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Anton Mosich 2022-06-09 11:00:51 +02:00
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commit 356add4ff9
Signed by: Flugschwein
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22
LinAlg2.tex
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@ -17,6 +17,8 @@
\usepackage{framed}
\usepackage[hyperref,amsmath,amsthm,thmmarks,thref,framed]{ntheorem}
\usepackage{tcolorbox}
\usepackage{geometry}
\geometry{a4paper, top=35mm, left=25mm, right=25mm, bottom=30mm}
\pgfplotsset{compat=1.17}
@ -278,7 +280,7 @@ $\pi = (2 3 1), f(X_1, X_2, X_3) = X_1-X_2+X_1X_3 \implies \pi f(X_1, X_2, X_3)
\end{proof}
\begin{defin}
Die geraden Permutationen bilden eine Untergruppe $A_n$ von $S_n$, die man
Die geraden Permutationen bilden eine Untergruppe $A_n$ von $S_n$, die man \\
\underline{alternierende Gruppe} nennt.
\end{defin}
@ -1450,7 +1452,7 @@ $\underset{\mathrlap{\text{\dq fast alle Matrizen sind diagonalisierbar\dq}}}
\begin{proof}[Beweis]
\begin{itemize}
\item[$\implies$:] $\chi_A$ ist invariant
bezüglich Ähnlichkeitsumformung (Lemma \ref{theo:2.2.7}).
bezüglich Ähnlichkeitsumformung (Lemma \ref{theo:2.2.7}). \\
Sei $P^{-1} A P = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & * \\
& \ddots & \\
0 & & \lambda_n\end{pmatrix}$
@ -1850,7 +1852,7 @@ Angenommen \(\alpha - \lambda \id: V \to V\) nilpotent. Dann besitzt \(\alpha\)
$\alpha_i - \lambda_i \id := \alpha|_{\widetilde{\eig_\alpha(\lambda_i)}} - \lambda
\id|_{\widetilde{\eig_\alpha(\lambda_i)}} $ nilpotent. Nach Lemma \ref{theo:2.3.3} gibt es eine Basis
$B_i$ von $\widetilde{\eig_\alpha(\lambda_i)}$ sodass ${}_{B_i} M(\alpha_i)_{B_i}$ Jordan-Normalform
hat. Es folgt mit $B= (B_1, \dots, B_r)$ dass ${}_B M(\alpha)_B = \begin{pmatrix}
hat. Es folgt mit $B= (B_1, \dots, B_r)$ dass \\ ${}_B M(\alpha)_B = \begin{pmatrix}
{}_{B_1} M(\alpha_1)_{B_1} & & \\
& \ddots & \\
& & {}_{B_r}M(\alpha_r)_{B_r}
@ -1874,7 +1876,7 @@ Angenommen \(\alpha - \lambda \id: V \to V\) nilpotent. Dann besitzt \(\alpha\)
Setze $v_i^{k-1} := (\alpha - \lambda \id)(v_i^k) \in \langle B_{k-1} \rangle,
i = 1, \dots, r_k$ \\
Ergänze gegebenenfalls $(v_1^{k-1}, \dots, v_{r_k}^{k-1},
v_{r_{k+1}}^{k-1}, \dots, v_{r_{k-1}}^{k-1})=:D_{k-1}$, sodass
v_{r_{k+1}}^{k-1}, \dots, v_{r_{k-1}}^{k-1})=:D_{k-1}$, sodass \\
$\langle D_{k-1} \rangle = \langle B_{k-1} \rangle$
\item Führe 3a) iterativ aus. \\
Setze $v_i^{l-1} := (\alpha - \lambda \id)(v_i^l), i = 1, \dots, r_l$ \\
@ -2717,8 +2719,8 @@ Behauptung: $\inner fp > 0$
& \implies (e_1, \dots, e_n) \text{ ist ONB von $V$ aus Eigenvektoren von } \alpha
\end{align*}
\end{itemize}
\item[$\implies$:] Sei $(e_1, \dots, e_n)$ Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von $\alpha$. Seien weiters
$\lambda_1, \dots, \lambda_n \in \C$ die zugehörigen Eigenwerte.
\item[$\implies$:] Sei $(e_1, \dots, e_n)$ Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von $\alpha$. Seien \\
weiters $\lambda_1, \dots, \lambda_n \in \C$ die zugehörigen Eigenwerte.
\[
\alpha:\begin{cases} V & \to V \\
v = \sum_{i=1}^n \mu_i e_i & \mapsto \sum_{i=1}^n \lambda_i \mu_i e_i\end{cases}
@ -2985,7 +2987,7 @@ Im Reellen/Euklidischen Fall gilt dieser Satz genau dann, wenn $\alpha$ diagonal
\section{Orthogonale und unitäre Abbildungen}
\begin{defin}
Seien $V, W$ beide euklidische/unitäre Vektorräume, $\alpha \in \Hom(V, W)$ heißt \underline{orthogonal}/%
Seien $V, W$ beide euklidische/unitäre Vektorräume, $\alpha \in \Hom(V, W)$ heißt\\ \underline{orthogonal}/%
\underline{unitär} wenn
\[
\forall v, w \in V: \inner{\alpha(v)}{\alpha(w)}_W = \inner vw_V
@ -3495,8 +3497,8 @@ $M_B(\sigma), M_{B'}(\sigma)$ sind kongruent (\& umgekehrt)
Ordne so, dass $\ontop{\lambda_1, \dots, \lambda_t > 0,
\lambda_{t+1}, \dots, \lambda_r < 0,
\lambda_{r+1}, \dots, \lambda_n = 0}
{\mu_1, \dots, \mu_s > 0, \mu_{s+1}, \dots, \mu_r < 0, \mu_{r+1}, \dots, \mu_n =0}$
Sethe $a_i := \sqrt{\lvert \lambda_i \rvert}, b_i := \sqrt{\lvert \mu_i \rvert}$
{\mu_1, \dots, \mu_s > 0, \mu_{s+1}, \dots, \mu_r < 0, \mu_{r+1}, \dots, \mu_n =0}$ \\
Setze $a_i := \sqrt{\lvert \lambda_i \rvert}, b_i := \sqrt{\lvert \mu_i \rvert}$
\begin{equation}
\label{eq:3.4.6.1}
x^* D x = \sum_{j=1}^t a_j^2 \lvert x_j \rvert^2 - \sum_{j=t+1}^r a_j^2 \lvert x_j \lvert^2
@ -3785,7 +3787,7 @@ Das gilt für $V, W$ allgemein.
\end{satz}
\begin{proof}
\begin{itemize}
\item $A^* A \in \K^{\nxn}$ selbstadjungiert und positiv semi-definit.
\item $A^* A \in \K^{\nxn}$ selbstadjungiert und positiv semi-definit. \\
Eigenwerte $\lambda_1, \dots, \lambda_n \in [0, \infty)$, ONB $b_1, \dots, b_n$ aus Eigenvektoren.
Sei $\lambda_1, \dots, \lambda_r \in (0, \infty), \lambda_{r+1} = \dots = \lambda_n = 0$
$s_i := \sqrt{\lambda_i}, i\in [n]$