Flugschwein/LinAlg2
1
0
Fork 0
Code Issues Pull requests Projects Releases Wiki Activity

Add internal hyperlinking

Browse source
This commit is contained in:
Anton Mosich 2022-03-30 21:00:40 +02:00
parent 641ac786d2
commit 45b33084cc
Signed by: Flugschwein
GPG key ID: 9303E1C32E3A14A0
1 changed files with 51 additions and 43 deletions
Show stats Download patch file Download diff file Expand all files Collapse all files

94
LinAlg2.tex
View file

@ -3,15 +3,16 @@
\usepackage{amsfonts} \usepackage{amsfonts}
\usepackage{enumitem} \usepackage{enumitem}
\usepackage{amsthm} \usepackage{amsthm}
\usepackage{mdframed} \usepackage{xcolor}
%\usepackage{mdframed}
\usepackage{mathtools} \usepackage{mathtools}
%\usepackage{hyperref} \usepackage[colorlinks=true, linkcolor=magenta]{hyperref}
\title{Lineare Algebra 2} \title{Lineare Algebra 2}
\date{2022-03-29} \date{Sommersemester 2022}
\author{Philipp Grohs} \author{Philipp Grohs}
\newtheoremstyle{test}% \newtheoremstyle{theostyle}%
{3pt}% {3pt}%
{3pt}% {3pt}%
{}% {}%
@ -21,7 +22,7 @@
{\newline}% {\newline}%
{}% {}%
\theoremstyle{test} \theoremstyle{theostyle}
\newtheorem{theo}{Theorem}[section] \newtheorem{theo}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}[theo]{Lemma} \newtheorem{lemma}[theo]{Lemma}
@ -30,7 +31,11 @@
\newtheorem{korollar}[theo]{Korollar} \newtheorem{korollar}[theo]{Korollar}
\newtheorem{folgerung}[theo]{Folgerung} \newtheorem{folgerung}[theo]{Folgerung}
% \surroundwithmdframed[linewidth=2pt]{defin} %\surroundwithmdframed[backgroundcolor=yellow!40]{defin}
%\surroundwithmdframed[backgroundcolor=blue!40]{lemma}
%\surroundwithmdframed[backgroundcolor=green!40]{satz}
%\surroundwithmdframed[backgroundcolor=pink!40]{korollar}
%\surroundwithmdframed[backgroundcolor=gray!40]{folgerung}
\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} \DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
\DeclareMathOperator{\spur}{sp} \DeclareMathOperator{\spur}{sp}
@ -42,7 +47,9 @@
\begin{document} \begin{document}
\maketitle \maketitle
\chapter{Determinanten} \chapter{Determinanten}
\section{Permutationen} \section{Permutationen}
\begin{defin} \begin{defin}
Sei $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}, [n] := \{1, 2, \dots, n\}$. \\ Sei $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}, [n] := \{1, 2, \dots, n\}$. \\
Eine bijektive Abbildung $\pi:[n]\to[n]$ heißt \underline{Permutation} von $[n]$. Wir definieren die \underline{symmetrische Gruppe} $S_n := \{\pi\text{ Permutation von }[n]\}$ mit der Hintereinanderausführung als Gruppenoperation. Eine bijektive Abbildung $\pi:[n]\to[n]$ heißt \underline{Permutation} von $[n]$. Wir definieren die \underline{symmetrische Gruppe} $S_n := \{\pi\text{ Permutation von }[n]\}$ mit der Hintereinanderausführung als Gruppenoperation.
@ -60,7 +67,7 @@ $$\pi(k) = \begin{cases} k & k\notin\{i, j\}\\ i & k = j\\ j & k=i \end{cases}$$
Wir schreiben $\pi = (ij)$. Wir schreiben $\pi = (ij)$.
\end{defin} \end{defin}
\begin{satz} \begin{satz} \label{theo:1.1.3}
Es gilt $\lvert S_n \rvert = n!$. Es gilt $\lvert S_n \rvert = n!$.
\begin{proof}[Beweis] \begin{proof}[Beweis]
Vollständige Induktion Vollständige Induktion
@ -74,13 +81,13 @@ Weiters gilt $$S_n = \bigcup_{i\in[n]}^\bullet\{\pi\in S_n: \pi(n)=i\} \implies
\end{proof} \end{proof}
\end{satz} \end{satz}
\begin{satz} \begin{satz} \label{theo:1.1.4}
Für $n\in \mathbb{N}_{\ge2}$ ist jedes $\pi \in S_n$ das Produkt von (endlich vielen) Transpositionen. Für $n\in \mathbb{N}_{\ge2}$ ist jedes $\pi \in S_n$ das Produkt von (endlich vielen) Transpositionen.
\begin{proof}[Beweis] \begin{proof}[Beweis]
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item $n=2: S_2 = \{\id, (2 1)\}$ \item $n=2: S_2 = \{\id, (2 1)\}$
\item $n-1\to n$\\ \item $n-1\to n$\\
Sei $\pi \in S_n$. Dann gilt (siehe Beweis von Satz 1.1.3) mit $i=\pi(n)$, dass Sei $\pi \in S_n$. Dann gilt (siehe Beweis von Satz \ref{theo:1.1.3}) mit $i=\pi(n)$, dass
$$\underbrace{(i n)\pi}_{\pi_i}(n) = n$$. $$\underbrace{(i n)\pi}_{\pi_i}(n) = n$$.
Sei $\pi_i = (\underbrace{\pi_i(1) \dots \pi_i(n-1)}_{\in S_{n-1}} n) \underset{\text{Induktions VS}}{\implies} \pi_i = (i_1 j_1) \dots (i_k j_k)$.\\ Sei $\pi_i = (\underbrace{\pi_i(1) \dots \pi_i(n-1)}_{\in S_{n-1}} n) \underset{\text{Induktions VS}}{\implies} \pi_i = (i_1 j_1) \dots (i_k j_k)$.\\
Außerdem gilt $\pi = (i n)\pi_i$, also $\pi = (i n)(i_1 j_1) \dots (i_k j_k)$ Außerdem gilt $\pi = (i n)\pi_i$, also $\pi = (i n)(i_1 j_1) \dots (i_k j_k)$
@ -95,7 +102,7 @@ Außerdem gilt $\pi = (i n)\pi_i$, also $\pi = (i n)(i_1 j_1) \dots (i_k j_k)$
\subsubsection{Beispiel} \subsubsection{Beispiel}
$\pi = (2 3 1), f(X_1, X_2, X_3) = X_1-X_2+X_1X_3 \implies \pi f(X_1, X_2, X_3) = X_2 - X_3 + X_2X_1$ $\pi = (2 3 1), f(X_1, X_2, X_3) = X_1-X_2+X_1X_3 \implies \pi f(X_1, X_2, X_3) = X_2 - X_3 + X_2X_1$
\begin{lemma} \begin{lemma} \label{theo:1.1.5}
Sei $f(X_1, \dots, X_n) = \prod\limits_{\substack{i, j\in[n]\\ i < j}} (X_j-X_i)\in \mathbb{Z}[X_1, \dots, X_n]$.\\ Sei $f(X_1, \dots, X_n) = \prod\limits_{\substack{i, j\in[n]\\ i < j}} (X_j-X_i)\in \mathbb{Z}[X_1, \dots, X_n]$.\\
Dann gilt \begin{enumerate}[label=\alph*)] Dann gilt \begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Zu jedem $\pi \in S_n$ existiert eine eindeutig Zahl $s(\pi) \in \{-1, 1\}$ mit $\pi f = s(\pi)f$. \item Zu jedem $\pi \in S_n$ existiert eine eindeutig Zahl $s(\pi) \in \{-1, 1\}$ mit $\pi f = s(\pi)f$.
@ -121,15 +128,15 @@ Erstere sind $2(j-i-1)+1$ Paare. Daraus folgt $\pi f=(-1)^{2(j-i-1)+1}f$, also $
\begin{defin} \begin{defin}
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item Die durch Satz 1.1.5 bestimmte Größe $s(\pi)$ heißt \underline{Signum} von $\pi \in S_n$. Wir schreiben $\sgn(\pi)$. \item Die durch Lemma \ref{theo:1.1.5} bestimmte Größe $s(\pi)$ heißt \underline{Signum} von $\pi \in S_n$. Wir schreiben $\sgn(\pi)$.
\item $\pi$ heißt \underline{gerade} falls $\sgn(\pi)=1$ und \underline{ungerade} falls $\sgn(\pi)=-1$. \item $\pi$ heißt \underline{gerade} falls $\sgn(\pi)=1$ und \underline{ungerade} falls $\sgn(\pi)=-1$.
\end{itemize} \end{itemize}
\end{defin} \end{defin}
\begin{satz} \begin{satz} \label{theo:1.1.7}
Für $\pi, \sigma \in S_n$ gilt $$\sgn(\sigma\pi)=\sgn(\sigma)\sgn(\pi)$$ Für $\pi, \sigma \in S_n$ gilt $$\sgn(\sigma\pi)=\sgn(\sigma)\sgn(\pi)$$
\begin{proof}[Beweis] \begin{proof}[Beweis]
Nach Satz 1.1.5(a) gilt $f(X_1, \dots, X_n) = \prod\limits_{i<j}(X_j-X_i) \implies \sigma\pi f(X_1, \dots, X_n) = \sgn(\sigma\pi)f(X_1, \dots, X_n)$. \\ Nach Satz \ref{theo:1.1.5}(a) gilt $f(X_1, \dots, X_n) = \prod\limits_{i<j}(X_j-X_i) \implies \sigma\pi f(X_1, \dots, X_n) = \sgn(\sigma\pi)f(X_1, \dots, X_n)$. \\
Andererseits gilt: \begin{equation*}\begin{split}\sigma\pi f(X_1, \dots, X_n) &= \sigma[\pi f(X_1, \dots, X_n)]\\ Andererseits gilt: \begin{equation*}\begin{split}\sigma\pi f(X_1, \dots, X_n) &= \sigma[\pi f(X_1, \dots, X_n)]\\
&= \sigma[\sgn(\pi)f(X_1, \dots, X_n)] \\ &= \sigma[\sgn(\pi)f(X_1, \dots, X_n)] \\
&= \sgn(\pi) \sigma f(X_1, \dots, X_n) \\ &= \sgn(\pi) \sigma f(X_1, \dots, X_n) \\
@ -145,14 +152,14 @@ Andererseits gilt: \begin{equation*}\begin{split}\sigma\pi f(X_1, \dots, X_n) &=
\item $\pi$ Produkt von k Transpositionen $\implies \sgn(\pi)=(-1)^k$ \item $\pi$ Produkt von k Transpositionen $\implies \sgn(\pi)=(-1)^k$
\end{enumerate} \end{enumerate}
\begin{proof}[Beweis] \begin{proof}[Beweis]
Folgt direkt aus Satz 1.1.5(b) und Satz 1.1.7 Folgt direkt aus Satz \ref{theo:1.1.5}(b) und Satz \ref{theo:1.1.7}
\end{proof} \end{proof}
\end{satz} \end{satz}
\begin{folgerung} \begin{folgerung}
Es gibt genau $\frac12n!$ gerade und $\frac12n!$ ungerade Permutationen in $S_n$ Es gibt genau $\frac12n!$ gerade und $\frac12n!$ ungerade Permutationen in $S_n$
\begin{proof}[Beweis] \begin{proof}[Beweis]
Folgt aus Satz 1.1.3 Folgt aus Satz \ref{theo:1.1.3}
\end{proof} \end{proof}
\end{folgerung} \end{folgerung}
@ -174,7 +181,7 @@ $$\varphi:
\begin{cases}\mathbb{K}^2\times \mathbb{K}^2 &\to \mathbb{K} \\ \begin{cases}\mathbb{K}^2\times \mathbb{K}^2 &\to \mathbb{K} \\
\Big(\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\end{pmatrix}\Big)&\mapsto a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \end{cases}$$ \Big(\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\end{pmatrix}\Big)&\mapsto a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \end{cases}$$
\begin{defin} \begin{defin} \label{theo:1.2.2}
Eine n-Linearform von V heißt Eine n-Linearform von V heißt
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item \underline{nicht ausgeartet}, falls $(a_1, \dots, a_n)\in V\times\dots\times V$ existiert mit $\varphi(a_1, \dots, a_n) \neq 0$ \item \underline{nicht ausgeartet}, falls $(a_1, \dots, a_n)\in V\times\dots\times V$ existiert mit $\varphi(a_1, \dots, a_n) \neq 0$
@ -185,11 +192,11 @@ Eine n-Linearform von V heißt
\subsubsection{Bemerkung} \subsubsection{Bemerkung}
$\varphi$ alternierend und $a_i = a_j$ für $i\neq j \implies \varphi(a_1, \dots, a_n) = 0$. $\varphi$ alternierend und $a_i = a_j$ für $i\neq j \implies \varphi(a_1, \dots, a_n) = 0$.
\begin{lemma} \begin{lemma} \label{theo:1.2.3}
Sei $\varphi$ alternierende n-Linearform von V und $\pi \in S_n$. Dann gilt für $a_1, \dots, a_n\in V$: Sei $\varphi$ alternierende n-Linearform von V und $\pi \in S_n$. Dann gilt für $a_1, \dots, a_n\in V$:
$$\varphi(a_{\pi(1)}, \dots, a_{\pi(n)})=\sgn(\pi)\varphi(a_1, \dots, a_n)$$ $$\varphi(a_{\pi(1)}, \dots, a_{\pi(n)})=\sgn(\pi)\varphi(a_1, \dots, a_n)$$
\begin{proof}[Beweis] \begin{proof}[Beweis]
Wegen Satz 1.1.4 und Satz 1.1.7 genügt es anzunehmen, dass $\pi$ Transposition ist. Sei also $\pi=(ij)$. Es gilt Wegen Satz \ref{theo:1.1.4} und Satz \ref{theo:1.1.7} genügt es anzunehmen, dass $\pi$ Transposition ist. Sei also $\pi=(ij)$. Es gilt
\begin{equation*} \begin{equation*}
\begin{aligned} \begin{aligned}
0&=\varphi(a_1, \dots, \underbrace{a_i+a_j}_{i}, \dots, \underbrace{a_i+a_j}_{j}, \dots, a_n) \\ 0&=\varphi(a_1, \dots, \underbrace{a_i+a_j}_{i}, \dots, \underbrace{a_i+a_j}_{j}, \dots, a_n) \\
@ -200,12 +207,12 @@ Wegen Satz 1.1.4 und Satz 1.1.7 genügt es anzunehmen, dass $\pi$ Transposition
\end{proof} \end{proof}
\end{lemma} \end{lemma}
\begin{lemma} \begin{lemma} \label{theo:1.2.4}
Sei $V$ $\mathbb{K}$-VR mit $\dim(V)=n$ und $\varphi$ nicht ausgeartete und alternierende n-Linearform von V. Dann gilt Sei $V$ $\mathbb{K}$-VR mit $\dim(V)=n$ und $\varphi$ nicht ausgeartete und alternierende n-Linearform von V. Dann gilt
$$a_1, \dots, a_n \text{ linear abhängig} \iff \varphi(a_1, \dots, a_n) = 0$$ $$a_1, \dots, a_n \text{ linear abhängig} \iff \varphi(a_1, \dots, a_n) = 0$$
\begin{proof}[Beweis] \begin{proof}[Beweis]
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item[$\implies$]: folgt aus Definition 1.2.2\\ \item[$\implies$]: folgt aus Definition \ref{theo:1.2.2}\\
\item[$\impliedby$]: z.Z.: $\varphi(b_1, \dots, b_n)\neq0\impliedby b_1, \dots, b_n \text{ Basis von } V$. Da $\varphi$ nicht ausgeartet ist, gibt es $a_1, \dots, a_n\in V$ mit $\varphi(a_1, \dots, a_n)\neq0$.\\ \item[$\impliedby$]: z.Z.: $\varphi(b_1, \dots, b_n)\neq0\impliedby b_1, \dots, b_n \text{ Basis von } V$. Da $\varphi$ nicht ausgeartet ist, gibt es $a_1, \dots, a_n\in V$ mit $\varphi(a_1, \dots, a_n)\neq0$.\\
Da $b_1, \dots, b_n$ Basis gibt es $\lambda_{ij}\in\mathbb{K}$ mit $a_i=\sum\limits_{j=1}^n{\lambda_{ij}b_j}$\\ Da $b_1, \dots, b_n$ Basis gibt es $\lambda_{ij}\in\mathbb{K}$ mit $a_i=\sum\limits_{j=1}^n{\lambda_{ij}b_j}$\\
Wegen n-Linearität gilt Wegen n-Linearität gilt
@ -214,7 +221,7 @@ $$
0\neq\varphi(a_1, \dots, a_n)&=\sum_{j_1=1}^n{\dots}\sum_{j_n=1}^n{\varphi(b_{j_1}, \dots, b_{j_n})\lambda_{1j_1}\cdots\lambda_{nj_n}} \\ 0\neq\varphi(a_1, \dots, a_n)&=\sum_{j_1=1}^n{\dots}\sum_{j_n=1}^n{\varphi(b_{j_1}, \dots, b_{j_n})\lambda_{1j_1}\cdots\lambda_{nj_n}} \\
&\underbrace{=}_{\varphi\text{ alternierend}} \sum_{\substack{j_1, \dots, j_n\\\text{paarweise verschieden}}}{\varphi(b_{j_1}, \dots, v_{j_n})\lambda_{1j_1} \cdots \lambda_{nj_n}} \\ &\underbrace{=}_{\varphi\text{ alternierend}} \sum_{\substack{j_1, \dots, j_n\\\text{paarweise verschieden}}}{\varphi(b_{j_1}, \dots, v_{j_n})\lambda_{1j_1} \cdots \lambda_{nj_n}} \\
&= \sum_{\pi\in S_n} \varphi(b_{\pi(1)}, \dots, b_{\pi(n)})\lambda_{1\pi(1)} \cdots \lambda_{n\pi(n)} \\ &= \sum_{\pi\in S_n} \varphi(b_{\pi(1)}, \dots, b_{\pi(n)})\lambda_{1\pi(1)} \cdots \lambda_{n\pi(n)} \\
&\underbrace{=}_{\text{Lemma 1.2.3}}\varphi(b_1, \dots, b_n)\Big(\sum_{\pi\in S_n}\sgn(\pi)\lambda_{1\pi(1)}\cdots\lambda_{n\pi(n)}\Big)\\ &\underbrace{=}_{\text{Lemma \ref{theo:1.2.3}}}\varphi(b_1, \dots, b_n)\Big(\sum_{\pi\in S_n}\sgn(\pi)\lambda_{1\pi(1)}\cdots\lambda_{n\pi(n)}\Big)\\
&\implies\varphi(b_1, \dots, b_n)\neq0 &\implies\varphi(b_1, \dots, b_n)\neq0
\end{aligned} \end{aligned}
$$ $$
@ -222,7 +229,7 @@ $$
\end{proof} \end{proof}
\end{lemma} \end{lemma}
\begin{satz} \begin{satz} \label{theo:1.2.5}
Sei V $\mathbb{K}$-VR mit $\dim(V)=n$ und Basis $a_1, \dots, a_n$. Sei V $\mathbb{K}$-VR mit $\dim(V)=n$ und Basis $a_1, \dots, a_n$.
\begin{enumerate}[label=\alph*)] \begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Für $\varphi$ alternierende nicht ausgeartete n-Linearform gilt für $b_i = \sum\lambda_{ij}a_j$, dass \item Für $\varphi$ alternierende nicht ausgeartete n-Linearform gilt für $b_i = \sum\lambda_{ij}a_j$, dass
@ -236,7 +243,7 @@ eine alternierende nicht ausgeartete n-Linearform.
\end{enumerate} \end{enumerate}
\begin{proof}[Beweis] \begin{proof}[Beweis]
\begin{enumerate}[label=\alph*)] \begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item folgt aus dem Beweis von Lemma 1.2.4. \item folgt aus dem Beweis von Lemma \ref{theo:1.2.4}.
\item Man verifiziert leicht, dass $\varphi$ n-linear ist. Weiters ist $\varphi$ nicht ausgeartet, da \item Man verifiziert leicht, dass $\varphi$ n-linear ist. Weiters ist $\varphi$ nicht ausgeartet, da
$$ $$
\varphi(a_1, \dots, a_n) = c(\sum_{\pi\in S_n}\sgn(\pi)\delta_{1\pi(1)}, \cdots, \delta_{n\pi(n)})=c\cdot1\neq0 \varphi(a_1, \dots, a_n) = c(\sum_{\pi\in S_n}\sgn(\pi)\delta_{1\pi(1)}, \cdots, \delta_{n\pi(n)})=c\cdot1\neq0
@ -261,13 +268,13 @@ $$
\subsubsection{Bemerkung} \subsubsection{Bemerkung}
Es gibt also zu jedem $\mathbb{K}$-VR V mit $\dim(V)=n$ eine nicht ausgeartete alternierende n-Linearform. Es gibt also zu jedem $\mathbb{K}$-VR V mit $\dim(V)=n$ eine nicht ausgeartete alternierende n-Linearform.
\begin{satz} \begin{satz} \label{theo:1.2.6}
Sei V $\mathbb{K}$-VR mit $\dim(V)=n$ und $\varphi_1, \varphi_2$ nicht ausgeartete alternierende n-Linearformen. Dann existiert $c\in\mathbb{K}\setminus\{0\}$ mit $\varphi_2=c\cdot\varphi_1$. Sei V $\mathbb{K}$-VR mit $\dim(V)=n$ und $\varphi_1, \varphi_2$ nicht ausgeartete alternierende n-Linearformen. Dann existiert $c\in\mathbb{K}\setminus\{0\}$ mit $\varphi_2=c\cdot\varphi_1$.
\begin{proof}[Beweis] \begin{proof}[Beweis]
Sei $a_1, \dots, a_n$ Basis von V. Nach Lemma 1.2.4 ist $\varphi_i(a_1, \dots, a_n)\neq0, i=1, 2.$\\ Sei $a_1, \dots, a_n$ Basis von V. Nach Lemma \ref{theo:1.2.4} ist $\varphi_i(a_1, \dots, a_n)\neq0, i=1, 2.$\\
Sei $c:=\dfrac{\varphi_1(a_1, \dots, a_n)}{\varphi_2(a_1, \dots, a_n)} \in \mathbb{K}\setminus\{0\}$.\\ Sei $c:=\dfrac{\varphi_1(a_1, \dots, a_n)}{\varphi_2(a_1, \dots, a_n)} \in \mathbb{K}\setminus\{0\}$.\\
Sei $b_1, \dots, b_n$ mit $b_i=\sum\lambda_{ij}a_j$.\\ Sei $b_1, \dots, b_n$ mit $b_i=\sum\lambda_{ij}a_j$.\\
Dann gilt nach Satz 1.2.5(a), dass für $i=1, 2$ Dann gilt nach Satz \ref{theo:1.2.5}(a), dass für $i=1, 2$
$$\begin{aligned} $$\begin{aligned}
&\varphi_i(b_1, \dots, b_n) = \varphi_i(a_1, \dots, a_n)\underbrace{\sum_{\pi \in S_n}\lambda_{1\pi(1)}\cdots\lambda_{n\pi(n)}}_{\text{unabhängig von $i$!}}\\ &\varphi_i(b_1, \dots, b_n) = \varphi_i(a_1, \dots, a_n)\underbrace{\sum_{\pi \in S_n}\lambda_{1\pi(1)}\cdots\lambda_{n\pi(n)}}_{\text{unabhängig von $i$!}}\\
&\implies \frac{\varphi_1(b_1, \dots, b_n)}{\varphi_2(b_1, \dots, b_n)}=\frac{\varphi_1(a_1, \dots, a_n)}{\varphi_2(a_1, \dots, a_n)}=c &\implies \frac{\varphi_1(b_1, \dots, b_n)}{\varphi_2(b_1, \dots, b_n)}=\frac{\varphi_1(a_1, \dots, a_n)}{\varphi_2(a_1, \dots, a_n)}=c
@ -282,7 +289,7 @@ Sei $B=(a_1, \dots, a_n)$ Basis des $\mathbb{K}$-Vektorraums V.
Sei $\varphi$ nicht ausgeartete n-Linearform und $\alpha \in \homk(V, V)$. Dann ist die \underline{Determinante von $\alpha$} definiert durch $$\det(\alpha):=\det{}_\mathbb{K}(\alpha):=\frac{\varphi(\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n))}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}$$ Sei $\varphi$ nicht ausgeartete n-Linearform und $\alpha \in \homk(V, V)$. Dann ist die \underline{Determinante von $\alpha$} definiert durch $$\det(\alpha):=\det{}_\mathbb{K}(\alpha):=\frac{\varphi(\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n))}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}$$
\end{defin} \end{defin}
\begin{satz} \begin{satz} \label{theo:1.3.2}
$\det(\alpha)$ ist unabhängig von der Wahl der Basis B und der der Form $\varphi$. $\det(\alpha)$ ist unabhängig von der Wahl der Basis B und der der Form $\varphi$.
\begin{proof}[Beweis] \begin{proof}[Beweis]
\begin{itemize} \begin{itemize}
@ -292,13 +299,13 @@ $\det(\alpha)$ ist unabhängig von der Wahl der Basis B und der der Form $\varph
Dann ist auch $\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n)$ Basis und, da $\varphi$ nicht ausgeartet, $\varphi(\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n))\neq0$. Dann ist auch $\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n)$ Basis und, da $\varphi$ nicht ausgeartet, $\varphi(\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n))\neq0$.
Sei $\varphi_\alpha(b_1, \dots, b_n) := \varphi(\alpha(b_1), \dots, \alpha(b_n))$. Sei $\varphi_\alpha(b_1, \dots, b_n) := \varphi(\alpha(b_1), \dots, \alpha(b_n))$.
Dann ist $\varphi_\alpha$ alternierend und nicht ausgeartet. Wegen Satz 1.2.6 folgt, dass $c\in\mathbb{K}\setminus\{0\}$ existiert mit Dann ist $\varphi_\alpha$ alternierend und nicht ausgeartet. Wegen Satz \ref{theo:1.2.6} folgt, dass $c\in\mathbb{K}\setminus\{0\}$ existiert mit
\begin{equation}\label{test} \begin{equation}\label{eq:constantphi}
\varphi_\alpha=c\cdot\varphi \varphi_\alpha=c\cdot\varphi
\end{equation} \end{equation}
und (durch Einsetzen von $a_1, \dots, a_n$), dass $c=\det(\alpha)$. Da \ref{test} unabhängig von B ist also $\det(\alpha)$ unabhängig von B. und (durch Einsetzen von $a_1, \dots, a_n$), dass $c=\det(\alpha)$. Da \ref{eq:constantphi} unabhängig von B ist also $\det(\alpha)$ unabhängig von B.
Sei nun $\psi$ eine zweite alternierende, nicht ausgeartete n-Form und $\psi_\alpha(b_1, \dots, b_n) := \psi(\alpha(b_1), \dots, \alpha(b_n))$. Dann ist $\psi_\alpha$ alternierend und nicht ausgeartet. Nach Satz 1.2.6 gibt es $d\in\mathbb{K}\setminus\{0\} \text{ mit }d=\frac\psi\varphi$. Sei nun $\psi$ eine zweite alternierende, nicht ausgeartete n-Form und $\psi_\alpha(b_1, \dots, b_n) := \psi(\alpha(b_1), \dots, \alpha(b_n))$. Dann ist $\psi_\alpha$ alternierend und nicht ausgeartet. Nach Satz \ref{theo:1.2.6} gibt es $d\in\mathbb{K}\setminus\{0\} \text{ mit }d=\frac\psi\varphi$.
Also gilt: Also gilt:
$$ $$
\det(\alpha)=\frac{\varphi_\alpha(a_1, \dots, a_n)}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}=\frac{d\varphi_\alpha(a_1, \dots, a_n)}{d\varphi(a_1, \dots, a_n)}=\frac{\psi_\alpha(a_1, \dots, a_n)}{\psi(a_1, \dots, a_n)} \det(\alpha)=\frac{\varphi_\alpha(a_1, \dots, a_n)}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}=\frac{d\varphi_\alpha(a_1, \dots, a_n)}{d\varphi(a_1, \dots, a_n)}=\frac{\psi_\alpha(a_1, \dots, a_n)}{\psi(a_1, \dots, a_n)}
@ -309,7 +316,7 @@ also ist $\det(\alpha)$ auch von der n-Form unabhängig.
\end{proof} \end{proof}
\end{satz} \end{satz}
\begin{korollar} \begin{korollar} \label{theo:1.3.3}
Sei V ein n-dimensionaler $\mathbb{K}$-Vektorraum. Dann gilt Sei V ein n-dimensionaler $\mathbb{K}$-Vektorraum. Dann gilt
\begin{enumerate}[label=\alph*)] \begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item $\alpha\in \homk(V, V) \text{ bijektiv } \iff \det(\alpha)\neq0$ \item $\alpha\in \homk(V, V) \text{ bijektiv } \iff \det(\alpha)\neq0$
@ -319,10 +326,10 @@ Sei V ein n-dimensionaler $\mathbb{K}$-Vektorraum. Dann gilt
\end{enumerate} \end{enumerate}
\begin{proof}[Beweis] \begin{proof}[Beweis]
Sei $B=(a_1, \dots, a_n)$ Basis und $\varphi$ n-Form mit $$ Sei $B=(a_1, \dots, a_n)$ Basis und $\varphi$ n-Form mit $$
\det(\alpha) = \frac{\varphi(\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n))}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}\text{[unabhängig von $B$ und $\varphi$ nach Satz 1.3.2]} \det(\alpha) = \frac{\varphi(\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n))}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}\text{[unabhängig von $B$ und $\varphi$ nach Satz \ref{theo:1.3.2}]}
$$ $$
\begin{enumerate}[label=\alph*)] \begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item $\alpha$ bijektiv $\iff \alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n) \text{ l. u.}\underbrace{\iff}_{\text{Lemma 1.2.4}}\varphi(\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n))\neq0\iff \det(\alpha)\neq0$ \item $\alpha$ bijektiv $\iff \alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n) \text{ l. u.}\underbrace{\iff}_{\text{Lemma \ref{theo:1.2.4}}}\varphi(\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n))\neq0\iff \det(\alpha)\neq0$
\item 2 Fälle:\begin{enumerate}[label=\arabic. Fall] \item 2 Fälle:\begin{enumerate}[label=\arabic. Fall]
\item[1. Fall:] $\alpha$ oder $\beta$ ist nicht bijektiv: o.B.d.A $\alpha$ nicht bijektiv.\\ \item[1. Fall:] $\alpha$ oder $\beta$ ist nicht bijektiv: o.B.d.A $\alpha$ nicht bijektiv.\\
$\implies \det(\alpha)=0\implies \det(\alpha)\det(\alpha)=0$\\ $\implies \det(\alpha)=0\implies \det(\alpha)\det(\alpha)=0$\\
@ -332,7 +339,7 @@ $$
\begin{aligned} \begin{aligned}
\det(\alpha\beta) &= \frac{\varphi(\alpha(\beta(a_1)), \dots, \alpha(\beta(a_n)))}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}\\ \det(\alpha\beta) &= \frac{\varphi(\alpha(\beta(a_1)), \dots, \alpha(\beta(a_n)))}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}\\
&=\frac{\varphi(\alpha(\beta(a_1)), \dots, \alpha(\beta(a_n)))}{\varphi(\beta(a_1), \dots, \beta(a_n))}\cdot \cdots \\ &=\frac{\varphi(\alpha(\beta(a_1)), \dots, \alpha(\beta(a_n)))}{\varphi(\beta(a_1), \dots, \beta(a_n))}\cdot \cdots \\
&\cdots \frac{\varphi(\beta(a_1), \dots, \beta(a_n))}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}\underbrace{=}_{\text{Satz 1.3.2}} \det(\alpha)\det(\beta) &\cdots \frac{\varphi(\beta(a_1), \dots, \beta(a_n))}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}\underbrace{=}_{\text{Satz \ref{theo:1.3.2}}} \det(\alpha)\det(\beta)
\end{aligned} \end{aligned}
$$ $$
\end{enumerate} \end{enumerate}
@ -342,12 +349,12 @@ $$
\end{proof} \end{proof}
\end{korollar} \end{korollar}
\begin{satz} \begin{satz} \label{theo:1.3.4}
Sei $\alpha\in \homk, B=(b_1, \dots, b_n)$ Basis und $A=(a_{ij}) = {}_B M(\alpha)_B\in\mathbb{K}^{n\times n}$. Dann gilt Sei $\alpha\in \homk, B=(b_1, \dots, b_n)$ Basis und $A=(a_{ij}) = {}_B M(\alpha)_B\in\mathbb{K}^{n\times n}$. Dann gilt
$$\det(\alpha)=\sum_{\pi\in S_n}\sgn(\pi)a_{1\pi(1)}\cdots a_{n\pi(n)}$$ $$\det(\alpha)=\sum_{\pi\in S_n}\sgn(\pi)a_{1\pi(1)}\cdots a_{n\pi(n)}$$
\begin{proof}[Beweis] \begin{proof}[Beweis]
Es gilt $\alpha(b_i)=\sum\limits_{j=1}^na_{ij}b_j \text{ für }i=1, \dots, n$. Es gilt $\alpha(b_i)=\sum\limits_{j=1}^na_{ij}b_j \text{ für }i=1, \dots, n$.
Nach Satz 1.2.5 a) gilt Nach Satz \ref{theo:1.2.5}(a) gilt
$$ $$
\varphi(\alpha(b_1), \dots, \alpha(b_n)) = \varphi(b_1, \dots, b_n)\cdot\sum_{\pi\in S_n}\sgn(\pi)a_{1\pi(1)}\cdots a_{n\pi(n)} \varphi(\alpha(b_1), \dots, \alpha(b_n)) = \varphi(b_1, \dots, b_n)\cdot\sum_{\pi\in S_n}\sgn(\pi)a_{1\pi(1)}\cdots a_{n\pi(n)}
$$ $$
@ -369,7 +376,7 @@ $$
$$ $$
\section{Rechenregeln} \section{Rechenregeln}
\begin{satz}\label{1.4.1} \begin{satz}\label{theo:1.4.1}
Sei $A=(a_1, \dots, a_n)\in\mathbb{K}^{n\times n}$. Dann gilt Sei $A=(a_1, \dots, a_n)\in\mathbb{K}^{n\times n}$. Dann gilt
\begin{enumerate}[label=\alph*)] \begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item $\det(A)=\det(A^T)$ \item $\det(A)=\det(A^T)$
@ -391,7 +398,7 @@ Nur a) explizit:
&\underbrace{=}_{\substack{\sgn(\pi^{-1})=\sgn(\pi)\\\pi^{-1}\mapsto\pi}} \sum_{\pi\in S_n} \sgn(\pi)a_{1\pi(1)}\cdots a_{n\pi(n)} &\underbrace{=}_{\substack{\sgn(\pi^{-1})=\sgn(\pi)\\\pi^{-1}\mapsto\pi}} \sum_{\pi\in S_n} \sgn(\pi)a_{1\pi(1)}\cdots a_{n\pi(n)}
\end{aligned}\end{equation*} \end{aligned}\end{equation*}
\item[b) - i)] folgt daraus, dass für $\alpha:\begin{cases}\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^n\\x\mapsto A\cdot x\end{cases}$:\\ \item[b) - i)] folgt daraus, dass für $\alpha:\begin{cases}\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^n\\x\mapsto A\cdot x\end{cases}$:\\
$$\det(A)=\dfrac{a}{b}\text{ (Satz 1.3.4)}$$ und, dass $\varphi$ alternierende n-Form ist, bzw. Korollar 1.3.3 $$\det(A)=\dfrac{a}{b}\text{ (Satz \ref{theo:1.3.4})}$$ und, dass $\varphi$ alternierende n-Form ist, bzw. Korollar \ref{theo:1.3.3}
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{proof} \end{proof}
\end{satz} \end{satz}
@ -402,13 +409,14 @@ $$\det(A)=\det(B)$$
Weiters ist A genau dann invertierbar wenn $\det(A)\neq0$. Weiters ist A genau dann invertierbar wenn $\det(A)\neq0$.
\begin{proof}[Beweis] \begin{proof}[Beweis]
$$\det(B)=\det(P)\underbrace{\det(P^{-1})}_{=\det(P)^{-1}}\det(A)=\det(A)$$ $$\det(B)=\det(P)\underbrace{\det(P^{-1})}_{=\det(P)^{-1}}\det(A)=\det(A)$$
Rest folgt, da $\det(A)=\det(\alpha)$ mit $\alpha:\begin{cases}\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^n\\x\mapsto A\cdot x\end{cases}$. Rest folgt, da $\det(A)=\det(\alpha)$ mit $\alpha:\begin{cases}\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^n\\x\mapsto A\cdot x
\end{cases}$.
\end{proof} \end{proof}
\end{satz} \end{satz}
\subsubsection{Berechnungsverfahren} \subsubsection{Berechnungsverfahren}
Gaußalgorithmus führt 1) Zeilenvertauschungen und 2) Additionen von Vielfachen einer Zeile zu einer anderen durch. Raus kommt eine obere Dreiecksmatrix Gaußalgorithmus führt 1) Zeilenvertauschungen und 2) Additionen von Vielfachen einer Zeile zu einer anderen durch. Raus kommt eine obere Dreiecksmatrix
\begin{equation}\label{dreiecksmatrix} \begin{equation}\label{eq:dreiecksmatrix}
B=\begin{pmatrix} B=\begin{pmatrix}
b_{11}&\dots&\dots&b_{1n}\\ b_{11}&\dots&\dots&b_{1n}\\
0&b_{22}&\dots&b_{2n}\\ 0&b_{22}&\dots&b_{2n}\\
@ -419,12 +427,12 @@ b_{11}&\dots&\dots&b_{1n}\\
Operationen 2) ändern die Determinante nicht, Operationen 1) ändern das Vorzeichen. Operationen 2) ändern die Determinante nicht, Operationen 1) ändern das Vorzeichen.
\begin{satz} \begin{satz}
Sei $A\in\mathbb{K}^{n\times n}$ und $B$ wie \ref{dreiecksmatrix} das Resultat des Gaußalgorithmus auf $A$ angewendet mit $k$ Zeilenvertauschungen. Dann gilt Sei $A\in\mathbb{K}^{n\times n}$ und $B$ wie \ref{eq:dreiecksmatrix} das Resultat des Gaußalgorithmus auf $A$ angewendet mit $k$ Zeilenvertauschungen. Dann gilt
$$ $$
\det(A)=(-1)^kb_{11}\cdot\dots\cdot b_{nn} \det(A)=(-1)^kb_{11}\cdot\dots\cdot b_{nn}
$$ $$
\begin{proof}[Beweis] \begin{proof}[Beweis]
Für Matrizen der Form \ref{dreiecksmatrix} ist die Determinante das Produkt der Diagonalelemente. Rest folgt aus der Definition des Gaußalgorithmus, sowie Satz \ref{1.4.1}. Für Matrizen der Form \ref{eq:dreiecksmatrix} ist die Determinante das Produkt der Diagonalelemente. Rest folgt aus der Definition des Gaußalgorithmus, sowie Satz \ref{theo:1.4.1}.
\end{proof} \end{proof}
\end{satz} \end{satz}