diff --git a/LinAlg2.tex b/LinAlg2.tex index 6c3a75a..f1d7dab 100644 --- a/LinAlg2.tex +++ b/LinAlg2.tex @@ -55,1309 +55,1319 @@ \section{Permutationen} \begin{defin} - Sei $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}, [n] := \{1, 2, \dots, n\}$. \\ - Eine bijektive Abbildung $\pi:[n]\to[n]$ heißt \underline{Permutation} von $[n]$. - Wir definieren die \underline{symmetrische Gruppe} - $S_n := \{\pi\text{ Permutation von }[n]\}$ - mit der Hintereinanderausführung als Gruppenoperation. + Sei $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}, [n] := \{1, 2, \dots, n\}$. \\ + Eine bijektive Abbildung $\pi:[n]\to[n]$ heißt \underline{Permutation} von $[n]$. + Wir definieren die \underline{symmetrische Gruppe} + $S_n := \{\pi\text{ Permutation von }[n]\}$ + mit der Hintereinanderausführung als Gruppenoperation. \end{defin} \subsubsection{Bemerkung} \begin{itemize} - \item $(S_n, \circ)$ ist eine Gruppe. - \item $\pi\in S_n$ ist eindeutig durch das Tupel $(\pi(1), \dots, \pi(n))$ definiert. - \item Fixpunkte $(\pi(i)=i)$ werden oft weggelassen. + \item $(S_n, \circ)$ ist eine Gruppe. + \item $\pi\in S_n$ ist eindeutig durch das Tupel $(\pi(1), \dots, \pi(n))$ definiert. + \item Fixpunkte $(\pi(i)=i)$ werden oft weggelassen. \end{itemize} \begin{defin} - $\pi\in S_n$ heißt \underline{Transposition} wenn es $i, j\in [n]$ gibt mit - $$\pi(k) = \begin{cases} k & k\notin\{i, j\}\\ i & k = j\\ j & k=i \end{cases}$$ - Wir schreiben $\pi = (ij)$. + $\pi\in S_n$ heißt \underline{Transposition} wenn es $i, j\in [n]$ gibt mit + $$\pi(k) = \begin{cases} k & k\notin\{i, j\}\\ i & k = j\\ j & k=i \end{cases}$$ + Wir schreiben $\pi = (ij)$. \end{defin} \begin{satz} \label{theo:1.1.3} - Es gilt $\lvert S_n \rvert = n!$. - \begin{proof} - Vollständige Induktion - \begin{itemize} - \item $n=1: S_1 = \{\id\}\implies\lvert S_1\rvert = 1 = 1!$ - \item $n-1\to n:$\\ Angenommen $\lvert S_{n-1} \rvert = (n-1)!$. Dann gilt $\lvert\{\pi \in S_n: \pi(n) = n\}\rvert = (n-1)!$. Sei allgemein $i\in[n]$. Dann gilt $\pi(n)=i \iff (in)\circ\pi(n)=n$. Also gilt - \begin{align*} - &\lvert\{\pi\in S_n: \pi(n)=i\}\rvert = \lvert\{(in)\circ\pi: \pi(n)=n\}\rvert \\ - &= \lvert\{\pi: \pi(n)=n\}\rvert = (n-1)! - \end{align*} - Weiters gilt - \begin{align*} - &S_n = \bigcup_{i\in[n]}^\bullet\{\pi\in S_n: \pi(n)=i\} \implies \\ - &\lvert S_n\rvert = \sum_{i\in[n]}\lvert\{\pi \in S_n: \pi(n) = i\}\rvert - = n\cdot(n-1)! = n! - \end{align*} - \end{itemize} - \end{proof} + Es gilt $\lvert S_n \rvert = n!$. + \begin{proof} + Vollständige Induktion + \begin{itemize} + \item $n=1: S_1 = \{\id\}\implies\lvert S_1\rvert = 1 = 1!$ + \item $n-1\to n:$\\ Angenommen $\lvert S_{n-1} \rvert = (n-1)!$. Dann gilt $\lvert\{\pi \in S_n: \pi(n) = n\}\rvert = (n-1)!$. Sei allgemein $i\in[n]$. Dann gilt $\pi(n)=i \iff (in)\circ\pi(n)=n$. Also gilt + \begin{align*} + &\lvert\{\pi\in S_n: \pi(n)=i\}\rvert = \lvert\{(in)\circ\pi: \pi(n)=n\}\rvert \\ + &= \lvert\{\pi: \pi(n)=n\}\rvert = (n-1)! + \end{align*} + Weiters gilt + \begin{align*} + &S_n = \bigcup_{i\in[n]}^\bullet\{\pi\in S_n: \pi(n)=i\} \implies \\ + &\lvert S_n\rvert = \sum_{i\in[n]}\lvert\{\pi \in S_n: \pi(n) = i\}\rvert + = n\cdot(n-1)! = n! + \end{align*} + \end{itemize} + \end{proof} \end{satz} \begin{satz} \label{theo:1.1.4} - Für $n\in \mathbb{N}_{\ge2}$ ist jedes $\pi \in S_n$ das Produkt von (endlich vielen) Transpositionen. - \begin{proof} - \begin{itemize} - \item $n=2: S_2 = \{\id, (2 1)\}$ - \item $n-1\to n$\\ - Sei $\pi \in S_n$. Dann gilt (siehe Beweis von Satz \ref{theo:1.1.3}) mit $i=\pi(n)$, dass - $$\underbrace{(i n)\pi}_{\pi_i}(n) = n$$. - Sei $\pi_i = (\underbrace{\pi_i(1) \dots \pi_i(n-1)}_{\in S_{n-1}} n) \underset{\text{Induktions VS}}{\implies} \pi_i = (i_1 j_1) \dots (i_k j_k)$.\\ - Außerdem gilt $\pi = (i n)\pi_i$, also $\pi = (i n)(i_1 j_1) \dots (i_k j_k)$ - \end{itemize} - \end{proof} + Für $n\in \mathbb{N}_{\ge2}$ ist jedes $\pi \in S_n$ das Produkt von (endlich vielen) Transpositionen. + \begin{proof} + \begin{itemize} + \item $n=2: S_2 = \{\id, (2 1)\}$ + \item $n-1\to n$\\ + Sei $\pi \in S_n$. Dann gilt (siehe Beweis von Satz \ref{theo:1.1.3}) mit $i=\pi(n)$, dass + $$\underbrace{(i n)\pi}_{\pi_i}(n) = n$$. + Sei $\pi_i = (\underbrace{\pi_i(1) \dots \pi_i(n-1)}_{\in S_{n-1}} n) \underset{\text{Induktions VS}}{\implies} \pi_i = (i_1 j_1) \dots (i_k j_k)$.\\ + Außerdem gilt $\pi = (i n)\pi_i$, also $\pi = (i n)(i_1 j_1) \dots (i_k j_k)$ + \end{itemize} + \end{proof} \end{satz} \subsubsection{Bemerkung} \begin{itemize} - \item Produktdarstellung ist nicht eindeutig, zum Beispiel:\\ $(3 1 2) = (2 1)(3 1) = (3 1)(3 2)$ - \item $f\in \mathbb{Z}[X_1, \dots, X_n], \pi \in S_n$\\$\pi f(X_1, \dots, X_n) := f(X_{\pi(1)}, \dots, X_{\pi(n)})$ + \item Produktdarstellung ist nicht eindeutig, zum Beispiel:\\ $(3 1 2) = (2 1)(3 1) = (3 1)(3 2)$ + \item $f\in \mathbb{Z}[X_1, \dots, X_n], \pi \in S_n$\\$\pi f(X_1, \dots, X_n) := f(X_{\pi(1)}, \dots, X_{\pi(n)})$ \end{itemize} \subsubsection{Beispiel} $\pi = (2 3 1), f(X_1, X_2, X_3) = X_1-X_2+X_1X_3 \implies \pi f(X_1, X_2, X_3) = X_2 - X_3 + X_2X_1$ \begin{lemma} \label{theo:1.1.5} - Sei $f(X_1, \dots, X_n) = \prod\limits_{\substack{i, j\in[n]\\ i < j}} (X_j-X_i)\in \mathbb{Z}[X_1, \dots, X_n]$.\\ - Dann gilt \begin{enumerate}[label=\alph*)] - \item Zu jedem $\pi \in S_n$ existiert eine eindeutig Zahl $s(\pi) \in \{-1, 1\}$ mit $\pi f = s(\pi)f$. - \item Für $\pi$ eine Transposition gilt $s(\pi) = -1$. -\end{enumerate} -\begin{proof} - \begin{enumerate}[label=\alph*)] - \item \begin{equation*}\begin{aligned} - \pi f(X_1, \dots, X_n) & = \prod_{i\pi(j)\}\rvert}\prod_{i\pi(j)\}\rvert} - \end{aligned}\end{equation*} - \item $\pi = (i j), i \pi(y)$\\ - Für alle anderen Paare gilt $x\pi(j)\}\rvert}\prod_{i\pi(j)\}\rvert} + \end{aligned}\end{equation*} + \item $\pi = (i j), i \pi(y)$\\ + Für alle anderen Paare gilt $x3 \to $ Gaußalgorithmus \begin{defin} - Sei $A\in\mathbb{K}^{n\times n}$ und $i, j\in[n]$. Sei $M_{ij}\in\mathbb{K}^{n\times n}$ die Matrix, welche durch Ersetzung der j-ten Spalte durch den i-ten Einheitsvektor $e_j$ entsteht.\\ - $A_{ij}:=\det(M_{ij})$ heißt \underline{Kofaktor} (zum Indexpaar $(i, j)$). - $$ - \bordermatrix{ - &&&&j&&& \cr - &a_{11}&\dots &a_{1i-1}&0&a_{1i+1}&\dots&a_{1n} \cr - &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \cr - i&a_{ji}&\dots&a_{ji-1}&1&a_{ji+1}&\dots&a_{jn}\cr - &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \cr - &a_{n1}&\dots &a_{ni-1}&0&a_{ni+1}&\dots&a_{nn} - }=M_{ij}=(a_{\_1}, \dots, \underbrace{e_i}_{j}, \dots, a_{\_n}) - $$ -\end{defin} - -\subsubsection{Bemerkung} -Es gilt -\begin{equation}\label{crazymatrix} - A_{ij}=\begin{vmatrix} - a_{11}&\dots &a_{1i-1}&0&a_{1i+1}&\dots&a_{1n} \\ - \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ - a_{ji}&\dots&a_{ji-1}&1&a_{ji+1}&\dots&a_{jn}\\ - \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ - a_{n1}&\dots &a_{ni-1}&0&a_{ni+1}&\dots&a_{nn} - \end{vmatrix} -\end{equation} -da obige Matrix aus $M_{ij}$ durch Spaltenadditionen hervorgeht. - -\begin{lemma} - Sei $\tilde{A_{ij}}\in\mathbb{K}^{(n-1)\times(n-1)}$ die Matrix, welche aus A durch Streichung der i-ten Spalte und j-ten Zeile hervorgeht und $D_{ij}:=\det(\tilde{A_{ij}})$. Dann gilt $$A_{ij}=(-1)^{i+j}D_{ij}$$ - \begin{proof} - Transformiere durch ($i-1$) Spaltenvertauschungen und ($j-1$) Zeilenvertauschungen die Matrix \ref{crazymatrix} auf - $$ - B_{ij} = \begin{pmatrix} - 1&0&\dots&0 \\ - 0&&& \\ - \vdots&&\tilde{A_{ij}}& \\ - 0&&& - \end{pmatrix} - $$ - Es gilt $\lvert B_{ij}\rvert=D_{ij}$ und $\lvert B_{ij}\rvert=(-1)^{(i-1)+j(-1)}A_{ij}$ woraus die Behauptung folgt. - \end{proof} -\end{lemma} - -\begin{satz}[Entwicklungssatz von Laplace] - Sei $A\in\mathbb{K}^{n\times n}$ und $i, j\in[n]$. Dann gilt - \begin{enumerate}[label=\alph*)] - \item $\det(A) = \sum\limits_{l=1}^na_{il}A_{il} = \sum\limits_{l=1}^n(-1)^{l+i}a_{il}D_{il}$ - \item $\det(A) = \sum\limits_{l=1}^na_{lj}A_{lj} = \sum\limits_{l=1}^n(-1)^{l+j}a_{lj}D_{lj}$ -\end{enumerate} -\begin{proof} -b) $$\begin{aligned} - \det(A) &= \det(a_{\_1}, \dots, a_{\_n})= \\ - &=\det(a_{\_1}, \dots, \underbrace{\sum_{l=1}^na_{lj}e_l}_{=a_{\_j}}, \dots, a_{\_n})= \\ - &=\sum_{l=1}^n a_{lj}\det(a_{\_1}, \dots, \underbrace{e_l}_{j}, \dots, a_{\_n}) = \\ - &= \sum_{l=1}^n a_{lj}A_{lj} -\end{aligned} -$$ -a) analog (angewendet auf $A^T$). -\end{proof} -\end{satz} - -\begin{satz}[Cramer'sche Regel] - Sei $\adj(A)=(A_{ji})_{i, j\in[n]}$. Dann gilt - $$A\cdot \adj(A) = \det(A)\cdot I_n$$ - \begin{proof} - Sei $B=A\cdot\adj(A)\implies$ - $$\begin{aligned} - b_{ij} &= \sum_{k=1}^n a_{ik} A_{jk} \\ - &= \sum_{k=1}^n a_{ik} \det(a_{\_1}, \dots, \underbrace{e_j}_{k}, \dots, a_{\_n}) \\ - &= \sum_{k=1}^n a_{ik} - \bordermatrix{ - & & & k & & \\ - & a_{11} & \dots & a_{1k} & \dots & a_{1n} \\ - & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ - j & 0 & \dots & 1 & \dots & 0 \\ - & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ - & a_{n1} & \dots & a_{nk} & \dots & a_{nn} \\ - } \\ - &= \det\left(\bordermatrix{& \\& a_{1\_} \\ & \vdots \\ j \to & a_{i\_} \\ & \vdots \\ & a_{n\_}}\right) \\ - &= \begin{cases}0& i\neq j \\ \det(A) & i=j\end{cases} - \end{aligned}$$ - \end{proof} -\end{satz} - -\begin{folgerung} - Sei $A\in\mathbb{K}^{n\times n}$ invertierbar. Sei $x\in\mathbb{K}^n$ die eindeutige Lösung des linearen Gleichunssystems $Ax=b$. Dann gilt - $$ - x_i= \det(A)^{-1} \det(a_{\_1}, \dots, \underbrace{b}_{i}, \dots, a_{\_n}) - $$ - \begin{proof} - $$\begin{aligned} - &A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}(A_{ji}) \\ - &\implies \det(A)x_i=\sum_{j=1}^n A_{ji}b_j &= \sum_{j=1}^n b_j \det(a_{\_1}, \dots, \underbrace{e_j}_{i}, \dots, a_{\_n})\\ - & &=\det(a_{\_1}, \dots, \underbrace{b}_{i}, \dots, a_{\_n}) - \end{aligned}$$ - \end{proof} -\end{folgerung} - -\subsubsection{Blockmatrizen} - -\begin{defin} - $A\in\mathbb{K}^{n\times n}$ heißt \underline{obere Blockmatrix} wenn $\exists p\in \{1, \dots, n-1\}$ mit $a_{ij}=0$ für $p+1\le i\le n, 1\le j\le p$, d.h. - \begin{equation}\label{blockmatrix} - A=\bordermatrix{ - &\overbrace{}^{p} & \overbrace{}^{n-p} \cr - p\{ & P & D \cr % TODO geschwungene Klammern besser machen - n-p\{&0&Q - } - \end{equation} - Analog sind \underline{untere Blockmatrizen} definiert. - \end{defin} - - \begin{satz} \label{theo:1.4.10} - Sei $A$ obere Blockmatrix wie in \ref{blockmatrix}. Dann gilt $\det(A)= \det(P) \det(Q)$ - \begin{proof} - Sei $A = \begin{pmatrix} P & D \\ 0 & Q \end{pmatrix}$.\\ - Wende elementare Zeilenumformungen der ersten $p$ Zeilen an, sodass $P$ obere Dreiecksform hat (mit $s$ Zeilenvertauschungen) und elementare Zeilenumformungen der letzten $n-p$ Zeilen sodass $Q$ obere Dreiecksform hat (mit $t$ Zeilenvertauschungen). Bezeichne das Ergebnis mit $A'= \begin{pmatrix} P' & D \\ 0 & Q' \end{pmatrix}$, wobei $P', Q'$ obere Dreiecksform haben.\\ - Es folgt, dass $A', P', Q'$ obere Dreiecksform hat. Da die Determinante oberer Dreiecksmatrizen das Produkt der Diagonalelemente ist, gilt $\det(A')=\det(P')\det(Q')$.\\ - Weiters gilt $\det(A')=(-1)^{s+t} \det(A)$ (insgesamt $s+t$ Vertauschungen) und $\det(P')= (-1)^s \det(P), \det(Q') = (-1)^t \det(Q)$. Daraus folgt die Behauptung. - \end{proof} - \end{satz} - - \chapter{Eigenwerte und Eigenvektoren} - - \section{Diagonalisierbarkeit} - - \begin{defin} - $D\in \mathbb{K}^{n\times n}$ heißt \underline{Diagonalmatrix} wenn $\forall i\neq j: d_{ij}=0$. - Wir schreiben auch - $$ - \diag(\lambda_1, \dots, \lambda_n):=\begin{pmatrix} - \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ - 0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\ - \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ - 0 & 0 & \dots & \lambda_n - \end{pmatrix} - $$ - \end{defin} - - \subsubsection{Bemerkung} - \begin{itemize} - \item $A\in \mathbb{K}^{n\times m} \implies \diag(\lambda_1, \dots, \lambda_n)A = \begin{pmatrix} - \lambda_1 a_{1\_} \\ - \vdots \\ - \lambda_n a_{n\_} \end{pmatrix}$ - \item $\diag(\lambda_1, \dots, \lambda_n)^k = \diag(\lambda_1^k, \dots, \lambda_n^k)$ - \end{itemize} - - \begin{defin} - \leavevmode - \begin{enumerate}[label=\alph*)] - \item $\alpha \in \homk, \dim(V)<\infty$ heißt \underline{diagonalisierbar} (bzgl. $B$) - wenn eine geordnete Basis $B$ existiert mit ${}_B M(\alpha)_B$ Diagonalmatrix - \item $A\in\mathbb{K}^{n\times n}$ heißt diagonalisierbar wenn eine invertierbare Matrix $P\in\mathbb{K}^{n\times n}$ existiert mit $P^{-1}AP$ Diagonalmatrix. - \end{enumerate} - \end{defin} - - \begin{lemma} - Sei $V$ $\K$-Vektorraum mit $\dim(V)=n<\infty$. - Dann gilt für $\alpha\in\homk$ und $C$ Basis: - $$\alpha \text{ diagonalisierbar} \iff {}_C M(\alpha)_C \text{ diagonalisierbar}$$ - \begin{proof} - \begin{itemize} - \item[$\implies$] Sei $\alpha$ diagonalisierbar und $B$ eine Basis mit $_B M(\alpha)_B$ Diagonalmatrix. Dann gilt $$ - \begin{aligned} {}_B M(\alpha)_B &= {}_B M(\id)_C \cdot {}_C M(\alpha)_C \cdot {}_C M(\id)_B \\ - &= {}_C M(\id)_B^{-1} \cdot {}_C M(\alpha)_C \cdot {}_C M(\id)_B \end{aligned}$$ - Also ist ${}_C M(\alpha)_C$ diagonalisierbar. - \item[$\impliedby$] Sei ${}_C M(\alpha)_C$ diagonalisierbar und $P$ invertierbar mit $P^{-1}\cdot {}_C M(\alpha)_C \cdot P$ Diagonalmatrix. Sei $B$ Basis mit $P={}_C M(\id)_B$. Dann gilt ${}_B M(\alpha)_B$ ist Diagonalmatrix. - \end{itemize} - \end{proof} - \end{lemma} - - \begin{lemma} \label{theo:2.1.4} - \leavevmode - \begin{enumerate}[label=\alph*)] - \item $\alpha \in \homk$ ist diagonalisierbar genau wenn es eine Basis $B=(b_1, \dots, b_n)$ und $\lambda_1, \dots, \lambda_n\in\K$ gibt mit $\forall i=1, \dots, n:\alpha(b_i)=\lambda_i b_i$. - \item $A\in\K^{n\times n}$ ist diagonalisierbar genau wenn es eine geordnete Basis $B= (b_1, \dots, b_n)$ von $\K^n$ gibt mit $\forall i=1, \dots, n: A b_i = \lambda_i b_i$. - \end{enumerate} - \begin{proof} - \begin{enumerate} [label=\alph*)] - \item die Bedingung ist äquivalent zu ${}_B M(\alpha)_B$ diagonalisierbar. - \item Spezialfall von a). -\end{enumerate} -\end{proof} -\end{lemma} - -\section{Eigenwerte und Eigenvektoren} - -\begin{defin} \label{theo:2.2.1} - \leavevmode - \begin{enumerate}[label=\alph*)] - \item Sei $\alpha \in \homk$. $\lambda\in\K$ heißt \underline{Eigenwert} von $\alpha$ wenn es einen Vektor $v\in V\setminus\{0\}$ gibt mit $\alpha(v)=\lambda v$. $v$ heißt \underline{Eigenvektor} zu $\lambda$.\\ - Die Menge aller Eigenwerte von $\alpha$ heißt \underline{Spektrum} von $\alpha; \spec(\alpha)$ - \item Sei $A \in \K^{n\times n}$. $\lambda\in\K$ heißt \underline{Eigenwert} von $A$ wenn es $v\in \K^n\setminus\{0\}$ gibt mit $A v = \lambda v$. $v$ heißt \underline{Eigenvektor} zu $\lambda$.\\ - Die Menge aller Eigenwerte von $A$ heißt \underline{Spektrum} von $A; \spec(A)$ -\end{enumerate} -\end{defin} - -\begin{lemma} \label{theo:2.2.2} - \leavevmode - \begin{enumerate}[label=\alph*)] - \item $\alpha \in \homk$ diagonalisierbar $\iff \exists$ Basis aus Eigenvektoren. - \item $A \in \K^{n\times n}$ diagonalisierbar $\iff \exists$ Basis aus Eigenvektoren. -\end{enumerate} -\begin{proof} - Folgt direkt aus Lemma \ref{theo:2.1.4} und Definition \ref{theo:2.2.1} -\end{proof} -\end{lemma} - -\begin{defin} - \leavevmode - \begin{enumerate}[label=\alph*)] - \item Sei $\alpha \in \homk$ und $\lambda \in \spec(\alpha)$. Dann heißt $\eig_\alpha(\lambda):=\{v\in V: \alpha(v) = \lambda v \}$ der zugehörige \underline{Eigenraum}. - \item Sei $A \in \K^{n\times n}$ und $\lambda \in \spec(A)$. Dann heißt $\eig_A(\lambda):=\{v\in \K^n: A v = \lambda v \}$ der zugehörige \underline{Eigenraum}. -\end{enumerate} -\end{defin} - -\begin{lemma} - Sei $\alpha \in \homk / A\in\K^{n\times n}$ und $\lambda \in \spec(\alpha)/\lambda\in\spec(A)$.\\ - Dann ist $\eig_\alpha(\lambda)/\eig_A(\lambda)$ ein Unterraum von $V/\K$. - \begin{proof} - Nur für $\alpha\in\homk$ - \begin{itemize} - \item $ 0 = \alpha(0) = \lambda \cdot 0 \implies 0 \in \eig_\alpha(\lambda) $ - \item $v, w\in \eig_\alpha(\lambda) \implies \alpha(v+w) = \alpha(v) + \alpha(w) = \lambda v + \lambda w = \lambda(v + w) \implies v + w \in \eig_\alpha(V)$ - \item $\mu \in \K, v \in \eig_\alpha(\lambda) \implies \alpha(\mu v) = \mu \cdot \alpha(v) = \mu \cdot \lambda \cdot v = \lambda \cdot (\mu \cdot v) \implies \mu \cdot v \in \eig_\alpha(\lambda)$ - \end{itemize} - \end{proof} -\end{lemma} - -\begin{satz} - Sei $\alpha \in \homk$ und $B$ Basis. Dann gilt - $$\begin{aligned} - &\spec(\alpha) = \spec({}_B M(\alpha)_B) \\ - &{}_B\Phi(\eig_\alpha(\lambda)) = \eig_{{}_B M(\alpha)_B}(\lambda) - \end{aligned}$$ - \begin{proof} - Sei $\lambda \in \spec(\alpha)$ und $v\in\eig_\alpha(\lambda)$. Dann gilt $$ - \alpha(v) = \lambda v \iff {}_B M(\alpha)_B \cdot {}_B v = \lambda \cdot {}_B v - $$ - \end{proof} -\end{satz} - -\begin{defin} - \leavevmode - \begin{enumerate}[label=\alph*)] - \item Sei $\alpha \in \homk, \dim(V)<\infty$ und $B$ Basis. Dann heißt die Funktion $$ - \chi_\alpha:\begin{cases}\K \to \K \\ - \lambda \mapsto \det({}_B M(\alpha)_B - \lambda \cdot I_n)\end{cases} - $$ \underline{charakteristisches Polynom} von $\alpha$. - \item Sei $A \in \K^{n\times n}$. Dann heißt die Funktion $$ - \chi_A:\begin{cases}\K \to \K \\ - \lambda \mapsto \det(A - \lambda \cdot I_n)\end{cases} - $$ \underline{charakteristisches Polynom} von $A$. -\end{enumerate} -\end{defin} - -\subsubsection{Bemerkung} -$\genfrac{}{}{0pt}{0}{\chi_\alpha}{\chi_A}$ ist Polynom vom Grad -$\le\genfrac{}{}{0pt}{0}{\dim(V)}{n}$, da -$$\begin{aligned} - &\chi_A(\lambda)=\sum_{\pi \in S_n} \tilde{a}_{1\pi(1)}^{(\lambda)} \cdots \tilde{a}_{n\pi(n)}^{(\lambda)} \text{ mit}\\ - &\tilde{a}_{ij}^{(\lambda)} = \begin{cases} a_{ij} & i\neq j \\ a_{ij}-\lambda & i=j - \end{cases} \dots \text{ Polynom von Grad $0$ oder $1$} -\end{aligned}$$ - -\begin{lemma} \label{theo:2.2.7} - \leavevmode - \begin{enumerate}[label=\alph*)] - \item $\chi_\alpha$ ist unabhängig von der Wahl der Basis. - \item $\chi_A = \chi_B$ wenn $A, B$ ähnlich (d. h. $\exists P \in \K^{n \times n}: B = P^{-1}AP$) -\end{enumerate} -\begin{proof} - \begin{enumerate}[label=\alph*)] - \item Sei C weitere Basis.\\ - Dann gilt $\underbrace{{}_C M(\alpha)_C}_{B} = \underbrace{{}_C M(\id)_B}_{P^{-1}} \underbrace{{}_B M(\alpha)_B}_{A} \underbrace{{}_B M(\id)_C}_{P}$. \\ - Man kann also alles auf b) zurückführen. -\item $$\begin{aligned} - \chi_A(\lambda) &= \det(A-\lambda I) \\ - &= \det(P)^{-1} \det(A - \lambda I) \det(P) \\ - &= \det(P^{-1}) \det(A - \lambda I) \det(P) \\ - &= \det(P^{-1}(A - \lambda I)P) \\ - &= \det(P^{-1}AP-\lambda I) \\ - &= \det(B - \lambda I) \\ - &= \chi_B(\lambda) - \end{aligned}$$ -\end{enumerate} -\end{proof} -\end{lemma} - -\begin{lemma} - \leavevmode - \begin{enumerate}[label=\alph*)] - \item Sei $\alpha\in\homk$. Dann gilt $$\spec(\alpha) = \{\lambda \in \K: \chi_\alpha(\lambda)=0\}$$ - \item Sei $A\in \K^{\nxn}$. Dann gilt $$\spec(A) = \{\lambda \in \K: \chi_A(\lambda)=0\}$$ -\end{enumerate} -\begin{proof} -Nur b) -$$\begin{aligned} - \lambda \in \spec(A) &\iff \exists v\in V \setminus \{0\}: A v = \lambda v \\ - &\iff \exists v \in V \setminus \{0\}: (A - \lambda I) v = 0 \\ - &\iff \ker(A - \lambda I) \neq \{0\} \\ - &\iff A - \lambda I \text{ nicht injektiv}\\ - &\iff \det(A - \lambda I) = 0 -\end{aligned}$$ -\end{proof} -\end{lemma} - -\subsubsection{Beispiele} -\begin{alignat*}{3} - &A = \begin{pmatrix}\bar3 & \bar4 \\ \bar1 & \bar1 \end{pmatrix} \in \mathbb{Z}_5^{2\times2} && \\ - &\chi_A(\lambda) = \begin{vmatrix} \bar3 - \lambda & \bar4 \\ \bar1 & \bar1 - \lambda \end{vmatrix} - &&= (\bar3 - \lambda)(\bar1 - \lambda) - \bar4 \\ - & &&= \bar3 - \bar4 \lambda + \lambda^2 - \bar4 \\ - & &&= \bar4 - \bar4 \lambda + \lambda^2 = (\bar2 - \lambda)^2 \\ - & \implies \spec(A) = \{2\} \\ - &\eig_{\bar2}(A) = ? \\ - & v \in \eig_{\bar2}(A) \iff \mathrlap{(A - \bar2 I)v = 0} \\ - &\iff \mathrlap{\left(\begin{array}{c c | c} - \bar3 - \bar2 & \bar4 & \bar0 \\ - \bar1 & \bar1 - \bar2 & \bar0 - \end{array}\right)} \\ - & \left(\begin{array}{c c | c} - \bar1 & \bar4 & \bar0 \\ - \bar1 & \bar4 & \bar0 - \end{array}\right) \\ - & \left(\begin{array}{c c | c} - \bar1 & \bar4 & \bar0 \\ - \bar0 & \bar0 & \bar0 - \end{array}\right) \\ - & \implies \eig_{\bar2}(A) = \bigg\langle\begin{pmatrix}\bar1 \\ \bar1\end{pmatrix} \bigg\rangle \\ - & \implies A \mathrlap{\text{ nicht diagonalisierbar [Lemma \ref{theo:2.1.4} (b)]}} -\end{alignat*} - -\begin{lemma} - Sei $A \in \mathbb{C}^{n\times n}$ mit reellen Einträgen. Dann gilt: - \begin{enumerate}[label=\alph*)] - \item $\lambda \in \spec(A) \implies \overline{\lambda} \in \spec(A)$ - \item $v \in \eig_\lambda(A) \implies \overline{v} \in \eig_{\overline{\lambda}}(A)$ -\end{enumerate} -\begin{proof} - \begin{enumerate}[label=\alph*)] - \item Klarerweise ist $\chi_A(\lambda)$ ein Polynom mit reellen Koeffizienten, also $\chi_A(\lambda)=a_0+a_1 \lambda + \cdots + a_n \lambda^n, a_0, \dots, a_n\in\mathbb{R}$\\ - Sei $\chi_A(\lambda)=0 \implies 0 = \overline0 = a_0 + a_1 \overline\lambda + \cdots + a_n \overline{\lambda} ^ n = \chi_A(\overline\lambda)$ - \item $v\in\eig_\lambda(A) \implies A v = \lambda v \implies \overline{A V} = \overline{\lambda v} \implies A \overline{v} = \overline\lambda \overline{v}$ -\end{enumerate} -\end{proof} -\end{lemma} - -\begin{lemma} \label{theo:2.2.10} - Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten sind linear unabhängig. - \begin{proof} - Seien $v_i \in \eig_{\lambda_i}(A), i=1, \dots, r, \lambda_i \neq \lambda_j \text{ für } i\neq j.$ - Induktion nach $r$ - \begin{itemize} - \item[$r=1$:] $v_1$ ist linear unabhängig. - \item[$r-1\mapsto r$:] \begin{equation}\label{eq:2.2.10.1} - \mu_1 v_1 + \cdots + \mu_1 v_1 = 0 \end{equation} - $$ \implies A(\mu_1 v_1 + \cdots + \mu_r v_r) = 0 $$ - \begin{equation}\label{eq:2.2.10.2} - \implies \lambda_1\mu_1 v_1 + \cdots \lambda_r \mu_r v_r = 0 - \end{equation} - Weiters folgt durch Multiplikation von \ref{eq:2.2.10.1} mit $\lambda_r$, dass \begin{equation}\label{eq:2.2.10.3} - \lambda_r \mu_1 v_1 + \cdots + \lambda_r \mu_r v_r = 0 \end{equation} - $$ \begin{aligned} - \text{\ref{eq:2.2.10.3}} - \text{\ref{eq:2.2.10.2}} - &\implies \underbrace{(\lambda_r - \lambda_1)}{\neq0} \mu_1 v_1 + \cdots + \underbrace{(\lambda_r - \lambda_{r-1})}{\neq0} \mu_{r-1} v_{r-1} = 0 \\ - &\implies v_1, \dots, v_{r-1} \text{ linear abhängig. \Lightning} - \end{aligned} $$ - \end{itemize} - \end{proof} -\end{lemma} - -\begin{lemma} - Sei $\alpha \in \homk, \dim(V)=n \text{ oder } A \in \K^{\nxn}$ mit $n$ verschiedenen Eigenvektoren. dann ist $\alpha/A$ diagonalisierbar. - \begin{proof} - Wegen Lemma \ref{theo:2.2.10} gibt es Basis von Eigenvektoren. Daher ist $\alpha/A$ diagonalisierbar wegen Lemma \ref{theo:2.2.2}. - \end{proof} -\end{lemma} - -\begin{defin} - Sei $\spec(A) = \{\lambda_1, \dots, \lambda_r \}$ und $(\lambda_1 - \lambda)^{k_1} \cdots (\lambda_r - \lambda)^{k_r} p \in\K[X]$ mit $p$ nicht durch Linearfaktoren teilbar (also keine Nullstellen in $\K$).\\ - $k_i$ heißt \underline{algebraische Vielfachheit} des Eigenwerts $\lambda_i$. Wir schreiben $k_i = m_a(\lambda_i)$.\\ - $\dim(\eig_A(\lambda_i))$ heißt \underline{geometrische Vielfachheit} des Eigenwerts $\lambda_i$. Wir schreiben $\dim(\eig_A(\lambda_i)) = m_g(\lambda_i)$ -\end{defin} - -\subsubsection{Beispiel} -\begin{itemize} - \item $\chi_A(\lambda) = \lambda^4 - 2 \lambda^3 + 2 \lambda^2 - 2\lambda + 1 \in \mathbb{R}[X]$\\ - $\implies \chi_A(\lambda) = (1 - X)^2 \underbrace{(1 + \lambda^2)}{p(\lambda)}$ \\ - $\implies m_a(1) = 2$ - \item Für $\K=\mathbb{C}$ zerfällt jedes Polynom in Linearfaktoren, also ist $p$ immer konstant. -\end{itemize} - -\begin{satz} - Sei $\mu\in\spec(A)/\spec(\alpha)$. Dann gilt $$ 1\le m_g(\mu) \le m_a(\mu) $$ - \begin{proof} - Klarerweise gilt $1\le m_g(\mu)$ da $\mu$ Eigenwert ist. Sei $r:= m_g(\mu)$ und $b_1, \dots, b_r$ Basis von $\eig_\alpha(\mu)$. Sei $B=(b_1, \dots, b_n)$ Basis. Dann ist\\ ${}_B M(\alpha)_B = - \bordermatrix{ - & & & & r & & \cr - & \mu & 0 & 0 & 0 & * & \dots & * \cr - & 0 & \mu & 0 & 0 & * & \dots & * \cr - & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \cr - r & 0 & 0 & 0 & \mu & * & \dots & * \cr - & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \cr - & 0 & 0 & 0 & 0 & * & \dots & * - } - $, also $$\begin{aligned} - \chi_\alpha(\lambda) &= \left\lvert \begin{array}{c | c} - \begin{smallmatrix}\mu - \lambda & & \\ & \ddots & \\ & & \mu - \lambda\end{smallmatrix} & A \\ - \hline \\ - 0 & B - \end{array} \right\rvert \underbrace{=}_{\text{Satz \ref{theo:1.4.10}}} \det - \begin{pmatrix} - \mu - \lambda & & 0 \\ - & \ddots & \\ - 0 & & \mu - \lambda - \end{pmatrix} \cdot \det(B) \\ - & = (\mu - \lambda)^r \det(B) \\ - & \implies r \le m_a(\mu) - \end{aligned}$$ - - \end{proof} -\end{satz} - -\begin{lemma} - Seien $A, B$ ähnlich und $\mu \in \spec(A) (=\spec(B) \text{ nach Lemma \ref{theo:2.2.7}})$. Dann stimmen die geometrischen Vielfachheiten überein, das heißt $\dim(\eig_\mu(A)) = \dim(\eig_\mu(B))$. - \begin{proof} - Sei $B = P^{-1} A P$. Dann gilt $$ \begin{aligned} - \eig_{\mu}(B) &= \ker(B - \mu I) = \ker(B - \mu P^{-1} P) \\ - &= \ker(P^{-1} (A - \mu I) P) \\ - & \underbrace{\implies}_{\mathclap{\text{Für ähnliche Matrizen stimmen die Dimensionen der Kerne überein}}} \dim(\eig_\mu(B)) = \dim\eig_\mu(A) - \end{aligned}$$ - \end{proof} -\end{lemma} - -\begin{satz} - $A/\alpha$ diagonalisierbar $\iff$ - \begin{enumerate}[label=\roman*)] - \item $\chi_{A/\alpha}$ zerfällt in Linearfaktoren, d. h. $\chi_{A/\alpha}(\lambda)= (\lambda_1 - \lambda)^{k_1} \cdots (\lambda_r - \lambda)^{k_r}, \sum k_i = n$ - \item algebraische und geometrische Vielfachheiten stimmen überein, d. h. $m_a(\lambda_i) = m_g(\lambda_i), i=1, \dots, r$ -\end{enumerate} -\begin{proof} - \begin{itemize} - \item[$\impliedby$:] Aus i), ii) folgt, dass \begin{equation}\label{eq:2.2.15.1} - \sum_{i=1}^r \underbrace{\dim(\eig_\alpha(\lambda_i))}_{=m_g(\lambda_i)=:d_i} = n \end{equation} - Sei $b_i^1, \dots, b_i^{d_i}$ Basis von $\eig_\alpha(\lambda_i)$. Wir zeigen, dass $B=\{b_i^1, \dots, b_i^{d_i}: i=1, \dots, r\}$ Basis ist. - \begin{enumerate}[label=\arabic*)] - \item $\lvert B \rvert = n$ folgt aus \ref{eq:2.2.15.1} - \item Ang. $\sum\limits_{i=1}^r (\underbrace{\mu_i^1 b_i^1 + \cdots + \mu_i^{d_i} b_i^{d_i}}_{v_i}) = 0$ \\ - $\underbrace{\implies}_{\mathclap{\substack{v_i \text{Eigenwerte zu} \\ \text{verschiedenen Eigenvektoren} \\ + \text{Lemma \ref{theo:2.2.10}}}}} - v_i = 0 \forall i=1, \dots, r \underbrace{\implies}_{\mathclap{\substack{b_i^1, \dots, b_i^{d_i} \\ \text{Basis von } \eig_\alpha(\lambda_i)}}} \mu_i^1, \dots, \mu_i^{d_i} = 0 \forall i=1, \dots, r$ \\ - $ \implies B $ ist Basis aus Eigenvektoren $\underbrace{\implies}_{\mathclap{\text{Lemma \ref{theo:2.2.2}}}} \alpha $ diagonalisierbar. - -\end{enumerate} - -\item[$\implies$:] Sei $\alpha$ diagonalisierbar. $$\begin{aligned} - &\implies \exists \text{ Basis } \{b_1, \dots, b_n\} \text{ aus Eigenvektoren} \\ - &\implies {}_B M(\alpha)_B = \diag(\lambda_1, \dots, \lambda_n) \\ - &\implies \chi_B(\lambda) = (\lambda_1 - \lambda) \cdots (\lambda_n - \lambda) - \end{aligned}$$ -\end{itemize} -\end{proof} -\end{satz} - -\subsubsection{Diagonalisieren} -\begin{enumerate}[label=\arabic*)] -\item Zerlegung in Linearfaktoren - $$ \chi_A(\lambda) = (\lambda_1 - \lambda)^{m_a(\lambda_1)} \cdots (\lambda_r - \lambda)^{m_a(\lambda_r)} $$ -\item Bestimme Basis $B_i$ der Eigenräume - $$ \eig_A(\lambda_i) = \ker(A - \lambda_i I) $$ -\item Ordne Basis $B= \bigcup\limits_{i=1}^n B_i$ zu $B= (b_1, \dots, b_n)$ -\item Mit $S = (b_1, \dots, b_n)$ gilt dann $$ - \diag(\underbrace{\lambda_1, \dots, \lambda_n}_{\mathclap{\substack{\text{Eigenwerte werden nach} \\ \text{Vielfachheit gezählt!} \\ \lambda_i \text{ ist Eigenwert von } b_i \text{!}}}}) = S^{-1} A S - $$ -\end{enumerate} - -\subsubsection{Beispiel} -$A = \begin{pmatrix} - 1 & 2 & 2 \\ - 2 & -2 & 1 \\ - 2 & 1 & -2 -\end{pmatrix}$ -\begin{enumerate}[label=\arabic*)] - -\item $$\begin{aligned} - \chi_A(\lambda) = & \begin{vmatrix} - 1 -\lambda & 2 & 2 \\ - 2 & -2 -\lambda & 1 \\ - 2 & 1 & -2 -\lambda - \end{vmatrix} \\ - \underbrace{=}_{\mathclap{\substack{\text{Entwicklung} \\ \text{nach 1. Zeile}}}} - & (1-\lambda) \begin{vmatrix} -2 -\lambda & 1 \\ 1 & -2 -\lambda \end{vmatrix} - + (-2) \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & -2-\lambda \end{vmatrix} \\ - & + 2 \begin{vmatrix} 2 & -2 - \lambda \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \\ - = & \dots= -\lambda^3 - 3 \lambda^2 + 9\lambda + 27 = (3-\lambda)(-3-\lambda)^2 - \end{aligned}$$ - -\item $\lambda = 3$ - $$\begin{aligned} - & \left( \begin{array}{c c c | c} 1-3 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & -2-3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & -2-3 & 0 \end{array} \right) - = \left( \begin{array}{c c c | c} -2 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & -5 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & -5 & 0 \end{array} \right) \\ - & \sim \left( \begin{array}{c c c | c} -1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 3 & 0 \\ 0 & 3 & -3 & 0 \end{array} \right) - \sim \left( \begin{array}{c c c | c} 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) - \sim \left( \begin{array}{c c c | c} 1 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ - & \implies \eig_A(3) = \left\langle \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\rangle - \end{aligned}$$ - - $\lambda = -3$ - $$\begin{aligned} - & \left( \begin{array}{c c c | c} 1+3 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & -2+3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & -2+3 & 0 \end{array} \right) - = \left( \begin{array}{c c c | c} 4 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right) \\ - & \sim \left( \begin{array}{c c c | c} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ - & \implies \eig_A(-3) = \left\langle \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right\rangle - \end{aligned}$$ - -\item $$\begin{aligned} - &S = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \\ - &\implies S^{-1} A S = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} - \end{aligned}$$ - -\end{enumerate} - -\begin{lemma} \label{theo:2.2.16} - Sei $A\in\K^{\nxn}$ und $\underbrace{\spur(A)}_{\mathclap{\color{red}\text{\dq Spur von $A$ \dq}}} := \sum\limits_{i=1}^n a_{ii}$ - $$\chi_A(\lambda) = (-1)^n\lambda^n + (-1)^{n-1} \spur(A) \lambda^{n-1} + \cdots + \det(A)$$ - - \begin{proof} - $\chi_A(\lambda) = \sum\limits_{\pi \in S_n} \sgn(\pi) \prod\limits_{i=1}^n \tilde{a}_{i\pi(i)}$ mit $\tilde{a}_{ij} = \begin{cases} a_{ij} & i\neq j \\ a_{ij} - \lambda & i=j\end{cases}$. \\ - Wenn $\pi\neq \id$ gilt $\deg\left(\prod\limits_{i=1}^n \tilde{a}_{i\pi(i)}\right)\le n-2$, da mindestens zwei Elemente vertauscht werden. Die Koeffizienten von Grad $n, n-1$ kann man also aus $\prod\limits_{i=1}^n \tilde{a}_{ii} = \prod\limits_{i=1}^n (\tilde{a}_{ii} - \lambda)$ ablesen. Daraus folgt die Behauptung für die höchsten beiden Koeffizienten. Weiters gilt $\chi_A(0)=\det(A)$, was die Aussage für den konstanten Koeffizienten zeigt. - \end{proof} - -\end{lemma} - -$\sigma_j := (-1)^j \sum\limits_{\substack{S\subset [n] \\ \lvert S \rvert = n-j}} \prod\limits_{s \in S} \lambda_s$ - -\begin{korollar} - \leavevmode - \begin{enumerate}[label=\alph*)] - \item $A\sim B \implies \spur(A)=\spur(B)$ - \item A diagonalisierbar $\implies \spur(A)=\lambda_1 + \cdots + \lambda_n$ mit $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ Eigenwerte von $A$, nach Vielfachheit gezählt. - \item A diagonalisierbar $\implies \det(A)=\lambda_1 \cdot \dots \cdot \lambda_n$ mit $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ Eigenwerte von $A$, nach Vielfachheit gezählt. -\end{enumerate} -\begin{proof} - Folgt daraus, dass das charakteristische Polynom (und damit seine Koeffizienten) unter Ähnlichkeit invariant sind (Lemma \ref{theo:2.2.7}) und Lemma \ref{theo:2.2.16} -\end{proof} -\end{korollar} - -\begin{satz}[Cayley-Hamilton] - \dq$\chi_A(A) = 0$\dq, das heißt sei $A\in \K^{\nxn}$ mit charakteristischem Polynom $\chi_A(\lambda)=c_n \lambda^n + c_{n-1} \lambda^{n-1} + \cdots + c_0$. - Dann gilt - $$ - \chi_A(A):=c_n A^n + c_{n-1} A ^{n-1} + \cdots c_0 I = 0 = \begin{pmatrix}0 &\dots &0 \\ \vdots& \ddots &\vdots \\ 0 & \dots & 0\end{pmatrix} \in \K^{\nxn} - $$ - \begin{proof} - Sei $B := A^T - \lambda I = - \begin{pmatrix} - a_{11} - \lambda & a_{21} & \dots & a_{n1} \\ - a_{12} & a_{22} - \lambda & \dots & a_{n2} \\ - \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ - a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{nn} - \lambda - \end{pmatrix} - = (a_{ji} - \delta_{ij} \lambda)_{ij}$ - und $C:= \adj(B)$, sodass - \begin{equation} - CB = \det(B) I_n = \chi_A = I_n [\chi_A = \chi_{A^T} - \label{eq:2.2.18.1} - \end{equation} - \ref{eq:2.2.18.1} heißt komponentenweise, dass - \begin{flalign} - &\sum_{i=1}^{n} - \underbrace{c_{ki}}_{\mathrlap{\text{Polynome, in die $A$ eingesetzt werden kann}}} - \underbrace{b_{ij}} - = \delta_{ij} \cdot \underbrace{\chi_A} \forall k, j \in [n] \nonumber \\ - = & \sum_{i=1}^{n}c_{ki}(A) b_{ij}(A) = \delta_{jk}\chi_A (A) \label{eq:2.2.18.2} - \end{flalign} - Wegen $b_{ij}(A) = a_{ji} I_N - \delta_{ij}A$ gilt weiters - \begin{equation} - \forall i \in [n]: \sum_{j=1}^{n} b_{ij}(A) e_j = (\sum_{j=1}^{n} a_{ji} e_j) - A e_i = 0 - \label{eq:2.2.18.3} - \end{equation} - Es folgt $\forall k \in [n]$ - \begin{flalign*} - \chi_A (A) e_k &= \sum_{j=1}^{n} \delta_{jk} \chi(A) e_j &\\ - &\underbrace{=}_{\mathclap{\text{\ref{eq:2.2.18.2}}}} - \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} c_{ki}(A) b_{ij}(A) e_j &\\ - &= \sum_{i=1}^{n} c_{ki}(A) (\sum_{j=1}^{n} b_{ij(A) e_j}) &\\ - &\underbrace{=}_{\mathclap{\text{\ref{eq:2.2.18.3}}}} 0 &\\ - \implies \chi_A(A) = 0 - \end{flalign*} - \end{proof} - \end{satz} - - \subsubsection{Berechnung der Koeffizienten von $\chi_A$} - Sei $f(\lambda) \underbrace{=}_{\text{(*)}} \prod\limits_{j=1}^{n}(\lambda_j - \lambda) = \underbrace{c_n\lambda^n}_{=(-1)^n} + c_{n-1}\lambda ^{n-1} + \cdots + c_0$ - Wie können wir $c_j$ effizient bestimmen? - \begin{itemize} - \item [Bemerkung 1:] $\displaystyle { c_j = (-1)^{j} \sum_{\substack{S\subseteq [n] \\ - \lvert S \rvert = n-j}} \prod_{s \in S} \lambda_s =: - \sigma_{n-j}^n (\lambda_1, \dots, \lambda_n)}$ \\ - Dies folgt aus (*) durch Ausmultiplizieren \\ - Sei nun weiters $p_j^n(\lambda_1, \dots, \lambda_n) := \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i^j$ - \item [Bemerkung 2:] $\sigma_j^n, p_j^n$ sind symmetrisch, das heißt - $$\begin{aligned} - &\sigma_j^n(\lambda_{\pi(1)}, \dots, \lambda_{\pi(n)}) = \sigma_{j}^n (\lambda_1, \dots, \lambda_n) \\ - &p_j^n(\lambda_{\pi(1)}, \dots, \lambda_{\pi(n)}) = p_{j}^n (\lambda_1, \dots, \lambda_n) - \end{aligned} \text{ für } \pi \in S_n$$ - \end{itemize} - - \begin{lemma}[Newtonidentität] \label{theo:2.2.19} - Es gilt für $k\le n$ - $$k\sigma_k^n+\sum_{j=0}^{k-1}\sigma_j^n p_{k-j}^n=0$$ - \begin{proof} - Induktion. - \begin{itemize} - \item [$k=n$:] Wegen - \begin{equation*} - 0= \sum_{i=1}^{n} = - \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=0}^n c_j \lambda_i^j = - \sum_{j=0}^n c_j p_j^n = - \sum_{j=0}^n \sigma_{n-j}^n p_j^n = - \sum_{j=0}^n \sigma_j^n p_{n-j}^n - \end{equation*} - folgt $\sigma_n^n p_0^n + \sum\limits_{j=0}^n \sigma_j^n p_{n-j}^n = 0$ was mit - $p_0^n = n$ die gewünschte Aussage liefert. - \item [$k1$:] - \begin{align*} - & \alpha(c_i) = \alpha(\tilde{b}_i) = - \alpha(\sum_{j=2}^n \mu_{ij} b_j) - = \sum_{j=2}^n \mu_{ij} \alpha(b_j) \\ - & = \sum_{j=2}^n\mu_{ij}(a_{1j} b_1 + \beta(b_j)) - = (\underbrace{\sum_{j=2}^n \mu_{ij} a_{1j}}_ - {\displaystyle\sigma_i}) - + \sum_{j=2}^n \mu_{ij}\beta(b_j) \\ - &= \sigma_i b_1+ \beta(\sum_{j=2}^n \mu_{ij} b_j) - = \sigma_i b_1 + \beta(\tilde{b}_i) \\ - & \underbrace{\in}_{\text{\ref{eq:2.2.22.2}}} - \langle b_1,\tilde{b}_2,\dots,\tilde{b}_i\rangle - = \langle c_1, \dots, c_i \rangle - \end{align*} - \end{itemize} - \end{itemize} - \end{itemize} -\end{proof} -\end{satz} - -\section{Jordan Normalform} - -\begin{defin} - Eine $m\times m$ Matrix - $$J_m(\lambda) := \begin{pmatrix} - \lambda & 1 & 0 & \dots & 0 \\ - 0 & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ - \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ - \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 \\ - 0 & \dots & \dots & 0 & \lambda - \end{pmatrix}$$ - heißt \underline{Jordanblock} der Dimension $m$ zum Eigenwert $\lambda$.\\ - Eine Matrix $A \in \K^{\nxn}$, die als Blockdiagonalmatrix aus Jordanblöcken besteht, - heißt \underline{Jordanmatrix}. \\ - $A \in \K^{\nxn}$ besitzt eine \underline{Jordan-Normalform} wenn $P\in\K^{\nxn}$ invertierbar existiert, - sodass $P^{-1}AP$ Jordanmatrix ist.\\ - $\alpha \in \homk$ besitzt eine \underline{Jordan-Normalform} wenn eine Basis $B$ von $V$ existiert, - sodass $ {}_{B} M(\alpha)_{B} $ Jordanmatrix ist.\\ - B heißt \underline{Jordanbasis} zu $A/\alpha$. -\end{defin} - -\subsubsection{Beispiel} -\begin{itemize} - \item Jede Diagonalmatrix ist Jordanmatrix - \item $\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}, - \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}, - \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}, - \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}, - \xcancel{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}} - $ -\end{itemize} -Wir wollen zeigen, dass $\alpha/A$ genau dann eine Jordan-Normalform besitzt, wenn $\alpha/A$ triangulierbar ist. - -\subsubsection{Bemerkung} -\begin{itemize} - \item $\chi_{J_m(\lambda)}(\mu) = (\lambda - \mu)^m \implies \spec(J_m(\lambda)) = \{\lambda\}$ \\ - $J_m(\lambda) - \lambda I = \begin{pmatrix} - 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ - 0 & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ - \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ - \vdots & & \ddots & \ddots & 1 \\ - 0 & \dots & \dots & 0 & 0 - \end{pmatrix}$\\ - $\implies \dim(\eig_{J_m(\lambda)}(\lambda)) = \dim(\ker(J_m(\lambda) - \lambda I)) = 1$ \\ - $\implies m_g(\lambda) = 1$ und $m_a(\lambda) = m$. - - \item $J_m(0)^m = 0$, das heißt $J_m(0)$ ist \underline{nilpotent}. - \begin{align*} - & J_m(0)(e_i): \begin{cases} e_{i-1} & i \in \{2, \dots, m\} \\ - 0 & \text{sonst} \end{cases}\\ - & J_m(0)^l(e_i): \begin{cases}e_{i-l} & i \in \{l+1, \dots, m\} \\ - 0 & \text{sonst} \end{cases} - \end{align*} -\end{itemize} - -\begin{defin} - $\alpha \in \homk$ oder $A\in \K^{\nxn}$ heißt \underline{nilpotent} (mit Index $m$) falls - $\alpha^m = 0 / A^m = 0$ und $\forall l \in [m-1]: \alpha^l \neq 0 / A^l \neq 0$. -\end{defin} - -\begin{lemma} - Sei $\alpha \in \homk, \dim(V)=n$ nilpotent mit Index $m$. Dann existiert eine Basis $B$ mit - \begin{equation*} - {}_B M(\alpha)_B = - \begin{pmatrix} - 0 & \delta_1 & & \\ - & \ddots & \ddots & \\ - & & \ddots & \delta_{n-1} \\ - & & & 0 - \end{pmatrix} - \text{ und } \delta_i \in \{0, 1\} \forall i \in [n-1] - \end{equation*} - Das heißt ${}_B M(\alpha)_B$ ist blockdiagonal mit Jordanblock mit Eigenwert $0$ - \begin{proof} - Sei $V_i := \ker(\alpha^i)$. \\ - Dies ergibt eine aufsteigende Kette von Unterräumen - \begin{equation*} - \underbrace{\{0\}}_{=V_0} \subseteq V_1 \subseteq \cdots \subseteq \underbrace{V_m}_{=V} - \end{equation*} - Wir bauen uns iterativ eine Basis für Komplemente $W_i$ mit $V_{i-1} \oplus W_i = V_i$. - Sei also $B^{m-1}$ Basis von $V_{m-1}$. \\ - $C^m = (c_1^m, \dots, c_{r_{m}})$ Basis von $W_m$ - [das heißt $C^m$ ergänzt die Basis $B^{m-1}$ zu Basis von $V^m$]. - \subsubsection{Behauptung} - \begin{enumerate} [label=\arabic*)] - \item $\alpha(C^m) \subseteq V_{m-1}$ - \item $\alpha(C^m)$ linear unabhängig - \item $\langle \alpha(C^m) \rangle \cap V_{m-2} = \{0\}$ - \end{enumerate} - \subsubsection{Beweis} - \begin{itemize} - \item[1)] folgt aus $\alpha(V_{i+1}) \subseteq \alpha(V_i)$ - \item[3)] Sei $\sum\limits_{i}\mu_i \alpha(c_i^m) \in V_{m-2}$ - \begin{align*} - &\implies \alpha^{m-2}(\sum_{i}\mu_i \alpha(c_i^m)) = 0 \\ - &\implies \alpha^{m-1} (\sum_{i} \mu_i \alpha(c_i^m)) = 0 \\ - &\implies \sum \mu_i c_i^m \in V_{m-1} \\ - &\underbrace{\implies}_{\mathclap{\substack{(c_i^m) \text{ liegen} \\ - \text{im Komplement} \\ - \text{von } V_{m-1}}}} - \mu_i = 0 \forall i \implies \sum_{i} \mu_i \alpha(c_i^m) = 0 - \end{align*} -\item[2)] folgt aus 3) [da $0\in V_{m-2}$] - \end{itemize} - - \end{proof} - \label{theo:2.3.3} -\end{lemma} - -\end{document} + Sei $A\in\mathbb{K}^{n\times n}$ und $i, j\in[n]$. Sei $M_{ij}\in\mathbb{K}^{n\times n}$ die Matrix, welche durch Ersetzung der j-ten Spalte durch den i-ten Einheitsvektor $e_j$ entsteht.\\ + $A_{ij}:=\det(M_{ij})$ heißt \underline{Kofaktor} (zum Indexpaar $(i, j)$). + \begin{equation*} + \bordermatrix{ + &&&&j \cr + &a_{11}&\dots &a_{1i-1}&0&a_{1i+1}&\dots&a_{1n} \cr + &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \cr + i&a_{ji}&\dots&a_{ji-1}&1&a_{ji+1}&\dots&a_{jn}\cr + &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \cr + &a_{n1}&\dots &a_{ni-1}&0&a_{ni+1}&\dots&a_{nn} + } + = M_{ij}=(a_{\_1}, \dots, \underbrace{e_i}_{j}, \dots, a_{\_n}) + \end{equation*} + \end{defin} + + \subsubsection{Bemerkung} + Es gilt + \begin{equation}\label{crazymatrix} + A_{ij}=\begin{vmatrix} + a_{11}&\dots &a_{1i-1}&0&a_{1i+1}&\dots&a_{1n} \\ + \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ + a_{ji}&\dots&a_{ji-1}&1&a_{ji+1}&\dots&a_{jn}\\ + \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ + a_{n1}&\dots &a_{ni-1}&0&a_{ni+1}&\dots&a_{nn} + \end{vmatrix} + \end{equation} + da obige Matrix aus $M_{ij}$ durch Spaltenadditionen hervorgeht. + + \begin{lemma} + Sei $\tilde{A_{ij}}\in\mathbb{K}^{(n-1)\times(n-1)}$ die Matrix, welche aus A durch Streichung der i-ten Spalte und j-ten Zeile hervorgeht und $D_{ij}:=\det(\tilde{A_{ij}})$. Dann gilt $$A_{ij}=(-1)^{i+j}D_{ij}$$ + \begin{proof} + Transformiere durch ($i-1$) Spaltenvertauschungen und ($j-1$) Zeilenvertauschungen die Matrix \ref{crazymatrix} auf + $$ + B_{ij} = \begin{pmatrix} + 1&0&\dots&0 \\ + 0&&& \\ + \vdots&&\tilde{A_{ij}}& \\ + 0&&& + \end{pmatrix} + $$ + Es gilt $\lvert B_{ij}\rvert=D_{ij}$ und $\lvert B_{ij}\rvert=(-1)^{(i-1)+j(-1)}A_{ij}$ woraus die Behauptung folgt. + \end{proof} + \end{lemma} + + \begin{satz}[Entwicklungssatz von Laplace] + Sei $A\in\mathbb{K}^{n\times n}$ und $i, j\in[n]$. Dann gilt + \begin{enumerate}[label=\alph*)] + \item $\det(A) = \sum\limits_{l=1}^na_{il}A_{il} = \sum\limits_{l=1}^n(-1)^{l+i}a_{il}D_{il}$ + \item $\det(A) = \sum\limits_{l=1}^na_{lj}A_{lj} = \sum\limits_{l=1}^n(-1)^{l+j}a_{lj}D_{lj}$ + \end{enumerate} + \begin{proof} + b) $$\begin{aligned} + \det(A) &= \det(a_{\_1}, \dots, a_{\_n})= \\ + &=\det(a_{\_1}, \dots, \underbrace{\sum_{l=1}^na_{lj}e_l}_{=a_{\_j}}, \dots, a_{\_n})= \\ + &=\sum_{l=1}^n a_{lj}\det(a_{\_1}, \dots, \underbrace{e_l}_{j}, \dots, a_{\_n}) = \\ + &= \sum_{l=1}^n a_{lj}A_{lj} + \end{aligned} + $$ + a) analog (angewendet auf $A^T$). + \end{proof} + \end{satz} + + \begin{satz}[Cramer'sche Regel] + Sei $\adj(A)=(A_{ji})_{i, j\in[n]}$. Dann gilt + $$A\cdot \adj(A) = \det(A)\cdot I_n$$ + \begin{proof} + Sei $B=A\cdot\adj(A)\implies$ + $$\begin{aligned} + b_{ij} &= \sum_{k=1}^n a_{ik} A_{jk} \\ + &= \sum_{k=1}^n a_{ik} \det(a_{\_1}, \dots, \underbrace{e_j}_{k}, \dots, a_{\_n}) \\ + &= \sum_{k=1}^n a_{ik} + \bordermatrix{ + & & & k & & \\ + & a_{11} & \dots & a_{1k} & \dots & a_{1n} \\ + & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + j & 0 & \dots & 1 & \dots & 0 \\ + & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + & a_{n1} & \dots & a_{nk} & \dots & a_{nn} \\ + } \\ + &= \det\left(\bordermatrix{& \\& a_{1\_} \\ & \vdots \\ j \to & a_{i\_} \\ & \vdots \\ & a_{n\_}}\right) \\ + &= \begin{cases}0& i\neq j \\ \det(A) & i=j\end{cases} + \end{aligned}$$ + \end{proof} + \end{satz} + + \begin{folgerung} + Sei $A\in\mathbb{K}^{n\times n}$ invertierbar. Sei $x\in\mathbb{K}^n$ die eindeutige Lösung des linearen Gleichunssystems $Ax=b$. Dann gilt + $$ + x_i= \det(A)^{-1} \det(a_{\_1}, \dots, \underbrace{b}_{i}, \dots, a_{\_n}) + $$ + \begin{proof} + $$\begin{aligned} + &A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}(A_{ji}) \\ + &\implies \det(A)x_i=\sum_{j=1}^n A_{ji}b_j &= \sum_{j=1}^n b_j \det(a_{\_1}, \dots, \underbrace{e_j}_{i}, \dots, a_{\_n})\\ + & &=\det(a_{\_1}, \dots, \underbrace{b}_{i}, \dots, a_{\_n}) + \end{aligned}$$ + \end{proof} + \end{folgerung} + + \subsubsection{Blockmatrizen} + + \begin{defin} + $A\in\mathbb{K}^{n\times n}$ heißt \underline{obere Blockmatrix} wenn $\exists p\in \{1, \dots, n-1\}$ mit $a_{ij}=0$ für $p+1\le i\le n, 1\le j\le p$, d.h. + \begin{equation} + \label{blockmatrix} + A=\bordermatrix{ + \ &\overbrace{}^{p} & \overbrace{}^{n-p} \cr + p\{\ & P & D \cr % } TODO geschwungene Klammern besser machen + n-p\{\ &0&Q} % } + \end{equation} + Analog sind \underline{untere Blockmatrizen} definiert. + \end{defin} + + \begin{satz} \label{theo:1.4.10} + Sei $A$ obere Blockmatrix wie in \ref{blockmatrix}. Dann gilt $\det(A)= \det(P) \det(Q)$ + \begin{proof} + Sei $A = \begin{pmatrix} P & D \\ 0 & Q \end{pmatrix}$.\\ + Wende elementare Zeilenumformungen der ersten $p$ Zeilen an, sodass $P$ obere Dreiecksform hat (mit $s$ Zeilenvertauschungen) und elementare Zeilenumformungen der letzten $n-p$ Zeilen sodass $Q$ obere Dreiecksform hat (mit $t$ Zeilenvertauschungen). Bezeichne das Ergebnis mit $A'= \begin{pmatrix} P' & D \\ 0 & Q' \end{pmatrix}$, wobei $P', Q'$ obere Dreiecksform haben.\\ + Es folgt, dass $A', P', Q'$ obere Dreiecksform hat. Da die Determinante oberer Dreiecksmatrizen das Produkt der Diagonalelemente ist, gilt $\det(A')=\det(P')\det(Q')$.\\ + Weiters gilt $\det(A')=(-1)^{s+t} \det(A)$ (insgesamt $s+t$ Vertauschungen) und $\det(P')= (-1)^s \det(P), \det(Q') = (-1)^t \det(Q)$. Daraus folgt die Behauptung. + \end{proof} + \end{satz} + + \chapter{Eigenwerte und Eigenvektoren} + + \section{Diagonalisierbarkeit} + + \begin{defin} + $D\in \mathbb{K}^{n\times n}$ heißt \underline{Diagonalmatrix} wenn $\forall i\neq j: d_{ij}=0$. + Wir schreiben auch + $$ + \diag(\lambda_1, \dots, \lambda_n):=\begin{pmatrix} + \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ + 0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + 0 & 0 & \dots & \lambda_n + \end{pmatrix} + $$ + \end{defin} + + \subsubsection{Bemerkung} + \begin{itemize} + \item $A\in \mathbb{K}^{n\times m} \implies \diag(\lambda_1, \dots, \lambda_n)A = \begin{pmatrix} + \lambda_1 a_{1\_} \\ + \vdots \\ + \lambda_n a_{n\_} \end{pmatrix}$ + \item $\diag(\lambda_1, \dots, \lambda_n)^k = \diag(\lambda_1^k, \dots, \lambda_n^k)$ + \end{itemize} + + \begin{defin} + \leavevmode + \begin{enumerate}[label=\alph*)] + \item $\alpha \in \homk, \dim(V)<\infty$ heißt \underline{diagonalisierbar} (bzgl. $B$) + wenn eine geordnete Basis $B$ existiert mit ${}_B M(\alpha)_B$ Diagonalmatrix + \item $A\in\mathbb{K}^{n\times n}$ heißt diagonalisierbar wenn eine invertierbare Matrix $P\in\mathbb{K}^{n\times n}$ existiert mit $P^{-1}AP$ Diagonalmatrix. + \end{enumerate} + \end{defin} + + \begin{lemma} + Sei $V$ $\K$-Vektorraum mit $\dim(V)=n<\infty$. + Dann gilt für $\alpha\in\homk$ und $C$ Basis: + $$\alpha \text{ diagonalisierbar} \iff {}_C M(\alpha)_C \text{ diagonalisierbar}$$ + \begin{proof} + \begin{itemize} + \item[$\implies$] Sei $\alpha$ diagonalisierbar und $B$ eine Basis mit $_B M(\alpha)_B$ Diagonalmatrix. Dann gilt $$ + \begin{aligned} {}_B M(\alpha)_B &= {}_B M(\id)_C \cdot {}_C M(\alpha)_C \cdot {}_C M(\id)_B \\ + &= {}_C M(\id)_B^{-1} \cdot {}_C M(\alpha)_C \cdot {}_C M(\id)_B \end{aligned}$$ + Also ist ${}_C M(\alpha)_C$ diagonalisierbar. + \item[$\impliedby$] Sei ${}_C M(\alpha)_C$ diagonalisierbar und $P$ invertierbar mit $P^{-1}\cdot {}_C M(\alpha)_C \cdot P$ Diagonalmatrix. Sei $B$ Basis mit $P={}_C M(\id)_B$. Dann gilt ${}_B M(\alpha)_B$ ist Diagonalmatrix. + \end{itemize} + \end{proof} + \end{lemma} + + \begin{lemma} \label{theo:2.1.4} + \leavevmode + \begin{enumerate}[label=\alph*)] + \item $\alpha \in \homk$ ist diagonalisierbar genau wenn es eine Basis $B=(b_1, \dots, b_n)$ und $\lambda_1, \dots, \lambda_n\in\K$ gibt mit $\forall i=1, \dots, n:\alpha(b_i)=\lambda_i b_i$. + \item $A\in\K^{n\times n}$ ist diagonalisierbar genau wenn es eine geordnete Basis $B= (b_1, \dots, b_n)$ von $\K^n$ gibt mit $\forall i=1, \dots, n: A b_i = \lambda_i b_i$. + \end{enumerate} + \begin{proof} + \begin{enumerate} [label=\alph*)] + \item die Bedingung ist äquivalent zu ${}_B M(\alpha)_B$ diagonalisierbar. + \item Spezialfall von a). + \end{enumerate} + \end{proof} + \end{lemma} + + \section{Eigenwerte und Eigenvektoren} + + \begin{defin} \label{theo:2.2.1} + \leavevmode + \begin{enumerate}[label=\alph*)] + \item Sei $\alpha \in \homk$. $\lambda\in\K$ heißt \underline{Eigenwert} von $\alpha$ wenn es einen Vektor $v\in V\setminus\{0\}$ gibt mit $\alpha(v)=\lambda v$. $v$ heißt \underline{Eigenvektor} zu $\lambda$.\\ + Die Menge aller Eigenwerte von $\alpha$ heißt \underline{Spektrum} von $\alpha; \spec(\alpha)$ + \item Sei $A \in \K^{n\times n}$. $\lambda\in\K$ heißt \underline{Eigenwert} von $A$ wenn es $v\in \K^n\setminus\{0\}$ gibt mit $A v = \lambda v$. $v$ heißt \underline{Eigenvektor} zu $\lambda$.\\ + Die Menge aller Eigenwerte von $A$ heißt \underline{Spektrum} von $A; \spec(A)$ + \end{enumerate} + \end{defin} + + \begin{lemma} \label{theo:2.2.2} + \leavevmode + \begin{enumerate}[label=\alph*)] + \item $\alpha \in \homk$ diagonalisierbar $\iff \exists$ Basis aus Eigenvektoren. + \item $A \in \K^{n\times n}$ diagonalisierbar $\iff \exists$ Basis aus Eigenvektoren. + \end{enumerate} + \begin{proof} + Folgt direkt aus Lemma \ref{theo:2.1.4} und Definition \ref{theo:2.2.1} + \end{proof} + \end{lemma} + + \begin{defin} + \leavevmode + \begin{enumerate}[label=\alph*)] + \item Sei $\alpha \in \homk$ und $\lambda \in \spec(\alpha)$. Dann heißt $\eig_\alpha(\lambda):=\{v\in V: \alpha(v) = \lambda v \}$ der zugehörige \underline{Eigenraum}. + \item Sei $A \in \K^{n\times n}$ und $\lambda \in \spec(A)$. Dann heißt $\eig_A(\lambda):=\{v\in \K^n: A v = \lambda v \}$ der zugehörige \underline{Eigenraum}. + \end{enumerate} + \end{defin} + + \begin{lemma} + Sei $\alpha \in \homk / A\in\K^{n\times n}$ und $\lambda \in \spec(\alpha)/\lambda\in\spec(A)$.\\ + Dann ist $\eig_\alpha(\lambda)/\eig_A(\lambda)$ ein Unterraum von $V/\K$. + \begin{proof} + Nur für $\alpha\in\homk$ + \begin{itemize} + \item $ 0 = \alpha(0) = \lambda \cdot 0 \implies 0 \in \eig_\alpha(\lambda) $ + \item $v, w\in \eig_\alpha(\lambda) \implies \alpha(v+w) = \alpha(v) + \alpha(w) = \lambda v + \lambda w = \lambda(v + w) \implies v + w \in \eig_\alpha(V)$ + \item $\mu \in \K, v \in \eig_\alpha(\lambda) \implies \alpha(\mu v) = \mu \cdot \alpha(v) = \mu \cdot \lambda \cdot v = \lambda \cdot (\mu \cdot v) \implies \mu \cdot v \in \eig_\alpha(\lambda)$ + \end{itemize} + \end{proof} + \end{lemma} + + \begin{satz} + Sei $\alpha \in \homk$ und $B$ Basis. Dann gilt + $$\begin{aligned} + &\spec(\alpha) = \spec({}_B M(\alpha)_B) \\ + &{}_B\Phi(\eig_\alpha(\lambda)) = \eig_{{}_B M(\alpha)_B}(\lambda) + \end{aligned}$$ + \begin{proof} + Sei $\lambda \in \spec(\alpha)$ und $v\in\eig_\alpha(\lambda)$. Dann gilt $$ + \alpha(v) = \lambda v \iff {}_B M(\alpha)_B \cdot {}_B v = \lambda \cdot {}_B v + $$ + \end{proof} + \end{satz} + + \begin{defin} + \leavevmode + \begin{enumerate}[label=\alph*)] + \item Sei $\alpha \in \homk, \dim(V)<\infty$ und $B$ Basis. Dann heißt die Funktion $$ + \chi_\alpha:\begin{cases}\K \to \K \\ + \lambda \mapsto \det({}_B M(\alpha)_B - \lambda \cdot I_n)\end{cases} + $$ \underline{charakteristisches Polynom} von $\alpha$. + \item Sei $A \in \K^{n\times n}$. Dann heißt die Funktion $$ + \chi_A:\begin{cases}\K \to \K \\ + \lambda \mapsto \det(A - \lambda \cdot I_n)\end{cases} + $$ \underline{charakteristisches Polynom} von $A$. + \end{enumerate} + \end{defin} + + \subsubsection{Bemerkung} + $\genfrac{}{}{0pt}{0}{\chi_\alpha}{\chi_A}$ ist Polynom vom Grad + $\le\genfrac{}{}{0pt}{0}{\dim(V)}{n}$, da + $$\begin{aligned} + &\chi_A(\lambda)=\sum_{\pi \in S_n} \tilde{a}_{1\pi(1)}^{(\lambda)} \cdots \tilde{a}_{n\pi(n)}^{(\lambda)} \text{ mit}\\ + &\tilde{a}_{ij}^{(\lambda)} = \begin{cases} a_{ij} & i\neq j \\ a_{ij}-\lambda & i=j + \end{cases} \dots \text{ Polynom von Grad $0$ oder $1$} + \end{aligned}$$ + + \begin{lemma} \label{theo:2.2.7} + \leavevmode + \begin{enumerate}[label=\alph*)] + \item $\chi_\alpha$ ist unabhängig von der Wahl der Basis. + \item $\chi_A = \chi_B$ wenn $A, B$ ähnlich (d. h. $\exists P \in \K^{n \times n}: B = P^{-1}AP$) + \end{enumerate} + \begin{proof} + \begin{enumerate}[label=\alph*)] + \item Sei C weitere Basis.\\ + Dann gilt $\underbrace{{}_C M(\alpha)_C}_{B} = \underbrace{{}_C M(\id)_B}_{P^{-1}} \underbrace{{}_B M(\alpha)_B}_{A} \underbrace{{}_B M(\id)_C}_{P}$. \\ + Man kann also alles auf b) zurückführen. + \item $$\begin{aligned} + \chi_A(\lambda) &= \det(A-\lambda I) \\ + &= \det(P)^{-1} \det(A - \lambda I) \det(P) \\ + &= \det(P^{-1}) \det(A - \lambda I) \det(P) \\ + &= \det(P^{-1}(A - \lambda I)P) \\ + &= \det(P^{-1}AP-\lambda I) \\ + &= \det(B - \lambda I) \\ + &= \chi_B(\lambda) + \end{aligned}$$ + \end{enumerate} + \end{proof} + \end{lemma} + + \begin{lemma} + \leavevmode + \begin{enumerate}[label=\alph*)] + \item Sei $\alpha\in\homk$. Dann gilt $$\spec(\alpha) = \{\lambda \in \K: \chi_\alpha(\lambda)=0\}$$ + \item Sei $A\in \K^{\nxn}$. Dann gilt $$\spec(A) = \{\lambda \in \K: \chi_A(\lambda)=0\}$$ + \end{enumerate} + \begin{proof} + Nur b) + $$\begin{aligned} + \lambda \in \spec(A) &\iff \exists v\in V \setminus \{0\}: A v = \lambda v \\ + &\iff \exists v \in V \setminus \{0\}: (A - \lambda I) v = 0 \\ + &\iff \ker(A - \lambda I) \neq \{0\} \\ + &\iff A - \lambda I \text{ nicht injektiv}\\ + &\iff \det(A - \lambda I) = 0 + \end{aligned}$$ + \end{proof} + \end{lemma} + + \subsubsection{Beispiele} + \begin{alignat*}{3} + &A = \begin{pmatrix}\bar3 & \bar4 \\ \bar1 & \bar1 \end{pmatrix} \in \mathbb{Z}_5^{2\times2} && \\ + &\chi_A(\lambda) = \begin{vmatrix} \bar3 - \lambda & \bar4 \\ \bar1 & \bar1 - \lambda \end{vmatrix} + &&= (\bar3 - \lambda)(\bar1 - \lambda) - \bar4 \\ + & &&= \bar3 - \bar4 \lambda + \lambda^2 - \bar4 \\ + & &&= \bar4 - \bar4 \lambda + \lambda^2 = (\bar2 - \lambda)^2 \\ + & \implies \spec(A) = \{2\} \\ + &\eig_{\bar2}(A) = ? \\ + & v \in \eig_{\bar2}(A) \iff \mathrlap{(A - \bar2 I)v = 0} \\ + &\iff \mathrlap{\left(\begin{array}{c c | c} + \bar3 - \bar2 & \bar4 & \bar0 \\ + \bar1 & \bar1 - \bar2 & \bar0 + \end{array}\right)} \\ + & \left(\begin{array}{c c | c} + \bar1 & \bar4 & \bar0 \\ + \bar1 & \bar4 & \bar0 + \end{array}\right) \\ + & \left(\begin{array}{c c | c} + \bar1 & \bar4 & \bar0 \\ + \bar0 & \bar0 & \bar0 + \end{array}\right) \\ + & \implies \eig_{\bar2}(A) = \bigg\langle\begin{pmatrix}\bar1 \\ \bar1\end{pmatrix} \bigg\rangle \\ + & \implies A \mathrlap{\text{ nicht diagonalisierbar [Lemma \ref{theo:2.1.4} (b)]}} + \end{alignat*} + + \begin{lemma} + Sei $A \in \mathbb{C}^{n\times n}$ mit reellen Einträgen. Dann gilt: + \begin{enumerate}[label=\alph*)] + \item $\lambda \in \spec(A) \implies \overline{\lambda} \in \spec(A)$ + \item $v \in \eig_\lambda(A) \implies \overline{v} \in \eig_{\overline{\lambda}}(A)$ + \end{enumerate} + \begin{proof} + \begin{enumerate}[label=\alph*)] + \item Klarerweise ist $\chi_A(\lambda)$ ein Polynom mit reellen Koeffizienten, also $\chi_A(\lambda)=a_0+a_1 \lambda + \cdots + a_n \lambda^n, a_0, \dots, a_n\in\mathbb{R}$\\ + Sei $\chi_A(\lambda)=0 \implies 0 = \overline0 = a_0 + a_1 \overline\lambda + \cdots + a_n \overline{\lambda} ^ n = \chi_A(\overline\lambda)$ + \item $v\in\eig_\lambda(A) \implies A v = \lambda v \implies \overline{A V} = \overline{\lambda v} \implies A \overline{v} = \overline\lambda \overline{v}$ + \end{enumerate} + \end{proof} + \end{lemma} + + \begin{lemma} \label{theo:2.2.10} + Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten sind linear unabhängig. + \begin{proof} + Seien $v_i \in \eig_{\lambda_i}(A), i=1, \dots, r, \lambda_i \neq \lambda_j \text{ für } i\neq j.$ + Induktion nach $r$ + \begin{itemize} + \item[$r=1$:] $v_1$ ist linear unabhängig. + \item[$r-1\mapsto r$:] \begin{equation}\label{eq:2.2.10.1} + \mu_1 v_1 + \cdots + \mu_1 v_1 = 0 \end{equation} + $$ \implies A(\mu_1 v_1 + \cdots + \mu_r v_r) = 0 $$ + \begin{equation}\label{eq:2.2.10.2} + \implies \lambda_1\mu_1 v_1 + \cdots \lambda_r \mu_r v_r = 0 + \end{equation} + Weiters folgt durch Multiplikation von \ref{eq:2.2.10.1} mit $\lambda_r$, dass \begin{equation}\label{eq:2.2.10.3} + \lambda_r \mu_1 v_1 + \cdots + \lambda_r \mu_r v_r = 0 \end{equation} + $$ \begin{aligned} + \text{\ref{eq:2.2.10.3}} - \text{\ref{eq:2.2.10.2}} + &\implies \underbrace{(\lambda_r - \lambda_1)}{\neq0} \mu_1 v_1 + \cdots + \underbrace{(\lambda_r - \lambda_{r-1})}{\neq0} \mu_{r-1} v_{r-1} = 0 \\ + &\implies v_1, \dots, v_{r-1} \text{ linear abhängig. \Lightning} + \end{aligned} $$ + \end{itemize} + \end{proof} + \end{lemma} + + \begin{lemma} + Sei $\alpha \in \homk, \dim(V)=n \text{ oder } A \in \K^{\nxn}$ mit $n$ verschiedenen Eigenvektoren. dann ist $\alpha/A$ diagonalisierbar. + \begin{proof} + Wegen Lemma \ref{theo:2.2.10} gibt es Basis von Eigenvektoren. Daher ist $\alpha/A$ diagonalisierbar wegen Lemma \ref{theo:2.2.2}. + \end{proof} + \end{lemma} + + \begin{defin} + Sei $\spec(A) = \{\lambda_1, \dots, \lambda_r \}$ und $(\lambda_1 - \lambda)^{k_1} \cdots (\lambda_r - \lambda)^{k_r} p \in\K[X]$ mit $p$ nicht durch Linearfaktoren teilbar (also keine Nullstellen in $\K$).\\ + $k_i$ heißt \underline{algebraische Vielfachheit} des Eigenwerts $\lambda_i$. Wir schreiben $k_i = m_a(\lambda_i)$.\\ + $\dim(\eig_A(\lambda_i))$ heißt \underline{geometrische Vielfachheit} des Eigenwerts $\lambda_i$. Wir schreiben $\dim(\eig_A(\lambda_i)) = m_g(\lambda_i)$ + \end{defin} + + \subsubsection{Beispiel} + \begin{itemize} + \item $\chi_A(\lambda) = \lambda^4 - 2 \lambda^3 + 2 \lambda^2 - 2\lambda + 1 \in \mathbb{R}[X]$\\ + $\implies \chi_A(\lambda) = (1 - X)^2 \underbrace{(1 + \lambda^2)}{p(\lambda)}$ \\ + $\implies m_a(1) = 2$ + \item Für $\K=\mathbb{C}$ zerfällt jedes Polynom in Linearfaktoren, also ist $p$ immer konstant. + \end{itemize} + + \begin{satz} + Sei $\mu\in\spec(A)/\spec(\alpha)$. Dann gilt $$ 1\le m_g(\mu) \le m_a(\mu) $$ + \begin{proof} + Klarerweise gilt $1\le m_g(\mu)$ da $\mu$ Eigenwert ist. Sei $r:= m_g(\mu)$ und $b_1, \dots, b_r$ Basis von $\eig_\alpha(\mu)$. Sei $B=(b_1, \dots, b_n)$ Basis. Dann ist\\ ${}_B M(\alpha)_B = + \bordermatrix{ + & & & & r & & \cr + & \mu & 0 & 0 & 0 & * & \dots & * \cr + & 0 & \mu & 0 & 0 & * & \dots & * \cr + & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \cr + r & 0 & 0 & 0 & \mu & * & \dots & * \cr + & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \cr + & 0 & 0 & 0 & 0 & * & \dots & * + } + $, also $$\begin{aligned} + \chi_\alpha(\lambda) &= \left\lvert \begin{array}{c | c} + \begin{smallmatrix}\mu - \lambda & & \\ & \ddots & \\ & & \mu - \lambda\end{smallmatrix} & A \\ + \hline \\ + 0 & B + \end{array} \right\rvert \underbrace{=}_{\text{Satz \ref{theo:1.4.10}}} \det + \begin{pmatrix} + \mu - \lambda & & 0 \\ + & \ddots & \\ + 0 & & \mu - \lambda + \end{pmatrix} \cdot \det(B) \\ + & = (\mu - \lambda)^r \det(B) \\ + & \implies r \le m_a(\mu) + \end{aligned}$$ + + \end{proof} + \end{satz} + + \begin{lemma} + Seien $A, B$ ähnlich und $\mu \in \spec(A) (=\spec(B) \text{ nach Lemma \ref{theo:2.2.7}})$. Dann stimmen die geometrischen Vielfachheiten überein, das heißt $\dim(\eig_\mu(A)) = \dim(\eig_\mu(B))$. + \begin{proof} + Sei $B = P^{-1} A P$. Dann gilt $$ \begin{aligned} + \eig_{\mu}(B) &= \ker(B - \mu I) = \ker(B - \mu P^{-1} P) \\ + &= \ker(P^{-1} (A - \mu I) P) \\ + & \underbrace{\implies}_{\mathclap{\text{Für ähnliche Matrizen stimmen die Dimensionen der Kerne überein}}} \dim(\eig_\mu(B)) = \dim\eig_\mu(A) + \end{aligned}$$ + \end{proof} + \end{lemma} + + \begin{satz} + $A/\alpha$ diagonalisierbar $\iff$ + \begin{enumerate}[label=\roman*)] + \item $\chi_{A/\alpha}$ zerfällt in Linearfaktoren, d. h. $\chi_{A/\alpha}(\lambda)= (\lambda_1 - \lambda)^{k_1} \cdots (\lambda_r - \lambda)^{k_r}, \sum k_i = n$ + \item algebraische und geometrische Vielfachheiten stimmen überein, d. h. $m_a(\lambda_i) = m_g(\lambda_i), i=1, \dots, r$ + \end{enumerate} + \begin{proof} + \begin{itemize} + \item[$\impliedby$:] Aus i), ii) folgt, dass \begin{equation}\label{eq:2.2.15.1} + \sum_{i=1}^r \underbrace{\dim(\eig_\alpha(\lambda_i))}_{=m_g(\lambda_i)=:d_i} = n \end{equation} + Sei $b_i^1, \dots, b_i^{d_i}$ Basis von $\eig_\alpha(\lambda_i)$. Wir zeigen, dass $B=\{b_i^1, \dots, b_i^{d_i}: i=1, \dots, r\}$ Basis ist. + \begin{enumerate}[label=\arabic*)] + \item $\lvert B \rvert = n$ folgt aus \ref{eq:2.2.15.1} + \item Ang. $\sum\limits_{i=1}^r (\underbrace{\mu_i^1 b_i^1 + \cdots + \mu_i^{d_i} b_i^{d_i}}_{v_i}) = 0$ \\ + $\underbrace{\implies}_{\mathclap{\substack{v_i \text{Eigenwerte zu} \\ \text{verschiedenen Eigenvektoren} \\ + \text{Lemma \ref{theo:2.2.10}}}}} + v_i = 0 \forall i=1, \dots, r \underbrace{\implies}_{\mathclap{\substack{b_i^1, \dots, b_i^{d_i} \\ \text{Basis von } \eig_\alpha(\lambda_i)}}} \mu_i^1, \dots, \mu_i^{d_i} = 0 \forall i=1, \dots, r$ \\ + $ \implies B $ ist Basis aus Eigenvektoren $\underbrace{\implies}_{\mathclap{\text{Lemma \ref{theo:2.2.2}}}} \alpha $ diagonalisierbar. + + \end{enumerate} + + \item[$\implies$:] Sei $\alpha$ diagonalisierbar. $$\begin{aligned} + &\implies \exists \text{ Basis } \{b_1, \dots, b_n\} \text{ aus Eigenvektoren} \\ + &\implies {}_B M(\alpha)_B = \diag(\lambda_1, \dots, \lambda_n) \\ + &\implies \chi_B(\lambda) = (\lambda_1 - \lambda) \cdots (\lambda_n - \lambda) + \end{aligned}$$ + \end{itemize} + \end{proof} + \end{satz} + + \subsubsection{Diagonalisieren} + \begin{enumerate}[label=\arabic*)] + \item Zerlegung in Linearfaktoren + $$ \chi_A(\lambda) = (\lambda_1 - \lambda)^{m_a(\lambda_1)} \cdots (\lambda_r - \lambda)^{m_a(\lambda_r)} $$ + \item Bestimme Basis $B_i$ der Eigenräume + $$ \eig_A(\lambda_i) = \ker(A - \lambda_i I) $$ + \item Ordne Basis $B= \bigcup\limits_{i=1}^n B_i$ zu $B= (b_1, \dots, b_n)$ + \item Mit $S = (b_1, \dots, b_n)$ gilt dann $$ + \diag(\underbrace{\lambda_1, \dots, \lambda_n}_{\mathclap{\substack{\text{Eigenwerte werden nach} \\ \text{Vielfachheit gezählt!} \\ \lambda_i \text{ ist Eigenwert von } b_i \text{!}}}}) = S^{-1} A S + $$ + \end{enumerate} + + \subsubsection{Beispiel} + $A = \begin{pmatrix} + 1 & 2 & 2 \\ + 2 & -2 & 1 \\ + 2 & 1 & -2 + \end{pmatrix}$ + \begin{enumerate}[label=\arabic*)] + + \item $$\begin{aligned} + \chi_A(\lambda) = & \begin{vmatrix} + 1 -\lambda & 2 & 2 \\ + 2 & -2 -\lambda & 1 \\ + 2 & 1 & -2 -\lambda + \end{vmatrix} \\ + \underbrace{=}_{\mathclap{\substack{\text{Entwicklung} \\ \text{nach 1. Zeile}}}} + & (1-\lambda) \begin{vmatrix} -2 -\lambda & 1 \\ 1 & -2 -\lambda \end{vmatrix} + + (-2) \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & -2-\lambda \end{vmatrix} \\ + & + 2 \begin{vmatrix} 2 & -2 - \lambda \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \\ + = & \dots= -\lambda^3 - 3 \lambda^2 + 9\lambda + 27 = (3-\lambda)(-3-\lambda)^2 + \end{aligned}$$ + + \item $\lambda = 3$ + $$\begin{aligned} + & \left( \begin{array}{c c c | c} 1-3 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & -2-3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & -2-3 & 0 \end{array} \right) + = \left( \begin{array}{c c c | c} -2 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & -5 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & -5 & 0 \end{array} \right) \\ + & \sim \left( \begin{array}{c c c | c} -1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 3 & 0 \\ 0 & 3 & -3 & 0 \end{array} \right) + \sim \left( \begin{array}{c c c | c} 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) + \sim \left( \begin{array}{c c c | c} 1 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ + & \implies \eig_A(3) = \left\langle \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\rangle + \end{aligned}$$ + + $\lambda = -3$ + $$\begin{aligned} + & \left( \begin{array}{c c c | c} 1+3 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & -2+3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & -2+3 & 0 \end{array} \right) + = \left( \begin{array}{c c c | c} 4 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right) \\ + & \sim \left( \begin{array}{c c c | c} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ + & \implies \eig_A(-3) = \left\langle \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right\rangle + \end{aligned}$$ + + \item $$\begin{aligned} + &S = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \\ + &\implies S^{-1} A S = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} + \end{aligned}$$ + + \end{enumerate} + + \begin{lemma} \label{theo:2.2.16} + Sei $A\in\K^{\nxn}$ und $\underbrace{\spur(A)}_{\mathclap{\color{red}\text{\dq Spur von $A$ \dq}}} := \sum\limits_{i=1}^n a_{ii}$ + $$\chi_A(\lambda) = (-1)^n\lambda^n + (-1)^{n-1} \spur(A) \lambda^{n-1} + \cdots + \det(A)$$ + + \begin{proof} + $\chi_A(\lambda) = \sum\limits_{\pi \in S_n} \sgn(\pi) \prod\limits_{i=1}^n \tilde{a}_{i\pi(i)}$ mit $\tilde{a}_{ij} = \begin{cases} a_{ij} & i\neq j \\ a_{ij} - \lambda & i=j\end{cases}$. \\ + Wenn $\pi\neq \id$ gilt $\deg\left(\prod\limits_{i=1}^n \tilde{a}_{i\pi(i)}\right)\le n-2$, da mindestens zwei Elemente vertauscht werden. Die Koeffizienten von Grad $n, n-1$ kann man also aus $\prod\limits_{i=1}^n \tilde{a}_{ii} = \prod\limits_{i=1}^n (\tilde{a}_{ii} - \lambda)$ ablesen. Daraus folgt die Behauptung für die höchsten beiden Koeffizienten. Weiters gilt $\chi_A(0)=\det(A)$, was die Aussage für den konstanten Koeffizienten zeigt. + \end{proof} + + \end{lemma} + + $\sigma_j := (-1)^j \sum\limits_{\substack{S\subset [n] \\ \lvert S \rvert = n-j}} \prod\limits_{s \in S} \lambda_s$ + + \begin{korollar} + \leavevmode + \begin{enumerate}[label=\alph*)] + \item $A\sim B \implies \spur(A)=\spur(B)$ + \item A diagonalisierbar $\implies \spur(A)=\lambda_1 + \cdots + \lambda_n$ mit $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ Eigenwerte von $A$, nach Vielfachheit gezählt. + \item A diagonalisierbar $\implies \det(A)=\lambda_1 \cdot \dots \cdot \lambda_n$ mit $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ Eigenwerte von $A$, nach Vielfachheit gezählt. + \end{enumerate} + \begin{proof} + Folgt daraus, dass das charakteristische Polynom (und damit seine Koeffizienten) unter Ähnlichkeit invariant sind (Lemma \ref{theo:2.2.7}) und Lemma \ref{theo:2.2.16} + \end{proof} + \end{korollar} + + \begin{satz}[Cayley-Hamilton] + \dq$\chi_A(A) = 0$\dq, das heißt sei $A\in \K^{\nxn}$ mit charakteristischem Polynom $\chi_A(\lambda)=c_n \lambda^n + c_{n-1} \lambda^{n-1} + \cdots + c_0$. + Dann gilt + $$ + \chi_A(A):=c_n A^n + c_{n-1} A ^{n-1} + \cdots c_0 I = 0 = \begin{pmatrix}0 &\dots &0 \\ \vdots& \ddots &\vdots \\ 0 & \dots & 0\end{pmatrix} \in \K^{\nxn} + $$ + \begin{proof} + Sei $B := A^T - \lambda I = + \begin{pmatrix} + a_{11} - \lambda & a_{21} & \dots & a_{n1} \\ + a_{12} & a_{22} - \lambda & \dots & a_{n2} \\ + \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ + a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{nn} - \lambda + \end{pmatrix} + = (a_{ji} - \delta_{ij} \lambda)_{ij}$ + und $C:= \adj(B)$, sodass + \begin{equation} + CB = \det(B) I_n = \chi_A = I_n [\chi_A = \chi_{A^T} + \label{eq:2.2.18.1} + \end{equation} + \ref{eq:2.2.18.1} heißt komponentenweise, dass + \begin{flalign} + &\sum_{i=1}^{n} + \underbrace{c_{ki}}_{\mathrlap{\text{Polynome, in die $A$ eingesetzt werden kann}}} + \underbrace{b_{ij}} + = \delta_{ij} \cdot \underbrace{\chi_A} \forall k, j \in [n] \nonumber \\ + = & \sum_{i=1}^{n}c_{ki}(A) b_{ij}(A) = \delta_{jk}\chi_A (A) \label{eq:2.2.18.2} + \end{flalign} + Wegen $b_{ij}(A) = a_{ji} I_N - \delta_{ij}A$ gilt weiters + \begin{equation} + \forall i \in [n]: \sum_{j=1}^{n} b_{ij}(A) e_j = (\sum_{j=1}^{n} a_{ji} e_j) - A e_i = 0 + \label{eq:2.2.18.3} + \end{equation} + Es folgt $\forall k \in [n]$ + \begin{flalign*} + \chi_A (A) e_k &= \sum_{j=1}^{n} \delta_{jk} \chi(A) e_j &\\ + &\underbrace{=}_{\mathclap{\text{\ref{eq:2.2.18.2}}}} + \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} c_{ki}(A) b_{ij}(A) e_j &\\ + &= \sum_{i=1}^{n} c_{ki}(A) (\sum_{j=1}^{n} b_{ij(A) e_j}) &\\ + &\underbrace{=}_{\mathclap{\text{\ref{eq:2.2.18.3}}}} 0 &\\ + \implies \chi_A(A) = 0 + \end{flalign*} + \end{proof} + \end{satz} + + \subsubsection{Berechnung der Koeffizienten von $\chi_A$} + Sei $f(\lambda) \underbrace{=}_{\text{(*)}} \prod\limits_{j=1}^{n}(\lambda_j - \lambda) = \underbrace{c_n\lambda^n}_{=(-1)^n} + c_{n-1}\lambda ^{n-1} + \cdots + c_0$ + Wie können wir $c_j$ effizient bestimmen? + \begin{itemize} + \item [Bemerkung 1:] $\displaystyle { c_j = (-1)^{j} \sum_{\substack{S\subseteq [n] \\ + \lvert S \rvert = n-j}} \prod_{s \in S} \lambda_s =: + \sigma_{n-j}^n (\lambda_1, \dots, \lambda_n)}$ \\ + Dies folgt aus (*) durch Ausmultiplizieren \\ + Sei nun weiters $p_j^n(\lambda_1, \dots, \lambda_n) := \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i^j$ + \item [Bemerkung 2:] $\sigma_j^n, p_j^n$ sind symmetrisch, das heißt + $$\begin{aligned} + &\sigma_j^n(\lambda_{\pi(1)}, \dots, \lambda_{\pi(n)}) = \sigma_{j}^n (\lambda_1, \dots, \lambda_n) \\ + &p_j^n(\lambda_{\pi(1)}, \dots, \lambda_{\pi(n)}) = p_{j}^n (\lambda_1, \dots, \lambda_n) + \end{aligned} \text{ für } \pi \in S_n$$ + \end{itemize} + + \begin{lemma}[Newtonidentität] \label{theo:2.2.19} + Es gilt für $k\le n$ + $$k\sigma_k^n+\sum_{j=0}^{k-1}\sigma_j^n p_{k-j}^n=0$$ + \begin{proof} + Induktion. + \begin{itemize} + \item [$k=n$:] Wegen + \begin{equation*} + 0= \sum_{i=1}^{n} = + \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=0}^n c_j \lambda_i^j = + \sum_{j=0}^n c_j p_j^n = + \sum_{j=0}^n \sigma_{n-j}^n p_j^n = + \sum_{j=0}^n \sigma_j^n p_{n-j}^n + \end{equation*} + folgt $\sigma_n^n p_0^n + \sum\limits_{j=0}^n \sigma_j^n p_{n-j}^n = 0$ was mit + $p_0^n = n$ die gewünschte Aussage liefert. + \item [$k1$:] + \begin{align*} + & \alpha(c_i) = \alpha(\tilde{b}_i) = + \alpha(\sum_{j=2}^n \mu_{ij} b_j) + = \sum_{j=2}^n \mu_{ij} \alpha(b_j) \\ + & = \sum_{j=2}^n\mu_{ij}(a_{1j} b_1 + \beta(b_j)) + = (\underbrace{\sum_{j=2}^n \mu_{ij} a_{1j}}_ + {\displaystyle\sigma_i}) + + \sum_{j=2}^n \mu_{ij}\beta(b_j) \\ + &= \sigma_i b_1+ \beta(\sum_{j=2}^n \mu_{ij} b_j) + = \sigma_i b_1 + \beta(\tilde{b}_i) \\ + & \underbrace{\in}_{\text{\ref{eq:2.2.22.2}}} + \langle b_1,\tilde{b}_2,\dots,\tilde{b}_i\rangle + = \langle c_1, \dots, c_i \rangle + \end{align*} + \end{itemize} + \end{itemize} + \end{itemize} + \end{proof} + \end{satz} + + \section{Jordan Normalform} + + \begin{defin} + Eine $m\times m$ Matrix + $$J_m(\lambda) := \begin{pmatrix} + \lambda & 1 & 0 & \dots & 0 \\ + 0 & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ + \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ + \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 \\ + 0 & \dots & \dots & 0 & \lambda + \end{pmatrix}$$ + heißt \underline{Jordanblock} der Dimension $m$ zum Eigenwert $\lambda$.\\ + Eine Matrix $A \in \K^{\nxn}$, die als Blockdiagonalmatrix aus Jordanblöcken besteht, + heißt \underline{Jordanmatrix}. \\ + $A \in \K^{\nxn}$ besitzt eine \underline{Jordan-Normalform} wenn $P\in\K^{\nxn}$ invertierbar existiert, + sodass $P^{-1}AP$ Jordanmatrix ist.\\ + $\alpha \in \homk$ besitzt eine \underline{Jordan-Normalform} wenn eine Basis $B$ von $V$ existiert, + sodass $ {}_{B} M(\alpha)_{B} $ Jordanmatrix ist.\\ + B heißt \underline{Jordanbasis} zu $A/\alpha$. + \end{defin} + + \subsubsection{Beispiel} + \begin{itemize} + \item Jede Diagonalmatrix ist Jordanmatrix + \item $\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}, + \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}, + \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}, + \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}, + \xcancel{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}} + $ + \end{itemize} + Wir wollen zeigen, dass $\alpha/A$ genau dann eine Jordan-Normalform besitzt, wenn $\alpha/A$ triangulierbar ist. + + \subsubsection{Bemerkung} + \begin{itemize} + \item $\chi_{J_m(\lambda)}(\mu) = (\lambda - \mu)^m \implies \spec(J_m(\lambda)) = \{\lambda\}$ \\ + $J_m(\lambda) - \lambda I = \begin{pmatrix} + 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ + 0 & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ + \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ + \vdots & & \ddots & \ddots & 1 \\ + 0 & \dots & \dots & 0 & 0 + \end{pmatrix}$\\ + $\implies \dim(\eig_{J_m(\lambda)}(\lambda)) = \dim(\ker(J_m(\lambda) - \lambda I)) = 1$ \\ + $\implies m_g(\lambda) = 1$ und $m_a(\lambda) = m$. + + \item $J_m(0)^m = 0$, das heißt $J_m(0)$ ist \underline{nilpotent}. + \begin{align*} + & J_m(0)(e_i): \begin{cases} e_{i-1} & i \in \{2, \dots, m\} \\ + 0 & \text{sonst} \end{cases}\\ + & J_m(0)^l(e_i): \begin{cases}e_{i-l} & i \in \{l+1, \dots, m\} \\ + 0 & \text{sonst} \end{cases} + \end{align*} + \end{itemize} + + \begin{defin} + $\alpha \in \homk$ oder $A\in \K^{\nxn}$ heißt \underline{nilpotent} (mit Index $m$) falls + $\alpha^m = 0 / A^m = 0$ und $\forall l \in [m-1]: \alpha^l \neq 0 / A^l \neq 0$. + \end{defin} + + \begin{lemma} + Sei $\alpha \in \homk, \dim(V)=n$ nilpotent mit Index $m$. Dann existiert eine Basis $B$ mit + \begin{equation*} + {}_B M(\alpha)_B = + \begin{pmatrix} + 0 & \delta_1 & & \\ + & \ddots & \ddots & \\ + & & \ddots & \delta_{n-1} \\ + & & & 0 + \end{pmatrix} + \text{ und } \delta_i \in \{0, 1\} \forall i \in [n-1] + \end{equation*} + Das heißt ${}_B M(\alpha)_B$ ist blockdiagonal mit Jordanblock mit Eigenwert $0$ + \begin{proof} + Sei $V_i := \ker(\alpha^i)$. \\ + Dies ergibt eine aufsteigende Kette von Unterräumen + \begin{equation*} + \underbrace{\{0\}}_{=V_0} \subseteq V_1 \subseteq \cdots \subseteq \underbrace{V_m}_{=V} + \end{equation*} + Wir bauen uns iterativ eine Basis für Komplemente $W_i$ mit $V_{i-1} \oplus W_i = V_i$. + Sei also $B^{m-1}$ Basis von $V_{m-1}$. \\ + $C^m = (c_1^m, \dots, c_{r_{m}})$ Basis von $W_m$ + [das heißt $C^m$ ergänzt die Basis $B^{m-1}$ zu Basis von $V^m$]. + \subsubsection{Behauptung} + \begin{enumerate} [label=\arabic*)] + \item $\alpha(C^m) \subseteq V_{m-1}$ + \item $\alpha(C^m)$ linear unabhängig + \item $\langle \alpha(C^m) \rangle \cap V_{m-2} = \{0\}$ + \end{enumerate} + \subsubsection{Beweis} + \begin{itemize} + \item[1)] folgt aus $\alpha(V_{i+1}) \subseteq \alpha(V_i)$ + \item[3)] Sei $\sum\limits_{i}\mu_i \alpha(c_i^m) \in V_{m-2}$ + \begin{align*} + &\implies \alpha^{m-2}(\sum_{i}\mu_i \alpha(c_i^m)) = 0 \\ + &\implies \alpha^{m-1} (\sum_{i} \mu_i \alpha(c_i^m)) = 0 \\ + &\implies \sum \mu_i c_i^m \in V_{m-1} \\ + &\underbrace{\implies}_{\mathclap{\substack{(c_i^m) \text{ liegen} \\ + \text{im Komplement} \\ + \text{von } V_{m-1}}}} + \mu_i = 0 \forall i \implies \sum_{i} \mu_i \alpha(c_i^m) = 0 + \end{align*} + \item[2)] folgt aus 3) [da $0\in V_{m-2}$] + \end{itemize} + + \end{proof} + \label{theo:2.3.3} + \end{lemma} + + \end{document}