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ed42875810
GPG Key ID:
9303E1C32E3A14A0
72
LinAlg2.tex
72
LinAlg2.tex
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@ -524,7 +524,7 @@ Es gibt also zu jedem $\K$-VR V mit $\dim(V)=n$ eine nicht ausgeartete alternier
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\varphi(\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n))\neq0\iff \det(\alpha)\neq0$
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\item 2 Fälle:\begin{enumerate}[label=\arabic*. Fall:]
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\item $\alpha$ oder $\beta$ ist nicht bijektiv: o.B.d.A $\alpha$ nicht bijektiv.\\
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$\implies \det(\alpha)=0\implies \det(\alpha)\det(\alpha)=0$\\
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$\implies \det(\alpha)=0\implies \det(\alpha)\det(\beta)=0$\\
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Weiters folgt, dass $\alpha\beta$ nicht bijektiv, also $\det(\alpha\beta)=0$.
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\item $\alpha, \beta$ bijektiv.
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Dann ist auch $(\beta(a_1), \dots, \beta(a_n))$ Basis und
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@ -682,7 +682,7 @@ $n>3 \to $ Gaußalgorithmus
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&&&&j \cr
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&a_{11}&\dots &a_{1i-1}&0&a_{1i+1}&\dots&a_{1n} \cr
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&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \cr
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i&a_{ji}&\dots&a_{ji-1}&1&a_{ji+1}&\dots&a_{jn}\cr
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i&a_{j1}&\dots&a_{ji-1}&1&a_{ji+1}&\dots&a_{jn}\cr
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&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \cr
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&a_{n1}&\dots &a_{ni-1}&0&a_{ni+1}&\dots&a_{nn}
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}
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@ -696,7 +696,7 @@ Es gilt
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A_{ij}=\begin{vmatrix}
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a_{11} & \dots & a_{1i-1} & 0 & a_{1i+1} & \dots & a_{1n} \\
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\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
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a_{ji} & \dots & a_{ji-1} & 1 & a_{ji+1} & \dots & a_{jn} \\
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0 & \dots & 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\
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||||
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
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a_{n1} & \dots & a_{ni-1} & 0 & a_{ni+1} & \dots & a_{nn}
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\end{vmatrix}
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@ -752,7 +752,8 @@ da obige Matrix aus $M_{ij}$ durch Spaltenadditionen hervorgeht.
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\[\begin{aligned}
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b_{ij} & = \sum_{k=1}^n a_{ik} A_{jk} \\
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||||
& = \sum_{k=1}^n a_{ik} \det(a_{\_1}, \dots, \underbrace{e_j}_{k}, \dots, a_{\_n}) \\
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||||
& = \sum_{k=1}^n a_{ik}
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||||
& = \sum_{k=1}^n a_{ik} \cdot
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\det \left(
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\bordermatrix{
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& & & k & & \\
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& a_{11} & \dots & a_{1k} & \dots & a_{1n} \\
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@ -760,9 +761,10 @@ da obige Matrix aus $M_{ij}$ durch Spaltenadditionen hervorgeht.
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j & 0 & \dots & 1 & \dots & 0 \\
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& \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
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& a_{n1} & \dots & a_{nk} & \dots & a_{nn} \\
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} \\
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} \right) \\
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||||
& = \det\left(\bordermatrix{ & \\
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& a_{1\_} \\ & \vdots \\ j \to & a_{i\_} \\ & \vdots \\ & a_{n\_}}\right) \\
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& a_{1\_} \\
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||||
& \vdots \\ j \to & a_{i\_} \\ & \vdots \\ & a_{n\_}}\right) \\
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& = \begin{cases}0& i\neq j \\ \det(A) & i=j\end{cases}
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\end{aligned}\]
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\end{proof}
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@ -776,7 +778,7 @@ da obige Matrix aus $M_{ij}$ durch Spaltenadditionen hervorgeht.
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\end{folgerung}
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\begin{proof}
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\[\begin{aligned}
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& A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}(A_{ji}) \\
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||||
& A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}(\adj(A)) \\
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||||
& \implies \det(A)x_i=\sum_{j=1}^n A_{ji}b_j
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||||
& = \sum_{j=1}^n b_j \det(a_{\_1}, \dots, \underbrace{e_j}_{i}, \dots, a_{\_n}) \\
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&
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@ -808,7 +810,7 @@ da obige Matrix aus $M_{ij}$ durch Spaltenadditionen hervorgeht.
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Wende elementare Zeilenumformungen der ersten $p$ Zeilen an, sodass $P$ obere Dreiecksform hat
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(mit $s$ Zeilenvertauschungen) und elementare Zeilenumformungen der letzten $n-p$ Zeilen sodass
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$Q$ obere Dreiecksform hat (mit $t$ Zeilenvertauschungen).
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Bezeichne das Ergebnis mit $A'= \begin{pmatrix} P' & D \\ 0 & Q' \end{pmatrix}$, wobei $P', Q'$ obere
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Bezeichne das Ergebnis mit $A'= \begin{pmatrix} P' & D' \\ 0 & Q' \end{pmatrix}$, wobei $P', Q'$ obere
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Dreiecksform haben.\\
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Es folgt, dass $A', P', Q'$ obere Dreiecksform hat. Da die Determinante oberer Dreiecksmatrizen
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das Produkt der Diagonalelemente ist, gilt $\det(A')=\det(P')\det(Q')$.\\
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@ -1099,9 +1101,8 @@ $\le\genfrac{}{}{0pt}{0}{\dim(V)}{n}$, da
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\end{proof}
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\begin{lemma}
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||||
Sei $\alpha \in \homkv, \dim(V)=n \text{ oder } A \in \K^{\nxn}$ mit $n$ verschiedenen Eigenvektoren.
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||||
Dann ist $\alpha/A$ diagonalisierbar.
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||||
Sei $\alpha \in \homkv, \dim(V)=n \text{ oder } A \in \K^{\nxn}$ mit $n$ Eigenvektoren zu verschiedenen
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Eigenwerten. Dann ist $\alpha/A$ diagonalisierbar.
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||||
\end{lemma}
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\begin{proof}
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Wegen Lemma \ref{theo:2.2.10} gibt es Basis von Eigenvektoren.
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@ -1110,7 +1111,7 @@ $\le\genfrac{}{}{0pt}{0}{\dim(V)}{n}$, da
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\begin{defin}
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Sei $\spec(A) = \{\lambda_1, \dots, \lambda_r \}$ und
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$(\lambda_1 - \lambda)^{k_1} \cdots (\lambda_r - \lambda)^{k_r} p \in\K[X]$ mit $p$
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$\chi_A(\lambda)=(\lambda_1 - \lambda)^{k_1} \cdots (\lambda_r - \lambda)^{k_r} \cdot p \in\K[X]$ mit $p$
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nicht durch Linearfaktoren teilbar (also keine Nullstellen in $\K$).\\
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||||
$k_i$ heißt \underline{algebraische Vielfachheit} des Eigenwerts $\lambda_i$.
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Wir schreiben $k_i = m_a(\lambda_i)$.\\
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@ -1120,7 +1121,7 @@ $\le\genfrac{}{}{0pt}{0}{\dim(V)}{n}$, da
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\subsubsection{Beispiel}
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\begin{itemize}
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\item $\chi_A(\lambda) = \lambda^4 - 2 \lambda^3 + 2 \lambda^2 - 2\lambda + 1 \in \R[\lambda]$\\
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||||
\item $\chi_A(\lambda) = \lambda^4 - 2 \lambda^3 + 2 \lambda^2 - 2\lambda + 1 \in \R[X]$\\
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||||
$\implies \chi_A(\lambda) = (1 - \lambda)^2 \underbrace{(1 + \lambda^2)}_{p(\lambda)}$ \\
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||||
$\implies m_a(1) = 2$
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||||
\item Für $\K=\C$ zerfällt jedes Polynom in Linearfaktoren, also ist $p$ immer konstant.
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@ -1154,16 +1155,16 @@ $\le\genfrac{}{}{0pt}{0}{\dim(V)}{n}$, da
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& & \mu - \lambda
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||||
\end{smallmatrix} & A \\
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\hline \\
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||||
0 & B
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||||
\end{array}} \underbrace{=}_
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||||
0 & C
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||||
\end{array}} & & \underbrace{=}_
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||||
{\text{Satz \ref{theo:1.4.10}}} \det
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||||
\begin{pmatrix}
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||||
\mu - \lambda & & 0 \\
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||||
& \ddots & \\
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||||
0 & & \mu - \lambda
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||||
\end{pmatrix} \cdot \det(B) \\
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||||
& = (\mu - \lambda)^r \det(B) \\
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||||
& \implies r \le m_a(\mu)
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||||
\end{pmatrix} \cdot \det(C) \\
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||||
& & & = (\mu - \lambda)^r \det(C) \\
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||||
& & & \implies r \le m_a(\mu)
|
||||
\end{align*}
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||||
\end{proof}
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@ -1190,7 +1191,7 @@ $\le\genfrac{}{}{0pt}{0}{\dim(V)}{n}$, da
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|||
\item $\chi_{A/\alpha}$ zerfällt in Linearfaktoren, das heißt
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\[
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||||
\chi_{A/\alpha}(\lambda)= (\lambda_1 - \lambda)^{k_1} \cdots (\lambda_r - \lambda)^{k_r},
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||||
\sum k_i = n
|
||||
\sum_{i=1}^n k_i = n
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||||
\]
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||||
\item algebraische und geometrische Vielfachheiten stimmen überein, das \\
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||||
heißt $m_a(\lambda_i) = m_g(\lambda_i), i=1, \dots, r$
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@ -1200,14 +1201,14 @@ $\le\genfrac{}{}{0pt}{0}{\dim(V)}{n}$, da
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|||
\begin{itemize}
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||||
\item[$\impliedby$:] Aus i), ii) folgt, dass \begin{equation}\label{eq:2.2.15.1}
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||||
\sum_{i=1}^r \underbrace{\dim(\eig_\alpha(\lambda_i))}_{=m_g(\lambda_i)=:d_i} = n \end{equation}
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||||
Sei $b_i^1, \dots, b_i^{d_i}$ Basis von $\eig_\alpha(\lambda_i)$.
|
||||
Sei $(b_i^1, \dots, b_i^{d_i})$ Basis von $\eig_\alpha(\lambda_i)$.
|
||||
Wir zeigen, dass $B=\{b_i^1, \dots, b_i^{d_i}: i=1, \dots, r\}$ Basis ist.
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||||
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
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||||
\item $\abs{ B } = n$ folgt aus \ref{eq:2.2.15.1}
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||||
\item Ang. $\sum\limits_{i=1}^r
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||||
(\underbrace{\mu_i^1 b_i^1 + \cdots + \mu_i^{d_i} b_i^{d_i}}_{v_i}) = 0$ \\
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||||
$\underbrace{\implies}_
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||||
{\mathclap{\substack{v_i \text{Eigenwerte zu} \\ \text{verschiedenen Eigenvektoren} \\
|
||||
{\mathclap{\substack{v_i \text{Eigenvektoren zu} \\ \text{verschiedenen Eigenwerten} \\
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||||
+ \text{Lemma \ref{theo:2.2.10}}}}}
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||||
v_i = 0 \forall i=1, \dots, r \underbrace{\implies}_
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||||
{\mathclap{\substack{b_i^1, \dots, b_i^{d_i} \\ \text{Basis von }
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||||
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@ -1218,7 +1219,7 @@ $\le\genfrac{}{}{0pt}{0}{\dim(V)}{n}$, da
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|||
\end{enumerate}
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||||
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||||
\item[$\implies$:] Sei $\alpha$ diagonalisierbar. \[\begin{aligned}
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||||
& \implies \exists \text{ Basis } \{b_1, \dots, b_n\} \text{ aus Eigenvektoren} \\
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||||
& \implies \exists \text{ Basis } B=(b_1, \dots, b_n) \text{ aus Eigenvektoren} \\
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||||
& \implies {}_B M(\alpha)_B = \diag(\lambda_1, \dots, \lambda_n) \\
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||||
& \implies \chi_B(\lambda) = (\lambda_1 - \lambda) \cdots (\lambda_n - \lambda)
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||||
\end{aligned}\]
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||||
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@ -2089,7 +2090,7 @@ Nun sei $\K = \C$
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|||
\begin{enumerate}[label=\roman*)]
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||||
\item $\beta(u + v, w) = \beta(u, w) + \beta(v, w)$
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||||
\item $\beta(\lambda u, v) = \lambda \beta(u, v)$
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||||
\item $\beta(u, v) = \overline{\beta(u, v)}$
|
||||
\item $\beta(u, v) = \overline{\beta(v, u)}$
|
||||
\end{enumerate}
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||||
\end{defin}
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@ -2120,7 +2121,7 @@ Nun sei $\K = \C$
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\item $\beta$ heißt \underline{positiv definit} wenn $\forall v \in V\setminus\{0\}:
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||||
\underbrace{\beta(v, v)}_{\in\R} > 0$
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||||
\item Eine positiv definite hermitesche Form heißt \underline{skalares Produkt}
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||||
\item Ein komplexer Vektorraum mit einem skalaren Produkt heißt \underline{unitärer} \underline{Raum}.
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||||
\item Ein komplexer Vektorraum mit einem skalaren Produkt heißt \underline{unitärer Raum}.
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||||
\end{itemize}
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||||
\end{defin}
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@ -2202,7 +2203,7 @@ Auch skalare Produkte können eindeutig fortgesetzt werden.
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\label{theo:3.1.10}
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Für $u, v$ in einem euklidischen/unitären Vektorraum $V$ gilt
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\[
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||||
\abs{ \inner uv } ^2 \le \inner uu \inner vv
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||||
\abs{ \inner uv } ^2 \le \inner uu \cdot \inner vv
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||||
\]
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||||
Gleichheit gilt genau wenn $u, v$ linear abhängig sind.
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||||
\end{satz}
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@ -2430,8 +2431,8 @@ $V = \R^4, a_1 = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix},
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Dann kann jedes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis von $V$ ergänzt werden.
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||||
\end{satz}
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||||
\begin{proof}
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Sei $(b_1, \dots, b_k)$ ein Orthonormalsystem, $(b_1, \dots, b_k, a_{k+1}, \dots)$ eine Basis.
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||||
Satz \ref{theo:3.1.16} $\implies \exists b_{k+1}, b_{k+2}, \dots$ mit $(b_1, \dots, b_k, b_{k+1}, \dots)$
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||||
Sei $(b_1, \dots, b_k)$ ein Orthonormalsystem, $(b_1, \dots, b_k, a_{k+1}, \dots)$ eine Basis. \\
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||||
Satz~\ref{theo:3.1.16} $\implies \exists b_{k+1}, b_{k+2}, \dots$ mit $(b_1, \dots, b_k, b_{k+1}, \dots)$
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||||
Orthonormalbasis.
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
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@ -2450,10 +2451,9 @@ $V = \R^4, a_1 = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix},
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\end{defin}
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\subsubsection{Bemerkung}
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||||
$M^\bot$ ist immer Unterraum von $V$, selbst wenn $M$ kein Unterraum ist.
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||||
$M^\bot$ ist immer Unterraum von $V$. Selbst, wenn $M$ kein Unterraum ist.
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||||
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||||
\begin{satz}
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||||
Sei $U$ $r$-dimensionaler Unterraum von $n$-dimensionalem euklidischen/\\ unitären Vektorraum $V$. Dann gilt:
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||||
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
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\item $\dim(U^\bot) = n - r$
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@ -2476,16 +2476,20 @@ $M^\bot$ ist immer Unterraum von $V$, selbst wenn $M$ kein Unterraum ist.
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|||
$\implies \sum_{j=r+1}^n \lambda_j b_j, u = \sum_{i=1}^r \mu_i b_i \in U$ \\
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||||
$\implies \inner vu = \sum_{j=r+1}^n \lambda_j \sum_{i=1}^r \underbrace{\inner{b_j}{b_i}}_{=0}=0$ \\
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||||
$\implies$ a)
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||||
\item $U \subseteq (U^\bot)^{{}^\bot}$ \\
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||||
Sei $v \in U \implies \forall w \in U^\bot: \inner wv = 0 \implies v \in (U^\bot)^{{}^\bot}$ \\
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||||
$(U^\bot)^{{}^\bot} \subseteq U: \dim((U^\bot)^{{}^\bot}) \overset{\text{a)}}{=} n - \dim(U^\bot)
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||||
\overset{\text{a)}}{=} n - (n-r) = r = \dim(U)$
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||||
\item \leavevmode
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\begin{itemize}
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||||
\item[$U \subseteq (U^\bot)^{{}^\bot}$:]
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||||
Sei $v \in U \implies \forall w \in U^\bot: \inner wv = 0 \implies v \in (U^\bot)^{{}^\bot}$
|
||||
\item[$(U^\bot)^{{}^\bot} \subseteq U$:]
|
||||
$\dim((U^\bot)^{{}^\bot}) \overset{\text{a)}}{=} n - \dim(U^\bot)
|
||||
\overset{\text{a)}}{=} n - (n-r) = r = \dim(U)$
|
||||
\end{itemize}
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||||
\item $U\oplus U^\bot$: Sei $w\in U \cap U^\bot \implies \inner ww = 0 \implies w = 0$
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
\subsubsection{Bemerkung}
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||||
$(U^\bot)^{{}^\bot}$ gilt im Allgemeinen nicht, wenn $\dim(V) = \infty$.
|
||||
$U = (U^\bot)^{{}^\bot}$ gilt im Allgemeinen nicht, wenn $\dim(V) = \infty$.
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||||
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||||
\subsubsection{Beispiel}
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||||
$V = \{ f: [0, 1] \to \R, \text{ stetig} \}, \inner fg = \int_0^1 f(t) g(t) dt$\\
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||||
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