_a: \fun {R[X]} S P {P(a)}
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\]
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einen Ringhomomorphismus für alle $a \in S$.
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$\ev_a$ heißt Evaluationsabbildung an der Stelle $a$.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Die Homomorphie ist direkte Konsequenz
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der Definitionen von $+, \star$ in $R[X]$ für kommutative Ringe mit 1. Durch Auswertung an allen $a \in S$
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erhalten wir eine Funktion
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\[
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f_P:\fun S S a {\ev_a(P) = P(a),}
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\]
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die $P$ zugeordnete Polynomfunktion.
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\end{proof}
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Wir sagen: $P$ hat in $a$ eine Nullstelle $\iff P \in
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\ker(\ev_a)$. Für $P, Q \in R[X], f_P, f_Q$ die zugehörigen
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Polynomfunktionen gilt
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\[
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f_P = f_Q \iff P-Q \in \bigcap_{a \in S} \ker(\ev_a) \iff \bigcap_{a \in S} \ker(\ev_a) = \{0\}.
|
|
\]
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\begin{bsp}
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$R = \faktor \Z {5\Z}, P(X) = X^5, Q(X) = X$.
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\begin{center}
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\begin{tabular} {| c | c |}
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$X$ & $X^5$ \\
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\midrule
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0 & 0 \\
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1 & 1 \\
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2 & $32=2$ \\
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3 & 3 \\
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4 & 4
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|
\end{tabular}
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|
\end{center}
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|
$\implies f_P = f_Q \land P \neq Q \implies X^5 - X \in \bigcap_{a \in \faktor{\Z}{5\Z}} \ker(\ev_a)$
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\end{bsp}
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\section{Wann ist \texorpdfstring{$R[X]$}{R[X]} faktoriell?}
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Sei zunächst $R$ unitärer Ring.
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\begin{satz}
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\label{satz:koeffizienten}
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Seien $f, g \in R[X]$, der führende Koeffizient von $f$ sei eine Einheit in $R \implies \exists$
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eindeutig bestimmte Polynome $q, r \in R[X]$ mit $\deg(r) < \deg(f) \lor r = 0$ mit $g = qf+r$.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Ist $g = 0$ oder $\deg(g)$, so wähle $q = 0, r = g$ \checkmark
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Induktion nach $\deg(g) =: n$ Induktionsanfang: $n=0$ \checkmark (in $R$
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kann jedes Element ($g$) durch Einheit ($f$) geteilt werden) \\ Angenommen
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die Aussage ist für Polynome $g$ von Grad $< n$ bereits gezeigt. Sei $f(x)
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= \varepsilon X^m + a X^{m-1} + \dots, g(x) = b X^n + c X^{n-1} + \dots, \,
|
|
\varepsilon \in R^*, a,b,c \in R,\, m\le n.$ Betrachte $g_1 := g - b\inv
|
|
\varepsilon X^{n-m} f = (bX^n + cX^{n+1} +\dots) - b \inv\varepsilon
|
|
X^{n-m}(\varepsilon X^m + a X^{m-1}) = 0 X^n + (X-b\inv\varepsilon a)
|
|
X^{n-1}$. $g_1 = 0$ oder $\deg(g_1) < n$, sodass nach
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|
Induktionsvoraussetzung: $\exists q_1, r \in R[X]$ mit $g_1 = q_1 \cdot f +
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|
r$ und $\deg(r) < \deg(f)$ Es folgt:
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\[
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|
g = g_1 + b\inv\varepsilon X^{n-m} f = (\underbrace{q_1 + b\inv\varepsilon X^{n-m}}_{=:q})
|
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f + r.
|
|
\]
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|
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|
Eindeutigkeit: $g = qf+r = q_1f+r_1$ mit den entsprechenden Bedingungen an
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$\deg(r), \deg(r_1)$. Daraus folgt: $r-r_1 = (q_1 - q)f$. Falls $q_1 \neq
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|
q$, so ist $\deg(r-r_1) = \deg((q_1-q)f)
|
|
\overset{\mathclap{\substack{\text{da der führende Koeffizient von $f$ kein
|
|
Nullteiler ist!}\\|}}}{=} \deg(q_1-q) + \deg(f) \implies \deg(r-r_1) \ge
|
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\deg(f)$, ein Widerspruch zu $\deg(r), \deg(r_1) < \deg(f)$.
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|
\end{proof}
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\begin{korollar}
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Sei $R$ ein KRE, $f \in R[X]$. Es ist $f(a) = 0 \iff f(X) = (X-a)q(X)$ mit $q \in R[X]$.
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(das bedeutet: $\ker(\ev_a) = (X-a))$)
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\end{korollar}
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\begin{proof}
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Teile $f$ durch $X-a$ mit Rest. Nach dem vorigen \cref{satz:koeffizienten} gilt:
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$f(X) = (X-a)q(X) + r(X)$ mit $\deg(r) < 1$. Falls $r(X) \neq 0$, so muss $r(X) = r \in R$ gelten.
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|
Wende nun $\ev_a$ an: $f(a) = r\implies r = 0$. Die Umkehrung ist klar.
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\end{proof}
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Es ist essenziell dass $R$ kommutativ ist:
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\begin{bsp}
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$R$ sei nicht kommutativ, $a, b \in R$ mit $ab \neq ba$. $f(X) := X^2 + (a-b)X - ab$.
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Dann ist $f(b) = b^2 + ab - b^2 - ab = 0$. Angenommen $\exists q(X) \in R[X]$ mit $f(X)=(X-b)q(X)$.
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|
Dann gilt $\deg(q) = 1$, der führende Koeffizient von $q$ ist $1$. Es muss sogar $q(X) = X+a$ gelten.
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|
$(X-b)(X+a) =: g(x)$
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\[
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|
g(a) = (a-b)2a = 2a^2 - 2ba \neq f(a) = a^2 + a^3 - ba - ab = 2a^2 - (ab+ba).
|
|
\]
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|
\end{bsp}
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\begin{satz}
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Sei \K{} ein Körper. Dann ist $\K[X]$ faktoriell.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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\K{} Körper $\implies$ jedes $a \in \K, a \neq 0,$ ist eine Einheit. Daher ist
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$\deg:\K[X] \to \N$ eine euklidische Normfunktion auf $\K[X]$. Daher ist $\K[X]$ euklidisch
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|
$\implies \K[X]$ ist HIB $\implies \K[X]$ faktoriell.
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\end{proof}
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Sei $R$ ein faktorieller Ring. Wir wissen bereits: zu $a_1,
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\dots, a_n \in R$ existiert stets ein $\ggT$.
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\begin{defin}
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Sei $f(X) \in R[X]$ mit $f(X) = a_m X^m + \dots + a_1 X + a_0$. Dann heißt jeder $\ggT$ von
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$(a_0, \dots, a_m)$ ein Inhalt ($I(f)$) von $f$.
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|
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|
$I(f)$ ist daher bis auf Einheiten von $R$ eindeutig festgelegt. $f$ heißt primitiv, falls $1$ ein Inhalt
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|
von $f$ ist. Schreibe $I(f) = 1$.
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\end{defin}
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|
Jedes $f \in R[X]$ kann als $I(f) \cdot f^*$ geschrieben werden, mit $f^*$ primitiv.
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\begin{lemma}[Lemma von Gauß]\label{lemma:gauss}
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Für $f, g \in R[X]$ gilt $I(fg) = I(f)I(g)\cdot \eps$ mit $\eps \in R^*$.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Schreibe $f = I(f) \cdot f^*, \, g= I(g) \cdot g^*$.
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\[
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|
I(I(f)f^*I(g)g^*) = I(I(f)f^*)I(I(g)g^*) \iff
|
|
\cancel{I(f)}\cancel{I(g)}I(f^*g^*) = \cancel{I(f)}I(f^*)\cancel{I(g)}I(g^*).
|
|
\]
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|
Es genügt also zu zeigen: $f, g$ primitiv $\implies fg$ primitiv.
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Angenommen $\pi$ sei ein irreduzibles Element von $R$, das jeden
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Koeffizienten von $fg=:h$ teilt. Die Koeffizienten von $h$ haben die
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Gestalt
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\[
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|
\left( f(X) := \sum_{i=0}^n f_iX^i, g(X) := \sum_{j=0}^m g_jX^j \right)
|
|
h_k = \sum_{i+j=k}f_ig_j.
|
|
\]
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|
Es gilt also $\pi | h_k, \forall k$. Seien $f_r, g_s$ die ersten nicht
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durch $\pi$ teilbaren Koeffizienten von $f$ beziehungsweise $g$. $\left(
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\begin{aligned}
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f_r \not\equiv 0 \pmod \pi, i < r \implies f_i \equiv 0 \pmod \pi \\
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g_s \not\equiv 0 \pmod \pi, j < s \implies g_j \equiv 0 \pmod \pi
|
|
\end{aligned}
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|
\right)$.
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|
Dann ist
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\[
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h_r+s = \sum_{i+j=r+s} f_ig_j \equiv f_rg_s \pmod \pi.
|
|
\]
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|
Nach Voraussetzung ist $h_{r+s} \equiv0\pmod\pi$, also
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|
$f_rg_s\equiv0\pmod\pi$. Weil $R$ faktoriell ist, folgt aus $\pi$
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irreduzibel auch $\pi$ ist prim. Daher gilt $f_r \equiv 0\pmod\pi$ oder
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|
$g_s\equiv0\pmod\pi$, ein Widerspruch zur Wahl von $r$ beziehungsweise $s$.
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\end{proof}
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\begin{satz}
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\label{satz:faktoriellpoly}
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Sei $R$ ein faktorieller Ring. Dann ist auch $R[X]$ faktoriell.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Sei $f \in R[X]$. Wir werden zeigen: $f$ lässt sich als Produkt von Primelementen in $R[X]$ darstellen.
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Wir schreiben: $f = I(f)\cdot f^*$.
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|
Sei $K$ der Quotientenkörper von $R$. $f \in R[X] \implies f \in K[X]$, $K[X]$ ist faktoriell und daher
|
|
gilt $f^* = \tilde f_1 \cdots \tilde f_s$ mit $\tilde f_1, \dots, \tilde f_s$ irreduzible Polynome
|
|
in $K[X]$. Durch Multiplikation mit dem $\kgV$ der Koeffizienten erhalten wir $f^* = \eps_k \cdot
|
|
f_1 \cdots f_s$, wobei $f_1, \dots, f_s \in R[X]$ irreduzibel und primitiv, $\eps_k$ eine Einheit in $K$.\\
|
|
$f_1, \dots, f_s$ primitiv $\overset{\text{\ref{lemma:gauss}}}{\implies} f_1 \cdots f_s$ primitiv
|
|
$\implies \eps_k$ ist Einheit in $R$. $R$ faktoriell $\implies \eps_k \cdot I(f)$ ist Produkt von
|
|
irreduziblen Elementen in $R$, $\eps_k \cdot I(f) = e \cdot \pi_1 \cdots \pi_r$. ($e \in R^*, \pi_i \in R$ irreduzibel).
|
|
$\pi_1, \dots, \pi_r$ sind prim in $R \implies (\pi_1), \dots, (\pi_r)$ Primideale in $R$, das heißt
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|
$\faktor{R}{\pi_iR}$ ist IB $\implies \left(\faktor R {\pi_iR}\right)[X]$ ist IB. Es gilt:
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|
$\faktor R {\pi_iR}[X] \cong \faktor {R[X]} {\pi_iR[x]}$ und ist daher IB $\implies \pi_iR[X]$ ist
|
|
Primideal in $R[X] \implies \pi_i$ Primelement in $R[X]$.
|
|
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|
Es bleibt also noch zu zeigen: $f_1, \dots, f_s$ sind prim in $R[X]$.
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Klarerweise gilt: $f_iR[X] \ssq f_iK[X] \cap R[X]$. Für die umgekehrte
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Inklusion: sei $g = f_i\cdot r$ mit $r \in K[X], g\in R[X]$. Schreibe $r =
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\frac ab r_0$ mit $r_0 \in R[X]$ primitiv, $a, b \in R, \ggT(a, b)=1$.
|
|
\[
|
|
g = f_ir \implies bg = bf_i r = a f_i r_0
|
|
\]
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|
Es folgt: $bI(g) \sim I(bg) = I(af_ir_0) \sim a
|
|
\overbrace{I(f_i)}^{1}\overbrace{I(r_0)}^{1}$. Folglich gilt:
|
|
\[
|
|
b \mid a \implies \frac ab \in R \implies r \in R[X] \implies g \in f_iR[X].
|
|
\]
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\end{proof}
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|
\begin{bemerkung}
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\begin{itemize}
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\item $K$ Körper $\implies K[X]$ faktoriell, sogar euklidisch \& HIB.
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|
\item $R$ faktorieller Ring $\implies R[X]$ faktoriell, im Allgemeinen weder euklidisch noch HIB (siehe $R=\Z$).
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|
\end{itemize}
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|
\end{bemerkung}
|
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\begin{korollar}
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$R[X_1, \dots, X_n]$ ist faktoriell wenn $R$ faktoriell ist.
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\end{korollar}
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\begin{proof}
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Beweis per Induktion nach $n$.
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IA: $n=1$: \cref{satz:faktoriellpoly} \\
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Sei gezeigt, dass $R[X_1, \dots, X_{n-1}]$ faktoriell ist.
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|
$R[X_1, \dots, X_{n}] \cong (R[X_1, \dots, X_{n-1}])[X_n]$ und dies ist faktoriell nach
|
|
IV und der Aussage für $n = 1$.
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|
\end{proof}
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|
Achtung: $K[X, Y]$ ist faktoriell, aber \underline{kein} HIB! Bsp: in $\R[X, Y]$ ist $(X, Y)$ kein HI. (Übung)
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\section{ Irreduzibilität von Polynomen }
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|
\begin{bemerkung}
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|
Ist $R$ faktoriell, $K = QK(R)$, so gilt: $f$ irreduzibel in $R[X] \implies f$ irreduzibel in $K[X]$.
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|
\end{bemerkung}
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\begin{proof}
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$f$ irreduzibel $\implies f$ ist primitiv.
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|
Angenommen $f$ reduzibel in $K[X]$, das heißt $f = gh$ mit $g, h \in K[X]$. Schreibe dann
|
|
$\tilde g = \lambda g, \tilde h = \mu h$, wobei $\lambda, \mu \in R, \tilde g, \tilde h \in R[X]$.
|
|
Es ist dann: $\lambda \mu f = \tilde g \tilde h$ und $\tilde g \tilde h$ ist primitiv nach
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|
Lemma von Gauß~\ref{lemma:gauss}, und somit muss $\lambda \mu \in R^*$ gelten, sodass $f$ reduzibel
|
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in $R[X]$. Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung $\implies f$ irreduzibel in $K[X]$.
|
|
\end{proof}
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Wir schreiben: $f(X) = a_n X^n + \dots a_1 X + a_0, a_i \in
|
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R$.
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\begin{satz}[Kriterium von Eisenstein]\label{satz:eisenstein}
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Sei $R$ ein faktorieller Ring, $f \in R[X]$ wie angegeben. Es existiere ein Primelement $\mc P$ mit
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|
\[
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\begin{cases}
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|
a_i \equiv 0 \pmod {\mc P} & \text{für} i = 0, \dots, n-1, \\
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|
a_0 \not\equiv 0 \pmod {\mc P^2}, \\
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|
a_n \not\equiv 0 \pmod {\mc P}.
|
|
\end{cases}
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|
\]
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dann ist $f$ irreduzibel (in $R[X]$).
|
|
\end{satz}
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\begin{proof}
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oBdA sei $f$ primitiv. Angenommen $f = (\underbrace{b_0 + \dots b_r X^r}_{b(X)})(\underbrace{c_0 + \dots + c_sX^s}_{c(X)})$ mit $b_i, c_i \in R$.
|
|
$\deg(b), \deg(c) > 0$. Es gilt: $b_0 c_0 = a_0$. Es ist $a_0 \equiv 0 \pmod {\mc P} \implies
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|
b_0 \equiv 0 \pmod {\mc P} \lor c_0 \equiv 0 \pmod{\mc P}$, aber nicht beides (wegen $a_0 \not\equiv 0 \pmod {\mc P^2}$)!
|
|
Sei oBdA $c_0 \not\equiv \pmod{\mc P}$.\\
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|
Wegen $a_n \not\equiv 0 \pmod {\mc P}$ existiert zumindest ein $b_k$ mit $b_k \not\equiv 0 \pmod {\mc P}$.
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|
Ist $k$ minimal mit $b_k \not\equiv 0 \pmod {\mc P}$, so folgt
|
|
$a_k = (\underbrace{b_0 c_k + b_1 c_{k-1} + \dots + b_{k-1} c_1}_{\equiv 0 \pmod {\mc P}}) + b_k c_0
|
|
\equiv 0 \pmod {\mc P}$, da $k < n (\deg(b), \deg(c) \ge 1)$, ein Widerspruch zu $b_k \not\equiv 0 \pmod {\mc P} \land c_0 \not\equiv 0 \pmod {\mc P}$.
|
|
|
|
Somit ist $f$ irreduzibel.
|
|
\end{proof}
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|
\begin{bsp}[Anwendungen]
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|
$R = \Z, p \in \Primes$.
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\begin{itemize}
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\item
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|
$X^n - p, X^n + p$ sind irreduzibel über $\Z[X]$. \\
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|
$\implies \sqrt[n]{p} \notin \Q.$ (da $X^n - p$ auch irreduzibel über $\Q[X]$ und $\sqrt[n]p$ Nullstelle von $X^n - p$ ist)
|
|
\item $f(X) = X^{p-1} + X^{p-2} + \dots + X + 1$ ist irreduzibel über $\Z[X]$.
|
|
$(X-1)f(X) = X^p - 1$. Setze $X = Y+1$.
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|
\[
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|
(X-1)f(X) = Yf(Y+1) = (Y+1)^p - 1 = \sum_{i=1}^p \binom pi Y^i = Y \sum_{i=1}^p \binom pi Y^{i-1}.
|
|
\]
|
|
Es gilt $\binom pi \equiv 0 \pmod p$ für $1 \le i \le p-1$,
|
|
sodass $f(Y+1)$ die Bedingungen für die Anwendung von
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|
\cref{satz:eisenstein} erfüllt ($f(Y+1) = Y^{p-1} +
|
|
\binom{p}{p-1}Y^{p-2} + \dots + \binom p2 Y + \binom pi$).
|
|
$\implies \underbrace{f(Y+1)}_{=f(X)}$ ist irreduzibel.
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|
|
|
Allgemeiner gilt: Sei $a \in R^*, b \in R$. Dann gilt: $f(X) \in
|
|
R[X]$ ist irreduzibel $\iff f(aX+b) \in R[X]$ ist irreduzibel.
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|
Übung: Hinweis: Betrachte $\sigma: \fun {R[X]} {R[X]} {f(X)} {f(aX+b)}$ und zeige $\sigma$ ist Homomorphismus, sogar Isomorphismus.
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|
\end{itemize}
|
|
\end{bsp}
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|
|
|
Reduktionskriterium. Sei $R$ faktoriell, $\mc P$ Primelement
|
|
von $R$. Die Reduktion $\mod {\mc P}$
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|
\[
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|
\fun {R[X]} {\faktor R {\mc PR}[X]} f {f \pmod {\mc P} =: \bar f}
|
|
\]
|
|
ist ein Ringhomomorphismus.
|
|
\begin{bsp}
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|
\begin{align*}
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|
& 3X^3 - 7X^2 + 2X + 5 \in \Z[X] \\
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|
& \mod 2: X^3 + X^2 + 1
|
|
\end{align*}
|
|
\end{bsp}
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|
\begin{proposition}
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\label{prop:unbewiesen}
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|
Sei $f = \sum_{i=0}^n a_i X^i \in R[X], \mc P$ ein Primelement von $R$ mit $a_n \not\equiv 0 \pmod {\mc P}$.
|
|
(da heißt $\deg(\bar f) = \deg(f)$).
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|
|
|
Ist $\bar f$ irreduzibel in $\faktor R {\mc PR}[X]$, so ist $f$ irreduzibel
|
|
in $R[X]$ oder $f = r \tilde f$ mit $r \in R, \tilde f$ irreduzibel in
|
|
$R[X]$.
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|
\end{proposition}
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\begin{bsp}
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|
$f(X) = (3X+1)(X+2)$ ist reduzibel in $\Z[X]$, aber $f \mod 3$ ist irreduzibel über $\faktor \Z {3\Z}[X]$.
|
|
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|
$f(X) = 4x^2 + 4$ ist irreduzibel in $\Z[X]$, aber $f \mod 3 = X^2 + 1$ ist irreduzibel über $\faktor \Z {3\Z}[X]$
|
|
\end{bsp}
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|
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|
\begin{proof}[von \cref{prop:unbewiesen}]
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|
Sei $f$ reduzibel in $R[X]$ als $f = gh$ mit $\deg g, \deg h \ge 1$.
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|
Dann gilt $\bar f = \overline{gh} = \bar g \bar h$ mit $\deg \bar g, \deg \bar h \ge 1$.
|
|
Daher sind $\bar g, \bar h$ keine Einheiten in $\faktor R {\mc PR}[X]$ (denn $\faktor R {\mc PR}$ ist IB, Einheiten in $\faktor R {\mc PR}[X]$ sind die Einheiten von $\faktor R {\mc PR}$).
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|
Also ist $\bar f$ reduzibel in $\faktor R {\mc PR}[X]$.
|
|
\end{proof}
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|
\begin{bsp}
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|
Zeige, dass $f(X) = X^4 + 3X^3 + X^2 + 6X + 2$ irreduzibel in $\Z[X]$ ist.
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|
$f \mod 3 = X^4 + X^2 + 2$. Zeige: $X^4 + X^2 + 2$ ist irreduzibel über $\faktor {\Z}{3\Z}[X]$.
|
|
$X^4 + X^2 + 2$ hat keine Nullstelle in $\faktor \Z {3\Z} \implies$ einzige mögliche Zerlegung
|
|
$f = gh$ mit $\deg g = \deg h = 2$. Dafür gibt es zwei Möglichkeiten.
|
|
\begin{align}
|
|
\left(X^2 + ax + 1\right)\left(X^2 + bx + 2\right) \label{polynom} \\
|
|
\left(2x^2 + ax + 1\right)\left(2x^2 + bx + 2\right) \nonumber
|
|
\end{align}
|
|
\ref{polynom} liefert uns folgende Kongruenzen:
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\[
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|
\begin{cases}
|
|
a + b \equiv 0 \pmod 3, \\
|
|
2a + b \equiv 0 \pmod 3, \\
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3 + ab \equiv 1 \pmod 3.
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\end{cases}
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\]
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Die ersten beiden implizieren $a \equiv 0 \pmod 3$, ein Widerspruch zur
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dritten.
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\end{bsp}
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Irreduzible Polynome in $\C[X]$. Fundamentalsatz der
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Algebra: jedes nicht-konstante Polynom aus $\C[X]$ besitzt
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mindestens eine Nullstelle. Sei also $\deg(f) \ge 2$, Dann
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$\exists a \in \C: f(a) = 0$ und daher $f(x) = (x-a) * q(x)$
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mit $q(x)\in\C[X], \deg(q) < \deg(f).$
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Irreduzible Polynome in $\R[X]$. Sei $R[X]\ni f = (x -
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\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n)$ mit $\alpha_i \in \C$, das
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heißt $f(\alpha_i) = 0, i = 1, \dots, n$. $f(\alpha_i) = 0
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\implies \overline{f(\alpha_i)} = 0 \iff
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f(\overline{\alpha_i}) = 0$. Schreibe $f(x) =
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\underbrace{(x-\alpha_1)(x-\bar\alpha_1)}_{x^2 - (\alpha_1 +
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\overline{\alpha_1})x + \alpha_1 \overline{\alpha_1} \in
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\R[X]}(x-\alpha_2)(x-\bar\alpha_2)\cdots(x-\alpha_k)(x-\bar\alpha_k)
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(x-\alpha_{2k+1})\cdots(x-\alpha_n)$ mit $\alpha_{2k+1},
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\dots, \alpha_n \in \R$. Die irreduziblen Polynome $/\R[X]$
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haben Grad 1 oder Grad 2, in letzterem Fall muss die
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Diskriminante negativ sein.
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\begin{bsp}
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$x^4 + 1$ ist reduzibel in $\C[X]$ und in $\R[X]$.
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\[
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x^4 + 1 = \left(x^2 + \sqrt 2 x + 1\right)\left(x^2 - \sqrt 2 x + 1\right)
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\]
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\end{bsp}
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\chapter{Anwendungen in der elementaren Zahlentheorie}
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\section[Die Ringe \texorpdfstring{$\Z$}{Z} und \texorpdfstring{$\Z/{n\Z}$}{Z/nZ}]{Die Ringe \texorpdfstring{$\Z$}{Z} und \texorpdfstring{$\faktor \Z {n\Z}$}{Z/nZ}}
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\Z{} ist ein HIB, ${m\Z: m \in \N}$ enthält alle Ideale von \Z.
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\begin{korollar}
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Seien $a_1, \dots, a_n \in \Z \setminus \{0\}$ mit $\ggT(a_1, \dots, a_n) = d$.
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Dann $\exists x_1, \dots, x_n \in \Z$ mit $a_1x_1 + \dots + a_n x_n = d$. \\
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$a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = s$ hat eine Lösung $\iff d \mid s$.
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\end{korollar}
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\begin{proof}
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$I := \{a_1 x_1 + \dots + a_n x_n: x_1, \dots, x_n \in \Z\}$ ist Ideal in $\Z$.
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$\implies I = m\Z$ und $a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = m$ hat Lösung. z.Z.: $d = m$.
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$a_1, \dots, a_n \in I$, sodass $m \mid a_i, i=1, \dots, n$ und daher $m \mid d$. \\
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$d \mid a_i, i = 1, \dots, n \implies d \mid a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = m$.
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Ist $(x_1, \dots, x_n)$ Lösung von $a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = d$, so ist
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$(x_1 \frac sd, \dots, x_n \frac sd)$ eine von $a_1 x_1 + \dots + a_n x_n =
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s$. $d \mid s$, da $d$ stets $a_1 x_1 + \dots + a_n x_n$ teilt.
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\end{proof}
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\begin{description}
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\item[$n = 2$:] $a, b \in \Z \setminus \{0\}, \ggT(a, b) = d, c \in Z. (x_0, y_0)$ eine Lösung von
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$ax + by = c$. Dann sind alle Lösungen von $ax + by = c$ von der Gestalt
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$(x_0 + \frac bd t, y_0 - \frac ad t)$ für ein $t \in \Z$.
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\end{description}
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\begin{proof}
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Das sind Lösungen (einsetzen!).
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\begin{align}
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\begin{rcases}
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ax + by = c \\
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ax_0 + by_0 = c
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\end{rcases}
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& \implies a(x-x_0) + b(y-y_0) = 0 \label{eq:2} \\
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\nonumber
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& \iff a (x - x_0) = -b(y-y_0) \\
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|
\nonumber
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& \iff \frac ad (x- x_0) = \frac{-b} d (y-y_0)
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\end{align}
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Es folgt: $\frac bd \mid (x-x_0)$, das heißt $\exists t \in \Z: (x - x_0) = \frac bd t$. Durch Einsetzen
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in \ref{eq:2} ergibt sich $y- y_0 = \frac{-a}d t$. Daraus folgt die Behauptung.
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\end{proof}
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Sei $R$ ein kommutativer Ring. Ist $\equiv$ eine
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Kongruenzrelation, so ist $\{a \in R: a \equiv 0\}$ ein
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Ideal von $R$. Ist $I$ ein Ideal von $R$, so ist durch $a
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\equiv b \pmod I \iff a -b \in I$ eine Kongruenzrelation
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definiert. Die Zuordnungen sind invers zueinander.
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$\faktor \Z {m\Z}$ ist Körper $\iff m \in \Primes$.
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\begin{proof}
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Ist $m \notin \Primes$, so hat $\faktor \Z {m\Z}$ Nullteiler, diese sind nicht invertierbar.
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Umgekehrt, bei $a+m\Z \neq 0 + m\Z$ betrachten wir $au + mv = 1$. Das hat eine Lösung
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$(u, v) \in \Z \times \Z$, da $\ggT(a, m) = 1$.
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$\implies (a + m\Z) (u + m\Z) = 1 + m\Z$.
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\end{proof}
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\section[Die Struktur von \texorpdfstring{$(\Z /{m\Z})^*$}{(Z/mZ)*}]{Die Struktur von \texorpdfstring{$\left(\faktor \Z {m\Z}\right)^*$}{(Z/mZ)*}}
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$\left(\faktor \Z {m\Z}\right)^*$ heißt prime Restklassengruppe mod m.
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\begin{align*}
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\abs{\left(\faktor \Z {m\Z}\right)^*} =: \varphi(m) & & \text{\dq Eulersche $\varphi$-Funktion\dq}
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\end{align*}
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$\varphi$ ist multiplikativ $:\iff \varphi(mn) = \varphi(m)\varphi(n)$ falls $(m, n) = 1$.
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Es gilt: $R, S$ seien KREs. Dann ist $(R \times S)^* = R^* \times S^*$.
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\begin{lemma}
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\label{lemma:einheiten}
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Ist $f: R \to S$ ein Ringisomorphismus, so gilt:
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\[
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f(R^*) = S^*
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\]
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Sei $x \in R^*$. Dann existiert $y \in R$ mit $xy = 1_R$.
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\[
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1_S = f(1_R) = f(xy) = f(x) f(y) \implies f(x) \in S^*
|
|
\]
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|
Die Umkehrung folgt durch Anwendung dieser Überlegung auf $\inv f: S \to
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R$.
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\end{proof}
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\begin{korollar}
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Sei $\ggT(m, n) = 1$. Dann gilt:
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\[
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f^*: \fun {\left({\faktor \Z {mn\Z}}\right)^*} {\left(\faktor \Z {m\Z}\right)^* \times\left(\faktor \Z {n\Z}\right)^*}
|
|
{x + mn \Z} {(x + m\Z, x + n\Z)}
|
|
\]
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ist ein Gruppenisomorphismus. Insbesondere $\varphi(mn) =
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\varphi(m)\varphi(n)$.
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\end{korollar}
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\begin{proof}
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$\faktor \Z {mn\Z} \cong \faktor \Z{m\Z} \times \faktor \Z{n\Z}$ nach Chinesischem Restsatz~\ref{chinrest}
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($(m, n) = 1$)
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Es folgt:
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\begin{align*}
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\left(\faktor \Z {mn\Z}\right)^* & \cong \left(\faktor \Z{m\Z}\right)^* \times \left(\faktor \Z{n\Z}\right)^* & \text{nach dem \cref{lemma:einheiten}.} \\
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|
& = \left(\faktor \Z{m\Z}\right)^* \times \left(\faktor \Z{n\Z}\right)^*
|
|
\end{align*}
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\end{proof}
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\begin{korollar}
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|
Für $m \in \N$ gilt:
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\[
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\varphi(m) = m \prod_{p\mid m} \left(1 - \frac 1p\right).
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\]
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\end{korollar}
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\begin{proof}
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Für $m = 1$: \checkmark
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Sonst sei $m = p_1^{\alpha_1} \cdot \dots \cdot p_k^{\alpha_k} \implies
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\varphi(m) = \varphi(p_1^{\alpha_1}) \cdots \varphi(p_k^{\alpha_k})$. \\
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|
Behauptung: $\varphi(p^\alpha) = p^\alpha - p^{\alpha-1}$ ($p^{\alpha-1} =
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\#$Vielfache von $p$ zwischen 1 und $p^\alpha$.) \\ $\implies \varphi(m) =
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(p_1^{\alpha_1} - p_1^{\alpha_1} - 1) \cdots (p^{\alpha_k} - p^{\alpha_k} -
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1) = p_1 ^{\alpha_1} (1 - \frac 1 {p_1}) \cdots p_k^{\alpha_k} (1 - \frac 1
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{pk}) = m(1 - \frac 1 {p_1}) \cdots (1 - \frac 1 {p_k})
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\implies$Behauptung.
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Es ist $\abs{\Z_m^*} = \varphi(m)$. Für $a \in \Z_m^*$ gilt daher
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$a^{\varphi(m)} = a^{\abs{\Z_m^*}} = 1$. \\ $a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod
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m$ "kleiner Satz von Fermat" \\ $m = p \in \Primes. a^{p-1} \equiv 1 \pmod
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m$ für $(a, m) = 1$ oder $a^p \equiv a \pmod m$ für beliebige $m$.
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\end{proof}
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\begin{defin}
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Sei $m \in \N$ eine Zahl für die $\left( \faktor \Z {m\Z} \right)^*$
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zyklisch ist und $g$ ein Erzeuger von $\left(\faktor \Z {m\Z}\right)^*$. Dann
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heißt $g$ Primitivwurzel mod $m$.
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\end{defin}
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Behauptung: Falls es eine Primitivwurzel (PW) $\mod m$ gibt,
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so gibt es $\varphi(\varphi(m))$ viele.
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\begin{proof}
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\[
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\abs{\left(\faktor \Z{m\Z}\right)^*} = \varphi(m).
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\]
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Ist $\hull g = \left( \faktor \Z {m\Z} \right)^*$, so ist $\hull{g^s} =
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\left( \faktor \Z {m\Z} \right)^* \iff \ggT\left(s, \underbrace{\abs{\left(
|
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\faktor \Z {m\Z} \right)^*}}_{\varphi(m)}\right) = 1$
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\end{proof}
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Behauptung: $\left( \faktor \Z {p\Z} \right)^*$ ist für $p
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\in \Primes$ zyklisch. (Denn $\faktor \Z{p\Z}$ ist Körper
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und \\ ${\left( \faktor \Z {p\Z} \right)^* \ssq \left(
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\faktor \Z {p\Z} \right)^*}$)
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Es gilt sogar: $\left( \faktor \Z {p^m\Z} \right)^*$ ist
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zyklisch. \\ Sei $g$ eine PW $\mod p$.
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\begin{lemma}
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Es gilt: $g^{p-1} \not\equiv 1 \pmod {p^2}$ oder $(g+p)^{p-1} \not\equiv 1 \pmod {p^2}$
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Angenommen $g^{p-1} \equiv 1 \equiv (g+p)^{p-1} \pmod {p^2}$.
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$(g+p)^{p-1} = g^{p-1} + p(p-1)g^{p-2} + \underbrace{\cdots}_{\equiv 0 \pmod {p^2}} \pmod{p^2}$.
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|
$(g+p)^{p-1} \equiv 1 \pmod{p^2} \land g^{p-1} \equiv 1 \pmod{p^2} \implies p(p-1)g^{p-2} \equiv 0 \pmod {p^2}$.
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|
Das hieße $(p-1)g^{p-2} \equiv 0 \pmod p \implies {g^{p-2} \equiv 0 \pmod p}$. $g$ ist aber PW. \qed
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\end{proof}
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\begin{satz}
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\label{satz:primitivwurzel}
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Sei $p>2$ prim, $g$ Primitivwurzel $\mod p$ für die $g^{p-1} \not\equiv 1 \pmod {p^2}$.
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Dann ist $g$ Primitivwurzel $\mod {p^s}$ für alle $s \ge 1$.
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|
\end{satz}
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\begin{proof}
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Wir zeigen zunächst durch Induktion, dass $g^{(p-1)\cdot p^{s-2}} \not\equiv 1 \pmod {p^s} \; \forall s \ge 2$. \\
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Induktionsanfang: $s=2$ nach Voraussetzung erfüllt. Sei bereits gezeigt, dass
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$g^{(p-1)\cdotp^{s-2}} \not\equiv 1 \pmod {p^s} = 1 + ap^{s-1}$ mit $p \nmid a$.
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\begin{align*}
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g^{(p-1)\cdot p^{s-1}} & = (1 + ap^{s-1})^p = 1 + pap^{s-1} + \frac{r(p-1)}2 a^2 p^{2s-2} +
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|
\underbrace{\sum_{i=3}^p \binom pi \cdot a^i p ^{(s-1)i}}_{\equiv 0 \pmod {p^{s+1}} \, s \ge 2, i \ge 3} \\
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|
& \equiv 1 + ap^s + \underbrace{\frac{p-1}2 \cdot a^2 p^{2s-1}}_{\equiv 0 \pmod {p^{s+1}} \, s \ge 2}
|
|
\equiv 1 + ap^s \pmod {p^{s+1}} \not\equiv 1 \pmod {p^{s+1}}
|
|
\end{align*}
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|
\end{proof}
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|
$\ord_{p^s}(g) := e \; e\mid \varphi(p^s) = (p-1)p^{s-1}$.
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|
Zudem gilt: $g$ PW $\mod p \implies g^{p-1} \equiv 1 \pmod p \implies p-1 \mid e$.
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|
Insgesamt $\frac e {p-1} p^{s-1} \implies \frac e{p-1} = p^k$ mit $k \le s-1$.
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|
Wäre $\frac e {p-1} \le s-2$, so folgte $g^{(p-1)\cdot p^{s-2}} \equiv 1 \pmod {p^s}$, \Lightning{} zu \cref{satz:primitivwurzel}
|
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|
Also gilt $k = s-1$ und damit $e=(p-1)p^{s-1} = \varphi(p^s)
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\implies g$ Primitivwurzel.
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\begin{korollar}
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Sei $p>2$ prim. Dann ist $\left(\rk {p^k}\right)^*$ zyklisch $\forall k \ge 1$.
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\end{korollar}
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\begin{korollar}
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Sei $p>2$. Ist $g$ ungerade PW $\mod {p^k}$, so ist $g$ auch PW $\mod {2p^k}$.
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\end{korollar}
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\begin{proof}
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\[
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|
\ord_{2p^k}(g) = \kgV(\ord_2(g), \ord_{p^k}(g)) = \ord_{p^k}(g) = \varphi(p^k) = \varphi(2p^k)
|
|
\]
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|
\end{proof}
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|
Weiters gilt: Falls $g$ eine gerade PW $\mod {p^k}$ ist, so
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ist $g+p^k$ eine ungerade! $\implies
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|
\left(\rk{2p^k}\right)^*$ ist zyklisch.
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\begin{bsp}
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Sei nun $p=2$, es gilt:
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\begin{itemize}
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\item $\ord_{2^k}(5) = 2^{k-2} = \frac{\varphi(2^k)}2$
|
|
\item Für $k \ge 2$ ist $\mc Z := \{ (-1)^i 5^j: i \in \{0, 1\}, 0 \le
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|
j < 2^{k-2}\}$ ist eine primes Restsystem $\mod {2^k}$.
|
|
\end{itemize}
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|
\end{bsp}
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\begin{satz}
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Sei $k\ge 2$, dann ist
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$f: \fun {\overbrace{\rk 2 \times \rk {2^{k-2}}}^\text{additive Gruppen}} {\left(\rk {2^k}\right)^*}
|
|
{(i, j)} {(-1)^i 5^j + 2^k \Z} $
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|
ein Isomorphismus.
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|
\end{satz}
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\begin{satz}[Satz von Gauß]\label{satz:gauss}
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|
Sei $m \in \N$. $\left(\rk m\right)^*$ ist zyklisch $\iff m = p^k \lor m = 2p^k$ für ungerade Primzahl $p, k\ge 1$
|
|
oder $m=1, 2, 4$
|
|
\end{satz}
|
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\begin{proof}
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|
Angenommen $\left(\rk m\right)^*$ sei zyklisch, $m \neq p^k, p \neq 2p^k, m \neq 2^k$.
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|
$\implies \exists$ ungerade Primzahl $q$ mit $m = q^n \cdot m'$ mit $\ggT(q, m')=1, m' > 1$.
|
|
Sei also $a$ mit $\ggT(a, m)=1$, das heißt $a \in \left(\rk m\right)^*$.
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|
\[
|
|
\ord_m(a) = \kgV(\ord_{q^n}(a), \ord_m(a)) \le \kgV(\varphi(q^n), \varphi(m')) > \varphi(q^n) \cdot \varphi(m'),
|
|
\]
|
|
da $\varphi(q^n) \equiv 0 \pmod 2, \varphi(m') \equiv 0 \pmod 2$, da $4
|
|
\mid m'$ falls $m$ gerade.
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|
\[
|
|
\ord_m(a) > \varphi(q^n)\cdot \varphi(m') = \varphi(q^n \cdot m') = \varphi(m)
|
|
\]
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|
\end{proof}
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|
Sei $m = 2^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}$.
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|
Dann gilt
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|
\[
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|
\text{für }
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\begin{cases}
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\alpha_1 \le 2: & \left(\rk m\right)^* \cong \left(\rk {2^{\alpha_1}}\right)^* \times \left(\rk {p_2^{\alpha_2}}\right)^* \times \cdots \times \left(\rk {p_k^{\alpha_k}}\right)^* \\
|
|
\alpha_1 > 2: & \left(\rk m\right)^* \cong \rk 2 \times \rk {2^{k-2}} \times \left(\rk {p_2^{\alpha_2}}\right)^* \times \cdots \times \left(\rk {p_k^{\alpha_k}}\right)^*
|
|
\end{cases}
|
|
\]
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|
und alle auftretenden Faktoren sind zyklische Gruppen.
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\section{Algebraische Kongruenzen}
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Kongruenzen vom Typ $f(x) \equiv 0 \pmod m$,
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wobei $f(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i, a_i \in
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\Z$.
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\begin{satz}[Satz von Lagrange]\label{satz:lagrange-kongruenzen}
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sei $p \in \Primes, f(x) \equiv 0 \pmod p$ eine algebraische Kongruenz vom Grad $n$.
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Dann hat $f$ höchstens $n$ Nullstellen $\mod p$.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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$p \in \Primes \implies \rk p$ ist Körper $\implies \rk p [X]$ ist IB $\implies
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f \in \rk p [X]$ vom Grad $n$ hat höchstens $n$ Nullstellen.
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\end{proof}
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\begin{proposition}
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Sei $f \in \Z[X], f \neq 0, L_f(m)$ die Anzahl der $\mod m$ inkongruenten Lösungen von
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$f(x) \equiv 0 \pmod m$.
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|
Dann ist $L_f$ multiplikativ, das heißt $L_f(mn) = L_f(m) \cdot L_f(n)$ falls $(m, n) = 1$.
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|
\end{proposition}
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\begin{proof}
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Für $k \in \N$ sei $A_k$ die Menge der Restklassen $\bar x \mod k$, für die $f(\bar x) \equiv 0 \pmod k$
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(sodass $L_f(k) = \abs{A_k}$).
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|
Wir wissen: $g: \fun {\rk {mn}} {\rk m \times \rk n} {x+mn\Z} {(x + m\Z, x + n\Z)}$ ist ein Isomorphismus.
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$g(A_{mn}) \overset{\text{z.z.}}= A_m \times A_n$. \\
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|
Ist $f(x) \equiv 0 \pmod {mn}$, so folgt $f(x) \equiv 0 \pmod m$ und $f(x) \equiv 0 \pmod n \implies
|
|
g(A_{mn}) \ssq A_m \times A_n$. \\
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|
Umgekehrt: Sei $f(x) \equiv 0 \pmod m, f(y) \equiv 0 \pmod n$ (also $(x, y) \in A_m \times A_n$).
|
|
Nach dem Chinesischen Restsatz~\ref{chinrest} gibt es mit $(m, n)=1$ eine Restklasse $z \mod {m\cdot n}$
|
|
mit $z \equiv x \pmod m, z \equiv y \pmod n$.
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|
Damit ist $f(z) \equiv 0 \pmod {mn} \implies g(A_{mn}) \supseteq A_m \times A_n$.
|
|
\[
|
|
L_f(mn) = \abs{A_mn} = \abs{g(A_{mn})} = \abs{A_m \times A_n} = \abs{A_m} \cdot \abs{A_n} = L_f(m) \times L_f(n)
|
|
\]
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|
\end{proof}
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|
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|
Anwendung auf Kongruenzen $f(x) \equiv 0 \pmod m, m =
|
|
p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}$.
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|
\[
|
|
f(x) \equiv 0 \pmod m \iff f(x) \equiv 0 \pmod{p_i^{\alpha_i}} \; i = 1, \dots, k
|
|
\]
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\begin{bsp}
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|
Sei $f(x) = x^3 + 19x^2 - x + 2 \equiv 0 \pmod {21}$.
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\begin{align*}
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|
& f(x) \equiv 0 \pmod 3 & \text{hat Lösungen } & 1, 2 \\
|
|
& f(x) \equiv 0 \pmod 7 & & 1, 2, 6
|
|
\end{align*}
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|
$\longrightarrow$ Bestimme alle $z \mod {21}$ mit $
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\begin{cases}
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|
z \equiv a_i \pmod 3 & a_i \in \{1, 2\} \\
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|
z \equiv b_j \pmod 7 & b_j \in \{1, 2, 6\}
|
|
\end{cases}
|
|
$
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|
Lösungen $\mod {21}$ sind: $1, 2, 8, 13, 16, 20$.
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|
\end{bsp}
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$f(x) \equiv 0 \pmod {p^\alpha}, \alpha >1$
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1. Schritt: Löse $f(x) \equiv 0 \pmod p$ durch Einsetzen. Seien die Lösungen von $f(x) \equiv 0 \pmod{p^e}$
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bekannt für ein $1 \le e \le \alpha$. Bezeichne die Menge der $\mod {p^e}$ inkongruenten Lösungen mit $A_e$.
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Angenommen $x_0 \in A_e \iff f(x_0) \equiv 0 \pmod {p^e} \implies f(x_0) \equiv 0 \pmod{p^{e-1}}
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\implies x_0 \equiv a \pmod {p^{e-1}}$, also $x_0 = a + y p^{e-1}$.
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|
\begin{align*}
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|
f(X) := \sum_{k=0}^n a_k X^k \implies f(X) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (X-a)^k \\
|
|
\implies f(x) - f(a) = \underbrace{\left( \sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (X-a)^{k-1} \right)}_{q(X)} (X-a)
|
|
\end{align*}
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|
Dann ist $q(a) = f'(a)$. Setze $x_0$ für $X$ und betrachte die resultierende Kongruenz $\mod {p^e}$:
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\begin{align*}
|
|
-f(a) \equiv (y\cdot p^{e-1}) q(x_0) \pmod {p^e} \implies \frac{-f(a)}{p^{e-1}} & \equiv y\cdot q(x_0) \pmod p \\
|
|
p^{e-1} & \equiv y\cdot q(a) \equiv y\cdot f'(a) \pmod p
|
|
\end{align*}
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|
Insgesamt:
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\begin{equation}
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\label[kongruenz]{eq:kongruenz}
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\frac{-f(a)}{p^{e-1}} \equiv yf'(a) \pmod p.
|
|
\end{equation}
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Kongruenz vom Typ:
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\begin{align*}
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b \equiv ay \pmod m \text{ lösbar} & \iff ay - b = \lambda m \\
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|
& \iff ay - \lambda m = b \text{ lösbar} \\
|
|
& \iff \ggT(a, m) \mid b
|
|
\end{align*}
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|
3 Fälle:
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\begin{enumerate}
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\item $f'(a) \not\equiv 0 \pmod p$. Dann ist $\ggT(f'(a), p) = 1$ und daher
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|
die Kongruenz eindeutig lösbar. Dann hat $a$ genau eine Fortsetzung $a + yp^{e-1}$ in $A_e$, wobei
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|
$y$ die eindeutige Lösung von \cref{eq:kongruenz} ist.
|
|
\item $f'(a) \equiv 0 \pmod p\land f(a) \equiv o \pmod p$. Dann ist jedes $y \in \rk p$ Lösung von
|
|
\cref{eq:kongruenz} und $a$ hat $p$ Fortsetzungen zu Lösungen $a + yp^{e-1}$ in $A_e$.
|
|
\item $f'(a) \equiv 0 \pmod p \land f(a) \not\equiv 0 \pmod p$. Dann hat $a$ keine Fortsetzung in $A_e$.
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|
\end{enumerate}
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\begin{bsp}
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\begin{align*}
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f(X) & = X^3 + 3X^2 + 4X + 8,\; f(X) \equiv 0 \pmod {16} \\
|
|
f'(X) & = 3X^2 + 6X + 4 \equiv X^2 \equiv X \pmod 2
|
|
\end{align*}
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|
\begin{description}
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|
\item [$\mod 2$:] 0, 1 sind Lösungen.
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|
\item [$\mod 4$:]
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|
\leavevmode
|
|
\begin{itemize}
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|
\item Fortsetzungen von 0: $\frac{-f(0)} 2\equiv 0 \equiv y
|
|
\cdot 0 \pmod 2 \implies$ Fortsetzungen von 0 sind $y =
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|
0 + 0\cdot 2$ und $0 + 1 \cdot 2$, also 0, 2.
|
|
\item Fortsetzungen von 1: $\frac{-f(1)}2 \equiv 0 \equiv 1
|
|
\pmod 2 \implies$ Fortsetzung von 1 ist $1 + 0 \cdot 2
|
|
= 1$.
|
|
\end{itemize}
|
|
$\implies$ Lösungen $\mod 4: 0, 1, 2$.
|
|
\item [$\mod 8$:]
|
|
\leavevmode
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Fortsetzung von 0: $\frac{-f(0)}4 \equiv 0 \equiv y
|
|
\cdot 0 \pmod 2 \implies$ Fortsetzungen von 0 sind $0 +
|
|
0 \cdot 4 = 0$ und $0 + 1 \cdot 4 = 4$.
|
|
\item Fortsetzung von 1: $\frac{-f(1)}{4} \equiv 0 \equiv y
|
|
\cdot 1 \pmod 2 \implies$ Fortsetzung von 1 ist $1 + 0
|
|
\cdot 4 = 1$.
|
|
\item Fortsetzung von 2: $\frac{-f(2)}{4} \equiv 1 \equiv y
|
|
\cdot 0 \pmod 2 \implies \nexists$ Fortsetzung von 2.
|
|
\end{itemize}
|
|
\item [$\mod {16}$:] Übung, nur 1 hat die Fortsetzung $1 + 0\cdot 8 = 1$.
|
|
\end{description}
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\node (a) at (4, 0) {17};
|
|
\node (b) at (4, 1) {1};
|
|
\node (c) at (4, 2) {1};
|
|
\node (d) at (4, 3) {1};
|
|
\node (e) at (4, 4) {1};
|
|
\node (f) at (2, 2) {4};
|
|
\node (g) at (1, 2) {0};
|
|
\node (h) at (2, 3) {2};
|
|
\node (i) at (1, 3) {0};
|
|
\node (j) at (1, 4) {0};
|
|
\graph { (e) -> (d) -> (c) -> (b) -> (a) ,
|
|
(j) -> (h),
|
|
(j) -> (i) -> (g),
|
|
(i) -> (f)
|
|
};
|
|
\node at (-1, 0) {$\mod {32}$:};
|
|
\node at (-1, 1) {$\mod {16}$:};
|
|
\node at (-1, 2) {$\mod {8}$:};
|
|
\node at (-1, 3) {$\mod {4}$:};
|
|
\node at (-1, 4) {$\mod {2}$:};
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
\end{bsp}
|
|
|
|
\section{Potenzreste \& quadratische Reste}
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|
Sei nun $f(X) = X^n - a$. Wir können
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|
$X^n \equiv a \pmod m$ reduzieren zu
|
|
$X^n \equiv a \pmod{p^\alpha}$ für
|
|
Primzahlpotenzen. Wir beschränken
|
|
uns auf den Fall $\ggT(a, p) = 1
|
|
\implies a \in \left( \rk {p^\alpha}
|
|
\right)^*$ und wir wissen $\left(
|
|
\rk {p^\alpha} \right)^*$ ist
|
|
zyklisch. $\exists$ PW $\mod
|
|
{p^\alpha}$!
|
|
|
|
Sei $m \in \N$ mit $\left( \rk {m} \right)^*$ zyklisch. Sei
|
|
$g$ eine PW$\mod m$.
|
|
\begin{defin}
|
|
Für $a \in \left(\rk m\right)^*$ sei $I_g(a)\in \{0, 1, \dots, \varphi(m)-1\}$ so gewählt, dass
|
|
$a \equiv g^{I_g(a)} \pmod m$. Dann heißt die Abbildung
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|
\[
|
|
I_g: \fun
|
|
{\left(\rk m\right)^*} {\rk {\varphi(m)}} a {I_g(a)}
|
|
\]
|
|
\emph{zahlentheoretischer Logarithmus} (zur Basis $g$).
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
\begin{bsp}
|
|
$m = 7, g = 3$.
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tabular}{ccccccc}
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|
$a \in \left(\rk 7\right)^*$: & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
|
|
\midrule \\
|
|
$I_3(a) \in \rk 6$: & 0 & 2 & 1 & 4 & 5 & 3 \\
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
|
|
\end{bsp}
|
|
Es gilt: $g^i \equiv g^j \pmod m \iff i \equiv j \pmod {\varphi(m)}$. (Übung, Satz von Fermat)
|
|
|
|
\begin{proposition}
|
|
Für $a, b \in \left(\rk m\right)^*, g$ PW $\mod m$ gilt:
|
|
\[
|
|
I_g(ab) \equiv I_g(a) + I_g(b) \pmod {\varphi(m)}
|
|
\]
|
|
\end{proposition}
|
|
\begin{proof}
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|
\begin{align*}
|
|
g^{I_g(ab)} \equiv ab \equiv g^{I_g(a)} \cdot g^{I_g(b)} \equiv g^{I_g(a)+ I_g(b)} \pmod m \\
|
|
I_g(ab) \equiv I_g(a) + I_g(b) \pmod {\varphi(m)}
|
|
\end{align*}
|
|
Durch Induktion: $I_g(a^n) = n I_g(a)$.
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|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{bsp}[Anwendungen]
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|
\begin{enumerate}
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|
\item $ax \equiv b \pmod m$ mit $\ggT(ab, m) = 1, \exists$ PW $g \pmod m$.
|
|
\begin{align*}
|
|
& \iff I_g(ax) \equiv I_g(b) \pmod {\varphi(m)} \\
|
|
& \iff I_g(a) + I_g(x) \equiv I_g(b) \pmod {\varphi(m)} \\
|
|
& \iff I_g(x) \equiv I_g(b) - I_g(a) \pmod {\varphi(m)}
|
|
\end{align*}
|
|
Beispiel: $2x \equiv 5 \pmod 7, g = 3$
|
|
\begin{align*}
|
|
& \iff I_3(x) \equiv I_3(5) - I_3(2) \pmod 6 \\
|
|
& \iff I_3(x) \equiv 3 \pmod 6 \iff x \equiv 6 \pmod 7
|
|
\end{align*}
|
|
\item $a x^n \equiv b \pmod m$ mit selben Voraussetzungen wie bei 1.
|
|
\begin{align*}
|
|
& \iff I_g(ax^n) \equiv I_g(b) \pmod {\varphi(m)} \\
|
|
& \iff n I_g(x) \equiv I_g(b) - I_g(a) \pmod {\varphi(m)}
|
|
\end{align*}
|
|
und diese ist genau dann lösbar, wenn
|
|
\[
|
|
\ggT(\varphi(m), n) \mid (I_g(b) - I_g(a)).
|
|
\]
|
|
|
|
Beispiel:
|
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\begin{align*}
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|
2x^5 \equiv 6 \pmod 7 & \iff 5 I_3(x) \equiv I_3(6) - I_3(2) \pmod 6 \\
|
|
& \iff 5 I_3(x) \equiv 1 \pmod 6 \\
|
|
& \iff I_3(x) \equiv 5 \pmod 6 \\
|
|
& \iff x \equiv 5 \pmod 7
|
|
\end{align*}
|
|
\item $ab^x \equiv c \pmod m, \ggT(abc, m) = 1$
|
|
\begin{align*}
|
|
& \iff I_g(ab^x) \equiv I_g(c) \pmod {\varphi(m)} \\
|
|
& \iff xI_g(b) \equiv I_g(c) - I_g(a) \pmod {\varphi(m)}
|
|
\end{align*}
|
|
und diese Kongruenz ist lösbar, genau dann wenn
|
|
\[
|
|
\ggT(I_g(b), \varphi(m)) \mid (I_g(c) - I_g(a)).
|
|
\]
|
|
|
|
Beispiel:
|
|
\begin{align*}
|
|
2 \cdot 3^x \equiv 5 \pmod 7 & \iff XI_3(3) \equiv I_3(5) - I_3(2) \pmod 6 \\
|
|
& \iff X \equiv 3 \pmod 6
|
|
\end{align*}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{bsp}
|
|
|
|
\begin{defin}
|
|
Seien $m \in \N, a \in \left(\rk m\right)^*.$ $a$ heißt $n$-ter Potenzrest $\mod m$, wenn
|
|
$X^n \equiv a \pmod m$ lösbar ist, das heißt $a$ ist $n$-te Potenz in $\left(\rk m\right)^*$.
|
|
Für $n = 2$ heißt $a$ quadratischer Rest.
|
|
\end{defin}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
Seien $m, n, d \in \N$ mit $d = \ggT(n, \varphi(m)), a \in Z$ mit $\ggT(a, m) = 1$.
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|
Ist $\einheit{\rk m}$ zyklisch, so ist $a$ genau dann $n$-ter Potenzrest $\mod m$, wenn
|
|
$a^{\frac{\varphi(m)}d} \equiv 1 \pmod m$. Die Kongruenz $X^n \equiv a \pmod m$ hat
|
|
genau $d$ inkongruente Lösungen $\mod m$.
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|
\end{satz}
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|
\begin{proof}
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\begin{align*}
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|
X^n \equiv a \pmod m & \iff n \underbrace{I_g(X)}_y \equiv I_g(a) \pmod {\varphi(m)}\text{ lösbar ($g$ eine PW $\mod m$)} \\
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|
& \iff d \mid I_g(a) \text{(und die Kongruenz hat genau $d$ Lösungen)} \\
|
|
& \iff \varphi(m) \mid \frac{\varphi(m)I_g(a)}{d} \text{(beide Seiten mit $\frac{\varphi(m)}d$ multipliziert)} \\
|
|
& \iff g^{\frac{I_g(a) \varphi(m)}d} \equiv -1 \pmod m \\
|
|
& \iff \underbrace{\left(g^{I_g(a)}\right)}_a^{\frac{\varphi(m)}d} \equiv 1 \pmod m.
|
|
\end{align*}
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|
\end{proof}
|
|
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|
|
\end{document}
|