Update to newest Skriptum
This commit is contained in:
parent
f2b571b4ea
commit
61e22fce0d
GPG key ID:
9303E1C32E3A14A0
1 changed files with 899 additions and 706 deletions
235
LinAlg2.tex
235
LinAlg2.tex
|
|
@ -39,12 +39,14 @@
|
|||
\DeclareMathOperator{\spec}{spec}
|
||||
\DeclareMathOperator{\spur}{sp}
|
||||
\DeclareMathOperator{\homk}{Hom_\mathbb{K}(V, V)}
|
||||
\DeclareMathOperator{\homkk}{Hom_\mathbb{K}}
|
||||
\DeclareMathOperator{\adj}{adj}
|
||||
\DeclareMathOperator{\id}{id}
|
||||
\DeclareMathOperator{\diag}{diag}
|
||||
\DeclareMathOperator{\K}{\mathbb{K}}
|
||||
\DeclareMathOperator{\eig}{Eig}
|
||||
\DeclareMathOperator{\nxn}{n \times n}
|
||||
\DeclareMathOperator{\im}{im}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
|
|
@ -200,12 +202,12 @@ $\pi = (2 3 1), f(X_1, X_2, X_3) = X_1-X_2+X_1X_3 \implies \pi f(X_1, X_2, X_3)
|
|||
|
||||
\subsubsection{Beispiel}
|
||||
\[
|
||||
\varphi:
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\varphi:
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\mathbb{K}^2\times \mathbb{K}^2 &\to \mathbb{K} \\
|
||||
\left(\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\end{pmatrix}\right)
|
||||
&\mapsto a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{cases}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\begin{defin} \label{theo:1.2.2}
|
||||
|
|
@ -315,7 +317,7 @@ Es gibt also zu jedem $\mathbb{K}$-VR V mit $\dim(V)=n$ eine nicht ausgeartete a
|
|||
&\implies \frac{\varphi_1(b_1, \dots, b_n)}{\varphi_2(b_1, \dots, b_n)}=\frac{\varphi_1(a_1, \dots, a_n)}{\varphi_2(a_1, \dots, a_n)}=c
|
||||
\end{aligned}
|
||||
\]
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\section{Determinanten}
|
||||
|
|
@ -411,11 +413,11 @@ Es gibt also zu jedem $\mathbb{K}$-VR V mit $\dim(V)=n$ eine nicht ausgeartete a
|
|||
\subsubsection{Bemerkung}
|
||||
Schreibweise für $A=(a_{ij})$:
|
||||
\[
|
||||
\det(A)=\begin{vmatrix}
|
||||
\det(A)=\begin{vmatrix}
|
||||
a_{11}&\dots&a_{1n}\\
|
||||
\vdots&\ddots&\vdots\\
|
||||
a_{n1}&\dots&a_{nn}
|
||||
\end{vmatrix}
|
||||
\end{vmatrix}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
\section{Rechenregeln}
|
||||
|
|
@ -443,7 +445,7 @@ Schreibweise für $A=(a_{ij})$:
|
|||
\item[b) - i)] folgt daraus, dass für \[\alpha:\begin{cases}\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^n\\x\mapsto A\cdot x\end{cases}:
|
||||
\det(A)=\dfrac{a}{b}\text{ (Satz \ref{theo:1.3.4})}\] und, dass $\varphi$ alternierende n-Form ist, bzw. Korollar \ref{theo:1.3.3}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
|
|
@ -560,9 +562,9 @@ $n>3 \to $ Gaußalgorithmus
|
|||
\]
|
||||
a) analog (angewendet auf $A^T$).
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{satz}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Cramer'sche Regel]
|
||||
\begin{satz}[Cramer'sche Regel]
|
||||
Sei $\adj(A)=(A_{ji})_{i, j\in[n]}$. Dann gilt
|
||||
\[A\cdot \adj(A) = \det(A)\cdot I_n\]
|
||||
\begin{proof}
|
||||
|
|
@ -583,9 +585,9 @@ $n>3 \to $ Gaußalgorithmus
|
|||
&= \begin{cases}0& i\neq j \\ \det(A) & i=j\end{cases}
|
||||
\end{aligned}\]
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{satz}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{folgerung}
|
||||
\begin{folgerung}
|
||||
Sei $A\in\mathbb{K}^{n\times n}$ invertierbar. Sei $x\in\mathbb{K}^n$ die eindeutige Lösung des linearen Gleichunssystems $Ax=b$. Dann gilt
|
||||
\[
|
||||
x_i= \det(A)^{-1} \det(a_{\_1}, \dots, \underbrace{b}_{i}, \dots, a_{\_n})
|
||||
|
|
@ -597,11 +599,11 @@ $n>3 \to $ Gaußalgorithmus
|
|||
& &=\det(a_{\_1}, \dots, \underbrace{b}_{i}, \dots, a_{\_n})
|
||||
\end{aligned}\]
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{folgerung}
|
||||
\end{folgerung}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Blockmatrizen}
|
||||
\subsubsection{Blockmatrizen}
|
||||
|
||||
\begin{defin}
|
||||
\begin{defin}
|
||||
$A\in\mathbb{K}^{n\times n}$ heißt \underline{obere Blockmatrix} wenn $\exists p\in \{1, \dots, n-1\}$ mit $a_{ij}=0$ für $p+1\le i\le n, 1\le j\le p$, d.h.
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{blockmatrix}
|
||||
|
|
@ -1327,6 +1329,7 @@ $n>3 \to $ Gaußalgorithmus
|
|||
\end{defin}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
\label{theo:2.3.3}
|
||||
Sei $\alpha \in \homk, \dim(V)=n$ nilpotent mit Index $m$. Dann existiert eine Basis $B$ mit
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
{}_B M(\alpha)_B =
|
||||
|
|
@ -1338,7 +1341,7 @@ $n>3 \to $ Gaußalgorithmus
|
|||
\end{pmatrix}
|
||||
\text{ und } \delta_i \in \{0, 1\} \forall i \in [n-1]
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Das heißt ${}_B M(\alpha)_B$ ist blockdiagonal mit Jordanblock mit Eigenwert $0$
|
||||
Das heißt ${}_B M(\alpha)_B$ ist blockdiagonal mit Jordanblöcken mit Eigenwerten $0$
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Sei $V_i := \ker(\alpha^i)$. \\
|
||||
Dies ergibt eine aufsteigende Kette von Unterräumen
|
||||
|
|
@ -1348,14 +1351,14 @@ $n>3 \to $ Gaußalgorithmus
|
|||
Wir bauen uns iterativ eine Basis für Komplemente $W_i$ mit $V_{i-1} \oplus W_i = V_i$.
|
||||
Sei also $B^{m-1}$ Basis von $V_{m-1}$. \\
|
||||
$C^m = (c_1^m, \dots, c_{r_{m}})$ Basis von $W_m$
|
||||
[das heißt $C^m$ ergänzt die Basis $B^{m-1}$ zu Basis von $V^m$].
|
||||
\subsubsection{Behauptung}
|
||||
[das heißt $C^m$ ergänzt die Basis $B^{m-1}$ zu Basis von $V^m$]. \\
|
||||
\underline{Behauptung}
|
||||
\begin{enumerate} [label=\arabic*)]
|
||||
\item $\alpha(C^m) \subseteq V_{m-1}$
|
||||
\item $\alpha(C^m)$ linear unabhängig
|
||||
\item $\langle \alpha(C^m) \rangle \cap V_{m-2} = \{0\}$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\subsubsection{Beweis}
|
||||
\begin{proof}[Zwischenbeweis]
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item[1)] folgt aus $\alpha(V_{i+1}) \subseteq \alpha(V_i)$
|
||||
\item[3)] Sei $\sum\limits_{i}\mu_i \alpha(c_i^m) \in V_{m-2}$
|
||||
|
|
@ -1366,13 +1369,203 @@ $n>3 \to $ Gaußalgorithmus
|
|||
&\underbrace{\implies}_{\mathclap{\substack{(c_i^m) \text{ liegen} \\
|
||||
\text{im Komplement} \\
|
||||
\text{von } V_{m-1}}}}
|
||||
\mu_i = 0 \forall i \implies \sum_{i} \mu_i \alpha(c_i^m) = 0
|
||||
\mu_i = 0, \forall i \implies \sum_{i} \mu_i \alpha(c_i^m) = 0
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item[2)] folgt aus 3) [da $0\in V_{m-2}$]
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\end{proof}
|
||||
\label{theo:2.3.3}
|
||||
Es folgt, dass \begin{align*}
|
||||
&& \langle D^{m-1} \rangle\;\; & \langle D^m \rangle \\
|
||||
&& \underbrace{V_{m-2} \oplus \langle \alpha(C^m) \rangle \oplus \langle C^{m-1} \rangle}_{V_{m-1}}
|
||||
\oplus &\langle C^m \rangle = V
|
||||
\end{align*}
|
||||
Setze $D^m := C^m$ und definiere induktiv für $D^i \subseteq V_i$ die Menge
|
||||
$D^{i-1} := \alpha(D^i) \cup C^{i-1} \subseteq V_{i-1}$ sodass mit einer Basis $B^{i-2}$ von
|
||||
$V_{i-2}$ die Menge $B^{i-2} \cup D^{i-1}$ Basis von $V_{i-1}$ ist, also
|
||||
\[
|
||||
V_{i-2} \oplus \underbrace{\langle \alpha(D^i) \rangle \oplus \langle C^{i-1} \rangle}_{\langle D^i \rangle}
|
||||
= V_{i-1} \text{$\leftarrow$ das geht nach obiger Behauptung}
|
||||
\]
|
||||
Nach Konstruktion ist $(D^1, \dots, D^m)$ Basis von $V$.
|
||||
Sie besteht aus folgenden Elementen:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\left.
|
||||
\begin{array}{lll}
|
||||
J_m(0) \to & \alpha^{m-1}(d_1^m), \dots, \alpha(d_1^m), &d_1^m \\
|
||||
&& \vdots \\
|
||||
J_m(0) \to & \alpha^{m-1}(d_{r_m}^m), \dots, \alpha(d_{r_m}^m), &d_{r_m}^m
|
||||
\end{array}
|
||||
\right\} \in V_m \\
|
||||
\left.
|
||||
\begin{array}{lll}
|
||||
J_{m-1}(0) \to & \alpha^{m-1}(d_1^{m-1}), \dots, \alpha(d_1^{m-1}), &d_1^{m-1} \\
|
||||
&& \vdots \\
|
||||
J_{m-1}(0) \to & \alpha^{m-1}(d_{r_{m-1}}^{m-1}), \dots, \alpha(d_{r_{m-1}}^{m-1}), &d_{r_{m-1}}^{m-1}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right\} \in V_{m-1} \\
|
||||
\left. \begin{array}{lr}
|
||||
J_1(0) \to & d_1^1 \\
|
||||
& \vdots \\
|
||||
J_1(0) \to & d_{r_1}^1
|
||||
\end{array}
|
||||
\right\} V_1 = \ker(\alpha)
|
||||
\end{align*}
|
||||
Wenn wir die Basiselemente von links nach rechts und von oben nach unten ordnen erhalten wir
|
||||
die gewünschte Gestalt.
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Bemerkung}
|
||||
Angenommen \(\alpha - \lambda \id: V \to V\) nilpotent. Dann besitzt \(\alpha\) nach Lemma
|
||||
\ref{theo:2.3.3} Jordan-Normalform.
|
||||
|
||||
\begin{defin}
|
||||
\label{theo:2.3.4}
|
||||
Sei \(V \K\)-Vektorraum, \(\dim(V) < \infty, \alpha \in \homk\) und \(\lambda \in \spec(\alpha)\).
|
||||
Für \(l \in \mathbb{N}\) definiere \(V_{l, \lambda}:= \ker((\alpha - \lambda \id)^l)\)
|
||||
\end{defin}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Bemerkung}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $\alpha - \lambda \id|_{V_{l, \lambda}} \in \homkk(V_{l, \lambda}, V_{l, \lambda})$:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\text{zu Zeigen: } v\in V_{l, \lambda} &\implies \alpha(v) - \lambda v \in V_{l, \lambda}\text{, das heißt} \\
|
||||
(\alpha - \lambda \id)^l v = 0 &\implies (\alpha - \lambda \id)^{l-1} (\alpha - \lambda \id) v = 0 \\
|
||||
&\implies (\alpha - \lambda \id)(v) \in V_{l, \lambda} & \square
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item Nach Lemma \ref{theo:2.3.3} gibt es also Basis von $V_{l, \lambda}$ bezüglich derer
|
||||
$\alpha - \lambda \id |_{V_{l, \lambda}}: V_{l, \lambda} \to V_{l, \lambda}$
|
||||
Jordan-Normalform hat
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
\label{theo:2.3.5}
|
||||
Sei $V \K$-Vektorraum, $\dim(V) < \infty, \alpha \in \homk$. Für $l\in\mathbb{N}$ sei
|
||||
$V_l := \ker(\alpha^l)$. Dann gilt $\alpha(V_l) \subseteq V_{l-1} \subseteq V_l$ für alle
|
||||
$l\in \mathbb{N}$ und es existiert genau ein $k\in \mathbb{N}_0$ mit
|
||||
\[
|
||||
\{0\} = V_0 \subseteq V_1 \subseteq \cdots \subseteq V_k = V_{k+1} \text{ und } V_{l+1} = V_l, \forall l \ge k
|
||||
\]
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Da $\dim(V) < \infty$ muss es ein kleinstes $k$ mit $V_{k+1} = V_{k}$ geben.
|
||||
Angenommen $\exists l\ge k$ mit $V_{l+1} \neq V_l$. Sei $0\neq v\in V_{l+1} \setminus V_l$
|
||||
$\implies 0 = \alpha^{l+1}(v) = \alpha^{k+1}(\alpha^{l-k}(v))$ und $0\neq \alpha^l(v)
|
||||
= \alpha^k (\alpha^{l-k}(v)) \implies 0\neq \alpha^{l-k}(v) \in V_{k+1}\setminus V_k$
|
||||
\Lightning
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{defin}
|
||||
Sei $V_{l, \lambda}$ wie in Definition \ref{theo:2.3.4} und $k$ wie in Lemma \ref{theo:2.3.5}
|
||||
Dann heißt \[
|
||||
\widetilde{\eig_\alpha(\lambda)} := V_{k, \lambda} = V_{k+1, \lambda}
|
||||
\]
|
||||
\underline{verallgemeinerter Eigenraum} oder \underline{Hauptraum} von $\alpha$ zum Eigenwert
|
||||
$\lambda$. $v \in V_{l, \lambda} \setminus V_{l-1, \lambda}$ für $1 \le l \le k$ heißt
|
||||
\underline{verallgemeinerter Eigenvektor} der Ordnung $l$.
|
||||
\end{defin}
|
||||
|
||||
\subsubsection{Idee}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $\alpha|_{\widetilde{\eig_\alpha(\lambda)}}: \widetilde{\eig_\alpha(\lambda)} \to \widetilde{\eig_\alpha(\lambda)}$
|
||||
hat Jordan-Normalform.
|
||||
Zerlege \begin{equation}
|
||||
\label{eq:2.3.6.1}
|
||||
V:= \widetilde{\eig_\alpha(\lambda_1)} \oplus \cdots \oplus \widetilde{\eig_\alpha(\lambda_r)}
|
||||
\end{equation}
|
||||
dann besitzt ganz $\alpha: V\to V$ Jordan-Normalform
|
||||
\item Sei $V= V_1 \oplus \cdots \oplus V_r$ und $\alpha \in \homk$. Falls $\alpha(V_i) \subseteq V_i$ für alle
|
||||
$i \in [r]$, dann schreiben wir $\alpha = \alpha_1 \oplus \cdots \oplus \alpha_r$ mit $\alpha_i = \alpha|_{V_i} \forall i \in [r]$.
|
||||
Für $v= v_1 + \cdots + v_r, v_i \in V_i, \forall i \in [r]$ gilt also $\alpha(v) = \alpha_1(v_1) + \cdots + \alpha_r(v_r)$.
|
||||
Sei $B_i = \{b_1^i, \dots, b_{d_i}^i\}$ Basis von $V_i$ und $B = (B_1, \dots, B_r)$. Dann hat ${}_B M(\alpha)_B$
|
||||
Blockdiagonalgestalt mit Blöcken ${}_{B_i} M(\alpha_i)_{B_i}$, das heißt \[
|
||||
{}_B M(\alpha)_B = \begin{pmatrix}
|
||||
\overbrace{{}_{B_1} M(\alpha_1)_{B_1}}^{\in \K^{d_1 \times d_1}} & & 0 \\
|
||||
& \ddots & \\
|
||||
0 & & \underbrace{{}_{B_r} M(\alpha_r)_{B_r}}_{\in\K^{d_r \times d_r}}
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\]
|
||||
Insbesondere gilt $\chi_\alpha = \chi_{\alpha_1} \cdot \dots \cdots \chi_{\alpha_r}$
|
||||
\item Da wir schon wissen, dass $\alpha|_{\widetilde{\eig_\alpha(\lambda_i)}}$ Jordan-Normalform hat
|
||||
folgt \\Jordan-Normalform für $\alpha$ wenn \ref{eq:2.3.6.1} gezeigt werden kann.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
\label{theo:2.3.7}
|
||||
Sei $V \K$-Vektorraum mit $\dim(V) < \infty$ und $\alpha \in \homk$ sodass
|
||||
$\chi_\alpha(\lambda) = (\lambda_1 - \lambda) \cdots (\lambda_r - \lambda)$ in Linearfaktoren
|
||||
zerfällt. Dann gilt
|
||||
$V = \widetilde{\eig_\alpha(\lambda_1)} \oplus \cdots \oplus \widetilde{\eig_\alpha(\lambda_r)}$
|
||||
und insbesondere $\alpha = \alpha \oplus \cdots \oplus \alpha_r$ mit
|
||||
$\alpha_i := \alpha|_{\widetilde{\eig_\alpha(\lambda_i)}} \in \homkk(\widetilde{\eig_\alpha(\lambda_i)}, \widetilde{\eig_\alpha(\lambda_i)})$
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Induktion nach $\dim(V)$.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item[$n=1$] \checkmark
|
||||
\item[$n-1 \mapsto n$] Da $\chi_A$ in Linearfaktoren zerfällt besitzt es eine Nullstelle $\lambda \in \spec(\alpha)$.
|
||||
\begin{enumerate}[label=Fall \arabic*:]
|
||||
\item $\widetilde{\eig_\alpha(\lambda)} = V$ \\
|
||||
\underline{Behauptung:} $\spec(\alpha) = \{\lambda\}$
|
||||
\begin{proof}[Zwischenbeweis]
|
||||
Angenommen $\lambda' \neq \lambda$ und $\lambda' \in \spec(\alpha)$ und $v\in \eig_\alpha(\lambda')$. \\
|
||||
$\implies (\alpha - \lambda \id) (v) = \alpha(v) - \lambda'v + (\lambda' - \lambda) v = (\lambda' - \lambda)(v)$ \\
|
||||
$\implies (\alpha - \lambda \id)^l (v) \neq 0,\forall l \in \mathbb{N}$\Lightning \\
|
||||
Daraus folgt das gewünschte Resultat
|
||||
\end{proof}
|
||||
\item $\widetilde{\eig_\alpha(\lambda)} \neq V$. Sei $k$ minimal mit
|
||||
$\ker(\alpha - \lambda - \id)^k = \widetilde{\eig_\alpha(\lambda)}$ [Lemma \ref{theo:2.3.5}]
|
||||
Setze $V_1 := \widetilde{\eig_\alpha(\lambda)}, V_2 := \im(\alpha - \lambda \id)^k$. \\
|
||||
\underline{Behauptung:}
|
||||
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
|
||||
\item $\alpha(V_i) \subseteq V_i, i \in \{1, 2\}$
|
||||
\item $V = V_1 \oplus V_2$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\begin{proof}[Zwischenbeweis]
|
||||
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
|
||||
\item Wir zeigen $(\alpha - \lambda \id)(V_i) \subseteq V_i$.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item[$i=1$:] Sei $v\in V_1 = \ker(\alpha - \lambda \id)^k$. Dann gilt klarerweise
|
||||
$(\alpha - \lambda \id)(v) \in \ker(\alpha - \lambda \id)^k \checkmark$
|
||||
\item[$i=2$:] Sei $v \in \im(\alpha - \lambda \id)^k$, also $v = (\alpha - \lambda \id)^k (w)$
|
||||
$\implies (\alpha - \lambda \id)(v) = (\alpha - \lambda \id)^k (\alpha - \lambda \id)(w) \in \im(\alpha - \lambda \id)^k \checkmark$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item Es gilt $\dim(V) = \dim(V_1) + \dim(V_2)$ nach der Dimensionsformel. Es genügt also zu zeigen, dass
|
||||
$V_1 \cap V_2 = \{0\}$. Sei $v\in V_1 \cap V_2$
|
||||
\begin{align*}
|
||||
&\underbrace{\implies}_{v\in V_2} \exists w\in V: v = (\alpha - \lambda \id)^k(w) \\
|
||||
&\underbrace{\implies}_{v\in V_1} (\alpha - \lambda \id)^{2k}(w) = 0 \\
|
||||
&\implies w \in V_{2k, \lambda} \setminus V_{k, \lambda} \underbrace{\implies}_{\mathclap{\text{Lemma \ref{theo:2.3.5}}}} w = \{0\} \checkmark
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
Es folgt $V = \underbrace{\widetilde{\eig(\lambda)}}_{V_1} \oplus V_2, \dim(V_2) < n$ und \\
|
||||
$\alpha = \alpha_1 \oplus \alpha_2, \alpha_i := \alpha|_{V_i}, i\in\{1, 2\}$.
|
||||
Es folgt $\chi_\alpha = \chi_{\alpha_1} \cdot \chi_{\alpha_2}$, also zerfällt $\chi_{\alpha_2}$
|
||||
in Linearfaktoren. Daher können wir die Induktionsvorraussetzung anwenden, was das gewünschte Resultat lierfert.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{satz}
|
||||
Sei $V \K$-Vektorraum, $\dim(V) < \infty$ und $\alpha \in \homk$ sodass $\chi_A$ in
|
||||
Linearfaktoren zerfällt. Dann besitzt $\alpha$ Jordan-Normalform.
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Zerlege nach Satz \ref{theo:2.3.7}
|
||||
$V = \widetilde{\eig_\alpha(\lambda_1)} \oplus \cdots \oplus \widetilde{\eig_\alpha(\lambda_r)}$
|
||||
und \\
|
||||
$\alpha = \alpha \oplus \cdots \oplus \alpha_r$.
|
||||
Da $\widetilde{\eig_\alpha(\lambda_i)} = \ker(\alpha - \lambda_i \id)^{k_i}$ ist
|
||||
$\alpha_i - \lambda_i \id := \alpha|_{\widetilde{\eig_\alpha(\lambda_i)}} - \lambda
|
||||
\id|_{\widetilde{\eig_\alpha(\lambda_i)}} $ nilpotent. Nach Lemma \ref{theo:2.3.3} gibt es eine Basis
|
||||
$B_i$ von $\widetilde{\eig_\alpha(\lambda_i)}$ sodass ${}_{B_i} M(\alpha_i)_{B_i}$ Jordan-Normalform
|
||||
hat. Es folgt mit $B= (B_1, \dots, B_r)$ dass ${}_B M(\alpha)_B = \begin{pmatrix}
|
||||
{}_{B_1} M(\alpha_1)_{B_1} & & \\
|
||||
& \ddots & \\
|
||||
& & {}_{B_r}M(\alpha_r)_{B_r}
|
||||
\end{pmatrix}$ Jordanmatrix ist.
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
|
|
|||
Loading…
Reference in a new issue