LinAlg2/LinAlg2.tex

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\title{Lineare Algebra 2}
\date{Sommersemester 2022}
\author{Philipp Grohs \\ \small \LaTeX-Satz: Anton Mosich}

\newcounter{textbox}
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\def\br{\tikzmarknode{b\thetextbox}{\strut}
	\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
		\draw ($(a\thetextbox.north west)+(-0.4\arraycolsep,0ex)$) rectangle
		($(b\thetextbox.south east)+(0.2\arraycolsep,0ex)$);
	\end{tikzpicture}
}
% https://tex.stackexchange.com/questions/481978/how-to-write-the-block-matrix-in-latex

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\begin{document}

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}

\begin{titlepage}
	\begin{tikzpicture}[remember picture, overlay]
		% Trans pride flag
		\foreach[count=\i] \col in {pastellblau,pastellrosa,weiss,pastellrosa,pastellblau}
		\node (back names) [shape=rectangle,
				fill=\col,
				minimum width=\paperwidth / 5,
				anchor=south west,
				minimum height=\paperheight] at ([xshift=(\i - 1)*(\paperwidth / 5)]current page.south west) {};
		% The Loss
		% Panel 1
		\draw[line width=.5mm, {Stealth[scale=1.3]}-] ([xshift = 85pt, yshift = -60pt]current page.north west) -- +(0, -.35\paperheight);
		% Panel 2
		\draw[line width=.5mm, {Stealth[scale=1.3]}-, -||-] ([xshift = -85pt, yshift = -.1\paperheight - 60pt] current page.north east) --
		+(0, -.25\paperheight);
		\draw[line width=.5mm, {Stealth[scale=1.3]}-, -||-] ([xshift = -185pt, yshift = -60pt]current page.north east) --
		+(0, -.35\paperheight);
		% Panel 3
		\draw[line width=.5mm, -{Stealth[scale=1.3]}, -||-] ([xshift = 40pt, yshift = 60pt] current page.south west) -- +(0, .35\paperheight);
		\draw[line width=.5mm, -{Stealth[scale=1.3]}, -||-] ([xshift = 175pt, yshift = 60pt] current page.south west) -- +(0, .35\paperheight);
		% Panel 4
		\draw[line width=.5mm, -{Stealth[scale=1.3]}] ([xshift = -175pt, yshift = 60pt] current page.south east) -- +(0, .35\paperheight);
		\draw[line width=.5mm, {Stealth[scale=1.3]}-] ([yshift = 120pt, xshift = -25pt] current page.south east) -- +(-.38\paperwidth,0);
		\draw[very thick] ([xshift = -175+40pt, yshift = 120]current page.south east)
		arc [radius=40pt, start angle=0, end angle=90];
		% Title, Author & Date
		\node at ([yshift = -.45\paperheight]current page.north) {\Huge{ \textbf{Lineare Algebra 2} }};
		\node at ([yshift = -.52\paperheight]current page.north) {\Large{Philipp Grohs}};
		\node at ([yshift = -.55\paperheight]current page.north) {\large{\LaTeX-Satz: Anton Mosich}};
		\node at ([yshift = -.60\paperheight]current page.north) {\large{Sommersemester 2022}};
	\end{tikzpicture}
\end{titlepage}

\tableofcontents

\chapter{Determinanten}

\section{Permutationen}

\begin{defin}
	Sei $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}, [n] \coloneq \{1, 2, \dots, n\}$. \\
	Eine bijektive Abbildung $\pi\colon[n]\to[n]$ heißt \underline{Permutation} von $[n]$.
	Wir definieren die \underline{symmetrische Gruppe}
	$S_n \coloneq \{\pi\text{ Permutation von }[n]\}$
	mit der Hintereinanderausführung als Gruppenoperation.
\end{defin}

\subsubsection{Bemerkung}
\begin{itemize}
	\item $(S_n, \circ)$ ist eine Gruppe.
	\item $\pi\in S_n$ ist eindeutig durch das Tupel $(\pi(1), \dots, \pi(n))$ definiert.
	\item Fixpunkte $(\pi(i)=i)$ werden oft weggelassen.
\end{itemize}

\begin{defin}
	$\pi\in S_n$ heißt \underline{Transposition} wenn es $i, j\in [n]$ gibt mit
	\[\pi(k) =
		\begin{cases}
			k & k\notin\{i, j\} \\
			i & k = j           \\
			j & k=i
		\end{cases}
	\]
	Wir schreiben $\pi = (ij)$.
\end{defin}

\begin{satz}
	\label{theo:1.1.3}
	Es gilt $\abs{ S_n } = n!$.
\end{satz}
\begin{proof}
	Vollständige Induktion
	\begin{itemize}
		\item[$n=1$:] $S_1 = \{\id\}\implies\abs{ S_1} = 1 = 1!$
		\item[$n-1\to n$:] Angenommen $\abs{ S_{n-1} } = (n-1)!$.
			Dann gilt $\abs{\{\pi \in S_n\colon \pi(n) = n \}} = (n-1)!$. Sei allgemein $i \in [n]$.
			Dann gilt $\pi(n)=i \iff (in)\circ\pi(n)=n$. Also gilt
			\begin{align*}
				 & \abs{\{\pi\in S_n\colon \pi(n)=i\}} = \abs{\{(in)\circ\pi\colon \pi(n)=n\}} \\
				 & = \abs{\{\pi\colon \pi(n)=n\}} = (n-1)!
			\end{align*}
			Weiters gilt
			\begin{align*}
				 & S_n = \bigcup_{i\in[n]}^\bullet\{\pi\in S_n\colon \pi(n)=i\} \implies \\
				 & \abs{S_n}= \sum_{i\in[n]}\abs{\{\pi \in S_n\colon \pi(n) = i\}}
				= n\cdot(n-1)! = n!
			\end{align*}
	\end{itemize}
\end{proof}

\begin{satz}
	\label{theo:1.1.4}
	Für $n\in \mathbb{N}_{\ge2}$ ist jedes $\pi \in S_n$ das Produkt von (endlich vielen) Transpositionen.
\end{satz}
\begin{proof}
	Vollständige Induktion
	\begin{itemize}
		\item[$n=2$:] $S_2 = \{\id, (2 1)\}$
		\item[$n-1\to n$:]
			Sei $\pi \in S_n$. Dann gilt (siehe Beweis von Satz \ref{theo:1.1.3}) mit $i=\pi(n)$, dass
			\[\underbrace{(i n)\pi}_{\pi_i}(n) = n\]
			Sei $\pi_i = (\underbrace{\pi_i(1) \dots \pi_i(n-1)}_{\in S_{n-1}} n)
				\underset{\text{Induktions VS}}{\implies} \pi_i = (i_1 j_1) \dots (i_k j_k)$.\\
			Außerdem gilt $\pi = (i n)\pi_i$, also $\pi = (i n)(i_1 j_1) \dots (i_k j_k)$
	\end{itemize}
\end{proof}

\subsubsection{Bemerkung}
\begin{itemize}
	\item Produktdarstellung ist nicht eindeutig, zum Beispiel:
	      \[
		      (3 1 2) = (2 1)(3 1) = (3 1)(3 2)
	      \]
	\item $f\in \mathbb{Z}[X_1, \dots, X_n], \pi \in S_n$ \\
	      $\pi f(X_1, \dots, X_n) \coloneq f(X_{\pi(1)}, \dots, X_{\pi(n)})$
\end{itemize}
\subsubsection{Beispiel}
$\pi = (2 3 1), f(X_1, X_2, X_3) = X_1-X_2+X_1X_3 \implies \pi f(X_1, X_2, X_3) = X_2 - X_3 + X_2X_1$

\begin{lemma}
	\label{theo:1.1.5}
	Sei
	\[
		f(X_1, \dots, X_n) = \prod_{\substack{i, j\in[n]\\ i < j}} (X_j-X_i)\in \mathbb{Z}[X_1, \dots, X_n]
	\]
	Dann gilt
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Zu jedem $\pi \in S_n$ existiert eine eindeutig Zahl $s(\pi) \in \{-1, 1\}$ mit
		      $\pi f = s(\pi)f$.
		\item Für $\pi$ eine Transposition gilt $s(\pi) = -1$.
	\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item
		      \begin{align*}
			      \pi f(X_1, \dots, X_n) & = \prod_{i<j}(X_{\pi(j)}-X_{\pi(i)})                                 \\
			                             & =\Bigl(\prod_{\substack{i<j                                          \\
						      \pi(i)<\pi(j)}}
				      (X_{\pi(j)}-X_{\pi(i)})\Bigr)
			      \Bigl(\prod_{\substack{i<j                                                                    \\
			      \pi(j)<\pi(i)}}(X_{\pi(j)}-X_{\pi(i)})\Bigr)                                                  \\
			                             & = (-1)^{\abs{\{(i, j)\in[n]\times[n]\colon i<j\land\pi(i)>\pi(j)\}}}
			      \prod_{i<j}(X_j-X_i)                                                                          \\
			                             & = s(\pi)f(X_1, \dots, X_n) \text{ mit }                              \\
			      s(\pi)                 & = (-1)^{\abs{\{(i, j)\in[n]\times[n]\colon i<j\land\pi(i)>\pi(j)\}}}
		      \end{align*}
		\item $\pi = (i j), i<j, k\in\{i+1, \dots, j-1\}\colon
			      \pi(i, j) = (j, i), \pi(i, k) = (j, k), \pi(k, j) = (k, i)$\\
		      Für diese Paare gilt $x<y \land \pi(x) > \pi(y)$\\
		      Für alle anderen Paare gilt $x<y \land \pi(x)<\pi(y)$\\
		      Erstere sind $2(j-i-1)+1$ Paare. Daraus folgt $\pi f=(-1)^{2(j-i-1)+1}f$, also $s(\pi)=-1$.
	\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{defin}
	\begin{itemize}
		\item Die durch Lemma \ref{theo:1.1.5} bestimmte Größe $s(\pi)$ heißt
		      \underline{Signum} von $\pi \in S_n$. Wir schreiben $\sgn(\pi)$.
		\item $\pi$ heißt \underline{gerade} falls $\sgn(\pi)=1$ und \underline{ungerade} falls $\sgn(\pi)=-1$.
	\end{itemize}
\end{defin}

\begin{satz}
	\label{theo:1.1.7}
	Für $\pi, \sigma \in S_n$ gilt \[\sgn(\sigma\pi)=\sgn(\sigma)\sgn(\pi)\]
\end{satz}
\begin{proof}
	Nach Satz \ref{theo:1.1.5}(a) gilt:
	\begin{align*}
		 & f(X_1, \dots, X_n) = \prod\limits_{i<j}(X_j-X_i) \implies        \\
		 & \sigma\pi f(X_1, \dots, X_n) = \sgn(\sigma\pi)f(X_1, \dots, X_n)
	\end{align*}
	Andererseits gilt:
	\begin{align*}
		\sigma\pi f(X_1, \dots, X_n) & = \sigma[\pi f(X_1, \dots, X_n)]          \\
		                             & = \sigma[\sgn(\pi)f(X_1, \dots, X_n)]     \\
		                             & = \sgn(\pi) \sigma f(X_1, \dots, X_n)     \\
		                             & = \sgn(\pi)\sgn(\sigma)f(X_1, \dots, X_n)
	\end{align*}
\end{proof}

\begin{satz}
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\sgn(\pi)=1\iff\pi$ ist Produkt gerader Anzahl Transpositionen
		\item $\pi$ Produkt von k Transpositionen $\implies \sgn(\pi)=(-1)^k$
	\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
	Folgt direkt aus Satz \ref{theo:1.1.5}(b) und Satz \ref{theo:1.1.7}
\end{proof}

\begin{folgerung}
	Es gibt genau $\frac12n!$ gerade und $\frac12n!$ ungerade Permutationen in $S_n$
\end{folgerung}
\begin{proof}
	Folgt aus Satz \ref{theo:1.1.3}
\end{proof}

\begin{defin}
	Die geraden Permutationen bilden eine Untergruppe $A_n$ von $S_n$, die man \\
	\underline{alternierende Gruppe} nennt.
\end{defin}

\section{Multilinearformen}
\begin{defin}
	Seien $V_1, \dots, V_n, W$ \K-Vektorräume. Eine Abbildung $\varphi\colon V_1 \times \dots \times V_n \to W$
	heißt \underline{n-linear}, wenn für alle
	$v_1, v'_1 \in V_1, \dots, v_n, v'_n\in V_n, i \in [n], \lambda\in\K$ gilt, dass
	\begin{itemize}
		\item $\varphi(v_1, \dots, v_i+v'_i, \dots, v_n)=
			      \varphi(v_1, \dots, v_i, \dots, v_n)+\varphi(v_1, \dots, v'_i, \dots, v_n)$
		\item $\varphi(v_1, \dots, \lambda v_i, \dots, v_n)= \lambda\varphi(v_1, \dots, v_i, \dots, v_n)$.
	\end{itemize}
	Ist $W=\K$ und $V_1, \dots, V_n=V$, so heißt $\varphi$ \underline{n-Linearform}. \\
	($n=2 \to$ \underline{Bilinearform})
\end{defin}

\subsubsection{Beispiel}
\[
	\varphi\colon
	\begin{cases}
		\K^2\times \K^2 & \to \K                              \\
		\left(
		\begin{pmatrix}
				a_{11} \\
				a_{21}
			\end{pmatrix}
		,
		\begin{pmatrix}
				a_{12} \\
				a_{22}
			\end{pmatrix}
		\right)
		                & \mapsto a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}
	\end{cases}
\]

\begin{defin}
	\label{theo:1.2.2}
	Eine n-Linearform von $V$ heißt
	\begin{itemize}
		\item \underline{nicht ausgeartet}, falls
		      $(a_1, \dots, a_n)\in V\times\dots\times V$ existiert mit \\
		      $\varphi(a_1, \dots, a_n) \neq 0$.
		\item \underline{alternierend}, falls $\varphi(a_1, \dots, a_n)=0$ für $a_1, \dots, a_n$ linear abhängig.
	\end{itemize}
\end{defin}

\subsubsection{Bemerkung}
$\varphi$ alternierend und $a_i = a_j$ für $i\neq j \implies \varphi(a_1, \dots, a_n) = 0$.

\begin{lemma}
	\label{theo:1.2.3}
	Sei $\varphi$ alternierende n-Linearform von V und $\pi \in S_n$. Dann gilt für
	$a_1, \dots, a_n\in V$:
	\[\varphi\left(a_{\pi(1)}, \dots, a_{\pi(n)}\right)=\sgn(\pi)\varphi(a_1, \dots, a_n)\]
\end{lemma}
\begin{proof}
	Wegen Satz \ref{theo:1.1.4} und Satz \ref{theo:1.1.7} genügt es anzunehmen, dass $\pi$ Transposition ist.
	Sei also $\pi=(ij)$. Es gilt
	\begin{align*}
		0 & =\varphi(a_1, \dots, \underbrace{a_i+a_j}_{i}, \dots, \underbrace{a_i+a_j}_{j}, \dots, a_n) \\
		  & =\underbrace{\varphi(a_1, \dots, a_i, \dots, a_i, \dots, a_n)}_{0} +
		\underbrace{\varphi(a_1, \dots, a_j, \dots, a_j, \dots, a_n)}_{0}                               \\
		  & \;\; + \varphi(a_1, \dots, a_i, \dots, a_j, \dots, a_n) +
		\varphi(a_1, \dots, a_j, \dots, a_i, \dots, a_n)                                                \\
		  & \implies \varphi(a_1, \dots, a_j, \dots, a_i, \dots, a_n)=
		\underbrace{(-1)}_{=\sgn{\pi}}\varphi(a_1, \dots, a_i, \dots, a_j, \dots, a_n)
	\end{align*}
\end{proof}

\begin{lemma}
	\label{theo:1.2.4}
	Sei $V$ ein $\K$-VR mit $\dim(V)=n$ und $\varphi$ nicht ausgeartete und alternierende n-Linearform von V.
	Dann gilt
	\[
		a_1, \dots, a_n \text{ linear abhängig} \iff \varphi(a_1, \dots, a_n) = 0
	\]
\end{lemma}
\begin{proof}
	\begin{itemize}
		\item[$\implies$:] folgt aus Definition \ref{theo:1.2.2}
		\item[$\impliedby$:] z.Z.: $\varphi(b_1, \dots, b_n)\neq0\impliedby b_1, \dots, b_n \text{ Basis von } V$.
			Da $\varphi$ nicht ausgeartet ist, gibt es $a_1, \dots, a_n\in V$ mit $\varphi(a_1, \dots, a_n)\neq0$.\\
			Da $b_1, \dots, b_n$ Basis gibt es $\lambda_{ij}\in\K$ mit $a_i=\sum\limits_{j=1}^n{\lambda_{ij}b_j}$\\
			Wegen n-Linearität gilt
			\begin{align*}
				0\neq\varphi(a_1, \dots, a_n) & =\sum_{j_1=1}^n{\dots}\sum_{j_n=1}^n{\varphi(b_{j_1}, \dots, b_{j_n})
				\lambda_{1j_1}\cdots\lambda_{nj_n}}                                                                   \\
				                              & \underbrace{=}_{\mathclap{\varphi\text{ alternierend}}}
				\sum_{\substack{j_1, \dots, j_n                                                                       \\
						\text{paarweise verschieden}}}
				{\varphi(b_{j_1}, \dots, b_{j_n})\lambda_{1j_1} \cdots \lambda_{nj_n}}                                \\
				                              & = \sum_{\pi\in S_n} \varphi(b_{\pi(1)}, \dots, b_{\pi(n)})
				\lambda_{1\pi(1)} \cdots \lambda_{n\pi(n)}                                                            \\
				                              & \underbrace{=}_{\mathclap{\text{Lemma \ref{theo:1.2.3}}}}
				\varphi(b_1, \dots, b_n)\left(\sum_{\pi\in S_n}
				\sgn(\pi)\lambda_{1\pi(1)}\cdots\lambda_{n\pi(n)}\right)                                              \\
				                              & \implies\varphi(b_1, \dots, b_n)\neq 0
			\end{align*}
	\end{itemize}
\end{proof}

\begin{satz}
	\label{theo:1.2.5}
	Sei V $\K$-VR mit $\dim(V)=n$ und Basis $a_1, \dots, a_n$.
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Für $\varphi$ alternierende nicht ausgeartete n-Linearform gilt für\\ $b_i =
			      \sum\lambda_{ij}a_j$, dass
		      \[
			      \varphi(b_1, \dots, b_n) =
			      \varphi(a_1, \dots, a_n)\left(\sum_{\pi \in S_n}\sgn(\pi)\lambda_{1\pi(1)}\cdots\lambda_{n\pi(n)}\right)
		      \]
		\item Sei $c\in\K\setminus\{0\}$. Dann ist die Abbildung
		      \[
			      \varphi(b_1, \dots, b_n) = c\left(\sum_{\pi \in S_n}\sgn(\pi)\lambda_{1\pi(1)}\cdots\lambda_{n\pi(n)}\right)
		      \]
		      eine alternierende nicht ausgeartete n-Linearform.
	\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item folgt aus dem Beweis von Lemma \ref{theo:1.2.4}.
		\item Man verifiziert leicht, dass $\varphi$ n-linear ist. Weiters ist $\varphi$
		      nicht ausgeartet, da
		      \[
			      \varphi(a_1, \ldots, a_n) =
			      c\left(\sum_{\pi\in S_n}\sgn(\pi)\delta_{1\pi(1)} \cdots \delta_{n\pi(n)}\right) = c \cdot 1 \neq 0
		      \]
		      z.Z.: $\varphi$ alternierend. Seien $b_1, \dots, b_n$ linear abhängig.\\
		      O.B.d.A. $b_1=\mu_2b_2+\cdots+\mu_nb_n$. Dann gilt
		      \[\varphi(b_1, \dots, b_n) = \sum_{j=2}^{n}\mu_j \varphi(b_j, b_2, \dots, b_n)\]
		      Es genügt also zu zeigen, dass $\varphi(b_1, \dots, b_n) = 0$ falls $b_1 = b_i,
			      i\in\{2, \dots, n\}$. Dann gilt aber $\lambda_{1j}=\lambda_{ij} \forall j$.
		      \begin{align*}
			      \varphi(b_i, \dots, b_i, \dots, b_n) & = c\cdot\sum_{\pi\in S_n} \sgn(\pi) \lambda_{i\pi(1)}\cdots\lambda_{i\pi(i)}\cdots\lambda_{n\pi(n)} \\
			                                           &
			      \begin{multlined}
				      =c\cdot \Bigg(\sum_{\pi\in A_n}\sgn(\pi)\lambda_{i\pi(i)}\cdots\lambda_{i\pi(i)}\cdots\lambda_{n\pi(n)}                              \\
				      +\sum_{\pi\in A_n}\underbrace{\sgn(\pi\circ(1i))}_{=-\sgn(\pi)}\lambda_{i\pi(i)}\cdots\lambda_{i\pi(i)}\cdots\lambda_{n\pi(n)}\Bigg)
			      \end{multlined}
			      \\
			                                           &
			      \begin{multlined}
				      = c\cdot\sum_{\pi\in A_n}(\sgn(\pi)-\sgn(\pi))
				      \cdot \lambda_{i\pi(i)} \cdot \\
				      \cdots\lambda_{i\pi(i)}\cdots\lambda_{n\pi(n)}=0
			      \end{multlined}
		      \end{align*}
	\end{enumerate}
\end{proof}

\subsubsection{Bemerkung}
Es gibt also zu jedem $\K$-VR V mit $\dim(V)=n$ eine nicht ausgeartete
alternierende n-Linearform.

\begin{satz}
	\label{theo:1.2.6}
	Sei V $\K$-VR mit $\dim(V)=n$ und $\varphi_1, \varphi_2$ nicht ausgeartete alternierende n-Linearformen.
	Dann existiert $c\in\K\setminus\{0\}$ mit $\varphi_2=c\cdot\varphi_1$.
\end{satz}
\begin{proof}
	Sei $a_1, \dots, a_n$ Basis von V. Nach Lemma \ref{theo:1.2.4} ist
	$\varphi_i(a_1, \dots, a_n)\neq0, i=1, 2$.\\
	Sei $c\coloneq\dfrac{\varphi_1(a_1, \dots, a_n)}{\varphi_2(a_1, \dots, a_n)} \in \K\setminus\{0\}$.\\
	Sei $b_1, \dots, b_n$ mit $b_i=\sum\lambda_{ij}a_j$.\\
	Dann gilt nach Satz \ref{theo:1.2.5}(a), dass für $i=1, 2$
	\begin{align*}
		 & \varphi_i(b_1, \dots, b_n) =
		\varphi_i(a_1, \dots, a_n)\underbrace{\sum_{\pi \in S_n}\lambda_{1\pi(1)}\cdots\lambda_{n\pi(n)}}_
		{\text{unabhängig von $i$!}}                                               \\
		 & \implies \frac{\varphi_1(b_1, \dots, b_n)}{\varphi_2(b_1, \dots, b_n)}=
		\frac{\varphi_1(a_1, \dots, a_n)}{\varphi_2(a_1, \dots, a_n)}=c
	\end{align*}
\end{proof}

\section{Determinanten}
\begin{defin}
	Sei $B=(a_1, \dots, a_n)$ Basis des \K-Vektorraums V.
	Sei $\varphi$ nicht ausgeartete, alternierende n-Linearform und $\alpha \in \homkv$.
	Dann ist die \underline{Determinante von $\alpha$} definiert durch \[
		\det(\alpha)\coloneq\det{}_\K(\alpha)
		\coloneq\frac{\varphi(\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n))}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}
	\]
\end{defin}

\begin{satz}
	\label{theo:1.3.2}
	$\det(\alpha)$ ist unabhängig von der Wahl der Basis B und der Form $\varphi$.
\end{satz}
\begin{proof}
	\leavevmode
	\begin{enumerate}[label=\arabic *. Fall:]
		\item $\alpha$ nicht bijektiv\\
		      $\implies \alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n) \text{ linear abhängig} \implies \det(\alpha) = 0$
		\item $\alpha$ bijektiv. Sei $B=(a_1, \dots, a_n)$.

		      Dann ist auch $\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n)$ Basis und, da $\varphi$ nicht
		      ausgeartet,
		      \[\varphi(\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n))\neq0\]

		      Sei $\varphi_\alpha(b_1, \dots, b_n) \coloneq \varphi(\alpha(b_1), \dots,
			      \alpha(b_n))$. Dann ist $\varphi_\alpha$ alternierend und nicht ausgeartet.
		      Wegen Satz \ref{theo:1.2.6} folgt, dass $c\in\K\setminus\{0\}$ existiert mit
		      \begin{equation}
			      \label{eq:constantphi}
			      \varphi_\alpha=c\cdot\varphi
		      \end{equation}
		      und (durch Einsetzen von $a_1, \dots, a_n$), dass $c=\det(\alpha)$.
		      Da \ref{eq:constantphi} unabhängig von B ist also $\det(\alpha)$ unabhängig von B.

		      Sei nun $\psi$ eine zweite alternierende, nicht ausgeartete n-Form und
		      $\psi_\alpha(b_1, \dots, b_n) \coloneq \psi(\alpha(b_1), \dots, \alpha(b_n))$.
		      Dann ist $\psi_\alpha$ alternierend und nicht ausgeartet. Nach Satz
		      \ref{theo:1.2.6} gibt es $d\in\K\setminus\{0\} \text{ mit }d=\frac\psi\varphi$.
		      Also gilt:
		      \[
			      \det(\alpha)=\frac{\varphi_\alpha(a_1, \dots, a_n)}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}=
			      \frac{d\varphi_\alpha(a_1, \dots, a_n)}{d\varphi(a_1, \dots, a_n)}=
			      \frac{\psi_\alpha(a_1, \dots, a_n)}{\psi(a_1, \dots, a_n)}
		      \]

		      also ist $\det(\alpha)$ auch von der n-Form unabhängig.
	\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{korollar}
	\label{theo:1.3.3}
	Sei V ein n-dimensionaler \K-Vektorraum. Dann gilt
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\alpha\in \homkv \text{ bijektiv } \iff \det(\alpha)\neq0$
		\item $\alpha, \beta \in \homkv \implies \det(\alpha \beta) = \det(\alpha) \det(\beta)$
		\item $\det(\id)=1$
		\item Ist $\alpha\in \homkv$ invertierbar, so gilt
		      $\det(\alpha^{-1})=\det(\alpha)^{-1}$.
	\end{enumerate}
\end{korollar}
\begin{proof}
	Sei $B=(a_1, \dots, a_n)$ Basis und $\varphi$ n-Form mit \[
		\det(\alpha) = \frac{\varphi(\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n))}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}
		\text{[ unabhängig von $B$ und $\varphi$ nach Satz \ref{theo:1.3.2}]}
	\]
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\alpha$ bijektiv $\iff \alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n) \text{ linear unabhängig}$\\
		      $\underbrace{\iff}_{\mathclap{\text{Lemma \ref{theo:1.2.4}}}}
			      \varphi(\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n))\neq0\iff \det(\alpha)\neq0$
		\item 2 Fälle:
		      \begin{enumerate}[label=\arabic*. Fall:]
			      \item $\alpha$ oder $\beta$ ist nicht bijektiv: o.B.d.A $\alpha$ nicht bijektiv.\\
			            $\implies \det(\alpha)=0\implies \det(\alpha)\det(\beta)=0$\\
			            Weiters folgt, dass $\alpha\beta$ nicht bijektiv, also $\det(\alpha\beta)=0$.
			      \item $\alpha, \beta$ bijektiv.
			            Dann ist auch $(\beta(a_1), \dots, \beta(a_n))$ Basis und
			            \begin{align*}
				            \det(\alpha\beta) & = \frac{\varphi(\alpha(\beta(a_1)), \dots, \alpha(\beta(a_n)))}
				            {\varphi(a_1, \dots, a_n)}                                                          \\
				                              &
				            \begin{multlined}
					            =\frac{\varphi(\alpha(\beta(a_1)), \dots, \alpha(\beta(a_n)))}
					            {\varphi(\beta(a_1), \dots, \beta(a_n))}\cdot
					            \frac{\varphi(\beta(a_1), \dots, \beta(a_n))}
					            {\varphi(a_1, \dots, a_n)}
				            \end{multlined}
				            \\
				                              & \underbrace{=}_{\mathclap{\text{Satz \ref{theo:1.3.2}}}}
				            \det(\alpha)\det(\beta)
			            \end{align*}
		      \end{enumerate}
		\item $\det(\id)=\frac{\varphi(a_1, \dots, a_n)}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}=1$
		\item $1\underbrace{=}_{\text{c)}}\det(\id)=\det(\alpha\alpha^{-1})\underbrace{=}_{\text{b)}}
			      \det(\alpha)\det(\alpha^{-1})$
	\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{satz}
	\label{theo:1.3.4}
	Sei $\alpha\in \homkv, B=(b_1, \dots, b_n)$ Basis und $A=(a_{ij}) = {}_B M(\alpha)_B\in\K^{n\times n}$.
	Dann gilt
	\[\det(\alpha)=\sum_{\pi\in S_n}\sgn(\pi)a_{1\pi(1)}\cdots a_{n\pi(n)}\]
\end{satz}
\begin{proof}
	Es gilt $\alpha(b_i)=\sum\limits_{j=1}^na_{ij}b_j \text{ für }i=1, \dots, n$.
	Nach Satz \ref{theo:1.2.5}(a) gilt
	\[
		\varphi(\alpha(b_1), \dots, \alpha(b_n)) =
		\varphi(b_1, \dots, b_n)\cdot\sum_{\pi\in S_n}\sgn(\pi)a_{1\pi(1)}\cdots a_{n\pi(n)}
	\]
	und daraus folgt die Behauptung direkt.
\end{proof}

\begin{defin}
	Für $A=(a_{ij})\in\K^{n\times n}$ definieren wir die \underline{Determinante von A} als
	\[
		\det(A)=\sum_{\pi\in S_n} \sgn(\pi)a_{1\pi(1)}\cdots a_{n\pi(n)}\in\K
	\]
\end{defin}

\subsubsection{Bemerkung}
Schreibweise für $A=(a_{ij})$:
\[
	\det(A)=
	\begin{vmatrix}
		a_{11} & \dots  & a_{1n} \\
		\vdots & \ddots & \vdots \\
		a_{n1} & \dots  & a_{nn}
	\end{vmatrix}
\]

\section{Rechenregeln}
\begin{satz}
	\label{theo:1.4.1}
	Sei $A=(a_1, \dots, a_n)\in\K^{n\times n}$. Dann gilt
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item $\det(A)=\det(A^T)$
		\item $\forall i, j\in[n]\colon i<j\colon
			      \det((a_1, \dots, \underbrace{a_j}_{i}, \dots, \underbrace{a_i}_{j}, \dots, a_n))=-\det(A)$
		\item $\forall i\in[n]\colon \lambda_1, \dots, \lambda_n\in\K\colon \det((a_1, \dots, a_i+
			      \sum\limits_{\substack{j=1\\j\neq i}}^n\lambda_ja_j, \dots, a_n))=\det(A)$
		\item $\forall i\in[n]\colon \lambda\in\K\colon \det((a_1, \dots, \lambda a_i, \dots, a_n)) = \lambda \det(A)$
		\item $\exists i, j\in[n]\colon i\neq j\land a_i=a_j \implies \det(A)=0$
		\item $\forall \lambda \in \K\colon \det(\lambda A)=\lambda^n \det(A)$
		\item $A$ invertierbar $\implies \det(A^{-1})=\det(A)^{-1}$
		\item $\forall B \in \K^{n\times n}\colon \det(AB)=\det(A)\det(B)$
		\item $\det(I_n)