Flugschwein/LinAlg2
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215
LinAlg2.tex
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@ -31,7 +31,9 @@
\newcounter{textbox}
\def\tl{\stepcounter{textbox}\tikzmarknode{a\thetextbox}{\strut}}
\def\br{\tikzmarknode{b\thetextbox}{\strut}\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]\draw ($(a\thetextbox.north west)+(-0.4\arraycolsep,0ex)$) rectangle ($(b\thetextbox.south east)+(0.2\arraycolsep,0ex)$);\end{tikzpicture}}
\def\br{\tikzmarknode{b\thetextbox}{\strut}\begin{tikzpicture}[overlay, remember picture]
\draw ($(a\thetextbox.north west)+(-0.4\arraycolsep,0ex)$) rectangle
($(b\thetextbox.south east)+(0.2\arraycolsep,0ex)$);\end{tikzpicture}}
% https://tex.stackexchange.com/questions/481978/how-to-write-the-block-matrix-in-latex
\newcommand*{\vect}[1]{\overrightharp{\ensuremath{#1}}}
@ -99,7 +101,9 @@
Vollständige Induktion
\begin{itemize}
\item $n=1: S_1 = \{\id\}\implies\lvert S_1\rvert = 1 = 1!$
\item $n-1\to n:$\\ Angenommen $\lvert S_{n-1} \rvert = (n-1)!$. Dann gilt $\lvert\{\pi \in S_n: \pi(n) = n\}\rvert = (n-1)!$. Sei allgemein $i\in[n]$. Dann gilt $\pi(n)=i \iff (in)\circ\pi(n)=n$. Also gilt
\item $n-1\to n:$\\ Angenommen $\lvert S_{n-1} \rvert = (n-1)!$.
Dann gilt $\lvert\{\pi \in S_n: \pi(n) = n \}\rvert = (n-1)!$. Sei allgemein $i \in [n]$.
Dann gilt $\pi(n)=i \iff (in)\circ\pi(n)=n$. Also gilt
\begin{align*}
& \lvert\{\pi\in S_n: \pi(n)=i\}\rvert = \lvert\{(in)\circ\pi: \pi(n)=n\}\rvert \\
& = \lvert\{\pi: \pi(n)=n\}\rvert = (n-1)!
@ -122,7 +126,8 @@
\item $n-1\to n$\\
Sei $\pi \in S_n$. Dann gilt (siehe Beweis von Satz \ref{theo:1.1.3}) mit $i=\pi(n)$, dass
\[\underbrace{(i n)\pi}_{\pi_i}(n) = n\]
Sei $\pi_i = (\underbrace{\pi_i(1) \dots \pi_i(n-1)}_{\in S_{n-1}} n) \underset{\text{Induktions VS}}{\implies} \pi_i = (i_1 j_1) \dots (i_k j_k)$.\\
Sei $\pi_i = (\underbrace{\pi_i(1) \dots \pi_i(n-1)}_{\in S_{n-1}} n)
\underset{\text{Induktions VS}}{\implies} \pi_i = (i_1 j_1) \dots (i_k j_k)$.\\
Außerdem gilt $\pi = (i n)\pi_i$, also $\pi = (i n)(i_1 j_1) \dots (i_k j_k)$
\end{itemize}
\end{proof}
@ -130,26 +135,35 @@
\subsubsection{Bemerkung}
\begin{itemize}
\item Produktdarstellung ist nicht eindeutig, zum Beispiel:\\ $(3 1 2) = (2 1)(3 1) = (3 1)(3 2)$
\item $f\in \mathbb{Z}[X_1, \dots, X_n], \pi \in S_n$\\$\pi f(X_1, \dots, X_n) := f(X_{\pi(1)}, \dots, X_{\pi(n)})$
\item $f\in \mathbb{Z}[X_1, \dots, X_n], \pi \in S_n$ \\
$\pi f(X_1, \dots, X_n) := f(X_{\pi(1)}, \dots, X_{\pi(n)})$
\end{itemize}
\subsubsection{Beispiel}
$\pi = (2 3 1), f(X_1, X_2, X_3) = X_1-X_2+X_1X_3 \implies \pi f(X_1, X_2, X_3) = X_2 - X_3 + X_2X_1$
\begin{lemma} \label{theo:1.1.5}
Sei $f(X_1, \dots, X_n) = \prod\limits_{\substack{i, j\in[n]\\ i < j}} (X_j-X_i)\in \mathbb{Z}[X_1, \dots, X_n]$.\\
Sei
\[
f(X_1, \dots, X_n) = \prod_{\substack{i, j\in[n]\\ i < j}} (X_j-X_i)\in \mathbb{Z}[X_1, \dots, X_n]
\]
Dann gilt \begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Zu jedem $\pi \in S_n$ existiert eine eindeutig Zahl $s(\pi) \in \{-1, 1\}$ mit $\pi f = s(\pi)f$.
\item Für $\pi$ eine Transposition gilt $s(\pi) = -1$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item \begin{equation*}\begin{aligned}
\pi f(X_1, \dots, X_n) & = \prod_{i<j}(X_{\pi(j)}-X_{\pi(i)}) \\
& =\Bigg(\prod_{\substack{i<j \\\pi(i)<\pi(j)}}(X_{\pi(j)}-X_{\pi(i)})\Bigg)\Bigg(\prod_{\substack{i<j\\\pi(j)<\pi(i)}}(X_{\pi(i)}-X_{\pi(j)})\Bigg) \\
& = (-1)^{\lvert\{(i, j)\in[n]\times[n]:i<j\land\pi(i)>\pi(j)\}\rvert}\prod_{i<j}(X_j-X_i) \\
& = s(\pi)f(X_1, \dots, X_n) \text{ mit } \\
s(\pi) & = (-1)^{\lvert\{(i, j)\in[n]\times[n]:i<j\and\pi(i)>\pi(j)\}\rvert}
\end{aligned}\end{equation*}
\item \begin{align*}
\pi f(X_1, \dots, X_n) & = \prod_{i<j}(X_{\pi(j)}-X_{\pi(i)}) \\
& =\Bigl(\prod_{\substack{i<j \\
\pi(i)<\pi(j)}}
(X_{\pi(j)}-X_{\pi(i)})\Bigr)
\Bigl(\prod_{\substack{i<j \\
\pi(j)<\pi(i)}}(X_{\pi(i)}-X_{\pi(j)})\Bigr) \\
& = (-1)^{\lvert\{(i, j)\in[n]\times[n]:i<j\land\pi(i)>\pi(j)\}\rvert}
\prod_{i<j}(X_j-X_i) \\
& = s(\pi)f(X_1, \dots, X_n) \text{ mit } \\
s(\pi) & = (-1)^{\lvert\{(i, j)\in[n]\times[n]:i<j\and\pi(i)>\pi(j)\}\rvert}
\end{align*}
\item $\pi = (i j), i<j, k\in\{i+1, \dots, j-1\}$:
$\pi(i, j) = (j, i), \pi(i, k) = (j, k), \pi(k, j) = (k, i)$\\
Für diese Paare gilt $x<y \land \pi(x) > \pi(y)$\\
@ -162,7 +176,8 @@ $\pi = (2 3 1), f(X_1, X_2, X_3) = X_1-X_2+X_1X_3 \implies \pi f(X_1, X_2, X_3)
\begin{defin}
\leavevmode
\begin{itemize}
\item Die durch Lemma \ref{theo:1.1.5} bestimmte Größe $s(\pi)$ heißt \underline{Signum} von $\pi \in S_n$. Wir schreiben $\sgn(\pi)$.
\item Die durch Lemma \ref{theo:1.1.5} bestimmte Größe $s(\pi)$ heißt \underline{Signum} von $\pi \in S_n$.
Wir schreiben $\sgn(\pi)$.
\item $\pi$ heißt \underline{gerade} falls $\sgn(\pi)=1$ und \underline{ungerade} falls $\sgn(\pi)=-1$.
\end{itemize}
\end{defin}
@ -175,12 +190,13 @@ $\pi = (2 3 1), f(X_1, X_2, X_3) = X_1-X_2+X_1X_3 \implies \pi f(X_1, X_2, X_3)
& f(X_1, \dots, X_n) = \prod\limits_{i<j}(X_j-X_i) \implies \\
& \sigma\pi f(X_1, \dots, X_n) = \sgn(\sigma\pi)f(X_1, \dots, X_n)
\end{align*}
Andererseits gilt: \begin{equation*}\begin{split}\sigma\pi f(X_1, \dots, X_n) &= \sigma[\pi f(X_1, \dots, X_n)]\\
&= \sigma[\sgn(\pi)f(X_1, \dots, X_n)] \\
&= \sgn(\pi) \sigma f(X_1, \dots, X_n) \\
&= \sgn(\pi)\sgn(\sigma)f(X_1, \dots, X_n)
\end{split}
\end{equation*}
Andererseits gilt:
\begin{align*}
\sigma\pi f(X_1, \dots, X_n) & = \sigma[\pi f(X_1, \dots, X_n)] \\
& = \sigma[\sgn(\pi)f(X_1, \dots, X_n)] \\
& = \sgn(\pi) \sigma f(X_1, \dots, X_n) \\
& = \sgn(\pi)\sgn(\sigma)f(X_1, \dots, X_n)
\end{align*}
\end{proof}
\end{satz}
@ -203,17 +219,22 @@ $\pi = (2 3 1), f(X_1, X_2, X_3) = X_1-X_2+X_1X_3 \implies \pi f(X_1, X_2, X_3)
\end{folgerung}
\begin{defin}
Die geraden Permutationen bilden eine Untergruppe $A_n$ von $S_n$, die man \underline{alternierende Gruppe} nennt.
Die geraden Permutationen bilden eine Untergruppe $A_n$ von $S_n$, die man
\underline{alternierende Gruppe} nennt.
\end{defin}
\section{Multilinearformen}
\begin{defin}
Seien $V_1, \dots, V_n, W$ \K-Vektorräume. Eine Abbildung $\varphi: V_1 \times \dots \times V_n \to W$ heißt \underline{n-linear}, wenn für alle $v_1, v'_1 \in V_1, \dots, v_n, v'_n\in V_n, i \in [n], \lambda\in\K$ gilt, dass
Seien $V_1, \dots, V_n, W$ \K-Vektorräume. Eine Abbildung $\varphi: V_1 \times \dots \times V_n \to W$
heißt \underline{n-linear}, wenn für alle
$v_1, v'_1 \in V_1, \dots, v_n, v'_n\in V_n, i \in [n], \lambda\in\K$ gilt, dass
\begin{itemize}
\item $\varphi(v_1, \dots, v_i+v'_i, \dots, v_n)=\varphi(v_1, \dots, v_i, \dots, v_n)+\varphi(v_1, \dots, v'_i, \dots, v_n)$
\item $\varphi(v_1, \dots, v_i+v'_i, \dots, v_n)=
\varphi(v_1, \dots, v_i, \dots, v_n)+\varphi(v_1, \dots, v'_i, \dots, v_n)$
\item $\varphi(v_1, \dots, \lambda v_i, \dots, v_n)= \lambda\varphi(v_1, \dots, v_i, \dots, v_n)$.
\end{itemize}
Ist $W=\K$ und $V_1, \dots, V_n=V$, so heißt $\varphi$ \underline{n-Linearform}. ($n=2 \to$ \underline{Bilinearform})
Ist $W=\K$ und $V_1, \dots, V_n=V$, so heißt $\varphi$ \underline{n-Linearform}. \\
($n=2 \to$ \underline{Bilinearform})
\end{defin}
\subsubsection{Beispiel}
@ -227,7 +248,7 @@ $\pi = (2 3 1), f(X_1, X_2, X_3) = X_1-X_2+X_1X_3 \implies \pi f(X_1, X_2, X_3)
\]
\begin{defin} \label{theo:1.2.2}
Eine n-Linearform von V heißt
Eine n-Linearform von $V$ heißt
\begin{itemize}
\item \underline{nicht ausgeartet}, falls
$(a_1, \dots, a_n)\in V\times\dots\times V$ existiert mit \\
@ -244,37 +265,46 @@ $\varphi$ alternierend und $a_i = a_j$ für $i\neq j \implies \varphi(a_1, \dots
$a_1, \dots, a_n\in V$:
\[\varphi(a_{\pi(1)}, \dots, a_{\pi(n)})=\sgn(\pi)\varphi(a_1, \dots, a_n)\]
\begin{proof}
Wegen Satz \ref{theo:1.1.4} und Satz \ref{theo:1.1.7} genügt es anzunehmen, dass $\pi$ Transposition ist. Sei also $\pi=(ij)$. Es gilt
\begin{equation*}
\begin{aligned}
0 & =\varphi(a_1, \dots, \underbrace{a_i+a_j}_{i}, \dots, \underbrace{a_i+a_j}_{j}, \dots, a_n) \\
& =\underbrace{\varphi(a_1, \dots, a_i, \dots, a_i, \dots, a_n)}_{0} + \underbrace{\varphi(a_1, \dots, a_j, \dots, a_j, \dots, a_n)}_{0} \\ &+ \varphi(a_1, \dots, a_i, \dots, a_j, \dots, a_n) + \varphi(a_1, \dots, a_j, \dots, a_i, \dots, a_n) \\
& \implies \varphi(a_1, \dots, a_j, \dots, a_i, \dots, a_n)=\underbrace{(-1)}_{=\sgn{\pi}}\varphi(a_1, \dots, a_i, \dots, a_j, \dots, a_n)
\end{aligned}
\end{equation*}
Wegen Satz \ref{theo:1.1.4} und Satz \ref{theo:1.1.7} genügt es anzunehmen, dass $\pi$ Transposition ist.
Sei also $\pi=(ij)$. Es gilt
\begin{align*}
0 & =\varphi(a_1, \dots, \underbrace{a_i+a_j}_{i}, \dots, \underbrace{a_i+a_j}_{j}, \dots, a_n) \\
& =\underbrace{\varphi(a_1, \dots, a_i, \dots, a_i, \dots, a_n)}_{0} +
\underbrace{\varphi(a_1, \dots, a_j, \dots, a_j, \dots, a_n)}_{0} \\
& \;\; + \varphi(a_1, \dots, a_i, \dots, a_j, \dots, a_n) +
\varphi(a_1, \dots, a_j, \dots, a_i, \dots, a_n) \\
& \implies \varphi(a_1, \dots, a_j, \dots, a_i, \dots, a_n)=
\underbrace{(-1)}_{=\sgn{\pi}}\varphi(a_1, \dots, a_i, \dots, a_j, \dots, a_n)
\end{align*}
\end{proof}
\end{lemma}
\begin{lemma} \label{theo:1.2.4}
Sei $V$ $\K$-VR mit $\dim(V)=n$ und $\varphi$ nicht ausgeartete und alternierende n-Linearform von V. Dann gilt
\[a_1, \dots, a_n \text{ linear abhängig} \iff \varphi(a_1, \dots, a_n) = 0\]
Sei $V$ $\K$-VR mit $\dim(V)=n$ und $\varphi$ nicht ausgeartete und alternierende n-Linearform von V.
Dann gilt
\[
a_1, \dots, a_n \text{ linear abhängig} \iff \varphi(a_1, \dots, a_n) = 0
\]
\begin{proof}
\begin{itemize}
\item[$\implies$]: folgt aus Definition \ref{theo:1.2.2}
\item[$\impliedby$]: z.Z.: $\varphi(b_1, \dots, b_n)\neq0\impliedby b_1, \dots, b_n \text{ Basis von } V$. Da $\varphi$ nicht ausgeartet ist, gibt es $a_1, \dots, a_n\in V$ mit $\varphi(a_1, \dots, a_n)\neq0$.\\
\item[$\impliedby$]: z.Z.: $\varphi(b_1, \dots, b_n)\neq0\impliedby b_1, \dots, b_n \text{ Basis von } V$.
Da $\varphi$ nicht ausgeartet ist, gibt es $a_1, \dots, a_n\in V$ mit $\varphi(a_1, \dots, a_n)\neq0$.\\
Da $b_1, \dots, b_n$ Basis gibt es $\lambda_{ij}\in\K$ mit $a_i=\sum\limits_{j=1}^n{\lambda_{ij}b_j}$\\
Wegen n-Linearität gilt
\[
\begin{aligned}
0\neq\varphi(a_1, \dots, a_n) & =\sum_{j_1=1}^n{\dots}\sum_{j_n=1}^n{\varphi(b_{j_1}, \dots, b_{j_n})\lambda_{1j_1}\cdots\lambda_{nj_n}} \\
& \underbrace{=}_{\varphi\text{ alternierend}}
\sum_{\substack{j_1, \dots, j_n \\\text{paarweise verschieden}}}
{\varphi(b_{j_1}, \dots, v_{j_n})\lambda_{1j_1} \cdots \lambda_{nj_n}} \\
& = \sum_{\pi\in S_n} \varphi(b_{\pi(1)}, \dots, b_{\pi(n)})\lambda_{1\pi(1)} \cdots \lambda_{n\pi(n)} \\
& \underbrace{=}_{\text{Lemma \ref{theo:1.2.3}}}\varphi(b_1, \dots, b_n)\Big(\sum_{\pi\in S_n}\sgn(\pi)\lambda_{1\pi(1)}\cdots\lambda_{n\pi(n)}\Big) \\
& \implies\varphi(b_1, \dots, b_n)\neq0
\end{aligned}
\]
\begin{align*}
0\neq\varphi(a_1, \dots, a_n) & =\sum_{j_1=1}^n{\dots}\sum_{j_n=1}^n{\varphi(b_{j_1}, \dots, b_{j_n})
\lambda_{1j_1}\cdots\lambda_{nj_n}} \\
& \underbrace{=}_{\mathclap{\varphi\text{ alternierend}}}
\sum_{\substack{j_1, \dots, j_n \\\text{paarweise verschieden}}}
{\varphi(b_{j_1}, \dots, v_{j_n})\lambda_{1j_1} \cdots \lambda_{nj_n}} \\
& = \sum_{\pi\in S_n} \varphi(b_{\pi(1)}, \dots, b_{\pi(n)})
\lambda_{1\pi(1)} \cdots \lambda_{n\pi(n)} \\
& \underbrace{=}_{\mathclap{\text{Lemma \ref{theo:1.2.3}}}}
\varphi(b_1, \dots, b_n)\left(\sum_{\pi\in S_n}
\sgn(\pi)\lambda_{1\pi(1)}\cdots\lambda_{n\pi(n)}\right) \\
& \implies\varphi(b_1, \dots, b_n)\neq 0
\end{align*}
\end{itemize}
\end{proof}
\end{lemma}
@ -284,7 +314,9 @@ $\varphi$ alternierend und $a_i = a_j$ für $i\neq j \implies \varphi(a_1, \dots
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Für $\varphi$ alternierende nicht ausgeartete n-Linearform gilt für\\
$b_i = \sum\lambda_{ij}a_j$, dass
\[\varphi(b_1, \dots, b_n) = \varphi(a_1, \dots, a_n)(\sum_{\pi \in S_n}\sgn(\pi)\lambda_{1\pi(1)}\cdots\lambda_{n\pi(n)})
\[
\varphi(b_1, \dots, b_n) =
\varphi(a_1, \dots, a_n)(\sum_{\pi \in S_n}\sgn(\pi)\lambda_{1\pi(1)}\cdots\lambda_{n\pi(n)})
\]
\item Sei $c\in\K\setminus\{0\}$. Dann ist die Abbildung
\[
@ -297,22 +329,22 @@ $\varphi$ alternierend und $a_i = a_j$ für $i\neq j \implies \varphi(a_1, \dots
\item folgt aus dem Beweis von Lemma \ref{theo:1.2.4}.
\item Man verifiziert leicht, dass $\varphi$ n-linear ist. Weiters ist $\varphi$ nicht ausgeartet, da
\[
\varphi(a_1, \ldots, a_n) = c(\sum_{\pi\in S_n}\sgn(\pi)\delta_{1\pi(1)}, \cdots, \delta_{n\pi(n)})=c\cdot1\neq0
\varphi(a_1, \ldots, a_n) =
c(\sum_{\pi\in S_n}\sgn(\pi)\delta_{1\pi(1)}, \cdots, \delta_{n\pi(n)}) = c \cdot 1 \neq 0
\]
z.Z.: $\varphi$ alternierend. Seien $b_1, \dots, b_n$ linear abhängig.\\
O.B.d.A. $b_1=\mu_2b_2+\cdots+\mu_nb_n$. Dann gilt
\[\varphi(b_1, \dots, b_n) = \sum_{j=2}^{n}\mu j \varphi(b_j, b_2, \dots, b_n)\]
Es genügt also zu zeigen, dass $\varphi(b_1, \dots, b_n) = 0$ falls $b_1 = b_i, i\in\{2, \dots, n\}$.
Es genügt also zu zeigen, dass
$\varphi(b_1, \dots, b_n) = 0$ falls $b_1 = b_i, i\in\{2, \dots, n\}$.
Dann gilt aber $\lambda_{1j}=\lambda_{ij} \forall j$.
\[
\begin{aligned}
\varphi(b_i, \dots, b_i, \dots, b_n) & = c\cdot\sum_{\pi\in S_n} \sgn(\pi) \lambda_{i\pi(1)}\cdots\lambda_{i\pi(i)}\cdots\lambda_{n\pi(n)} \\
& =c\cdot \Bigg(\sum_{\pi\in A_n}\sgn(\pi)\lambda_{i\pi(i)}\cdots\lambda_{i\pi(i)}\cdots\lambda_{n\pi(n)} \\
& +\sum_{\pi\in A_n}\underbrace{\sgn(\pi\circ(1i))}_{=-\sgn(\pi)}\lambda_{i\pi(i)}\cdots\lambda_{i\pi(i)}\cdots\lambda_{n\pi(n)}\Bigg) \\
& =c\cdot\sum_{\pi\in A_n}(\sgn(\pi)-\sgn(\pi)) \cdot \cdots \\
& \cdot \cdots \lambda_{i\pi(i)}\cdots\lambda_{i\pi(i)}\cdots\lambda_{n\pi(n)}=0
\end{aligned}
\]
\begin{align*}
\varphi(b_i, \dots, b_i, \dots, b_n) & = c\cdot\sum_{\pi\in S_n} \sgn(\pi) \lambda_{i\pi(1)}\cdots\lambda_{i\pi(i)}\cdots\lambda_{n\pi(n)} \\
& =c\cdot \Bigg(\sum_{\pi\in A_n}\sgn(\pi)\lambda_{i\pi(i)}\cdots\lambda_{i\pi(i)}\cdots\lambda_{n\pi(n)} \\
& +\sum_{\pi\in A_n}\underbrace{\sgn(\pi\circ(1i))}_{=-\sgn(\pi)}\lambda_{i\pi(i)}\cdots\lambda_{i\pi(i)}\cdots\lambda_{n\pi(n)}\Bigg) \\
& =c\cdot\sum_{\pi\in A_n}(\sgn(\pi)-\sgn(\pi)) \cdot \cdots \\
& \cdot \cdots \lambda_{i\pi(i)}\cdots\lambda_{i\pi(i)}\cdots\lambda_{n\pi(n)}=0
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{satz}
@ -321,18 +353,21 @@ $\varphi$ alternierend und $a_i = a_j$ für $i\neq j \implies \varphi(a_1, \dots
Es gibt also zu jedem $\K$-VR V mit $\dim(V)=n$ eine nicht ausgeartete alternierende n-Linearform.
\begin{satz} \label{theo:1.2.6}
Sei V $\K$-VR mit $\dim(V)=n$ und $\varphi_1, \varphi_2$ nicht ausgeartete alternierende n-Linearformen. Dann existiert $c\in\K\setminus\{0\}$ mit $\varphi_2=c\cdot\varphi_1$.
Sei V $\K$-VR mit $\dim(V)=n$ und $\varphi_1, \varphi_2$ nicht ausgeartete alternierende n-Linearformen.
Dann existiert $c\in\K\setminus\{0\}$ mit $\varphi_2=c\cdot\varphi_1$.
\begin{proof}
Sei $a_1, \dots, a_n$ Basis von V. Nach Lemma \ref{theo:1.2.4} ist
$\varphi_i(a_1, \dots, a_n)\neq0, i=1, 2$.\\
Sei $c:=\dfrac{\varphi_1(a_1, \dots, a_n)}{\varphi_2(a_1, \dots, a_n)} \in \K\setminus\{0\}$.\\
Sei $b_1, \dots, b_n$ mit $b_i=\sum\lambda_{ij}a_j$.\\
Dann gilt nach Satz \ref{theo:1.2.5}(a), dass für $i=1, 2$
\[\begin{aligned}
& \varphi_i(b_1, \dots, b_n) = \varphi_i(a_1, \dots, a_n)\underbrace{\sum_{\pi \in S_n}\lambda_{1\pi(1)}\cdots\lambda_{n\pi(n)}}_{\text{unabhängig von $i$!}} \\
& \implies \frac{\varphi_1(b_1, \dots, b_n)}{\varphi_2(b_1, \dots, b_n)}=\frac{\varphi_1(a_1, \dots, a_n)}{\varphi_2(a_1, \dots, a_n)}=c
\end{aligned}
\]
\begin{align*}
& \varphi_i(b_1, \dots, b_n) =
\varphi_i(a_1, \dots, a_n)\underbrace{\sum_{\pi \in S_n}\lambda_{1\pi(1)}\cdots\lambda_{n\pi(n)}}_
{\text{unabhängig von $i$!}} \\
& \implies \frac{\varphi_1(b_1, \dots, b_n)}{\varphi_2(b_1, \dots, b_n)}=
\frac{\varphi_1(a_1, \dots, a_n)}{\varphi_2(a_1, \dots, a_n)}=c
\end{align*}
\end{proof}
\end{satz}
@ -350,7 +385,8 @@ Es gibt also zu jedem $\K$-VR V mit $\dim(V)=n$ eine nicht ausgeartete alternier
$\det(\alpha)$ ist unabhängig von der Wahl der Basis B und der der Form $\varphi$.
\begin{proof}
\begin{itemize}
\item[1. Fall] $\alpha$ nicht bijektiv\\ $\implies \alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n) \text{linear unabhängig} \implies \det(\alpha) = 0$
\item[1. Fall] $\alpha$ nicht bijektiv\\
$\implies \alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n) \text{linear unabhängig} \implies \det(\alpha) = 0$
\item[2. Fall] $\alpha$ bijektiv. Sei $B=(a_1, \dots, a_n)$.
Dann ist auch $\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n)$ Basis und,
@ -358,7 +394,8 @@ Es gibt also zu jedem $\K$-VR V mit $\dim(V)=n$ eine nicht ausgeartete alternier
\[\varphi(\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n))\neq0\]
Sei $\varphi_\alpha(b_1, \dots, b_n) := \varphi(\alpha(b_1), \dots, \alpha(b_n))$.
Dann ist $\varphi_\alpha$ alternierend und nicht ausgeartet. Wegen Satz \ref{theo:1.2.6} folgt, dass $c\in\K\setminus\{0\}$ existiert mit
Dann ist $\varphi_\alpha$ alternierend und nicht ausgeartet. Wegen Satz \ref{theo:1.2.6} folgt,
dass $c\in\K\setminus\{0\}$ existiert mit
\begin{equation}\label{eq:constantphi}
\varphi_\alpha=c\cdot\varphi
\end{equation}
@ -371,7 +408,9 @@ Es gibt also zu jedem $\K$-VR V mit $\dim(V)=n$ eine nicht ausgeartete alternier
gibt es $d\in\K\setminus\{0\} \text{ mit }d=\frac\psi\varphi$.
Also gilt:
\[
\det(\alpha)=\frac{\varphi_\alpha(a_1, \dots, a_n)}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}=\frac{d\varphi_\alpha(a_1, \dots, a_n)}{d\varphi(a_1, \dots, a_n)}=\frac{\psi_\alpha(a_1, \dots, a_n)}{\psi(a_1, \dots, a_n)}
\det(\alpha)=\frac{\varphi_\alpha(a_1, \dots, a_n)}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}=
\frac{d\varphi_\alpha(a_1, \dots, a_n)}{d\varphi(a_1, \dots, a_n)}=
\frac{\psi_\alpha(a_1, \dots, a_n)}{\psi(a_1, \dots, a_n)}
\]
also ist $\det(\alpha)$ auch von der n-Form unabhängig.
@ -389,7 +428,8 @@ Es gibt also zu jedem $\K$-VR V mit $\dim(V)=n$ eine nicht ausgeartete alternier
\end{enumerate}
\begin{proof}
Sei $B=(a_1, \dots, a_n)$ Basis und $\varphi$ n-Form mit \[
\det(\alpha) = \frac{\varphi(\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n))}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}\text{[unabhängig von $B$ und $\varphi$ nach Satz \ref{theo:1.3.2}]}
\det(\alpha) = \frac{\varphi(\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n))}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}
\text{[ unabhängig von $B$ und $\varphi$ nach Satz \ref{theo:1.3.2}]}
\]
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item $\alpha$ bijektiv $\iff \alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n) \text{ linear unabhängig}$\\
@ -399,29 +439,35 @@ Es gibt also zu jedem $\K$-VR V mit $\dim(V)=n$ eine nicht ausgeartete alternier
\item[1. Fall:] $\alpha$ oder $\beta$ ist nicht bijektiv: o.B.d.A $\alpha$ nicht bijektiv.\\
$\implies \det(\alpha)=0\implies \det(\alpha)\det(\alpha)=0$\\
Weiters folgt, dass $\alpha\beta$ nicht bijektiv, also $\det(\alpha\beta)=0$.
\item[2. Fall:] $\alpha, \beta$ bijektiv. Dann ist auch $(\beta(a_1), \dots, \beta(a_n))$ Basis und
\[
\begin{aligned}
\det(\alpha\beta) & = \frac{\varphi(\alpha(\beta(a_1)), \dots, \alpha(\beta(a_n)))}{\varphi(a_1, \dots, a_n)} \\
& =\frac{\varphi(\alpha(\beta(a_1)), \dots, \alpha(\beta(a_n)))}{\varphi(\beta(a_1), \dots, \beta(a_n))}\cdot \cdots \\
& \cdots \frac{\varphi(\beta(a_1), \dots, \beta(a_n))}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}\underbrace{=}_{\text{Satz \ref{theo:1.3.2}}} \det(\alpha)\det(\beta)
\end{aligned}
\]
\item[2. Fall:] $\alpha, \beta$ bijektiv.
Dann ist auch $(\beta(a_1), \dots, \beta(a_n))$ Basis und
\begin{align*}
\det(\alpha\beta) & = \frac{\varphi(\alpha(\beta(a_1)), \dots, \alpha(\beta(a_n)))}
{\varphi(a_1, \dots, a_n)} \\
& =\frac{\varphi(\alpha(\beta(a_1)), \dots, \alpha(\beta(a_n)))}
{\varphi(\beta(a_1), \dots, \beta(a_n))}\cdot \cdots \\
& \cdots \frac{\varphi(\beta(a_1), \dots, \beta(a_n))}
{\varphi(a_1, \dots, a_n)}\underbrace{=}_{\text{Satz \ref{theo:1.3.2}}}
\det(\alpha)\det(\beta)
\end{align*}
\end{enumerate}
\item $\det(\id)=\frac{\varphi(a_1, \dots, a_n)}{\varphi(a_1, \dots, a_n)}=1$
\item $1\underbrace{=}_{\text{c)}}\det(\id)=\det(\alpha\alpha^{-1})\underbrace{=}_{\text{b)}}\det(\alpha)\det(\alpha^{-1})$
\item $1\underbrace{=}_{\text{c)}}\det(\id)=\det(\alpha\alpha^{-1})\underbrace{=}_{\text{b)}}
\det(\alpha)\det(\alpha^{-1})$
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{korollar}
\begin{satz} \label{theo:1.3.4}
Sei $\alpha\in \homkv, B=(b_1, \dots, b_n)$ Basis und $A=(a_{ij}) = {}_B M(\alpha)_B\in\K^{n\times n}$. Dann gilt
Sei $\alpha\in \homkv, B=(b_1, \dots, b_n)$ Basis und $A=(a_{ij}) = {}_B M(\alpha)_B\in\K^{n\times n}$.
Dann gilt
\[\det(\alpha)=\sum_{\pi\in S_n}\sgn(\pi)a_{1\pi(1)}\cdots a_{n\pi(n)}\]
\begin{proof}
Es gilt $\alpha(b_i)=\sum\limits_{j=1}^na_{ij}b_j \text{ für }i=1, \dots, n$.
Nach Satz \ref{theo:1.2.5}(a) gilt
\[
\varphi(\alpha(b_1), \dots, \alpha(b_n)) = \varphi(b_1, \dots, b_n)\cdot\sum_{\pi\in S_n}\sgn(\pi)a_{1\pi(1)}\cdots a_{n\pi(n)}
\varphi(\alpha(b_1), \dots, \alpha(b_n)) =
\varphi(b_1, \dots, b_n)\cdot\sum_{\pi\in S_n}\sgn(\pi)a_{1\pi(1)}\cdots a_{n\pi(n)}
\]
und daraus folgt die Behauptung direkt.
\end{proof}
@ -449,9 +495,11 @@ Schreibweise für $A=(a_{ij})$:
Sei $A=(a_1, \dots, a_n)\in\K^{n\times n}$. Dann gilt
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item $\det(A)=\det(A^T)$
\item $\forall i, j\in[n]: i<n: \det((a_1, \dots, \underbrace{a_j}_{i}, \dots, \underbrace{a_i}_{j}, \dots, a_n))=\det(A)$
\item $\forall i\in[n], \lambda_1, \dots, \lambda_n\in\K: \det((a_1, \dots, a_i+\sum\limits_{\substack{j=1\\j\neq i}}^n\lambda_ja_j, \dots, a_n))=\det(A)$
\item $\forall i\in[n], \lambda\in\K: \det((a_1, \dots, \lambda a_i, \dots, a_n)) = \det(A)$
\item $\forall i, j\in[n]: i<n:
\det((a_1, \dots, \underbrace{a_j}_{i}, \dots, \underbrace{a_i}_{j}, \dots, a_n))=\det(A)$
\item $\forall i\in[n]: \lambda_1, \dots, \lambda_n\in\K: \det((a_1, \dots, a_i+
\sum\limits_{\substack{j=1\\j\neq i}}^n\lambda_ja_j, \dots, a_n))=\det(A)$
\item $\forall i\in[n]: \lambda\in\K: \det((a_1, \dots, \lambda a_i, \dots, a_n)) = \det(A)$
\item $\exists i, j\in[n]: i\neq j\land a_i=a_j \implies \det(A)=0$
\item $\forall \lambda \in \K: \det(\lambda A)=\lambda^n \det(A)$
\item $A$ invertierbar $\implies \det(A^{-1})=\det(A)^{-1}$
@ -464,7 +512,8 @@ Schreibweise für $A=(a_{ij})$:
\item \begin{equation*}\begin{aligned}
\det(A^T) & = \sum_{\pi\in S_n}\sgn(\pi)a_{\pi(1)1}\cdots a_{\pi(n)n} \\
& =\sum_{\pi\in S_n}\sgn(\pi)a_{1\pi^{-1}(1)}\cdots a_{n\pi^{-1}(n)} \\
& \underbrace{=}_{\substack{\sgn(\pi^{-1})=\sgn(\pi) \\\pi^{-1}\mapsto\pi}} \sum_{\pi\in S_n} \sgn(\pi)a_{1\pi(1)}\cdots a_{n\pi(n)}
& \underbrace{=}_{\substack{\sgn(\pi^{-1})=\sgn(\pi) \\
\pi^{-1}\mapsto\pi}} \sum_{\pi\in S_n} \sgn(\pi)a_{1\pi(1)}\cdots a_{n\pi(n)}
\end{aligned}\end{equation*}
\item[b) - i)] folgt daraus, dass für \[\alpha:\begin{cases}\K^n\to\K^n\\x\mapsto A\cdot x\end{cases}:
\det(A)=\dfrac{a}{b}\text{ (Satz \ref{theo:1.3.4})}\] und, dass $\varphi$ alternierende n-Form ist, bzw. Korollar \ref{theo:1.3.3}