# Dimensão

Sendo V um espaço vetorial finitamente gerado.

## Proposição 1: Teorema da invariância

Para quaisquer bases $B$ que $V$ possa vir a ter, estas possuem um mesmo número de vetores. Esta quantidade invariável de vetores denomina-se a *dimensão* (finita) de $V$ (notação: $\dim V$).

Decorre da definição que:

- $\dim \R^2 = 2$

- $\dim \R^n = n$

- $\dim M_{m \times n}(\R) = m \cdot n$

- $\dim P_n(\R) = n + 1$

- $\dim {e} = 0$

## Proposição 2: Teorema do completamento

Seja a dimensão de $V$ um valor $n \ge 1$, e $S$ um subconjunto de $V$ contendo $r < n$ vetores $u$. Então existem $n - r$ vetores em $V$ que necessitam ser acrescidos à $S$ para que este subconjunto possa descrever uma base $B = \{u_1, \dots, u_r, \dots, u_n\}$ de $V$.

## Proposição 3

Todo sub-espaço vetorial de um espaço finitamente gerado também é finitamente gerado.

### Proposição 4

Seja $W$ um sub-espaço vetorial de $V$. Se $\dim W = \dim V$, então $W = V$.