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# Lógica elementar
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Respostas à [1ª lista de exercícios](https://classroom.google.com/u/0/c/MzgyMTU0Njc2MjQ1/m/MzgyMTYxMjEwMzg2/details)
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## 1.
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**(a)** $(q \land \lnot r) \to p$
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"*Se o céu está estrelado e não está fazendo frio então Eva vai sair para uma caminhada*"
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**(b)** $q \to (\lnot r \to p)$
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A proposição acima equivale à $q \to (r \lor p)$, conforme demonstra a seguinte **tabela verdade**:
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| $r$ | $p$ | $\lnot r \to p$ | $r \lor p $ |
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|:---:|:---:|:---------------:|:-----------:|
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| F | F | F | F |
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| F | V | V | V |
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| V | F | V | V |
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| V | V | V | V |
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Logo, a oração fica: "*Se o céu está estrelado então está fazendo frio ou Eva vai sair para uma caminhada.*"
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**(c)** $\lnot(p \iff (q \lor r))$
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Abordemos a proposição em partes:
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- $p \iff (q \lor r)$: Eva vai sair para uma caminhada se, e somente se, o céu está estrelado ou está fazendo frio.
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- $\lnot(p \iff (q \lor r))$ (a negação da proposta anterior): Eva **não** vai sair para uma caminhada se, e somente se, o céu está estrelado ou está fazendo frio.
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**(d)** $p \iff q$
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**(e)** $(r \land \lnot q) \to \lnot p$
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**(f)** $r \land p$
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## 2.
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| $p$ | $q$ | $p \to q$ | $\lnot p \lor q $ |
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|:---:|:---:|:---------:|:-----------------:|
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| F | F | V | V |
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| F | V | V | V |
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| V | F | F | F |
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| V | V | V | V |
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## 3.
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Se q é uma tautologia, $q \equiv V$ sempre. Enquanto, se r é uma contradição, $r \equiv F$ sempre. Logo,
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| $p$ | $q$ | $r$ | $p \lor q$ | $p \land r$ |
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|:---:|:---:|:---:|:----------:|:-----------:|
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| V | V | F | V | F |
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| F | V | F | V | F |
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## 4.
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**(a)** Nota-se que o valor verdade de tais proposições são equivalentes na tabela verdade:
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| $p$ | $q$ | $r$ | $p \land (q \lor r)$ | $(p \land q) \lor (p \land r)$ |
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|:---:|:---:|:---:|:--------------------:|:------------------------------:|
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| F | F | F | F | F |
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| F | V | F | F | F |
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| F | F | V | F | F |
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| F | V | V | F | F |
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| V | V | V | V | V |
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| V | V | F | V | V |
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| V | F | V | V | V |
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| V | F | F | F | F |
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**(b)** Tal qual anterioremente,
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| $p$ | $q$ | $r$ | $p \lor (q \land r)$ | $(p\lor q) \land (p \lor r)$ |
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|:---:|:---:|:---:|:--------------------:|:----------------------------:|
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| F | F | F | F | F |
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| F | V | F | F | F |
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| F | F | V | F | F |
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| F | V | V | V | V |
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| V | V | V | V | V |
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| V | V | F | V | V |
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| V | F | V | V | V |
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| V | F | F | V | V |
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## 5.
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Demonstração da segunda lei de Morgan:
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| $p$ | $q$ | $\lnot (p \lor q)$ | $\lnot p \land \lnot q$ |
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|:---:|:---:|:------------------:|:-----------------------:|
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| V | V | F | F |
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| V | F | F | F |
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| F | V | F | F |
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| F | F | V | V |
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## 6.
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A Lei de Morgan aplica-se de maneira equivalente na teoria dos conjuntos e na lógica proposicional. Veja que o complemento à intercessão entre dois conjuntos $A$ e $B$ é a união dos complementos de $A$ e $B$:
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![](/home/user/Public/USP/Sistemas%20de%20Informação/2º%20semestre/Matemática%20Discreta%20I/Imagens/0369ea5b86b01fc8aeb895c8cb044b3f13f05215.png)
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Assim o sendo, para $n$ conjuntos $P$ tem-se que:
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$$
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\left(\bigcap^n_{i = 1}P_i\right)^c = \bigcup^n_{i = 1} P_i^{\ c}
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$$
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e também:
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$$
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\left(\bigcup^n_{i = 1} P_i\right)^c = \bigcap^n_{i = 1} P_i^{\ c}
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$$
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## 7.
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**(a)** Tautologia
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| $p$ | $q$ | $(p \to q) \lor p$ |
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|:---:|:---:|:------------------:|
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| V | V | V |
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| V | F | V |
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| F | V | V |
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| F | F | V |
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**(b)** Reescrevendo a equação em termos de $\land$ e $\lor$:
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$(p \to (q \to r)) \to ((p \to q) \to (p \to r)) \equiv \\
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\lnot (\lnot p \lor (\lnot q \lor r)) \lor (\lnot(\lnot p \lor q) \lor (\lnot p \lor r)) \equiv \\
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(p \land \lnot (\lnot q \lor r)) \lor ((p\land q) \lor (\lnot p \lor r)) \equiv \\
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(p \land (q \land \lnot r)) \lor ((p \land q) \lor (\lnot p \lor r)) \equiv \\
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((p \land q) \land (p \land \lnot r)) \lor ((p \land q) \lor (\lnot p \lor r))
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$
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| $p$ | $q$ | $r$ | $((p \land q) \land (p \land \lnot r)) \lor ((p \land q) \lor (\lnot p \lor r))$ |
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|:---:|:---:|:---:|:--------------------------------------------------------------------------------:|
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| F | F | F | $(F \land F) \lor (F \lor V) \equiv V$ |
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| F | V | F | $(F \land F) \lor (F \lor V) \equiv V$ |
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| F | F | V | $(F \land F) \lor (F \lor V) \equiv V$ |
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| F | V | V | $(F \land F) \lor (F \lor V) \equiv V$ |
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| V | V | V | $(V \land F) \lor (V \lor V) \equiv V$ |
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| V | V | F | $(V \land V) \lor (V \lor F) \equiv V$ |
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| V | F | V | $(F \land F) \lor (F \lor V) \equiv V$ |
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| V | F | F | $(F \land V) \lor (F \lor V) \equiv F$ |
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## 8.
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| $p$ | $p \lor \lnot p$ | $p \land \lnot p$ |
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|:---:|:-------------------:|:--------------------:|
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| F | $F \lor V \equiv V$ | $F \land V \equiv F$ |
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| V | $V \lor F \equiv V$ | $V \land F \equiv F$ |
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## 9.
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$p \to (q \to r) \equiv \lnot p \lor (\lnot q \lor r) \equiv \lnot (p \land q) \lor (\lnot p \lor r) \\
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(p \to q)\to r \equiv \lnot(\lnot p \lor q) \lor r \equiv (p \land \lnot q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (r \lor \lnot q)
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$
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| $p$ | $q$ | $r$ | $\lnot (p \land q) \lor (\lnot p \lor r)$ | $(p \lor r) \land (r \lor \lnot q)$ |
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|:---:|:---:|:---:|:-----------------------------------------:|:-----------------------------------:|
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| F | F | F | $V \lor V \equiv V$ | $F \land V \equiv F$ |
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| F | V | F | $V \lor V \equiv V$ | $F \land F \equiv F$ |
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| F | F | V | $V \lor V \equiv V$ | $V \land V \equiv V$ |
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| F | V | V | $V \lor V \equiv V$ | $V \land V \equiv V$ |
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| V | V | V | $F \lor V \equiv V$ | $V \land V \equiv V$ |
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| V | V | F | $F \lor F \equiv F$ | $V \land F \equiv F$ |
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| V | F | V | $V \lor V \equiv V$ | $V \land V \equiv V$ |
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| V | F | F | $V \lor F \equiv V$ | $V \land V \equiv V$ |
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## 10.
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Conforme a seguinte tabela verdade, isso pode ser feito de duas formas: reunindo-se apenas com o representante turco ou, senão, apenas com os representantes turco e russo.
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| $a$ | $t$ | $r$ | $(a \land \lnot t) \lor (\lnot a \land t)$ | $(r \lor t)$ | $\lnot (a \land r)$ |
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|:---:|:---:|:---:|:------------------------------------------:|:------------:|:-------------------:|
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| F | F | F | F | F | V |
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| F | V | F | V | V | V |
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| F | F | V | F | V | V |
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| F | V | V | V | V | V |
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| V | V | V | F | V | F |
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| V | V | F | F | V | V |
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| V | F | V | V | V | F |
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| V | F | F | V | F | V |
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## 11.
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O **princípio da equivalência** descreve que para quaisquer proposições $p$ e $q$ equivalentes entre si que contenham os conectivos $\lnot$, $\land$ ou $\lor$, mas não necessariamente todos, as proposições **duais** destas (proposições obtidas pela substituição de cada $\land$ por $\lor$ e vice-versa; e de cada constante $V$ por $F$ e vice versa) também são equivalentes entre si.
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Por exemplo,
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$p \land (p \lor p) \iff p$
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Como, por hipótese, temos que $p \equiv q$, então
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$p \land (p \lor q) \iff p$
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Podemos ainda adicionar à formulação anterior o elemento neutro $\lor\ F$:
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$(p \lor F) \land (p \lor q) \iff p$
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E então simplificá-la:
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$\underbrace{p \lor \underbrace{(F \land q)}_{\text{Identidade}}}_{\text{Distributiva}} \iff p \\\ \\
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p \lor F \iff p \\
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p \iff p
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$
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Consideremos agora a formulação dual deste mesmo teorema:
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$p \lor (p \land q) \iff p \\
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(p \land V) \lor (p \land q) \iff p \\
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p \land (V \lor q) \iff p \\
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p \land V \iff p \\
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p \iff p
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$
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Fica demonstrado que realizando as substituições propostas, "duais", alcançamos resultados equivalentes.
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## 12.
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Podemos descrever o XOR em termos de conjunção e disjunção da seguinte forma:
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$$
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p\ \underline \lor\ q \equiv (p \land \lnot q) \lor (\lnot p \land q)
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$$
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Assim, para este temos a seguinte tabela verdade:
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| $p$ | $q$ | $(p \land \lnot q) \lor (\lnot p \land q)$ |
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|:---:|:---:|:------------------------------------------:|
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| F | V | V |
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| F | F | F |
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| V | V | F |
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| V | F | V |
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## 13.
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**(a)** Vamos simplificar a proposição e admitir que esta seja falsa:
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$$
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(p \iff (\neg q \lor r)) \to (\neg p \to q) \equiv
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(p \iff (\neg q \lor r)) \to (p \lor q) \equiv F
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$$
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Analizemos a tabela verdade para identificar os valores de $(p \iff (\neg q \lor r))$ e $(p \lor q)$ que levam a este resultado:
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| $(p \iff (\neg q \lor r))$ | $(p \lor q)$ | $(p \iff (\neg q \lor r)) \to (p \lor q)$ |
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|:--------------------------:|:------------:|:-----------------------------------------:|
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| V | V | V |
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| V | F | F |
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| F | V | V |
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| F | F | V |
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Apenas quando $(p \iff (\neg q \lor r)) \equiv V$ e $(p \lor q) \equiv F$ obtêm-se tal resultado. Para $(p \lor q) \equiv F$, $p \equiv q \equiv F$. Substituindo estes valores, temos:
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$(F \iff (\neg F \lor r)) \equiv V \\
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(F \iff (V \lor r)) \equiv V \\
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F \iff V \equiv V
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$
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Chegamos a um absurdo. Assim o sendo, não é possível que esta expressão seja falsa: trata-se de uma **tautologia**.
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**(b)** $(p \to (q \lor r)) \lor (p \lor q) \equiv (p \to q) \lor (p \to r)\ \cancel{\lor\ (p \to q)}\ \equiv p \to (q \lor r) \equiv F$
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Para produzir esse resultado bastaria que $p \equiv V$ e $q \equiv r \equiv F$. Qualquer outra configuração não produziria resultado verdadeiro. Não se reduziu ao absurdo, esta não se trata de uma tautologia ou contradição.
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## 14.
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**(a)** $p \land q \equiv \neg(\neg p \lor \neg q)$
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**(b)** $p \to q \equiv \neg p \lor q$
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**(c)** $p \to q \equiv \neg(p \land \neg q)$
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**(d)** $p \land q \equiv \neg (p \to \neg q)$
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**(e)** $p \lor q \equiv \neg p \to q$
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## 15.
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**(a)**
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| $p$ | $q$ | $p \uparrow q$ | $\neg p \uparrow \neg q$ |
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|:---:|:---:|:--------------:|:------------------------:|
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| V | V | F | V |
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| V | F | V | V |
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| F | V | V | V |
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| F | F | V | F |
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**(b)**
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$\neg p \iff p \uparrow p$
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$p \land q \iff (p \uparrow q) \uparrow (p \uparrow q)$
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$p \lor q \iff (p \uparrow p) \uparrow (q \uparrow q)$
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**(c)**
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$(p \to q) \iff p \uparrow (q \uparrow q) \iff p \uparrow (p \uparrow q)$
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$(p \iff q) \iff (p \uparrow q) \uparrow ((p \uparrow p) \uparrow (q \uparrow q))$
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## 16.
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**(a)** $(p \iff (((\neg q) \lor r) \to p)) \equiv \\
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p \iff ((\neg q \lor r) \to p) \equiv \\
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(p \iff \neg q \lor r) \to (p \iff p) \equiv \\
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p \iff \neg q \lor r\ \underbrace{\to p}_{\text{redundante}} \equiv \\
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p \iff \neg q \lor r
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$
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**(b)** Como assim? O próprio enunciado demonstrou.
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