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Improve rendering of several bracket types

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Anton Mosich 2022-06-13 10:52:46 +02:00
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commit db9c8dd607
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25
LinAlg2.tex
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@ -81,10 +81,10 @@
\newcommand\homkv{\Hom_\K(V, V)}
\newcommand\homk{\Hom_\K}
\newcommand\inner[2]{\langle #1, #2 \rangle}
\newcommand\norm[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand\inner[2]{\left\langle #1, #2 \right\rangle}
\newcommand\norm[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
\newcommand\ontop[2]{\genfrac{}{}{0pt}{0}{#1}{#2}}
\newcommand\abs[1]{\lvert #1 \rvert}
\newcommand\abs[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
\begin{document}
@ -2111,6 +2111,7 @@ $V = \C^n, u = (u_1, \dots, u_n), v = (v_1, \dots, v_n)$ \\
$u \cdot v = \sum\limits_{i=1}^n u_i \overline{v_i}$ ist skalares Produkt
\par
Wir zeigen nun, dass jeder euklidische Vektorraum in einen unitären Vektorraum eingebettet werden kann.
\newpage
\begin{defin}
Sei $V$ ein \R-Vektorraum.
@ -2205,9 +2206,9 @@ Auch skalare Produkte können eindeutig fortgesetzt werden.
- \frac{\inner uv \inner vu }{\inner vv } +
\frac{\cancel{\inner vv } \inner uv \inner vu }
{\inner{v}{v}^{\cancel{2}}} \\
& = \inner uu - \frac{\lvert \inner uv \rvert^2}{\inner vv } \\
& \implies 0 \le \inner uu \inner vv - \lvert \inner uv \rvert ^2 \\
& \implies \inner uu \inner vv \ge \lvert \inner uv \rvert^2.
& = \inner uu - \frac{\abs{ \inner uv }^2}{\inner vv } \\
& \implies 0 \le \inner uu \inner vv - \abs{ \inner uv } ^2 \\
& \implies \inner uu \inner vv \ge \abs{ \inner uv }^2.
\end{align*}
Gleichheit gilt, wenn $\inner{u - \lambda v}{u - \lambda v} = 0$, also $u, v$ linear abhängig.
\end{proof}
@ -2345,10 +2346,9 @@ Auch skalare Produkte können eindeutig fortgesetzt werden.
\end{align*}
Eindeutigkeit: Sei $\tilde b_{n+1}$ ein weiterer Vektor mit i), ii)
\begin{align*}
& \implies \tilde b_{n+1} = \mu_1 b_1 + \dots + \mu_n b_n + \mu b_{n+1} \\
& \forall i \in [n]: 0 = \inner{\tilde b_{n+1}}{b_i} = \mu_i \implies \tilde b_{n+1} = \mu b_{n+1} \\
& 1 = \norm{\tilde b_{n+1}} = \lvert \mu \rvert \norm{b_{n+1}} = \lvert \mu \rvert \implies \lvert \mu
\rvert = 1 \\
& \implies \tilde b_{n+1} = \mu_1 b_1 + \dots + \mu_n b_n + \mu b_{n+1} \\
& \forall i \in [n]: 0 = \inner{\tilde b_{n+1}}{b_i} = \mu_i \implies \tilde b_{n+1} = \mu b_{n+1} \\
& 1 = \norm{\tilde b_{n+1}} = \abs{\mu} \norm{b_{n+1}} = \abs{\mu} \implies \abs{\mu} = 1 \\
& \det(\tilde M_{n+1}) = \det(M_n) \cdot \mu > 0 \implies \mu = 1 \land \tilde b_{n+1} = b_{n+1}
\end{align*}
\end{itemize}
@ -3075,7 +3075,7 @@ Das sind genau die Längen- und Winkelerhaltenden Abbildungen.
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Folgt direkt aus Satz~\ref{theo:3.3.2}:
\begin{align*}
\norm{\underset{\substack{\rotatebox{90}{=} \\u+iv}}{v_\C}}
\underset{\substack{\rotatebox{90}{=} \\u+iv}}{\norm{v_\C}}
= 1 & \iff \norm u^2 + \norm v^2 = 1 \\
& \implies \norm{\alpha_\C(v_\C)} = \norm{\alpha(u)}^2 + \norm{\alpha(v)}^2 = 1
\end{align*}
@ -4097,7 +4097,8 @@ Wir haben eine echte Verallgemeinerung.
\subsubsection{Anwendung: Methode der kleinsten Quadrate}
Sei $Ax = b$ Lineares Gleichungssystem mit $L(A,b) = \emptyset$. Versuche ein $x$ zu finden mit
$\norm{Ax-b}_{\K^m}$ minimal, $\norm{\alpha(v) - w}$ minimal.
Sei $b_1, \dots, b_n$ Orthonormalbasis von $V$, $b_1', \dots, b_m'$ ONB von $W$.
Sei $b_1, \dots, b_n$ Orthonormalbasis von $V$, \\
$b_1', \dots, b_m'$ ONB von $W$.
$\langle b_1, \dots, b_r \rangle = \ker(\alpha)^\bot, \langle b_1', \dots b_r'\rangle = \im(\alpha)$
$v = \sum_{i=1}^n \lambda_i b_i \implies \alpha(v) = \sum_{i=1}^r s_i \lambda_i b_i'$
$w = \sum_{i=1}^n \mu_i b_i'$