Added sorts.c file

2021-10-01 15:48:56 -03:00 · 2021-10-01 15:48:56 -03:00 · 149a51d480
commit 149a51d480
parent c5d626e0fe
15 changed files with 392 additions and 85 deletions
--- a/03/bubbleSort.c
+++ b/03/bubbleSort.c
@ -1,16 +0,0 @@
-void swap(int * a, int * b) {
-	int temp = *a;
-	*a = *b;
-	*b = temp;
-}
-
-void bubbleSort(int * v, int n){ 
-	if (n < 1)
-		return; 
-
-	int i;
-	for (i=0; i<n; i++) 
-		if (v[i] > v[i+1]) 
-			swap(&v[i], &v[i+1]);  
-	bubbleSort(v, n-1); 
-} 
--- a/03/selection_sort.c
+++ b/03/selection_sort.c
@ -1,22 +0,0 @@
-int posMenorEl(int v[], int tam, int inicio) {
-    int i, posMenor;
-    posMenor = -1;
-    if (inicio >= 0 && inicio < tam) {
-        posMenor = inicio;
-        for (i = inicio + 1; i < tam; i++) {
-            if (v[i] < v[posMenor])
-                posMenor = i;
-        }
-    }
-    return posMenor;
-}
-
-void selecao (int v[, int tam) {
-    int i, posMenor, aux;
-    for (i = 0; i < tam - 1; i++) {
-        posMenor = posMenorEl(v, tam, i);
-        aux = v[i];
-        v[i] = v[posMenor];
-        v[posMenor] = aux;
-    }
-}
--- a/03/sorts.c
+++ b/03/sorts.c
@ -0,0 +1,40 @@
+void swap (int *a, int *b) {
+	int tmp = *a;
+	*a = *b;
+	*b = tmp;
+}
+
+void bubbleSort (int *v, int n) {
+	int i;
+
+	if (n <= 1)
+		return;
+	for (i = 0; i < n; i++)
+		if (v[i] > v[i + 1])
+			swap(&v[i], &v[i + 1]);
+	bubbleSort(v, n - 1);
+}
+
+void selectionSort (int *v, int n) {
+    int i, pos = 0;
+
+    if (n <= 1)
+        return;
+    for (i = 1; i < n; i++)
+        if (v[i] < v[pos])
+            pos = i;
+    swap(v, &v[pos]);
+    selectionSort(v + 1, n - 1);
+}
+
+void insertionSort (int *v, int n) {
+    int i, tmp;
+
+    if (n <= 1)
+        return;
+    insertionSort(v, n - 1);
+    tmp = v[n - 1];
+    for (i = n - 2; i >= 0 && v[i] > tmp; i--)
+        v[i + 1] = v[i];
+    v[i + 1] = tmp;
+}
--- a/04/doubly_linked_list.c
+++ b/04/doubly_linked_list.c
@ -3,21 +3,19 @@

 typedef struct node {
 	int value;
-	struct node *prev;
-	struct node *next;
+	struct node *prev, *next;
 } Node;

 typedef struct {
-	Node *start;
-	Node *end;
+	Node *start, *end;
 } List;

 void insertIn (List *l, int value) {
 	Node *prev = NULL, *current, *next;

-	for (next = l->start; next != NULL && next->value < value; next = next->next)
+	for (next = l->start; next && next->value < value; next = next->next)
 		prev = next;
-	if (next != NULL && next->value == value)
+	if (next && next->value == value)
 		return;

 	current = malloc(sizeof(*current));
@ -25,12 +23,12 @@ void insertIn (List *l, int value) {
 	current->prev = prev;
 	current->next = next;

-	if (prev == NULL)
+	if (prev)
 		l->start = current;
 	else
 		prev->next = current;

-	if (next == NULL)
+	if (next)
 		l->end = current;
 	else
 		next->prev = current;
@ -39,23 +37,23 @@ void insertIn (List *l, int value) {
 void removeFrom (List *l, int value) {
 	Node *current = l->start;

-	while (current != NULL && current->value < value)
+	while (current && current->value < value)
 		current = current->next;
-
-	if (current == NULL)
+	if (current)
 		return;
-	if (current->prev != NULL && current->next != NULL) {
+
+	if (current->prev && current->next) {
 		current->prev->next = current->next;
 		current->next->prev = current->prev;
 	}
-	else if (current->prev == NULL) {
+	else if (!current->prev) {
 		l->start = current->next;
-		if (current->next != NULL)
+		if (current->next)
 			current->next->prev = NULL;
 	}
 	else {
 		l->end = current->prev;
-		if (current->prev != NULL)
+		if (current->prev)
 			current->prev->next = NULL;
 	}
 	free(current);
@ -65,7 +63,7 @@ void printList (List l) {
 	int i;
 	Node *current = l.start;

-	for (i = 0; current != NULL; i++) {
+	for (i = 0; current; i++) {
 	    printf("\nÍndice: %-6d Valor: %-6d (Endereços) Anterior: %p Atual: %p Próximo: %p\n", i, current->value, current->prev, current, current->next);
 		current = current->next;
 	}
--- a/05/Semana
+++ b/05/Semana
@ -1,4 +1,4 @@
-# Semana 04: resposta ao [exercício proposto](http://www.each.usp.br/digiampietri/ACH2023/ACH2023_AtividadeSemanal05.pdf)
+# Semana 05: resposta ao [exercício proposto](http://www.each.usp.br/digiampietri/ACH2023/ACH2023_AtividadeSemanal05.pdf)

 > Por Guilherme de Abreu Barreto[^1]

--- a/05/dequeue.c
+++ b/05/dequeue.c
@ -0,0 +1,110 @@
+#include <stdio.h>
+#include <stdbool.h>
+#include <stdlib.h>
+
+typedef struct node {
+    int value;
+    struct node *prev, *next;
+} Node;
+
+Node * initializeDequeue() {
+    Node *HEAD = malloc(sizeof(*HEAD));
+    HEAD->next = HEAD->prev = HEAD;
+    return HEAD;
+}
+
+int dequeueSize (Node *HEAD) {
+    Node *n;
+    int i = 0;
+
+    for (n = HEAD->next; n != HEAD; n = n->next)
+        i++;
+    return i;
+}
+
+void printDequeue(Node *HEAD) {
+    Node *n;
+
+    printf("Deque: \" ");
+    for (n = HEAD->next; n != HEAD; n = n->next)
+        printf("%d,", n->value);
+    printf("\"\n");
+}
+
+void AppendDequeue (Node *HEAD, int value) {
+    Node *n = malloc(sizeof(*n));
+    n->value = value;
+    n->next = HEAD;
+    n->prev = HEAD->prev;
+    HEAD->prev = n;
+    n->prev->next = n;
+}
+
+int popFirst (Node *HEAD) {
+    Node *n = HEAD->next;
+    int value = EOF;
+
+    if (n != HEAD) {
+        value = n->value;
+        HEAD->next = n->next;
+        n->next->prev = HEAD;
+        free(n);
+    }
+    return value;
+}
+
+int popLast (Node *HEAD) {
+    Node *n = HEAD->prev;
+    int value = EOF;
+
+    if (n != HEAD) {
+        value = n->value;
+        HEAD->prev = n->prev;
+        n->prev->next = HEAD;
+        free(n);
+    }
+    return value;
+}
+
+void reinitializeDequeue (Node *HEAD) {
+    Node *next, *prev;
+
+    for (next = HEAD->next; next != HEAD; free(prev)) {
+        prev = next;
+        next = next->next;
+    }
+    HEAD->next = HEAD->prev = HEAD;
+}
+
+void PrependDequeue (Node *HEAD, int value) {
+    Node *n = malloc(sizeof(*n));
+    n->value = value;
+    n->prev = HEAD;
+    n->next = HEAD->next;
+    HEAD->next = n;
+    n->next->prev = n;
+}
+
+int greatestValue (Node *HEAD) {
+    Node *n = HEAD->next;
+    int value;
+
+    if (n == HEAD)
+        return EOF;
+    value = n->value;
+    n = n->next;
+    while (n != HEAD) {
+        if (value < n->value)
+            value = n->value;
+        n = n->next;
+    }
+    return value;
+}
+
+int main () {
+    Node *HEAD = initializeDequeue();
+
+    /* code */
+
+    return 0;
+}
--- a/06/Semana
+++ b/06/Semana
@ -0,0 +1,22 @@
+# Semana 06: resposta ao [exercício proposto](http://www.each.usp.br/digiampietri/ACH2023/ACH2023_AtividadeSemanal06.pdf)
+
+> Por Guilherme de Abreu Barreto[^1]
+
+```c
+bool encontrarMax (DEQUE *d, int *max) {
+    PONT n = d->cabeca->prox;
+
+    if (n == d->cabeca)
+        return false;
+    *max = n->reg.chave;
+    n = n->prox;
+    while (n != d->cabeca) {
+        if (*max < n->reg.chave)
+            *max = n->reg.chave;
+        n = n->prox;
+    }
+    return true;
+}
+```
+
+[^1]: nUSP: 12543033
--- a/06/dynamic_stack.c
+++ b/06/dynamic_stack.c
@ -0,0 +1,54 @@
+#include <stdio.h>
+#include <stdlib.h>
+
+typedef struct node {
+    int value;
+    struct node *under;
+} Node;
+
+int stackSize (Node *top) {
+    Node *n;
+    int i = 0;
+
+    for (n = top; n != NULL; n = n->under)
+        i++;
+    return i;
+}
+
+void printStack(Node *top) {
+    Node *n;
+
+    printf("Pilha: \" ");
+    for (n = top; n != NULL; n = n->under)
+        printf("%d,", n->value);
+    printf("\"\n");
+}
+
+void push(Node *top, int value) {
+    Node *n = malloc(sizeof(*n));
+    n->value = value;
+    n->under = top;
+    top = n;
+}
+
+int pop (Node *top) {
+    Node *n = top;
+    int value;
+
+    if (top == NULL)
+        return EOF;
+    value = top->value;
+    top = top->under;
+    free(n);
+
+    return value;
+}
+
+void destroyStack (Node *top) {
+    Node *n;
+
+    for (n = top; n != NULL; n = top) {
+        top = top->under;
+        free(n);
+    }
+}
--- a/06/listSort.c
+++ b/06/listSort.c
@ -0,0 +1,24 @@
+#include <stdlib.h>
+
+typedef struct node{
+    int value;
+    struct node *prev, *next;
+} Node;
+
+Node * initializeDequeue() {
+    Node *HEAD = malloc(sizeof(*HEAD));
+    HEAD->next = HEAD->prev = HEAD;
+    return HEAD;
+}
+
+Node * insertionSort (Node *HEAD) {
+    Node *list, *sortedList;
+
+    if (!HEAD || HEAD->next == HEAD)
+        return HEAD;
+    sortedList = initializeDequeue();
+    for (list = HEAD->next; list != HEAD; list = list->next) {
+        /* code */
+    }
+
+}
--- a/2
+++ b/2
@ -1 +1 @@
-Subproject commit c1df3404964c1ab41cfad7618e7ef8d7b1e85668
+Subproject commit 90d082f94fd9d7d6302843d26e322709b4b06762
--- a/II/Atividade
+++ b/II/Atividade
@ -1,4 +1,4 @@
-# Atividade 3
+# Atividade 4

 Resolução dos exercícios obrigatórios, feita por Guilherme de Abreu Barreto[^1].

@ -23,26 +23,16 @@ $$
 Podemos atestar que a seguinte declaração é verdadeira:

 $$
-\lim_{t \to 0^+}\ \int^1_t \dfrac{\sec^2 x}{x\sqrt x}\ dx \ge \lim_{t \to 0^+}\  \int^1_t \dfrac{\sec^2 x}{x}\ dx
+\lim_{t \to 0^+}\ \int^1_t \dfrac{\sec^2 x}{x\sqrt x}\ dx \ge \lim_{t \to 0^+}\  \int^1_t \dfrac{1}{x\sqrt x}\ dx
 $$

-Pois no intervalo de 0 à 1 $x\sqrt x$ produz denominadores menores que $x$ simplesmente. Logo, se a expressão à direita da desigualdade divergir, a expressão à esquerda, função de maior valor, também divergirá. Isso segundo o Teorema da Comparação. Logo,
-
-$\displaystyle \lim_{t \to 0^+}\ \int^1_t \dfrac{\sec^2 x}{x}\ dx
-\begin{cases}
-u = \sec^2 x \implies du = \sec x \tan x\ dx\\
-dv = \dfrac 1x \implies v = \ln |x|
-\end{cases} \\\ \\
-= \lim_{t \to 0^+} \ln |x|\sec^2x\bigg |^1_t - \lim_{t \to 0^+} \int^1_t \ln |x| \sec x \tan x\ dx
-$
-
-Vejamos que a primeira parte desta expressão diverge:
+Uma secante sempre tem valores, menores ou iguais a -1 ou maiores ou iguais a +1. Uma secante elevada ao quadrado, entretanto, tem valor sempre maior ou igual a 1. Logo, se a expressão à direita da desigualdade divergir, a expressão à esquerda, de maior valor, também divergirá. Isso segundo o Teorema da Comparação. Logo,

 $$
-\lim_{t \to 0^+} \ln |x|\sec^2x\bigg |^1_t = \ln|1|\sec^21 - \ln |0⁺|\sec^20^+ = \infty
+\displaystyle \lim_{t \to 0^+}\ \int^1_t \dfrac{1}{x\sqrt x}\ dx = \lim_{t \to 0^+} \dfrac{2}{\sqrt x} \Big |^1_t \text{(diverge)}
 $$

-Logo, $\lim_{t \to 0^+}\ \int^1_t \frac{\sec^2 x}{x}\ dx$ diverge e, dado o Teorema da Comparação,  $\lim_{t \to 0+}\ \int1_t \frac{\sec^2 x}{x\sqrt x}\ dx$ também. $\blacksquare$
+Logo, dado o Teorema da Comparação,  $\lim_{t \to 0+}\ \int1_t \frac{\sec^2 x}{x\sqrt x}\ dx$ também diverge. $\blacksquare$

 #### Exercício 65

@ -50,10 +40,43 @@ Encontre a velocidade de escape $v_0$ que é necessária para lançar um foguete

 #### Resolução

-Admitindo que o lançamento se dá na superfície do planeta, temos:
+Admitindo que o lançamento se dá na superfície do planeta $s(0) = R$, para escapar da atração gravitacional, o foguete necessita produzir uma força $F$ no mínimo equivalente, mas de sentido oposto, a força de atração gravitacional $F_g$:

 $$
-E_c \ge F_g \implies \dfrac{mv_0^2}2 \ge G\dfrac{Mm}{R^2} \implies v_0 \ge \dfrac{\sqrt{2GM}}R
+F = - F_g \implies \cancel ma(t) = - \dfrac{GM\cancel m}{[s(t)]^2}
+$$
+
+Para encontrar o valor destas funções com relação a v(t), multiplicaremos ambos  membros por v(t) e realizaremos a integração. Lembrando que $s'(t) = v(t)$ e
+
+$s''(t) = v'(t) = a(t)$:
+
+$$
+\int a(t)v(t)\ dt = - GM \int \dfrac {v(t)}{[s(t)]^2}\ dt
+$$
+
+Realizando operações de substituição onde $v = v(t)$, $dv = a(t)\ dt$, e $w = s(t)$, $dw = v(t)\ dt$, tem-se:
+
+$$
+\int v\ dv = - GM \int w^{-2}\ dw \implies \dfrac{[v(t)]^2}{2} + C_1= \dfrac{GM}{s(t)} + C_2
+\implies\dfrac{[v(t)]^2}{2} = \dfrac{GM}{s(t)} + C
+$$
+
+Onde $C$ é a diferença ($C_2 - C_1$) entre as  constantes de integração. Ora, mas o que seriam estas constantes de integração? Estas são os valores que suas respectivas funções assumem inicialmente, para $t = 0$:
+
+$$
+C = \dfrac{[v(0)]^2}2 - \dfrac{GM}{s(0)} = \dfrac{v_0^2}2 - \dfrac{GM}{R}
+$$
+
+Atente para o sinal, congruente com a orientação das forças. Também note que encontramos a variável cujo valor buscamos aferir.
+
+$$
+\dfrac{[v(t)]^2}{2} = \dfrac{GM}{s(t)} + \dfrac{v_0^2}2 - \dfrac{GM}{R}
+$$
+
+Analizando a equação acima, temos que para o foguete escapar da atração da força gravitacional, $\frac{[v(t)]^2}{2}$ necessita ser maior ou igual a zero. Por outro lado$\frac{GM}{s(t)}$ é sempre maior que zero, mas tende a zero em função do tempo. Logo, recai sobre $\frac{v_0^2}2 - \frac{GM}{R}$ também ser maior ou igual a zero para que a condição de escape seja satisfeita. Logo:
+
+$$
+\frac{v_0^2}2 - \frac{GM}{R} \ge 0 \implies v_0 \ge \sqrt{\dfrac{2GM}R}\ \blacksquare
 $$

 ## Capítulo 6.1
@ -84,10 +107,7 @@ $\sin x - \cos 2x = 0 \implies \sin x = \cos 2x \implies \sin x = \sin \left(\fr

 Logo,

-$\displaystyle \int^{\frac \pi 2}_0 |\sin x - \cos 2x|\ dx = \\\ \\ - \int^{\frac \pi 6}_0 \sin x - \cos 2x\ dx + \int^{\frac \pi 2}_{\frac \pi6} \sin x - \cos 2x\ dx = \\\ \\
-\int^{\frac \pi 6}_0 \cos 2x - \sin x\ dx + \int^{\frac \pi 2}_{\frac \pi6} \sin x - \cos 2x\ dx =\\\ \\
-\int^{\frac \pi 2}_{\frac \pi6} \sin x\ dx - \int^{\frac \pi 6}_0 \sin x\ dx + \int^{\frac \pi 6}_0 \cos 2x\ dx - \int^{\frac \pi 2}_{\frac \pi6} \underbrace{\cos 2x\ dx}_{u = 2x,\ du = 2dx} = \\\ \\
-\cos x \Big |^\frac \pi2_\frac\pi 6 - \cos x\Big |^\frac \pi6_0 + \dfrac 12\left(\sin x \Big |^\frac \pi3_0 - \sin x\Big |^\pi_\frac \pi 3\right) = \dfrac{3\sqrt 3}2 - 1\ \blacksquare$
+$\displaystyle \int^{\frac \pi 2}_0 |\sin x - \cos 2x|\ dx = - \int^{\frac \pi 6}_0 \sin x - \cos 2x\ dx + \int^{\frac \pi 2}_{\frac \pi6} \sin x - \cos 2x\ dx = \int^{\frac \pi 6}_0 \cos 2x - \sin x\ dx + \int^{\frac \pi 2}_{\frac \pi6} \sin x - \cos 2x\ dx = \int^{\frac \pi 2}_{\frac \pi6} \sin x\ dx - \int^{\frac \pi 6}_0 \sin x\ dx + \int^{\frac \pi 6}_0 \cos 2x\ dx - \int^{\frac \pi 2}_{\frac \pi6} \underbrace{\cos 2x\ dx}_{u = 2x,\ du = 2dx} = \cos x \Big |^\frac \pi2_\frac\pi 6 - \cos x\Big |^\frac \pi6_0 + \dfrac 12\left(\sin x \Big |^\frac \pi3_0 - \sin x\Big |^\pi_\frac \pi 3\right) = \dfrac{3\sqrt 3}2 - 1\ \blacksquare$

 Esse resultado pode ser expresso graficamente como:

@ -101,7 +121,7 @@ Esse resultado pode ser expresso graficamente como:

 #### Resolução

-$\displaystyle \int^{200}_0 f(x)\ dx \approx \sum^{10}_{i = 1}\dfrac{x_{i - 1} + x_i}2\Delta x =\\ 20(13,05 + 23,5 + 27,85 + 28,3 + 27,45 + 25,55 + 22,15 + 17,8 + 11,9 + 5,75) =\\ \textbf{4 066 cm²}\ \blacksquare$
+$\displaystyle \int^{200}_0 f(x)\ dx \approx \sum^{10}_{i = 1}\dfrac{x_{i - 1} + x_i}2\Delta x = 20(13,05 + 23,5 + 27,85 + 28,3 + 27,45 + 25,55 + 22,15 + 17,8 + 11,9 + 5,75) = \text{4 066 cm²}\ \blacksquare$

 ## Capítulo 6.5

@ -117,9 +137,9 @@ Calcule a temperatura média durante o período entre 9h e 21 h.

 #### Resolução

-$\displaystyle\overline T = \dfrac1{12 - 0} \int^{12}_0 20 + 6 \sin \left(\dfrac{t\pi}{12}\right)\ dt\\\ \\
-12\ \overline T = 20 \cdot 12 + 6 \int^{12}_0 \underbrace{\sin \left(\dfrac{t\pi}{12}\right)\ dt}_{u = \frac{t\pi}{12},\ du = \frac{\pi}{12}dt}\\\ \\
-\cancel{12}\ \overline T = 20 \cdot \cancel{12} + 6 \cdot \dfrac{\cancel{12}}\pi \cdot -\cos u \Big|^\pi_0 = 20 + \dfrac6\pi (- \cos \pi + \cos 0) = 20 + \dfrac{12}\pi \ \blacksquare
+$\displaystyle\overline T = \dfrac1{12 - 0} \int^{12}_0 20 + 6 \sin \left(\dfrac{t\pi}{12}\right)\ dt \implies
+12\ \overline T = 20 \cdot 12 + 6 \int^{12}_0 \underbrace{\sin \left(\dfrac{t\pi}{12}\right)\ dt}_{u = \frac{t\pi}{12},\ du = \frac{\pi}{12}dt} \implies
+\cancel{12}\ \overline T = 20 \cdot \cancel{12} + 6 \cdot \dfrac{\cancel{12}}\pi \cdot -\cos u \Big|^\pi_0 = 20 + \dfrac6\pi (- \cos \pi + \cos 0) = 20 + \dfrac{12}\pi \text{ °C } \blacksquare
 $

 ### Exercício 21
@ -145,18 +165,92 @@ $$

 #### Resolução

+A localização do centroide de uma área plana é dado pelo ponto $(\overline x, \overline y)$ onde:
+
+$$
+\overline x = \dfrac{\int^1_0xf(x)\ dx}{\int^1_0f(x)\ dx} \text{, e }
+\overline y = \dfrac{\int^1_0[f(x)]^2\ dx}{2\int^1_0f(x)\ dx}
+$$
+
+Logo,
+
+$\overline x = \dfrac{\int^1_0xe^x\ dx}{\int^1_0e^x\ dx} =
+\dfrac{xe^x\Big |^1_0 - \int^1_0e^x\ dx}{e - 1} = \dfrac 1{e - 1}\\\ \\
+\overline y = \dfrac{\int^1_0e^{2x}\ dx}{2\int^1_0e^x\ dx} = \dfrac{\int^2_0e^u\ du}{4 (e - 1)} = \dfrac{e + 1}4\ \blacksquare
+$
+
+<img title="" src="file:///home/user/Public/USP/Sistemas%20de%20Informação/2º%20semestre/Cálculo%20II/Atividade%204/Imagens/2021-09-27-14-29-57-image.png" alt="" data-align="center" width="248">
+
+> Gráfico da função com centroide calculado (ponto A, mais acima) e estimado (ponto B, mais abaixo)
+
 ### Exercício 41

+Encontre o centroide da região mostrada, não por integração, mas por localização dos centroides dos retângulos e triângulos e usando a aditividade dos momentos.
+
+<img src="file:///home/user/Public/USP/Sistemas%20de%20Informação/2º%20semestre/Cálculo%20II/Atividade%204/Imagens/2021-09-27-15-00-05-image.png" title="" alt="" data-align="center">
+
 #### Resolução

+O contorno da região é simétrico com relação ao eixo $y$, logo, $\overline x = 0$. Agora, o centroide do triângulo encontra-se no encontro de suas medianas ($h/3 = 2/3$) e aquele do retângulo encontra-se em seu centro ($h/2 = -1/2$). O centroide da região no encontrará-se no ponto médio entre estes pontos:
+
+$\overline y = \dfrac 23 - \dfrac 12\left[\dfrac 23 - \left( - \dfrac 12 \right)\right] = \dfrac 1{12}\ \blacksquare$
+
 ## Capítulo 8.5

 ### Exercício 9

+Mostre que a mediana do tempo de espera para uma chamada para a companhia descrita no Exemplo 4 é de cerca de 3,5 minutos.
+
 #### Resolução

+$\displaystyle \int^\infty_m f(t)\ dt = \dfrac 12 \implies \lim_{x \to \infty} \int^x_m\underbrace{\dfrac{e^{-\frac t5}}5\ dt}_{u\ = - \frac t5;\ du = - \frac{dt}5} \implies \lim_{x \to \infty} \dfrac 15 \cdot -5 \cdot e^u \Big |^{- \frac x5}_{- \frac m5} = \dfrac 12 \implies \lim_{x \to \infty} \left(\dfrac 1{e^{\frac m5}} - \cancel{\dfrac 1{e^{\frac x5}}}\right) = \dfrac 12 \implies e^{m/5} = 2 \implies \dfrac m5 \cancel{\ln e} = \ln 2 \implies m = 5\ln 2 \approx 3,5\ \blacksquare$
+
 ### Exercício 19

+O átomo de hidrogênio é composto por um próton no núcleo e um elétron, que se move ao redor do núcleo. Na teoria quântica de estrutura atômica supõe-se que o elétron não se mova em uma órbita bem definida. Ao contrário, ele ocupa um estado conhecido como *orbital*, que pode ser pensado como uma “nuvem” de carga negativa rodeando o núcleo. No estado de energia mais baixa, chamado *estado fundamental*, ou *orbital 1s*, é suposto que o formato do orbital seja uma esfera com centro no núcleo. Essa esfera é descrita em termos da função densidade de probabilidade
+
+$$
+p(r) = \dfrac 4{a^3_0}r^2e^{-\frac{2r}{a_o}},\ r \ge 0
+$$
+
+onde $a_0$ é o *raio de Bohr* ($a_0 \approx 559 \cdot 10^{-13}m$). A integral
+
+$$
+P(r) = \int^r_0 \dfrac 4{a^3_0}s^2e^{-\frac{2s}{a_o}}\ ds
+$$
+
+dá a probabilidade de o elétron ser encontrado dentro da esfera de raio *r* metros centrada no núcleo.
+
 #### Resolução

+**a)** Verifique se $p(r)$ é uma função densidade de probabilidade.
+
+A função $p(r)$ é uma função densidade de probabilidade se, e somente se, $\lim_{r \to \infty}\int_0^r p(s)\ ds = 1$.
+
+$\displaystyle \lim_{r \to \infty} \int^r_0 \underbrace{\dfrac{4s^2}{a_0^3}e^{-\frac{2s}{a_o}}ds}_{u\ =\ \frac{2s}{a_o},\ du = \frac{2ds}{a_o}} = \lim_{r \to \infty} - \dfrac {\cancel{a_0}}2 \cdot \dfrac 1{\cancel{a_0}} \int^{\frac{2r}{a_o}}_0 u^2e^u\ du   = \lim_{r \to \infty} - \dfrac 12 \left(u^2e^u \Big |^{\frac{-2r}{a_o}}_0 - 2 \int^{\frac{-2r}{a_o}}_0 ue^u\ du\right) = \lim_{r \to \infty} - \dfrac 12 \left[u^2e^u \Big |^{\frac{-2r}{a_o}}_0 - 2 \left( ue^u \Big |^{\frac{-2r}{a_o}}_0 - e^u \Big |^{\frac{-2r}{a_o}}_0 \right)\right] = 1\ \blacksquare$
+
+**b)** Encontre $\lim_{r\to \infty} p(r)$. Para que valor de $r$ a função $p(r)$ tem seu valor máximo?
+
+$\displaystyle \lim_{r \to \infty} \dfrac{4r^2}{a_0^3e^{\frac{2r}a}} = \dfrac 4{a^3_0} \lim_{r \to \infty} \dfrac{r^2}{e^{\frac{2r}a}} = \dfrac 4{a^3_0} \lim_{r \to \infty} \dfrac{2r}{e^{\frac{2r}a} \cdot \dfrac 2a} = \dfrac 4{a^3_0} \lim_{r \to \infty} \dfrac{ar}{e^{\frac{2r}a}} = \dfrac 4{a^3_0} \lim_{r \to \infty} \dfrac{a}{e^{\frac{2r}a} \cdot \dfrac 2a} = \dfrac 4{a^3_0} \cdot 0 = 0\ \blacksquare$
+
+Para encontrar o valor máximo da função, iremos derivá-la para encontrar os pontos de valor máximo e mínimo:
+
+$p(r) = \dfrac 4{a_0^3} \cdot \dfrac{\overbrace{r^2}^{u}}{\underbrace{e^{\frac{2r}a}}_{v}} \implies u' = 2r;\ v' = e^{\frac{2r}{a_o}} \ln e \dfrac 2{a_0} = \dfrac{2e^{\frac{2r}{a_o}}}{a_0}\\\ \\ p'(r) = \dfrac 4{a_0^3} \cdot \dfrac{e^{\frac{2r}{a_o}} \cdot 2r - \left(r^2 \cdot \dfrac{2e^{\frac{2r}{a_o}}}{a}\right)}{(e^{\frac{2r}{a_o}})^2} = \dfrac{8r(a_0 - r)}{a^4e^{\frac{2r}{a_o}}}$
+
+Assim, a função tem valor máximo ou mínimo quando a sua derivada tem valor igual a $0$. Verificamos que isso ocorre quando $r (r - a_0) = 0$, o que implica $r = 0$ ou $r = a_0$. Substituíndo estes valores da função inicial obtemos respectivamente o mínimo ($0$) e o máximo($\frac 4{a_0e^2}$). $\blacksquare$
+
+**c)** Desenhe a função densidade
+
+![](/home/user/Public/USP/Sistemas%20de%20Informação/2º%20semestre/Cálculo%20II/Atividade%204/Imagens/2021-09-29-18-09-21-image.png)
+
+> Desenho fora de escala, feito do ponto 0 em diante.
+
+**d)** Calcule a probabilidade de o elétron estar dentro da esfera de raio $4a_0 $ centrada no núcleo.
+
+$ P(4a)= \displaystyle \int^{4a}_0 \dfrac{4s^2}{a_0^3}e^{-\frac{2s}a} ds =  -\dfrac 12 \left[u^2e^u \Big |^{\frac{-2r}{a_o}}_0 - 2 \left( ue^u \Big |^{\frac{-2r}{a_o}}_0 - e^u \Big |^{\frac{-2r}{a_o}}_0 \right)\right] = - \dfrac 12 \left[64e^{-8} - 64 - 2 (-8e^{-8} - e^{-8} + 1)\right] = 33 - \dfrac{41}{e^8} \approx 0,986\ \blacksquare$
+
+**e)** Calcule a distância média do elétron e do núcleo no estado fundamental do átomo de hidrogênio.
+
+$\displaystyle \lim_{r \to \infty} \int^r_0 \underbrace{4\left(\dfrac s{a_0}\right)^3 e^{-\frac{2r}{a_o}}ds}_{u = - \frac 2{a_o},\  -a_odu = ds} = \lim_{r \to \infty} 4a_0 \int^{-\frac r{a_o}}_0 \underbrace{u^3e^{2u}du}_{v = 2u,\ dv = 2du} = \lim_{r \to \infty}\dfrac {a_0}4 \int^{-\frac{2r}{a_o}}_0v^3e^vdv =  \lim_{r \to \infty} \dfrac{a_0}4 \left(v^3e^v \Big|^{-\frac {2r}{a_o}}_0 - 3 \left(v^2e^v \Big|^{-\frac {2r}{a_o}}_0 - 2 \left(ve^v \Big|^{-\frac {2r}{a_o}}_0 - e^v \Big|^{-\frac {2r}{a_o}}_0\right)\right)\right) = - \underbrace{\cancel{\lim_{r \to \infty} \dfrac{2r^3}{e^{- \frac{2r}{a_o}}}  -\lim_{r \to \infty} \dfrac{3r^2}{e^{- \frac{2r}{a_o}}} + \lim_{r \to \infty} \dfrac{3r}{e^{- \frac{2r}{a_o}}}}}_{\text{Aplicando L'Hopital, igualam-se a 0}} + \dfrac{3a_0}2 = \dfrac{3a_0}2\ \blacksquare$
+
 [^1]: nUSP 12543033
--- a/4/Imagens/2021-09-27-14-29-57-image.png
+++ b/4/Imagens/2021-09-27-14-29-57-image.png
--- a/4/Imagens/2021-09-27-15-00-05-image.png
+++ b/4/Imagens/2021-09-27-15-00-05-image.png
--- a/4/Imagens/2021-09-29-18-09-21-image.png
+++ b/4/Imagens/2021-09-29-18-09-21-image.png
--- a/elementar.md
+++ b/elementar.md
@ -6,7 +6,7 @@ Respostas à [1ª lista de exercícios](https://classroom.google.com/u/0/c/MzgyM

 **(a)** $(q \land \lnot r) \to p$

-"*Se o céu está estrelado e não está fazendo frio então Eva vai sair para uma caminhada*"
+"*O céu está estrelado e não está fazendo frio, então Eva vai sair para uma caminhada*"

 **(b)**  $q \to (\lnot r \to p)$

@ -19,7 +19,10 @@ A proposição acima equivale à $q \to (r \lor p)$, conforme demonstra a seguin
 | V   | F   | V               | V           |
 | V   | V   | V               | V           |

-Logo, a oração fica: "*Se o céu está estrelado então está fazendo frio ou Eva vai sair para uma caminhada.*"
+Logo, a oração fica: "*O céu está estrelado, então está fazendo frio ou Eva vai sair para uma caminhada.*"
+
+> Resultado diferente do sugerido pelo professor “O céu está estrelado então Eva vai sair para uma caminhada porque não está fazendo
+> frio.” Este afirma não estar fazendo frio

 **(c)** $\lnot(p \iff (q \lor r))$

@ -63,10 +66,10 @@ Se q é uma tautologia, $q \equiv V$ sempre. Enquanto, se r é uma contradição
 | F   | V   | F   | F                    | F                              |
 | F   | F   | V   | F                    | F                              |
 | F   | V   | V   | F                    | F                              |
-| V   | V   | V   | V                    | V                              |
+| V   | F   | F   | F                    | F                              |
 | V   | V   | F   | V                    | V                              |
 | V   | F   | V   | V                    | V                              |
-| V   | F   | F   | F                    | F                              |
+| V   | V   | V   | V                    | V                              |

 **(b)** Tal qual anterioremente,