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LinAlg2.tex

@@ -5,7 +5,6 @@
 \usepackage{amsmath}
 \usepackage{amsfonts}
 \usepackage{enumitem}
-\usepackage{amsthm}
 \usepackage{amssymb}
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 \usepackage{mathtools}
@@ -15,6 +14,9 @@
 \usepackage{harpoon}
 \usetikzlibrary{tikzmark,calc,arrows,angles,math,decorations.markings}
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+\usepackage{framed}
+\usepackage[hyperref,amsmath,amsthm,thmmarks,thref,framed]{ntheorem}
+\usepackage{tcolorbox}
 
 \pgfplotsset{compat=1.17}
 
@@ -22,16 +24,6 @@
 \date{Sommersemester 2022}
 \author{Philipp Grohs \\ \small \LaTeX-Satz: Anton Mosich}
 
-\newtheoremstyle{theostyle}%
-{3pt}%
-{3pt}%
-{}%
-{}%
-{\bfseries}%
-{:}%
-{\newline}%
-{}%
-
 \newcounter{textbox}
 \def\tl{\stepcounter{textbox}\tikzmarknode{a\thetextbox}{\strut}}
 \def\br{\tikzmarknode{b\thetextbox}{\strut}\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
@@ -45,15 +37,22 @@
 \newcommand\K{\ensuremath{\mathbb{K}}}
 \newcommand\mapsfrom{\rotatebox{180}{$\mapsto$}}
 
-\theoremstyle{theostyle}
-\newtheorem{theo}{Theorem}[section]
+\theoremstyle{break}
+\theoremseparator{.\smallskip}
+\theoremindent=1em
+\theoremheaderfont{\kern-1em\normalfont\bfseries}
+\theoreminframepreskip{0em}
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+\newtcbox{theoremBox}{colback=NavyBlue!17,colframe=NavyBlue!87,boxsep=0pt,left=7pt,right=7pt,top=7pt,bottom=7pt}
+\def\theoremframecommand{\theoremBox}
 
-\newtheorem{lemma}[theo]{Lemma}
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-\newtheorem*{satz*}{Satz}
-\newtheorem{korollar}[theo]{Korollar}
-\newtheorem{folgerung}[theo]{Folgerung}
+\newshadedtheorem{theo}{Theorem}[section]
+
+\newshadedtheorem{lemma}[theo]{Lemma}
+\newshadedtheorem{defin}[theo]{Definition}
+\newshadedtheorem{satz}[theo]{Satz}
+\newshadedtheorem{korollar}[theo]{Korollar}
+\newshadedtheorem{folgerung}[theo]{Folgerung}
 
 \DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
 \DeclareMathOperator{\rg}{rg}
@@ -149,26 +148,26 @@ postaction={decorate}},
 
 \begin{satz} \label{theo:1.1.3}
 	Es gilt $\lvert S_n \rvert = n!$.
-	\begin{proof}
-		Vollständige Induktion
-		\begin{itemize}
-			\item $n=1: S_1 = \{\id\}\implies\lvert S_1\rvert = 1 = 1!$
-			\item $n-1\to n:$\\ Angenommen $\lvert S_{n-1} \rvert = (n-1)!$.
-			      Dann gilt $\lvert\{\pi \in S_n: \pi(n) = n \}\rvert = (n-1)!$. Sei allgemein $i \in [n]$.
-			      Dann gilt $\pi(n)=i \iff (in)\circ\pi(n)=n$. Also gilt
-			      \begin{align*}
-				       & \lvert\{\pi\in S_n: \pi(n)=i\}\rvert = \lvert\{(in)\circ\pi: \pi(n)=n\}\rvert \\
-				       & = \lvert\{\pi: \pi(n)=n\}\rvert = (n-1)!
-			      \end{align*}
-			      Weiters gilt
-			      \begin{align*}
-				       & S_n = \bigcup_{i\in[n]}^\bullet\{\pi\in S_n: \pi(n)=i\} \implies         \\
-				       & \lvert S_n\rvert = \sum_{i\in[n]}\lvert\{\pi \in S_n: \pi(n) = i\}\rvert
-				      = n\cdot(n-1)! = n!
-			      \end{align*}
-		\end{itemize}
-	\end{proof}
 \end{satz}
+\begin{proof}
+	Vollständige Induktion
+	\begin{itemize}
+		\item $n=1: S_1 = \{\id\}\implies\lvert S_1\rvert = 1 = 1!$
+		\item $n-1\to n:$\\ Angenommen $\lvert S_{n-1} \rvert = (n-1)!$.
+		      Dann gilt $\lvert\{\pi \in S_n: \pi(n) = n \}\rvert = (n-1)!$. Sei allgemein $i \in [n]$.
+		      Dann gilt $\pi(n)=i \iff (in)\circ\pi(n)=n$. Also gilt
+		      \begin{align*}
+			       & \lvert\{\pi\in S_n: \pi(n)=i\}\rvert = \lvert\{(in)\circ\pi: \pi(n)=n\}\rvert \\
+			       & = \lvert\{\pi: \pi(n)=n\}\rvert = (n-1)!
+		      \end{align*}
+		      Weiters gilt
+		      \begin{align*}
+			       & S_n = \bigcup_{i\in[n]}^\bullet\{\pi\in S_n: \pi(n)=i\} \implies         \\
+			       & \lvert S_n\rvert = \sum_{i\in[n]}\lvert\{\pi \in S_n: \pi(n) = i\}\rvert
+			      = n\cdot(n-1)! = n!
+		      \end{align*}
+	\end{itemize}
+\end{proof}
 
 \begin{satz} \label{theo:1.1.4}
 	Für $n\in \mathbb{N}_{\ge2}$ ist jedes $\pi \in S_n$ das Produkt von (endlich vielen) Transpositionen.
@@ -184,6 +183,7 @@ postaction={decorate}},
 		\end{itemize}
 	\end{proof}
 \end{satz}
+
 \subsubsection{Bemerkung}
 \begin{itemize}
 	\item Produktdarstellung ist nicht eindeutig, zum Beispiel:\\ $(3 1 2) = (2 1)(3 1) = (3 1)(3 2)$