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ff1e0a74c4
commit
fd218bede0
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@ -1,3 +1,2 @@
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*.out
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*.pdf
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BxComp/
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@ -2,8 +2,6 @@
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> Por Guilherme de Abreu Barreto, nUSP: 12543033.
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```c
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#include <stdio.h>
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#include <stdlib.h>
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@ -18,20 +18,14 @@ void insertIn (List *l, int value) {
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if (l->start != NULL) {
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if (abs(value - l->start->value) < abs(value - l->end->value)) {
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next = l->start;
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while (next != NULL && next->value < value) {
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for (next = l->start; next != NULL && next->value < value; next = next->next)
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prev = next;
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next = next->next;
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}
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if (next != NULL && next->value == value)
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return;
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}
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else {
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prev = l->end;
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while (prev != NULL && prev->value > value) {
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for (prev = l->end; prev != NULL && prev->value > value; prev = prev->prev)
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next = prev;
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prev = prev->prev;
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}
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if (prev != NULL && prev->value == value)
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return;
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}
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@ -0,0 +1,38 @@
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# Semana 04: resposta ao [exercício proposto](http://www.each.usp.br/digiampietri/ACH2023/ACH2023_AtividadeSemanal05.pdf)
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> Por Guilherme de Abreu Barreto[^1]
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Para uma estrutura de tipo `stack` definida como:
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```c
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typedef struct {
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int * value, size, top;
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} Stack;
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```
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E inicializada na forma:
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```c
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Stack * initialize (int size) {
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Stack *s = malloc(sizeof(*s));
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s->value = malloc(size * sizeof(s->value));
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s->size = size;
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s->top = -1;
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return s;
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}
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```
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Tem-se impressos os conteúdos nesta armazenados, na ordem do fundo até o topo, por intermédio da seguinte função:
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```c
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void reversePrintStack (Stack *s) {
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int i;
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printf("Pilha (da base para o topo): \" ");
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for (i = 0; i <= s->top; i++)
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printf("%d\n", s->value[i]);
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printf("\"\n");
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}
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```
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[^1]: nUSP: 12543033
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@ -0,0 +1,107 @@
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#include <stdio.h>
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#include <stdlib.h>
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#include <stdbool.h>
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typedef struct node {
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int value;
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struct node *prev;
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struct node *next;
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} Node;
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Node * initialize () {
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Node *n = malloc(sizeof(*n));
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n->prev = n->next = n;
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return n;
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}
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void reinitilize (Node * HEAD) {
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Node *current = HEAD->next;
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while (current != HEAD) {
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current = current->next;
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free(current->prev);
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}
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current->next = current->prev = current;
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}
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int listSize (Node *HEAD) {
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Node *current = HEAD->next;
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int size;
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for (size = 0; current != HEAD; size++)
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current = current->next;
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return size;
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}
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void printList (Node *HEAD) {
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Node *current = HEAD->next;
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printf("Lista: \"");
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while (current != HEAD) {
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printf("%d ", current->value);
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current = current->next;
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}
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printf("\"\n");
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}
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Node * findIn(Node *HEAD, int value) {
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Node *current = HEAD->next;
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HEAD->value = value;
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while (current->value != value)
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current = current->next;
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return (current != HEAD) ? current : NULL;
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}
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/* Implementação que considera uma lista ordenada */
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Node * findInOrdered(Node *HEAD, int value) {
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Node *current;
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if (abs(value - HEAD->next->value) < abs(value - HEAD->prev->value)) {
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current = HEAD->next;
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while (current->value < value)
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current = current->next;
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}
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else {
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current = HEAD->prev;
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while (current-> value > value)
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current = current->prev;
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}
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return (current == HEAD || current->value != value) ? NULL : current;
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}
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bool insertIn(Node *HEAD, int value) {
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Node *prev, *current, *next;
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prev = next = HEAD;
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if (abs(value - HEAD->next->value) < abs(value - HEAD->prev->value)) {
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for (next = HEAD->next; next->next != HEAD && next->value < value; next = next->next)
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prev = next;
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if (next->value == value)
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||||
return false;
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}
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else {
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||||
for (prev = HEAD->prev; prev->prev != HEAD && prev->value > value; prev = prev->prev)
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next = prev;
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||||
if (prev->value == value)
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||||
return false;
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}
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current = malloc(sizeof(*current));
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current->value = value;
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current->next = prev->next;
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prev->next = current;
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current->prev = next->prev;
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||||
next->prev = current;
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return true;
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}
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bool removeFrom(Node *HEAD, int value) {
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Node * current = findInOrdered(HEAD, value);
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if (current == NULL)
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return false;
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current->next->prev = current->prev;
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||||
current->prev->next = current->next;
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free(current);
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return true;
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}
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@ -0,0 +1,48 @@
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#include <stdio.h>
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#include <stdbool.h>
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#include <stdlib.h>
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typedef struct {
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int * value, size, top;
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} Stack;
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Stack * initialize (int size) {
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Stack *s = malloc(sizeof(*s));
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s->value = malloc(size * sizeof(s->value));
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s->size = size;
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s->top = -1;
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return s;
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}
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void printStack (Stack *s) {
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int i;
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printf("Lista: \"");
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for (i = s->top; i >= 0; i--)
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printf("%d ", s->value[i]);
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printf("\"\n");
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}
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void reversePrintStack (Stack *s) {
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int i;
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printf("Pilha (da base para o topo): \" ");
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for (i = 0; i <= s->top; i++)
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printf("%d\n", s->value[i]);
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printf("\"\n");
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}
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bool push (Stack * s, int value) {
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if (s->top >= s->size + 1)
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return false;
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s->top = s->top + 1;
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s->value[s->top] = value;
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return true;
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}
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int pop (Stack * s) {
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if (s->top < 0)
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return EOF;
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s->top -= 1;
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return s->value[s->top + 1];
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}
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@ -0,0 +1 @@
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Subproject commit c1df3404964c1ab41cfad7618e7ef8d7b1e85668
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@ -2,4 +2,95 @@
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Seja $V$ um espaço vetorial sobre $\R$.
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## Conjunto linearmente independente (L.I.)
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Dizemos que um conjunto $L = \{u_1, \dots, u_2\} \subset V$ é *linearmente independente* se e somente se, uma igualdade do tipo
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$$
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a_1u_1 + \dots + a_nu_n = e
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$$
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onde $a \in \R$, for possível **somente** quando $a_1 = \dots = a_n = 0$. Outro caso possível é quando o conjunto $L$ em questão é nulo ($L = \{\empty\}$).
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## Conjunto linearmente dependente (L.D.)
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Quando o conjunto não é nulo e a somatória anteriormente descrita só é possível se $\exists\ a \not = 0$.
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## Propriedades da dependência linear
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**P1.** Se um conjunto $L \subset V$ contém o vetor nulo, então esse conjunto é L. D.
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Demonstração: Seja $S = \{e, u_2, \dots, u_n\}$, então
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$$
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ae + 0u_2 + \dots + 0u_n = e
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$$
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para todo $a \not = 0$. Isso é suficiente para concluir que S é L. D.[^1] $\blacksquare$
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**P2.** Se $L = {u}$, onde $L \subset V$ e $u \not = e$, então $L$ é L.I.
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Demonstração: Se $au = e$, e $u \not = e$, então $a = 0$. $\blacksquare$
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**P3.** Se $S = \{u_1, \dots, u_n\} \subset V$ é L.D., então um dos seus vetores é a combinação linear de todos os demais.
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Demonstração: por hipótese existem números reais $a_1, \dots, a_n$ onde pelo menos um é igual a zero. Venhamos a estabelecer que $a_1 \not = 0$ então o inverso de $a_1$, ($a_1^{-1}$) existe e:
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$a_1u_1 + a_2u_2 + \dots a_nu_n = e \implies
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u_1 = - \dfrac{a_2u_2 + \dots + a_nu_n }{a_1} = \\ a_1^{-1}a_2u_2 + \dots + a_1^{-1}a_nu_n
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$
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O que mostra que $u_1$ equivale à combinação linear de $u_2, \dots, u_n$:
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$$
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u_1 = [S] = \{a_1^{-1}a_2u_2 + \dots + a_1^{-1}a_nu_n \mid a_1, \dots, a_n \in \R\} \blacksquare
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$$
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**P4.** Se $S_1$ e $S_2$ são subconjuntos finitos e não vazios de V, se $S_1 \subset S_2$ e $S_1$ é L.D., então $S_2$ também é L.D.
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Demonstração: como nem todos os escalares que figuram em $S_1$ são nulos, o que configura L.D., e $S_2$ contém $S_1$, então o conjunto dos escalares em $S_2$ também não é inteiramente nulo. $\blacksquare$
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**P5.** Se $S_1$ e $S_2$ são subconjuntos finitos e não vazios de V, se $S_1 \subset S_2$ e $S_2$ é L.I., então $S_2$ também é L.I.
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Demonstração: situação complementar à aquele da propriedade anterior. $\blacksquare$
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**P6.** Se $S = \{u_1, \dots, u_n\} \subset V$ é L.I, e para um certo $u \in V$ tem-se $S \cup \{u\} = \{u_1, \dots, u_n, u\}$ L.D., então o vetor $u$ é combinação linear dos vetores $u_1, \dots, u_n$, isto é, $u \in [S]$.
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Demonstração: Por hipótese tem-se uma igualdade
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$$
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a_1u_1 + \dots + a_nu_n + au = e
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$$
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onde nem todos os escalares que figuram nela são nulos. Afirmamos que um dos escalares não nulos é o $a$. De fato, se $a = 0$, então
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$$
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a_1u_1 + \dots a_nu_n = e
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$$
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Como porém o conjunto S é L.I., esta última igualdade só seria possível com $a_1 = \dots = a_n$. Daí, se $a = 0$, então $a = a_1 = \dots = a_n = 0$, o que contradiz a hipótese.
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Já que $a \not = 0$, temos que:
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$
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a_1u_1 + \dots a_nu_n + au = e\\\ \\
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\implies u = - \dfrac{a_1u_1 + \dots + a_nu_n}{a}= (a_1a^{-1})u_1 + \dots + (a_na^{-1})u_n
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$
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**P7.** Se $S = \{u_1, \dots, u_j, \dots, u_n\}$ e $u_j \in [S - {u_j}]$ (isto é, $u_j$ é combinação linear doutros vetores contidos em S), então
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$$
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[S] = [S - \{u_j\}]
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$$
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Demonstração: Faremos a prova supondo $j = 1$, o que nada tira em generalidade. É obvio que $[S - \{u_1\}] \subset [S]$, pois $S - {u_1} \subset S$. Como foi dito que $u_j$ é a combinação linear dos demais vetores, aplicando a propriedade **P3**, temos:
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$$
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u_1 = - \dfrac{a_2u_2 + \dots + a_nu_n}{a_1} = b_2u_2 + \dots + b_nu_n = [S]
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$$
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Onde $b_i = -a_1^{-1}a_i$. Continuando,
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$$
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b_2u_2 + \dots + b_nu_n = [S - \{u_1\}] \therefore [S - \{u_1\}] = [S]
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$$
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@ -0,0 +1,14 @@
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# Base de um espaço vetorial finitamente gerado
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Seja $V$ um espaço vetorial finitamente gerado. Uma base de $V$ é o subconjunto finito $B \subset V$ para o qual as seguintes condições se verificam:
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1. $[B] = V$;
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2. $B$ é L.I.
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Por exemplo,
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- $\{(1,0), (0,1)\}$ é uma base do $\R^2$
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- $\{(1, 0, \dots, 0), (0,1,0, \dots, 0), \dots, (0, \dots, 0, 1)\}$ é uma base do $\R^n$
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Fica convencionado que se $V = \{e\}$, seu subconjunto gerador é o conjunto vazio: $[\empty] = V$.
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@ -0,0 +1,33 @@
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# Dimensão
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Sendo V um espaço vetorial finitamente gerado.
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## Proposição 1: Teorema da invariância
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Para quaisquer bases $B$ que $V$ possa vir a ter, estas possuem um mesmo número de vetores. Esta quantidade invariável de vetores denomina-se a *dimensão* (finita) de $V$ (notação: $\dim V$).
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Decorre da definição que:
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- $\dim \R^2 = 2$
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- $\dim \R^n = n$
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- $\dim M_{m \times n}(\R) = m \cdot n$
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- $\dim P_n(\R) = n + 1$
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- $\dim {e} = 0$
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## Proposição 2: Teorema do completamento
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Seja a dimensão de $V$ um valor $n \ge 1$, e $S$ um subconjunto de $V$ contendo $r < n$ vetores $u$. Então existem $n - r$ vetores em $V$ que necessitam ser acrescidos à $S$ para que este subconjunto possa descrever uma base $B = \{u_1, \dots, u_r, \dots, u_n\}$ de $V$.
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## Proposição 3
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Todo sub-espaço vetorial de um espaço finitamente gerado também é finitamente gerado.
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### Proposição 4
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Seja $W$ um sub-espaço vetorial de $V$. Se $\dim W = \dim V$, então $W = V$.
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