Simplified doubly linked list
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fd218bede0
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d6ff979988
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@ -1,140 +1,140 @@
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# Semana 04: resposta ao [exercício proposto](http://www.each.usp.br/digiampietri/ACH2023/ACH2023_AtividadeSemanal04.pdf)
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> Por Guilherme de Abreu Barreto, nUSP: 12543033.
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||||
> Por Guilherme de Abreu Barreto[^1]
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```c
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#include <stdio.h>
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#include <stdlib.h>
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typedef struct node {
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int value;
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struct node *prev;
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struct node *next;
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int value;
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struct node *prev;
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struct node *next;
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} Node;
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typedef struct {
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Node *start;
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Node *end;
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Node *start;
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Node *end;
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} List;
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void insertIn (List *l, int value) {
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Node *prev, *current, *next;
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prev = next = NULL;
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Node *prev, *current, *next;
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prev = next = NULL;
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if (l->start != NULL) {
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if (abs(value - l->start->value) < abs(value - l->end->value)) {
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next = l->start;
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while (next != NULL && next->value < value) {
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prev = next;
|
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next = next->next;
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}
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||||
if (next != NULL && next->value == value)
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return;
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}
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else {
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prev = l->end;
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while (prev != NULL && prev->value > value) {
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next = prev;
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prev = prev->prev;
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}
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if (prev != NULL && prev->value == value)
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return;
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}
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}
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if (l->start != NULL) {
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||||
if (abs(value - l->start->value) < abs(value - l->end->value)) {
|
||||
for (next = l->start; next != NULL && next->value < value; next = next->next)
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||||
prev = next;
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if (next != NULL && next->value == value)
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||||
return;
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}
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else {
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||||
for (prev = l->end; prev != NULL && prev->value > value; prev = prev->prev)
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||||
next = prev;
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||||
if (prev != NULL && prev->value == value)
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||||
return;
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}
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}
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current = malloc(sizeof(*current));
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||||
current->value = value;
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||||
current = malloc(sizeof(*current));
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||||
current->value = value;
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||||
if (prev == NULL) {
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current->next = l->start;
|
||||
l->start = current;
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}
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else {
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current->next = prev->next;
|
||||
prev->next = current;
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}
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if (prev == NULL) {
|
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current->next = l->start;
|
||||
l->start = current;
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||||
current->prev = NULL;
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}
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else {
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||||
current->next = prev->next;
|
||||
prev->next = current;
|
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}
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||||
if (next == NULL) {
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||||
current->prev = l->end;
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||||
l->end = current;
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}
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else {
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||||
current->prev = next->prev;
|
||||
next->prev = current;
|
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}
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if (next == NULL) {
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||||
current->prev = l->end;
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||||
l->end = current;
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||||
current->next = NULL;
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}
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else {
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current->prev = next->prev;
|
||||
next->prev = current;
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}
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}
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void removeFrom (List *l, int value) {
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Node *current;
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Node *current;
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if (l->start == NULL)
|
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return;
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||||
if (abs(value - l->start->value) < abs(value - l->end->value)) {
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||||
current = l->start;
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||||
while (current != NULL && current->value < value)
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||||
current = current->next;
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||||
}
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else {
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current = l->end;
|
||||
while (current != NULL && current->value > value)
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||||
current = current->prev;
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||||
}
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||||
if (l->start == NULL)
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||||
return;
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||||
if (abs(value - l->start->value) < abs(value - l->end->value)) {
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||||
current = l->start;
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||||
while (current != NULL && current->value < value)
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||||
current = current->next;
|
||||
}
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||||
else {
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||||
current = l->end;
|
||||
while (current != NULL && current->value > value)
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||||
current = current->prev;
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||||
}
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||||
if (current == NULL)
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return;
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||||
if (current->prev != NULL && current->next != NULL) {
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current->prev->next = current->next;
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||||
current->next->prev = current->prev;
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}
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else {
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||||
if (current->prev == NULL) {
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||||
l->start = current->next;
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||||
if (current->next != NULL)
|
||||
current->next->prev = NULL;
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||||
}
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||||
if (current->next == NULL) {
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||||
l->end = current->prev;
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||||
if (current->prev != NULL)
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||||
current->prev->next = NULL;
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}
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}
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free(current);
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||||
if (current == NULL)
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return;
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||||
if (current->prev != NULL && current->next != NULL) {
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||||
current->prev->next = current->next;
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||||
current->next->prev = current->prev;
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}
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||||
else {
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||||
if (current->prev == NULL) {
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||||
l->start = current->next;
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||||
if (current->next != NULL)
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||||
current->next->prev = NULL;
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}
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if (current->next == NULL) {
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l->end = current->prev;
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if (current->prev != NULL)
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current->prev->next = NULL;
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}
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}
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free(current);
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}
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void printList (List l) {
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int i;
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Node *current = l.start;
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for (i = 0; current != NULL; i++) {
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||||
printf("\nÍndice: %-6d Valor: %-6d (Endereços) Anterior: %p Atual: %p Próximo: %p\n", i, current->value, current->prev, current, current->next);
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current = current->next;
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||||
}
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||||
int i;
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||||
Node *current = l.start;
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||||
for (i = 0; current != NULL; i++) {
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||||
printf("\nÍndice: %-6d Valor: %-6d (Endereços) Anterior: %p Atual: %p Próximo: %p\n", i, current->value, current->prev, current, current->next);
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||||
current = current->next;
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}
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}
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int main () {
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int i;
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char c;
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int i;
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char c;
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List l = {0};
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printf("Este programa adiciona valores inteiros à uma lista duplamente ligada, e depois permite excluí-los da mesma.\nDigite uma sequência de valores e pressione ENTER: ");
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||||
do {
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||||
if(!scanf("%d%c", &i, &c)) {
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||||
printf("Valor inválido detectado.");
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return 1;
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}
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insertIn(&l, i);
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} while (c != '\n');
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printList(l);
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||||
printf("Este programa adiciona valores inteiros à uma lista duplamente ligada, e depois permite excluí-los da mesma.\nDigite uma sequência de valores e pressione ENTER: ");
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||||
do {
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||||
if(!scanf("%d%c", &i, &c)) {
|
||||
printf("Valor inválido detectado.");
|
||||
return 1;
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||||
}
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||||
insertIn(&l, i);
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} while (c != '\n');
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printList(l);
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printf("\nDigite uma sequência de valores a serem apagados e pressione ENTER: ");
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do {
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||||
if(!scanf("%d%c", &i, &c)) {
|
||||
printf("Valor inválido detectado.");
|
||||
return 1;
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}
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||||
removeFrom(&l, i);
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} while (c != '\n');
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printList(l);
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printf("\nDigite uma sequência de valores a serem apagados e pressione ENTER: ");
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||||
do {
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||||
if(!scanf("%d%c", &i, &c)) {
|
||||
printf("Valor inválido detectado.");
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||||
return 1;
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}
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||||
removeFrom(&l, i);
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} while (c != '\n');
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printList(l);
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return 0;
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}
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```
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[^1]: nUSP 12543033
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@ -33,24 +33,18 @@ void insertIn (List *l, int value) {
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current = malloc(sizeof(*current));
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current->value = value;
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current->prev = prev;
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current->next = next;
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if (prev == NULL) {
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current->next = l->start;
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if (prev == NULL)
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l->start = current;
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}
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else {
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current->next = prev->next;
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else
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prev->next = current;
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}
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||||
if (next == NULL) {
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current->prev = l->end;
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if (next == NULL)
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l->end = current;
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}
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else {
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current->prev = next->prev;
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else
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next->prev = current;
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}
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}
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void removeFrom (List *l, int value) {
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@ -75,17 +69,15 @@ void removeFrom (List *l, int value) {
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current->prev->next = current->next;
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current->next->prev = current->prev;
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}
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else if (current->prev == NULL) {
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l->start = current->next;
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if (current->next != NULL)
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current->next->prev = NULL;
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}
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else {
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if (current->prev == NULL) {
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l->start = current->next;
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if (current->next != NULL)
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current->next->prev = NULL;
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}
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if (current->next == NULL) {
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l->end = current->prev;
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if (current->prev != NULL)
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current->prev->next = NULL;
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}
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l->end = current->prev;
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||||
if (current->prev != NULL)
|
||||
current->prev->next = NULL;
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}
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free(current);
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}
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@ -8,7 +8,7 @@
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| $f(x) = x^n$ | $f'(x) = nx^{n - 1}$ |
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| $f(x) = c x^n$ | $f'(x) = cnx^{n - 1}$ |
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| $f(x) = g(x) h(x)$ | $f'(x) = g(x) h'(x) + g'(x) h(x)$ |
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| $f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)}$ | $f'(x) = \dfrac{h(x)g'(x) + g(x) h'(x)}{\big(h(x)\big)^2}$ |
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||||
| $f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)}$ | $f'(x) = \dfrac{h(x)g'(x) - g(x) h'(x)}{\big(h(x)\big)^2}$ |
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||||
| $f(x) = a^x$ | $f'(x) = a^x\ln a $ |
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| $f(x) = log_ax$ | $f'(x) = \dfrac1{x\ln a}$ |
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@ -0,0 +1,162 @@
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# Atividade 3
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Resolução dos exercícios obrigatórios, feita por Guilherme de Abreu Barreto[^1].
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## Capítulo 7.8
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### Exercício 53
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Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente.
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$$
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\int^1_0 \dfrac{\sec^2 x}{x\sqrt x}\ dx
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$$
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#### Resolução
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A integral acima é imprópria e tende ao infinito para x = 0, logo, equivale à
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$$
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\lim_{t \to 0^+}\ \int^1_t \dfrac{\sec^2 x}{x\sqrt x}\ dx
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$$
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Podemos atestar que a seguinte declaração é verdadeira:
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$$
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\lim_{t \to 0^+}\ \int^1_t \dfrac{\sec^2 x}{x\sqrt x}\ dx \ge \lim_{t \to 0^+}\ \int^1_t \dfrac{\sec^2 x}{x}\ dx
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$$
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||||
Pois no intervalo de 0 à 1 $x\sqrt x$ produz denominadores menores que $x$ simplesmente. Logo, se a expressão à direita da desigualdade divergir, a expressão à esquerda, função de maior valor, também divergirá. Isso segundo o Teorema da Comparação. Logo,
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$\displaystyle \lim_{t \to 0^+}\ \int^1_t \dfrac{\sec^2 x}{x}\ dx
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\begin{cases}
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u = \sec^2 x \implies du = \sec x \tan x\ dx\\
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||||
dv = \dfrac 1x \implies v = \ln |x|
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\end{cases} \\\ \\
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||||
= \lim_{t \to 0^+} \ln |x|\sec^2x\bigg |^1_t - \lim_{t \to 0^+} \int^1_t \ln |x| \sec x \tan x\ dx
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$
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Vejamos que a primeira parte desta expressão diverge:
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$$
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\lim_{t \to 0^+} \ln |x|\sec^2x\bigg |^1_t = \ln|1|\sec^21 - \ln |0⁺|\sec^20^+ = \infty
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$$
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||||
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||||
Logo, $\lim_{t \to 0^+}\ \int^1_t \frac{\sec^2 x}{x}\ dx$ diverge e, dado o Teorema da Comparação, $\lim_{t \to 0+}\ \int1_t \frac{\sec^2 x}{x\sqrt x}\ dx$ também. $\blacksquare$
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#### Exercício 65
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||||
Encontre a velocidade de escape $v_0$ que é necessária para lançar um foguete de massa $m$ para fora do campo gravitacional de um planeta com massa $M$ e raio $R$. Use a Lei da Gravitação de Newton e o fato de que a energia cinética inicial de $\frac 12 mv^2_0$ supre o trabalho necessário.
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#### Resolução
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Admitindo que o lançamento se dá na superfície do planeta, temos:
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$$
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E_c \ge F_g \implies \dfrac{mv_0^2}2 \ge G\dfrac{Mm}{R^2} \implies v_0 \ge \dfrac{\sqrt{2GM}}R
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$$
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## Capítulo 6.1
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### Exercício 31
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Calcule a integral e interprete-a como a área de uma região. Esboce a região.
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$$
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\int^{\frac \pi 2}_0 |\sin x - \cos 2x|\ dx
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$$
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#### Resolução
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O resultado desta integral, por se tratar de uma função modular, será equivalente a soma dos módulos das áreas descritas pela função quando esta tem valores positivos e negativos. Notamos que esta possui valor negativo em seu início:
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$
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\sin 0 - \cos 0 = -1
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$
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Positivo ao seu final:
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$\sin \frac \pi 2 + \cos \pi = 2$
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E nulo em:
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$\sin x - \cos 2x = 0 \implies \sin x = \cos 2x \implies \sin x = \sin \left(\frac \pi2 - 2x\right)\\ \implies x = \frac \pi2 - 2x \implies x = \frac \pi 6$
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Logo,
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$\displaystyle \int^{\frac \pi 2}_0 |\sin x - \cos 2x|\ dx = \\\ \\ - \int^{\frac \pi 6}_0 \sin x - \cos 2x\ dx + \int^{\frac \pi 2}_{\frac \pi6} \sin x - \cos 2x\ dx = \\\ \\
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||||
\int^{\frac \pi 6}_0 \cos 2x - \sin x\ dx + \int^{\frac \pi 2}_{\frac \pi6} \sin x - \cos 2x\ dx =\\\ \\
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||||
\int^{\frac \pi 2}_{\frac \pi6} \sin x\ dx - \int^{\frac \pi 6}_0 \sin x\ dx + \int^{\frac \pi 6}_0 \cos 2x\ dx - \int^{\frac \pi 2}_{\frac \pi6} \underbrace{\cos 2x\ dx}_{u = 2x,\ du = 2dx} = \\\ \\
|
||||
\cos x \Big |^\frac \pi2_\frac\pi 6 - \cos x\Big |^\frac \pi6_0 + \dfrac 12\left(\sin x \Big |^\frac \pi3_0 - \sin x\Big |^\pi_\frac \pi 3\right) = \dfrac{3\sqrt 3}2 - 1\ \blacksquare$
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||||
Esse resultado pode ser expresso graficamente como:
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<img src="file:///home/user/Public/USP/Sistemas%20de%20Informação/2º%20semestre/Cálculo%20II/Atividade%204/Imagens/2021-09-25-16-49-50-image.png" title="" alt="" data-align="center">
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### Exercício 45
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É mostrada a seção transversal da asa de um avião. As medidas em centímetros da espessura da asa, em intervalos de 20 centímetros, são 5.8, 20.3, 26.7, 29.0, 27.6, 27.3, 23.8, 20.5, 15.1, 8.7, e 2.8. Utilize a Regra do Ponto Médio para estimar a área da secção transversal da asa.
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<img src="file:///home/user/Public/USP/Sistemas%20de%20Informação/2º%20semestre/Cálculo%20II/Atividade%204/Imagens/2021-09-25-16-52-18-image.png" title="" alt="" data-align="center">
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#### Resolução
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$\displaystyle \int^{200}_0 f(x)\ dx \approx \sum^{10}_{i = 1}\dfrac{x_{i - 1} + x_i}2\Delta x =\\ 20(13,05 + 23,5 + 27,85 + 28,3 + 27,45 + 25,55 + 22,15 + 17,8 + 11,9 + 5,75) =\\ \textbf{4 066 cm²}\ \blacksquare$
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## Capítulo 6.5
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### Exercício 17
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Em uma certa cidade a temperatura (em ºC) $t$ horas depois das 9 h foi aproximada pela função
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$$
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T(t) = 20 + 6 \sin \left(\dfrac{t\pi}{12}\right)
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$$
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Calcule a temperatura média durante o período entre 9h e 21 h.
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#### Resolução
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$\displaystyle\overline T = \dfrac1{12 - 0} \int^{12}_0 20 + 6 \sin \left(\dfrac{t\pi}{12}\right)\ dt\\\ \\
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||||
12\ \overline T = 20 \cdot 12 + 6 \int^{12}_0 \underbrace{\sin \left(\dfrac{t\pi}{12}\right)\ dt}_{u = \frac{t\pi}{12},\ du = \frac{\pi}{12}dt}\\\ \\
|
||||
\cancel{12}\ \overline T = 20 \cdot \cancel{12} + 6 \cdot \dfrac{\cancel{12}}\pi \cdot -\cos u \Big|^\pi_0 = 20 + \dfrac6\pi (- \cos \pi + \cos 0) = 20 + \dfrac{12}\pi \ \blacksquare
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$
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### Exercício 21
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No Exemplo 1 na Seção 3.8, modelamos a população mundial na segunda metade do século 20 pela equação $P(t) = 2 560e^{0,017185t}$. Use essa equação para estimar a população mundial média durante esse período de tempo.
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#### Resolução
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$c = 0,017185 = \dfrac{3437}{2 \cdot 10^5}\\\ \\
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\displaystyle \overline P = \dfrac{2560}{50} \int^{50}_0 e^{ct}dt\ \}\ u = bt\implies du = cdu \\\ \\
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\overline P = \dfrac{256}{5c}e^u\Big|^{50c}_0 = \dfrac{4 \cdot 10^4 \cdot 256}{3437}(e^{\frac{3437}{4 \cdot 10^3}} - 1) \approx \dfrac{4 \cdot 10^4 \cdot 256}{3437}(e^{\frac78} - 1) \approx 4167,08\ mi \approx 4\ bi\ \blacksquare
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$
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## Capítulo 8.3
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### Exercício 27
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Esboce a região delimitada pelas curvas e visualmente estime a localização do centroide. Em seguida, calcule as coordenadas exatas do centroide.
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$$
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y = e^x,\ y = 0,\ x = 0,\ x = 1
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$$
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#### Resolução
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### Exercício 41
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#### Resolução
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## Capítulo 8.5
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### Exercício 9
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#### Resolução
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### Exercício 19
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#### Resolução
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[^1]: nUSP 12543033
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Binary file not shown.
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After Width: | Height: | Size: 20 KiB |
Binary file not shown.
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After Width: | Height: | Size: 20 KiB |
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@ -139,7 +139,7 @@ $
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| V | V | V | $(V \land F) \lor (V \lor V) \equiv V$ |
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| V | V | F | $(V \land V) \lor (V \lor F) \equiv V$ |
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| V | F | V | $(F \land F) \lor (F \lor V) \equiv V$ |
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| V | F | F | $(F \land V) \lor (F \lor V) \equiv F$ |
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| V | F | F | $(F \land V) \lor (F \lor V) \equiv V$ |
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## 8.
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@ -11,4 +11,10 @@ Por exemplo,
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- $\{(1,0), (0,1)\}$ é uma base do $\R^2$
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- $\{(1, 0, \dots, 0), (0,1,0, \dots, 0), \dots, (0, \dots, 0, 1)\}$ é uma base do $\R^n$
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Fica convencionado que se $V = \{e\}$, seu subconjunto gerador é o conjunto vazio: $[\empty] = V$.
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Fica convencionado que se $V = \{e\}$, seu subconjunto gerador é o conjunto vazio: $[\empty] = V$.
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## Base canônica
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A base aquela composta por vetores unitários na forma
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${(1, 0, \dots, 0), (0,1,0, \dots, 0), \dots, (0, \dots, 0, 1)}$
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@ -28,6 +28,4 @@ Todo sub-espaço vetorial de um espaço finitamente gerado também é finitament
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### Proposição 4
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Seja $W$ um sub-espaço vetorial de $V$. Se $\dim W = \dim V$, então $W = V$.
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Seja $W$ um sub-espaço vetorial de $V$. Se $\dim W = \dim V$, então $W = V$.
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