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94
LinAlg2.tex
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@ -3,15 +3,16 @@
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%\usepackage{mdframed}
\usepackage{mathtools}
%\usepackage{hyperref}
\usepackage[colorlinks=true, linkcolor=magenta]{hyperref}
\title{Lineare Algebra 2}
\date{2022-03-29}
\date{Sommersemester 2022}
\author{Philipp Grohs}
\newtheoremstyle{test}%
\newtheoremstyle{theostyle}%
{3pt}%
{3pt}%
{}%
@ -21,7 +22,7 @@
{\newline}%
{}%
\theoremstyle{test}
\theoremstyle{theostyle}
\newtheorem{theo}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}[theo]{Lemma}
@ -30,7 +31,11 @@
\newtheorem{korollar}[theo]{Korollar}
\newtheorem{folgerung}[theo]{Folgerung}
% \surroundwithmdframed[linewidth=2pt]{defin}
%\surroundwithmdframed[backgroundcolor=yellow!40]{defin}
%\surroundwithmdframed[backgroundcolor=blue!40]{lemma}
%\surroundwithmdframed[backgroundcolor=green!40]{satz}
%\surroundwithmdframed[backgroundcolor=pink!40]{korollar}
%\surroundwithmdframed[backgroundcolor=gray!40]{folgerung}
\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
\DeclareMathOperator{\spur}{sp}
@ -42,7 +47,9 @@
\begin{document}
\maketitle
\chapter{Determinanten}
\section{Permutationen}
\begin{defin}
Sei $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}, [n] := \{1, 2, \dots, n\}$. \\
Eine bijektive Abbildung $\pi:[n]\to[n]$ heißt \underline{Permutation} von $[n]$. Wir definieren die \underline{symmetrische Gruppe} $S_n := \{\pi\text{ Permutation von }[n]\}$ mit der Hintereinanderausführung als Gruppenoperation.
@ -60,7 +67,7 @@ $$\pi(k) = \begin{cases} k & k\notin\{i, j\}\\ i & k = j\\ j & k=i \end{cases}$$
Wir schreiben $\pi = (ij)$.
\end{defin}
\begin{satz}
\begin{satz} \label{theo:1.1.3}
Es gilt $\lvert S_n \rvert = n!$.
\begin{proof}[Beweis]
Vollständige Induktion
@ -74,13 +81,13 @@ Weiters gilt $$S_n = \bigcup_{i\in[n]}^\bullet\{\pi\in S_n: \pi(n)=i\} \implies
\end{proof}
\end{satz}
\begin{satz}
\begin{satz} \label{theo:1.1.4}
Für $n\in \mathbb{N}_{\ge2}$ ist jedes $\pi \in S_n$ das Produkt von (endlich vielen) Transpositionen.
\begin{proof}[Beweis]
\begin{itemize}
\item $n=2: S_2 = \{\id, (2 1)\}$
\item $n-1\to n$\\
Sei $\pi \in S_n$. Dann gilt (siehe Beweis von Satz 1.1.3) mit $i=\pi(n)$, dass
Sei $\pi \in S_n$. Dann gilt (siehe Beweis von Satz \ref{theo:1.1.3}) mit $i=\pi(n)$, dass
$$\underbrace{(i n)\pi}_{\pi_i}(n) = n$$.
Sei $\pi_i = (\underbrace{\pi_i(1) \dots \pi_i(n-1)}_{\in S_{n-1}} n) \underset{\text{Induktions VS}}{\implies} \pi_i = (i_1 j_1) \dots (i_k j_k)$.\\
Außerdem gilt $\pi = (i n)\pi_i$, also $\pi = (i n)(i_1 j_1) \dots (i_k j_k)$
@ -95,7 +102,7 @@ Außerdem gilt $\pi = (i n)\pi_i$, also $\pi = (i n)(i_1 j_1) \dots (i_k j_k)$
\subsubsection{Beispiel}
$\pi = (2 3 1), f(X_1, X_2, X_3) = X_1-X_2+X_1X_3 \implies \pi f(X_1, X_2, X_3) = X_2 - X_3 + X_2X_1$
\begin{lemma}
\begin{lemma} \label{theo:1.1.5}
Sei $f(X_1, \dots, X_n) = \prod\limits_{\substack{i, j\in[n]\\ i < j}} (X_j-X_i)\in \mathbb{Z}[X_1, \dots, X_n]$.\\
Dann gilt \begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Zu jedem $\pi \in S_n$ existiert eine eindeutig Zahl $s(\pi) \in \{-1, 1\}$ mit $\pi f = s(\pi)f$.
@ -121,15 +128,15 @@ Erstere sind $2(j-i-1)+1$ Paare. Daraus folgt $\pi f=(-1)^{2(j-i-1)+1}f$, also $
\begin{defin}
\begin{itemize}
\item Die durch Satz 1.1.5 bestimmte Größe $s(\pi)$ heißt \underline{Signum} von $\pi \in S_n$. Wir schreiben $\sgn(\pi)$.
\item Die durch Lemma \ref{theo:1.1.5} bestimmte Größe $s(\pi)$ heißt \underline{Signum} von $\pi \in S_n$. Wir schreiben $\sgn(\pi)$.
\item $\pi$ heißt \underline{gerade} falls $\sgn(\pi)=1$ und \underline{ungerade} falls $\sgn(\pi)=-1$.
\end{itemize}
\end{defin}
\begin{satz}
\begin{satz} \label{theo:1.1.7}
Für $\pi, \sigma \in S_n$ gilt $$\sgn(\sigma\pi)=\sgn(\sigma)\sgn(\pi)$$
\begin{proof}[Beweis]
Nach Satz 1.1.5(a) gilt $f(X_1, \dots, X_n) = \prod\limits_{i<j}(X_j-X_i) \implies \sigma\pi f(X_1, \dots, X_n) = \sgn(\sigma\pi)f(X_1, \dots, X_n)$. \\
Nach Satz \ref{theo:1.1.5}(a) gilt $f(X_1, \dots, X_n) = \prod\limits_{i<j}(X_j-X_i) \implies \sigma\pi f(X_1, \dots, X_n) = \sgn(\sigma\pi)f(X_1, \dots, X_n)$. \\
Andererseits gilt: \begin{equation*}\begin{split}\sigma\pi f(X_1, \dots, X_n) &= \sigma[\pi f(X_1, \dots, X_n)]\\
&= \sigma[\sgn(\pi)f(X_1, \dots, X_n)] \\
&= \sgn(\pi) \sigma f(X_1, \dots, X_n) \\
@ -145,14 +152,14 @@ Andererseits gilt: \begin{equation*}\begin{split}\sigma\pi f(X_1, \dots, X_n) &=
\item $\pi$ Produkt von k Transpositionen $\implies \sgn(\pi)=(-1)^k$
\end{enumerate}
\begin{proof}[Beweis]
Folgt direkt aus Satz 1.1.5(b) und Satz 1.1.7
Folgt direkt aus Satz \ref{theo:1.1.5}(b) und Satz \ref{theo:1.1.7}
\end{proof}
\end{satz}
\begin{folgerung}
Es gibt genau $\frac12n!$ gerade und $\frac12n!$ ungerade Permutationen in $S_n$
\begin{proof}[Beweis]
Folgt aus Satz 1.1.3
Folgt aus Satz \ref{theo:1.1.3}
\end{proof}
\end{folgerung}
@ -174,7 +181,7 @@ $$\varphi:
\begin{cases}\mathbb{K}^2\times \mathbb{K}^2 &\to \mathbb{K} \\
\Big(\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\end{pmatrix}\Big)&\mapsto a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \end{cases}$$
\begin{defin}
\begin{defin} \label{theo:1.2.2}
Eine n-Linearform von V heißt
\begin{itemize}
\item \underline{nicht ausgeartet}, falls $(a_1, \dots, a_n)\in V\times\dots\times V$ existiert mit $\varphi(a_1, \dots, a_n) \neq 0$
@ -185,11 +192,11 @@ Eine n-Linearform von V heißt
\subsubsection{Bemerkung}
$\varphi$ alternierend und $a_i = a_j$ für $i\neq j \implies \varphi(a_1, \dots, a_n) = 0$.
\begin{lemma}
\begin{lemma} \label{theo:1.2.3}
Sei $\varphi$ alternierende n-Linearform von V und $\pi \in S_n$. Dann gilt für $a_1, \dots, a_n\in V$:
$$\varphi(a_{\pi(1)}, \dots, a_{\pi(n)})=\sgn(\pi)\varphi(a_1, \dots, a_n)$$
\begin{proof}[Beweis]
Wegen Satz 1.1.4 und Satz 1.1.7 genügt es anzunehmen, dass $\pi$ Transposition ist. Sei also $\pi=(ij)$. Es gilt
Wegen Satz \ref{theo:1.1.4} und Satz \ref{theo:1.1.7} genügt es anzunehmen, dass $\pi$ Transposition ist. Sei also $\pi=(ij)$. Es gilt
\begin{equation*}
\begin{aligned}
0&=\varphi(a_1, \dots, \underbrace{a_i+a_j}_{i}, \dots, \underbrace{a_i+a_j}_{j}, \dots, a_n) \\
@ -200,12 +207,12 @@ Wegen Satz 1.1.4 und Satz 1.1.7 genügt es anzunehmen, dass $\pi$ Transposition
\end{proof}
\end{lemma}
\begin{lemma}
\begin{lemma} \label{theo:1.2.4}
Sei $V$ $\mathbb{K}$-VR mit $\dim(V)=n$ und $\varphi$ nicht ausgeartete und alternierende n-Linearform von V. Dann gilt
$$a_1, \dots, a_n \text{ linear abhängig} \iff \varphi(a_1, \dots, a_n) = 0$$
\begin{proof}[Beweis]
\begin{itemize}
\item[$\implies$]: folgt aus Definition 1.2.2\\
\item[$\implies$]: folgt aus Definition \ref{theo:1.2.2}\\
\item[$\impliedby$]: z.Z.: $\varphi(b_1, \dots, b_n)\neq0\impliedby b_1, \dots, b_n \text{ Basis von } V$. Da $\varphi$ nicht ausgeartet ist, gibt es $a_1, \dots, a_n\in V$ mit $\varphi(a_1, \dots, a_n)\neq0$.\\
Da $b_1, \dots, b_n$ Basis gibt es $\lambda_{ij}\in\mathbb{K}$ mit $a_i=\sum\limits_{j=1}^n{\lambda_{ij}b_j}$\\
Wegen n-Linearität gilt
@ -214,7 +221,7 @@ $$
0\neq\varphi(a_1, \dots, a_n)&=\sum_{j_1=1}^n{\dots}\sum_{j_n=1}^n{\varphi(b_{j_1}, \dots, b_{j_n})\lambda_{1j_1}\cdots\lambda_{nj_n}} \\
&\underbrace{=}_{\varphi\text{ alternierend}} \sum_{\substack{j_1, \dots, j_n\\\text{paarweise verschieden}}}{\varphi(b_{j_1}, \dots, v_{j_n})\lambda_{1j_1} \cdots \lambda_{nj_n}} \\
&= \sum_{\pi\in S_n} \varphi(b_{\pi(1)}, \dots, b_{\pi(n)})\lambda_{1\pi(1)} \cdots \lambda_{n\pi(n)} \\
&\underbrace{=}_{\text{Lemma 1.2.3}}\varphi(b_1, \dots, b_n)\Big(\sum_{\pi\in S_n}\sgn(\pi)\lambda_{1\pi(1)}\cdots\lambda_{n\pi(n)}\Big)\\
&\underbrace{=}_{\text{Lemma \ref{theo:1.2.3}}}\varphi(b_1, \dots, b_n)\Big(\sum_{\pi\in S_n}\sgn(\pi)\lambda_{1\pi(1)}\cdots\lambda_{n\pi(n)}\Big)\\
&\implies\varphi(b_1, \dots, b_n)\neq0
\end{aligned}
$$
@ -222,7 +229,7 @@ $$
\end{proof}
\end{lemma}
\begin{satz}
\begin{satz} \label{theo:1.2.5}
Sei V $\mathbb{K}$-VR mit $\dim(V)=n$ und Basis $a_1, \dots, a_n$.
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Für $\varphi$ alternierende nicht ausgeartete n-Linearform gilt für $b_i = \sum\lambda_{ij}a_j$, dass
@ -236,7 +243,7 @@ eine alternierende nicht ausgeartete n-Linearform.
\end{enumerate}
\begin{proof}[Beweis]
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item folgt aus dem Beweis von Lemma 1.2.4.
\item folgt aus dem Beweis von Lemma \ref{theo:1.2.4}.
\item Man verifiziert leicht, dass $\varphi$ n-linear ist. Weiters ist $\varphi$ nicht ausgeartet, da
$$
\varphi(a_1, \dots, a_n) = c(\sum_{\pi\in S_n}\sgn(\pi)\delta_{1\pi(1)}, \cdots, \delta_{n\pi(n)})=c\cdot1\neq0
@ -261,13 +268,13 @@ $$
\subsubsection{Bemerkung}
Es gibt also zu jedem $\mathbb{K}$-VR V mit $\dim(V)=n$ eine nicht ausgeartete alternierende n-Linearform.
\begin{satz}
\begin{satz} \label{theo:1.2.6}
Sei V $\mathbb{K}$-VR mit $\dim(V)=n$ und $\varphi_1, \varphi_2$ nicht ausgeartete alternierende n-Linearformen. Dann existiert $c\in\mathbb{K}\setminus\{0\}$ mit $\varphi_2=c\cdot\varphi_1$.
\begin{proof}[Beweis]
Sei $a_1, \dots, a_n$ Basis von V. Nach Lemma 1.2.4 ist $\varphi_i(a_1, \dots, a_n)\neq0, i=1, 2.$\\
Sei $a_1, \dots, a_n$ Basis von V. Nach Lemma \ref{theo:1.2.4} ist $\varphi_i(a_1, \dots, a_n)\neq0, i=1, 2.$\\
Sei $c:=\dfrac{\varphi_1(a_1, \dots, a_n)}{\varphi_2(a_1, \dots, a_n)} \in \mathbb{K}\setminus\{0\}$.\\
Sei $b_1, \dots, b_n$ mit $b_i=\sum\lambda_{ij}a_j$.\\
Dann gilt nach Satz 1.2.5(a), dass für $i=1, 2$
Dann gilt nach Satz \ref{theo:1.2.5}(a), dass für $i=1, 2$
$$\begin{aligned}
&\varphi_i(b_1, \dots, b_n) = \varphi_i(a_1, \dots, a_n)\underbrace{\sum_{\pi \in S_n}\lambda_{1\pi(1)}\cdots\lambda_{n\pi(n)}}_{\text{unabhängig von $i$!}}\\
&\implies \frac{\varphi_1(b_1, \dots, b_n)}{\varphi_2(b_1, \dots, b_n)}=\frac{\varphi_1(a_1, \dots, a_n)}{\varphi_2(a_1, \dots, a_n)}=c
@ -282,7 +289,7 @@ Sei $B=(a_1, \dots, a_n)$ Basis des $\mathbb{K}$-Vektorraums V.
Sei $\varphi$ nicht ausgeartete n-Linearform und $\alpha \in \homk(V, V)$. Dann ist die \underline{Determinante von $\alpha$} definiert durch $$\det(\alpha):=\det{}_\mathbb{K}(\alpha):=\frac{\varphi(\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n))}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}$$
\end{defin}
\begin{satz}
\begin{satz} \label{theo:1.3.2}
$\det(\alpha)$ ist unabhängig von der Wahl der Basis B und der der Form $\varphi$.
\begin{proof}[Beweis]
\begin{itemize}
@ -292,13 +299,13 @@ $\det(\alpha)$ ist unabhängig von der Wahl der Basis B und der der Form $\varph
Dann ist auch $\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n)$ Basis und, da $\varphi$ nicht ausgeartet, $\varphi(\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n))\neq0$.
Sei $\varphi_\alpha(b_1, \dots, b_n) := \varphi(\alpha(b_1), \dots, \alpha(b_n))$.
Dann ist $\varphi_\alpha$ alternierend und nicht ausgeartet. Wegen Satz 1.2.6 folgt, dass $c\in\mathbb{K}\setminus\{0\}$ existiert mit
\begin{equation}\label{test}
Dann ist $\varphi_\alpha$ alternierend und nicht ausgeartet. Wegen Satz \ref{theo:1.2.6} folgt, dass $c\in\mathbb{K}\setminus\{0\}$ existiert mit
\begin{equation}\label{eq:constantphi}
\varphi_\alpha=c\cdot\varphi
\end{equation}
und (durch Einsetzen von $a_1, \dots, a_n$), dass $c=\det(\alpha)$. Da \ref{test} unabhängig von B ist also $\det(\alpha)$ unabhängig von B.
und (durch Einsetzen von $a_1, \dots, a_n$), dass $c=\det(\alpha)$. Da \ref{eq:constantphi} unabhängig von B ist also $\det(\alpha)$ unabhängig von B.
Sei nun $\psi$ eine zweite alternierende, nicht ausgeartete n-Form und $\psi_\alpha(b_1, \dots, b_n) := \psi(\alpha(b_1), \dots, \alpha(b_n))$. Dann ist $\psi_\alpha$ alternierend und nicht ausgeartet. Nach Satz 1.2.6 gibt es $d\in\mathbb{K}\setminus\{0\} \text{ mit }d=\frac\psi\varphi$.
Sei nun $\psi$ eine zweite alternierende, nicht ausgeartete n-Form und $\psi_\alpha(b_1, \dots, b_n) := \psi(\alpha(b_1), \dots, \alpha(b_n))$. Dann ist $\psi_\alpha$ alternierend und nicht ausgeartet. Nach Satz \ref{theo:1.2.6} gibt es $d\in\mathbb{K}\setminus\{0\} \text{ mit }d=\frac\psi\varphi$.
Also gilt:
$$
\det(\alpha)=\frac{\varphi_\alpha(a_1, \dots, a_n)}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}=\frac{d\varphi_\alpha(a_1, \dots, a_n)}{d\varphi(a_1, \dots, a_n)}=\frac{\psi_\alpha(a_1, \dots, a_n)}{\psi(a_1, \dots, a_n)}
@ -309,7 +316,7 @@ also ist $\det(\alpha)$ auch von der n-Form unabhängig.
\end{proof}
\end{satz}
\begin{korollar}
\begin{korollar} \label{theo:1.3.3}
Sei V ein n-dimensionaler $\mathbb{K}$-Vektorraum. Dann gilt
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item $\alpha\in \homk(V, V) \text{ bijektiv } \iff \det(\alpha)\neq0$
@ -319,10 +326,10 @@ Sei V ein n-dimensionaler $\mathbb{K}$-Vektorraum. Dann gilt
\end{enumerate}
\begin{proof}[Beweis]
Sei $B=(a_1, \dots, a_n)$ Basis und $\varphi$ n-Form mit $$
\det(\alpha) = \frac{\varphi(\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n))}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}\text{[unabhängig von $B$ und $\varphi$ nach Satz 1.3.2]}
\det(\alpha) = \frac{\varphi(\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n))}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}\text{[unabhängig von $B$ und $\varphi$ nach Satz \ref{theo:1.3.2}]}
$$
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item $\alpha$ bijektiv $\iff \alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n) \text{ l. u.}\underbrace{\iff}_{\text{Lemma 1.2.4}}\varphi(\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n))\neq0\iff \det(\alpha)\neq0$
\item $\alpha$ bijektiv $\iff \alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n) \text{ l. u.}\underbrace{\iff}_{\text{Lemma \ref{theo:1.2.4}}}\varphi(\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n))\neq0\iff \det(\alpha)\neq0$
\item 2 Fälle:\begin{enumerate}[label=\arabic. Fall]
\item[1. Fall:] $\alpha$ oder $\beta$ ist nicht bijektiv: o.B.d.A $\alpha$ nicht bijektiv.\\
$\implies \det(\alpha)=0\implies \det(\alpha)\det(\alpha)=0$\\
@ -332,7 +339,7 @@ $$
\begin{aligned}
\det(\alpha\beta) &= \frac{\varphi(\alpha(\beta(a_1)), \dots, \alpha(\beta(a_n)))}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}\\
&=\frac{\varphi(\alpha(\beta(a_1)), \dots, \alpha(\beta(a_n)))}{\varphi(\beta(a_1), \dots, \beta(a_n))}\cdot \cdots \\
&\cdots \frac{\varphi(\beta(a_1), \dots, \beta(a_n))}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}\underbrace{=}_{\text{Satz 1.3.2}} \det(\alpha)\det(\beta)
&\cdots \frac{\varphi(\beta(a_1), \dots, \beta(a_n))}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}\underbrace{=}_{\text{Satz \ref{theo:1.3.2}}} \det(\alpha)\det(\beta)
\end{aligned}
$$
\end{enumerate}
@ -342,12 +349,12 @@ $$
\end{proof}
\end{korollar}
\begin{satz}
\begin{satz} \label{theo:1.3.4}
Sei $\alpha\in \homk, B=(b_1, \dots, b_n)$ Basis und $A=(a_{ij}) = {}_B M(\alpha)_B\in\mathbb{K}^{n\times n}$. Dann gilt
$$\det(\alpha)=\sum_{\pi\in S_n}\sgn(\pi)a_{1\pi(1)}\cdots a_{n\pi(n)}$$
\begin{proof}[Beweis]
Es gilt $\alpha(b_i)=\sum\limits_{j=1}^na_{ij}b_j \text{ für }i=1, \dots, n$.
Nach Satz 1.2.5 a) gilt
Nach Satz \ref{theo:1.2.5}(a) gilt
$$
\varphi(\alpha(b_1), \dots, \alpha(b_n)) = \varphi(b_1, \dots, b_n)\cdot\sum_{\pi\in S_n}\sgn(\pi)a_{1\pi(1)}\cdots a_{n\pi(n)}
$$
@ -369,7 +376,7 @@ $$
$$
\section{Rechenregeln}
\begin{satz}\label{1.4.1}
\begin{satz}\label{theo:1.4.1}
Sei $A=(a_1, \dots, a_n)\in\mathbb{K}^{n\times n}$. Dann gilt
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item $\det(A)=\det(A^T)$
@ -391,7 +398,7 @@ Nur a) explizit:
&\underbrace{=}_{\substack{\sgn(\pi^{-1})=\sgn(\pi)\\\pi^{-1}\mapsto\pi}} \sum_{\pi\in S_n} \sgn(\pi)a_{1\pi(1)}\cdots a_{n\pi(n)}
\end{aligned}\end{equation*}
\item[b) - i)] folgt daraus, dass für $\alpha:\begin{cases}\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^n\\x\mapsto A\cdot x\end{cases}$:\\
$$\det(A)=\dfrac{a}{b}\text{ (Satz 1.3.4)}$$ und, dass $\varphi$ alternierende n-Form ist, bzw. Korollar 1.3.3
$$\det(A)=\dfrac{a}{b}\text{ (Satz \ref{theo:1.3.4})}$$ und, dass $\varphi$ alternierende n-Form ist, bzw. Korollar \ref{theo:1.3.3}
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{satz}
@ -402,13 +409,14 @@ $$\det(A)=\det(B)$$
Weiters ist A genau dann invertierbar wenn $\det(A)\neq0$.
\begin{proof}[Beweis]
$$\det(B)=\det(P)\underbrace{\det(P^{-1})}_{=\det(P)^{-1}}\det(A)=\det(A)$$
Rest folgt, da $\det(A)=\det(\alpha)$ mit $\alpha:\begin{cases}\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^n\\x\mapsto A\cdot x\end{cases}$.
Rest folgt, da $\det(A)=\det(\alpha)$ mit $\alpha:\begin{cases}\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^n\\x\mapsto A\cdot x
\end{cases}$.
\end{proof}
\end{satz}
\subsubsection{Berechnungsverfahren}
Gaußalgorithmus führt 1) Zeilenvertauschungen und 2) Additionen von Vielfachen einer Zeile zu einer anderen durch. Raus kommt eine obere Dreiecksmatrix
\begin{equation}\label{dreiecksmatrix}
\begin{equation}\label{eq:dreiecksmatrix}
B=\begin{pmatrix}
b_{11}&\dots&\dots&b_{1n}\\
0&b_{22}&\dots&b_{2n}\\
@ -419,12 +427,12 @@ b_{11}&\dots&\dots&b_{1n}\\
Operationen 2) ändern die Determinante nicht, Operationen 1) ändern das Vorzeichen.
\begin{satz}
Sei $A\in\mathbb{K}^{n\times n}$ und $B$ wie \ref{dreiecksmatrix} das Resultat des Gaußalgorithmus auf $A$ angewendet mit $k$ Zeilenvertauschungen. Dann gilt
Sei $A\in\mathbb{K}^{n\times n}$ und $B$ wie \ref{eq:dreiecksmatrix} das Resultat des Gaußalgorithmus auf $A$ angewendet mit $k$ Zeilenvertauschungen. Dann gilt
$$
\det(A)=(-1)^kb_{11}\cdot\dots\cdot b_{nn}
$$
\begin{proof}[Beweis]
Für Matrizen der Form \ref{dreiecksmatrix} ist die Determinante das Produkt der Diagonalelemente. Rest folgt aus der Definition des Gaußalgorithmus, sowie Satz \ref{1.4.1}.
Für Matrizen der Form \ref{eq:dreiecksmatrix} ist die Determinante das Produkt der Diagonalelemente. Rest folgt aus der Definition des Gaußalgorithmus, sowie Satz \ref{theo:1.4.1}.
\end{proof}
\end{satz}