# Respostas à [Lista 1](https://drive.google.com/file/d/1bOWYihTvIgRx1qOnv2WR7uIQDZSzxZ7a/view?usp=drive_web&authuser=0) da disciplina de Introdução à Análise de Algoritmos
Assim o sendo, temos que este algoritmo, na ausência de valores capazes de satisfazer a condição de iteração da variável $m$ (melhor caso) tem um tempo de execução equivalente à:
> [...] funções crescem de maneira similar uma vez que abstraímos as constantes.
>
> A notação $\Theta$ formaliza matematicamente essa ideia. [...] $\Theta(g(n))$ é o conjunto de todas as funções que crescem de maneira parecida com $g$, que são *assintoticamente equivalentes* a $g$.
Assim sendo, temos que em nosso caso $g(n) = n^3$, enquanto$f(n) = 4n^3 + n^2 + n + 2$ (a função equivalente ao pior caso, igualando as constantes à 1) Para qualquer $n \ge 1$. Assim sendo, tem-se:
> **Obs:** Os algoritmos `insertionSort` e `binarySearch` acima expostos admitem listas cujos índices encontram-se numerados $1, 2, \dots, n$.
Conforme demonstra Ribeiro (Ibid., p. 45), o tempo de execução $T$ do algoritmo *Insertion Sort* é
$$
T(n) \in \Theta(n^2)
$$
Enquanto o tempo de execução $T$ do algoritmo de busca binária (Ibid. p. 35) é
$$
T(n) \in \Theta(\log(n))
$$
Com isso e a modificação na função `3Soma` que reduz o número de repetições do tipo `for` de três para duas ($T(n) \in \Theta(n^2)$), é possível afirmar que o tempo de execução $T$ no pior caso para a 32ª linha do código (`do if binarySearch (C, sizeof(C), -(A[i] + B[j]))`), é tal que
$$
T(n) \in \Theta(n^2\log n)
$$
Sendo esta a linha com maior número de iterações no algoritmo `3Soma`, podemos, por extensão, afirmar que a notação $\Theta$ anteriormente descrita é representativa do tempo de execução do algoritmo como um todo. $\blacksquare$
## Exercício 4
Conforme a hipótese, o algoritmo proposto é correto se este retorna para qualquer sequência $A[1], \dots , A[n]$ a mesma ordenada de forma crescente.
Ora, ao longo de toda sua execução, é invariável que os elementos em $A[1], \dots, A[i]$ encontram-se ordenados em ordem crescente.
- Na inicialização, quando $A[i] = A[1]$, a base da hipótese;
- Nos passos seguintes, seja quando$A[1]\ e\ A[2]$ encontram-se ordenados e $A[3]$ é relocado na linha 6 se avaliado necessário na linha 5, seja para qualquer valor $i + 1$ que se segue, o que constitui a manutenção da propriedade invariável;
- Seja ao término do programa, quando $i + 1 = n$ e o programa finalmente retorna a sequência ordem crescente.
O programa descrito é portanto, correto. Ainda que bastante ineficiente, mas isso não cabe aqui avaliar. $\blacksquare$
## Exercício 5
O algoritmo proposto é correto se
- havendo um ou mais valores $a_i + b_j + c_k = 0$, onde $a_i \in \{a_1, ..., a_n\}$, $b_j \in \{b_1, ..., b_n\}$ e $c_k \in \{a_1, ..., a_n\}$, este retorna um valor $m \ge 1$;
- senão este retorna um valor $m = 0$.
Ao longo de sua execução, é invariável que $m$ equivale ao número de somas possíveis iguais a 0 entre todos os números em $\{a_1, ..., a_i\}$, com $\{b_1, ..., b_j\}$ e $\{c_1, ..., c_k\}$ desde a inicialização $(a_1,b_1,c_1)$ (base da hipótese), para cada valor $(a_i,b_j,c_k)$ (passo da indução), e ao ser alcançada a condição de término onde $(a_n,b_n,c_n)$. Assim, ao término deste programa todas as combinações possíveis foram avaliadas e este é, portanto, correto. $\blacksquare$
## Referências
RIBEIRO, M. **Introdução à Análise de Algoritmos**. Disponível em: <https://github.com/marciomr/apostila-iaa/blob/master/apostila-iaa.pdf>. Acesso em: 13 out. 2021.
