# Atividade 6 > Resolução dos exercícios obrigatórios, feita por Guilherme de Abreu Barreto[^1]. ## Capítulo 12.3 ### Exercício 39 Determine o vetor projeção e a projeção escalar de **b** sobre **a** onde $$ \textbf a = \lang -5,12 \rang;\, \textbf b = \lang 4,6\rang $$ ### Resolução $\text{comp}_\textbf a \textbf b = \dfrac{\textbf a \cdot \textbf b}{|\textbf a|} = \dfrac{-5 \cdot 4 + 12 \cdot 6}{\sqrt{(-5)^2 + 12^2}} = 4$ $\text{proj}_\textbf a \textbf b = \dfrac{\textbf a}{|\textbf a|}\text{comp}_\textbf a \textbf b = \dfrac 4{13}\lang-5,12\rang = \left\lang\dfrac{-20}{13}, \dfrac{48}{13} \right\rang\ \blacksquare$ ### Exercício 63 A *Lei do Paralelogramo* afirma que $$ |\textbf a + \textbf b|^2 + |\textbf a - \textbf b|^2 = 2 |\textbf a|^2 + 2|\textbf b|^2 $$ Dê uma interpretação geométrica da Lei do Paralelogramo e a demonstre #### Resolução Considere o paralelogramo acima. É possível aferir o comprimento de suas diagonais à partir do comprimento de seus lados. De fato, podemos aferi-las separadamente usando a *Lei dos Cossenos*: $|\overline{BD}|^2 = |\overline{AD}|^2 + |\overline{AB}|^2 - 2 |\overline{AD}||\overline{AB}|\cos \theta $ e $|\overline{AC}|^2 = |\overline{AD}|^2 + |\overline{CD}|^2 - 2 |\overline{AD}||\overline{CD}|\cos(\pi - \theta) = \\ |\overline{AD}|^2 + |\overline{CD}|^2 - 2 |\overline{AD}||\overline{CD}|[\cos \pi \cdot \cos \theta + \cancel{\sin \pi \cdot \sin \theta}] = \\ |\overline{AD}|^2 + |\overline{CD}|^2 + 2 |\overline{AD}||\overline{CD}|\cos\theta$ Substituindo o comprimento dos lados e diagonais por sua representação vetorial ($|\textbf a| = |\overline{AD}| = |\overline{BC}|$, $|\textbf b| = |\overline{AB}| = |\overline{CD}|$, $|\textbf{a + b}| = |\overline{AC}|$, $|\textbf a - \textbf b| = |\overline{BD}|$) e somando-se as equações anteriores, temos demonstrada a *Lei do Paralelogramo*: $$ + \begin{cases} |\textbf a - \textbf b|^2 = |\textbf a|^2 + |\textbf b|^2 - 2 |\textbf a||\textbf b|\cos \theta \\ |\textbf{a + b}|^2 = |\textbf a|^2 + |\textbf b|^2 + 2 |\textbf a||\textbf b|\cos \theta \\ \end{cases}\\\ \\ \therefore |\textbf a + \textbf b|^2 + |\textbf a - \textbf b|^2 = 2 |\textbf a|^2 + 2|\textbf b|^2\ \blacksquare $$ ## Capítulo 12.4 ### Exercício 37 Utilize o produto misto para mostrar que os vetores $\textbf u = \textbf i + 5\textbf j - 2 \textbf k$, $\textbf v = 3 \textbf i - \textbf j$ e $\textbf w = 5 \textbf i + 9 \textbf j - 4 \textbf k$ são coplanares. #### Resolução Conforme a definição de produto misto, dados vetores são complanares se o produto misto destes for igual à 0. Avaliemos o presente caso. $ \textbf u (\textbf v \times \textbf w) = \left|\begin{matrix} 1 & \phantom{-}5 & -2 \\ 3 & -1 & \phantom{-}0 \\ 5 & \phantom{-}9 & -4 \end{matrix}\right| = 1 \left |\begin{matrix} -1 & \phantom{-}0 \\ \phantom{-}9 & -4 \end{matrix}\right | - 5 \left |\begin{matrix} 3 & \phantom{-}0 \\ 5 & -4 \end{matrix}\right | + (-2) \left |\begin{matrix} 3 & -1 \\ 5 & \phantom{-}9 \end{matrix}\right | = \\\ \\ 4 - 5(-12) - 2(27 + 5) = 0\ \blacksquare $ ### Exercício 49 Demonstre que $(\textbf a - \textbf b) \times (\textbf a + \textbf b) = 2(\textbf a \times \textbf b)$. #### Resolução Lembremos as seguintes propriedades: **P1.** $|\textbf a \times \textbf b| = |\textbf a||\textbf b| \sin \theta$ onde $\theta$ é o ângulo entre **a** e **b**, $0 \le \theta \le \pi$; **P2.** $\textbf a \times \textbf b = - \textbf b \times \textbf a$; **P3.** $\textbf a \times (\textbf b + \textbf c) = \textbf a \times \textbf b + \textbf a \times \textbf c$; Logo, $(\textbf a - \textbf b) \times (\textbf a + \textbf b) = \underbrace{\textbf a \times (\textbf a + \textbf b) - \textbf b \times (\textbf a + \textbf b)}_{\textbf{P3}} = \\\ \\ \underbrace{\textbf a \times \textbf a}_{\textbf{P1}} + \textbf a \times \textbf b\ \underbrace{- \textbf b \times \textbf a}_{\textbf{P2}} - \underbrace{\textbf b \times \textbf b}_{\textbf{P1}} = \cancel{\textbf a^2\sin 0}\ + 2 (\textbf a \times \textbf b) - \cancel{\textbf b^2\sin 0}\ = 2 (\textbf a \times \textbf b)\ \blacksquare$ [^1]: nUSP 12543033; Turma 04