From 86e5ce74e214cd0229368085c0f1e775da7d72d9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Anton Mosich Date: Wed, 22 Jun 2022 10:05:40 +0200 Subject: [PATCH] Fix typos and replace R with Re for real part --- LinAlg2.tex | 15 ++++++++------- 1 file changed, 8 insertions(+), 7 deletions(-) diff --git a/LinAlg2.tex b/LinAlg2.tex index 4775c89..7e349e6 100644 --- a/LinAlg2.tex +++ b/LinAlg2.tex @@ -86,6 +86,7 @@ \newcommand\norm[1]{\left\lVert #1 \right\rVert} \newcommand\ontop[2]{\genfrac{}{}{0pt}{0}{#1}{#2}} \newcommand\abs[1]{\left\lvert #1 \right\rvert} +\newcommand\real{\mathfrak{Re}} \newif\ifhideproofs %\hideproofstrue @@ -464,13 +465,13 @@ Es gibt also zu jedem $\K$-VR V mit $\dim(V)=n$ eine nicht ausgeartete alternier \begin{satz} \label{theo:1.3.2} - $\det(\alpha)$ ist unabhängig von der Wahl der Basis B und der der Form $\varphi$. + $\det(\alpha)$ ist unabhängig von der Wahl der Basis B und der Form $\varphi$. \end{satz} \begin{proof} \leavevmode \begin{enumerate}[label=\arabic *. Fall:] \item $\alpha$ nicht bijektiv\\ - $\implies \alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n) \text{linear unabhängig} \implies \det(\alpha) = 0$ + $\implies \alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n) \text{ linear abhängig} \implies \det(\alpha) = 0$ \item $\alpha$ bijektiv. Sei $B=(a_1, \dots, a_n)$. Dann ist auch $\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n)$ Basis und, @@ -2263,7 +2264,7 @@ Auch skalare Produkte können eindeutig fortgesetzt werden. & = \inner u{u+v} + \inner v{u+v} = \inner uu + \inner uv + \inner vu + \inner vv \\ & = \inner uu + \inner uv + \overline{\inner uv } + \inner vv \\ - & = \inner uu + 2 \Re(\inner uv ) + \inner vv \\ + & = \inner uu + 2 \real(\inner uv ) + \inner vv \\ & \le \inner uu + 2 \abs{ \inner uv } + \inner vv \\ & \le \inner uu + 2 \norm u \norm v + \inner vv \\ & = \norm{u}^2 + 2 \norm u \norm v + \norm{v}^2 @@ -2922,7 +2923,7 @@ Im Reellen/Euklidischen Fall gilt dieser Satz genau dann, wenn $\alpha$ diagonal $\lambda_{k+j} = \gamma_j + i \delta_j$ \subsubsection{Bemerkung} Jedem Kästchen $\eta(\gamma, \delta)$ entspricht ein Paar $\lambda, \overline\lambda$ konjugiert komplexer - Eigenwerte von $\alpha_\C$. $\gamma = \Re(\lambda), \delta = \Im(\lambda)$ + Eigenwerte von $\alpha_\C$. $\gamma = \real(\lambda), \delta = \Im(\lambda)$ \end{satz} \begin{proof} \leavevmode @@ -2988,7 +2989,7 @@ Im Reellen/Euklidischen Fall gilt dieser Satz genau dann, wenn $\alpha$ diagonal Sei $V$ ein euklidischer/unitärer Vektorraum, $\alpha \in \homkv$ \\ anti-selbstadjungiert. Dann gilt \begin{enumerate}[label=\alph*)] - \item $\lambda \in \spec(\alpha) \implies \Re(\lambda) = 0$ + \item $\lambda \in \spec(\alpha) \implies \real(\lambda) = 0$ \item $\alpha_\C$ besitzt eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren. \item Ist $V$ euklidisch, so sind die Diagonalelemente der Matrix ${}_B M(\alpha)_B$ gleich $0$, wobei $B$ die Basis aus Satz \ref{theo:3.2.14} ist. @@ -3001,7 +3002,7 @@ Im Reellen/Euklidischen Fall gilt dieser Satz genau dann, wenn $\alpha$ diagonal Mit $0 \neq v \in \eig_{\alpha}(\lambda)$: \[ \alpha(v) = \lambda v = -\alpha^*(v) = -\overline \lambda v \implies \lambda = -\overline \lambda - \implies \Re (\lambda) = 0 + \implies \real (\lambda) = 0 \] \item $\alpha$ ist normal, $\alpha^*= -\alpha$ \item Folgt aus dem Satz~\ref{theo:3.2.14}, sowie a). @@ -3333,7 +3334,7 @@ Klassifizierung aller Skalarprodukte. A \in & \R^{\nxn} \text{heißt} & & \text{\underline{symmetrisch}, wenn} & & A = A^T \\ A \in & \C^{\nxn} \text{heißt} & & \text{\underline{hermitesch}, wenn} & & A = A^* \\ A \in & \R^{\nxn} \text{heißt} & & \text{\underline{schiefsymmetrisch}, wenn} & & A = -A^T \\ - A \in & \C^{\nxn} \text{heißt} & & \text{\underline{schiefhermitesch}, wenn} & & A = A^* + A \in & \C^{\nxn} \text{heißt} & & \text{\underline{schiefhermitesch}, wenn} & & A = -A^* \end{align*} \end{defin}