#LyX 2.2 created this file. For more info see http://www.lyx.org/ \lyxformat 474 \begin_document \begin_header \textclass /media/alessandro/b44f2f53-7d0f-4359-9cf2-3daf205a4822/iso/ownCloud/UFRuralRJ/UFRuralRJ \begin_preamble %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Configuração do preâmbulo %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%============================================================================================================= %% Pacotes - língua, codificação e fonte %%============================================================================================================= \usepackage[brazilian]{babel} %% use 'english' para documento escrito em inglês \usepackage[T1]{fontenc} %% Conjunto de caracteres correto %%============================================================================================================= %% Pacotes - formatação de equações e números %%============================================================================================================= \usepackage{amsmath,latexsym,amssymb} \usepackage{siunitx} %% Sistema Internacional de Unidades %%============================================================================================================= %% Pacotes - formatação de figuras %%============================================================================================================= %% Importar figuras corretamente \usepackage{graphicx} %% Diretório onde estão as figuras dos capítulos \graphicspath{{capitulos-b/figuras/}} \usepackage{float} \usepackage{wrapfig} %%============================================================================================================= %% Pacotes - formatação de hyperlinks e urls %%============================================================================================================= %% Opção 'hidelinks' disponível no pacote 'hyperref' a partir da versão 2011-02-05 6.82a. 'hidelinks' retira %% os retângulos do entorno das palavras com links. \usepackage[%hidelinks%, bookmarksopen=true, linktoc=page, colorlinks=true, linkcolor=blue, citecolor=blue, filecolor=magenta, urlcolor=blue, pdftitle={UFRuralRJ -- Classe LaTeX para formatação de documentos acadêmicos na UFRRJ}, pdfauthor={Graziela Barroso}, pdfsubject={Tese de Doutorado}, pdfkeywords={LaTeX, UFRuralRJ, Documentos acadêmicos} ]{hyperref} %% Pacote para lidar com url longa, deve ser carregado depois do pacote 'hyperref' \usepackage[hyphenbreaks]{breakurl} %% Se o pacote 'hyperref' acima foi carregado, a linha abaixo corrige um bug na %% hora de montar o sumário da lista de figuras e tabelas. 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Há as seguintes opções: \end_layout \begin_layout Plain Layout tese — para produzir uma tese \end_layout \begin_layout Plain Layout diss — para produzir uma dissertação \end_layout \begin_layout Plain Layout espec — para produzir um trabalho de especialização \end_layout \begin_layout Plain Layout tg — para produzir um trabalho de graduação \end_layout \begin_layout Plain Layout Escolhido o tipo de trabalho, vá em documento > configurações > classe de documento. Em personalizar: introduza a opção escolhida. \end_layout \begin_layout Plain Layout Nesse modelo, usaremos: tg \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Note Note status collapsed \begin_layout Plain Layout Esse modelo usará as opções: twoside, openright e header \end_layout \begin_layout Plain Layout A opção 'openright' força inícios de capítulos em páginas ímpares \end_layout \begin_layout Plain Layout Use a opção 'twoside' para gerar uma versão frente-e-verso \end_layout \begin_layout Plain Layout A opção 'header' gera cabeçalhos \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout \backslash maketitle produz capa e folha de rosto \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash maketitle \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout \backslash makeaaprove produz a folha de assinatura \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash makeapprove \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Chapter* \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash vspace*{ \backslash fill} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \align right Este trabalho é dedicado à toda academia, por me proporcionar esta oportunidade. E à minha família pela confiança que em mim foi depositada. Em especial, dedico este trabalho à minha mãe, \shape italic in memoriam \shape default . \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash vspace*{ \backslash fill} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Chapter* Agradecimentos \end_layout \begin_layout Standard \noindent Primeiramente, devo agradecer a Deus por tudo que Ele tem me proporcionado e por mais esta oportunidade de externar meus pensamentos. Agradeço também à minha família que lutou tanto para minha formação. A Meu pai Ismael que desde quando eu era pequeno se dedicou à minha formação intelectual e me mostrou que a vida pode nos proporcionar horizontes que jamais imaginamos alcançar. À Minha mãe Maria de Lourdes que desde pequeno me ensinou que a vida é melhor do que imaginamos e que podemos ser felizes mesmo quando não temos nada. Mesmo longe de nós, ela sempre vai estar em meu coração. Muito obrigado pai e mãe por tudo que vocês representam para minha vida. \end_layout \begin_layout Standard Agradeço também às minhas irmãs Sandra, Marcia (in memoriam), Sara, Cristina, Claudia. Agradeço também aos meus cunhados pela força que me deram nos momentos ruins da minha vida e que me alegraram quando eu precisava. Aos meus primos Fábio e Fabiana e suas famílias. A todos os meus amigos que sempre estiveram comigo nos momentos da minha vida. \end_layout \begin_layout Standard Agradeço à família Graciliano que nos últimos momentos tem me proporcionado uma esperança de alcançar meus sonhos, e por tapar o buraco deixado com a ida da minha mãe. \end_layout \begin_layout Standard Aos momentos em que estive no alojamento da UFRRJ-Seropédica com a galera do quarto 221, Marcelo, Otávio (tavim), Vinicius (alemão), Helbert e Tuyuka. Também a Leandro (léo) que praticamente se dedicou à minha formação e me proporcionou momentos bons e me ajudou muito nesta minha caminhada de formação em discussões filosóficas noites adentro no quarto e na sala de estudos. A meus amigos de turma que foram meus primeiros amigos na Universidade. À galera do quarto 227 que souberam me aturar e me ajudaram em diversas discussões filosóficas e também pela amizade que vale pela vida. \end_layout \begin_layout Standard Aos professores de filosofia da UFRRJ-Seropédica que foram decisivos na minha trajetória de graduação. Ao meu orientador Professor Alessandro por ter me acolhido e me adotado como um filho, proporcionando todo apoio acadêmico que alguém pode ter para um bom preparo. Agradeço também à UFRRJ-Seropédica por ter me dado essa oportunidade tanto de formação quanto de apoio logístico. \end_layout \begin_layout Chapter* \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash vspace*{ \backslash fill} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash begin{flushright} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard `` \shape italic Lógica e razão são coisas da terra. Eu divido as coisas da terra, coisas do universo e coisas da coisa. E as coisas da coisa, minha filha, essas é que são o negócio, entende? Quem é que pode explicá-las? \shape default '' \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash \backslash \end_layout \end_inset (Raul Seixas) \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash end{flushright} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout %%========================================================================== \end_layout \begin_layout Plain Layout %Resumo geral (português) \end_layout \begin_layout Plain Layout %%========================================================================== \end_layout \begin_layout Plain Layout \backslash def \backslash tituloPT{Aspectos da L \backslash 'ogica Modal} \end_layout \begin_layout Plain Layout \backslash def \backslash chavesPT{ Lógica Modal; Lógica Proposicional; Paradoxos; Acessibilidade. } %% Palavras-chave em português \end_layout \begin_layout Plain Layout \backslash def \backslash nivelPT{Licenciatura em Filosofia} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash begin{generalabstract}{brazilian}{ \backslash tituloPT}{ \backslash chavesPT}{ \backslash nivelPT} %% Resumo geral em português \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \noindent A lógica proposicional modal (LPM) como a conhecemos hoje é um produto do trabalho de C. I. Lewis, cujo projeto foi enfrentar \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout tava encarar \end_layout \end_inset os problemas que a lógica proposicional clássica (LPC) enfrentou. Nosso tema se estabeleceu sobre dois pontos que fundamentaram esta monografia. No primeiro ponto, faremos a análise descritiva da LPC e seus aspectos fundamentais, bem como suas noções lógicas já conhecidas, a saber, negação, conjunção comutativa, disjunção inclusiva, disjunção exclusiva, equivalência material e implicação material. E ainda neste ponto, evidenciaremos os paradoxos que rondaram a LPC, a saber, os chamados \begin_inset Quotes eld \end_inset paradoxos da implicação material \begin_inset Quotes erd \end_inset e suas possíveis soluções. No segundo ponto, trataremos dos aspectos da LPM, seus fundamentos como a semântica de mundos possíveis e as relações de acessibilidade entre mundos. E mostraremos que a LPM enfrentou \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout tava encarou \end_layout \end_inset paradoxos similares aos da LPC. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash end{generalabstract} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset CommandInset toc LatexCommand tableofcontents \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash setcounter{page}{1} \end_layout \begin_layout Plain Layout \backslash artigofalse \end_layout \begin_layout Plain Layout \backslash onehalfspacing \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Chapter Introdução \end_layout \begin_layout Standard A lógica modal cresceu muito no século passado devido a alguns problemas em relação a lógica proposicional clássica que foram decisivos para o seu desenvolvimento. E para tratar dos aspectos que rondaram a lógica modal, veremos no decorrer deste trabalho a importância que filósofos e lógicos deram aos impasses criados por esses problemas. Podemos caracterizar o ponto de partida para o desenvolvimento da lógica modal moderna como um momento de insatisfação por parte de alguns lógicos a certas deficiências de noções lógicas interpretadas em linguagem ordinária. Por exemplo, o tratamento semântico dado ao problema da implicação material em inferências ordinárias deu a CI Lewis uma resposta significativa, levando-o aos primeiros passos na inserção de noções modais à linguagem proposicional clássica \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite[p. 291]{LEWIS1918} \end_layout \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Os apontamentos lewisianos foram importantes para o que chamaram de \begin_inset Quotes eld \end_inset paradoxos da implicação material \begin_inset Quotes erd \end_inset . Em relação à alegação de que nem todos os condicionais em inferências ordinária s são condicionais materiais, Lewis propõe cinco sistemas axiomáticos para a implicação estrita em sua obra intitulada \shape italic A Survey of Symbolic Logic \shape default \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash nocite{LEWIS1918} \end_layout \end_inset . Ele formulou que uma implicação estrita é aquela cuja definição é dada em termos de \begin_inset Quotes eld \end_inset é impossível que... \begin_inset Quotes erd \end_inset . Porém, uma das dificuldades desses sistemas axiomáticos era demonstrar sua corretude e completude, pois os sistemas lewisianos não apresentavam uma semântica que dava conta de tais características. \end_layout \begin_layout Standard É importante ressaltar que a resposta lewisiana para esses paradoxos também encarou os mesmos problemas que a implicação material. Foi a partir daí que Kripke em 1959 elaborou sistematicamente uma semântica que responda de modo extensional às noções modais propostas por Lewis. Podemos chamá-la de semântica de mundos possíveis \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite{KRIPKE1959} \end_layout \end_inset . Dessa forma, podemos evidenciar que a lógica de mundos possíveis como a conhecemos canonicamente hoje se instaurou de maneira gradual em seus diversos aspectos incorporados à medida que lógicos, como Kripke, apresentaram soluções plausíveis. \end_layout \begin_layout Standard A característica deste trabalho foi estabelecida por dois pontos que influenciar am o desenvolvimento do nosso tema. No segundo capítulo \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout tava primeiro \end_layout \end_inset , visamos o primeiro ponto fazendo uma descrição da lógica proposicional clássica (LPC), com as diversas noções lógicas já conhecidas, como negação, disjunção inclusiva, disjunção exclusiva, conjunção comutativa, equivalência material e implicação material \begin_inset Foot status collapsed \begin_layout Plain Layout CI Lewis vê a LPC como um sistema baseado na implicação material \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite[p. 222]{LEWIS1918} \end_layout \end_inset . \end_layout \end_inset . Vimos também os Paradoxos apontados por CI Lewis em \shape italic A Survey of Symbolic Logic \shape default \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite[p. 291]{LEWIS1918} \end_layout \end_inset e um breve comentário de Girle sobre as possíveis soluções sugeridas para estes problemas. \end_layout \begin_layout Standard No terceiro capítulo \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout tava segundo \end_layout \end_inset , abordamos efetivamente a estrutura sintática e semântica da lógica proposicion al modal (LPM) e seus aspectos, bem como seus diversos sistemas modais fundament ados nas relações de acessibilidade entre mundos possíveis. A ideia neste capítulo é pontuar a importância das relações de acessibilidade, que em conjunto com as noções primitivas de mundos possíveis, formam certas características peculiares a cada sistema modal. \end_layout \begin_layout Chapter Lógica proposicional clássica \end_layout \begin_layout Section A linguagem a serviço da lógica \end_layout \begin_layout Standard O objetivo deste capítulo é apresentar a lógica proposicional clássica (LPC) em seu ápice de análise no início do século XX. Abordaremos os princípios da LPC, bem como suas noções lógicas e seus aspectos como sistema formal. Podemos caracterizar a formalização como uma das opções de análise à linguagem ordinária. Veremos como se dá a associação entre a linguagem ordinária e a LPC e seu perfil característico na utilização de alguns conectivos lógicos na linguagem ordinária. Mais a frente veremos também que não há nada de complexo nos princípios lógicos que caracterizam a LPC. Entretanto, como bem observado por alguns autores, a formalização da linguagem ordinária, isto é, a tradução da linguagem ordinária para linguagem formal tem seus problemas. Nem todos os condicionais podem ser bem explicados e traduzidos de maneira clara pela implicação material. Neste momento, nossa análise consiste em apresentar a LPC nos moldes já \color black adotados \color inherit e, por fim, apresentar em quais circunstâncias o problema com a associação de condicionais na linguagem ordinária para implicação material levaram esses autores à modalização. \end_layout \begin_layout Standard Primariamente, baseamos nossa pesquisa numa obra de Rod Girle intitulada \shape italic Possible Worlds \shape default \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite{Girle2003} \end_layout \end_inset , que, nos dois primeiros capítulos, propõe uma discussão importante desse processo de tramitação entre a lógica proposicional clássica e a lógica proposicional modal (LPM). Veremos como Girle apresenta o problema do condicional material e seu comentári o às propostas encaminhadas em alguns autores citados por ele. A linguagem ordinária é muito vasta e rica em expressões flexíveis e que na tradução para linguagem formal podem haver perdas \begin_inset Foot status collapsed \begin_layout Plain Layout Como bem apontado por Rocha em seu artigo \begin_inset Quotes eld \end_inset Implicação Lógica e Material: esclarecendo pequenas confusões comuns \begin_inset Quotes erd \end_inset \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite{ROCHA2013} \end_layout \end_inset , no início da seção \begin_inset Quotes eld \end_inset Composicionalismo proposicional \begin_inset Quotes erd \end_inset , a linguagem natural (ou ordinária) tem um \begin_inset Quotes eld \end_inset poder expressivo maior \begin_inset Quotes erd \end_inset , mas com o inconveniente de comportar ambiguidades. O que diminui esse risco em linguagem natural pelo seu aspecto limitado. \end_layout \end_inset . Para linguagem ordinária, o significado depende de alguns fatores extra-lógicos como contexto, normas éticas e sociais que interferem na interpretação do falante e do ouvinte \begin_inset Foot status collapsed \begin_layout Plain Layout Nesse caso, embora Girle não seja claro ao que ele chama de significado, ele se aproxima muito ao que Wittgenstein nos primeiros parágrafos de \shape italic Investigações Filosóficas \shape default \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite[p. 34, 35]{WITTGENSTEIN1999} \end_layout \end_inset diz sobre os \begin_inset Quotes eld \end_inset jogos de linguagem \begin_inset Quotes erd \end_inset . Os modos de pronunciação, as expressões faciais, tonalidade sonora são variações dos muitos jogos de linguagem, caracterizando uma multiplicidade de jogos. \end_layout \end_inset . Esta limitação pode evidenciar que, na tradução, é impossível a pretensão de abarcar tudo aquilo que a linguagem ordinária quer dizer ou expressar. Em geral, as noções lógicas são negação, conjunção comutativa, disjunção inclusiva \begin_inset Foot status collapsed \begin_layout Plain Layout Usamos disjunção inclusiva aqui, pois veremos mais a frente que a disjunção exclusiva é devivada da inclusiva. \end_layout \end_inset , equivalência material e implicação material \begin_inset Foot status collapsed \begin_layout Plain Layout Girle evidencia que há somente implicação material em LPC e que alguns lógicos erradamente imaginaram que o condicional em linguagem ordinária é somente material. Mais a frente veremos um exemplo caracterizando tal erro. \end_layout \end_inset . Introduziremos agora a sintaxe e semântica para a nossa Linguagem L. \end_layout \begin_layout Section Sintaxe e semântica da LPC \end_layout \begin_layout Standard Atualmente, a linguagem formal se caracteriza basicamente de uma sintaxe e uma semântica. As próximas palavras servirão para introduzirmos esse processo de formalização. \shape italic Prima facie \shape default , vamos convencionar uma linguagem L. \end_layout \begin_layout Subsection Sintaxe da linguagem L \end_layout \begin_layout Standard Nosso alfabeto sintático será constituído por: \end_layout \begin_layout Itemize \series bold \color black Letras proposicionais: \series default letras do alfabeto da língua portuguesa a partir de \begin_inset Formula $p_{1}$ \end_inset , \begin_inset Formula $p_{2}$ \end_inset , \begin_inset Formula $p_{3}$ \end_inset , ..., \begin_inset Formula $q_{1}$ \end_inset , \begin_inset Formula $q_{2}$ \end_inset , \begin_inset Formula $q_{3}$ \end_inset , ..., \begin_inset Formula $r_{1}$ \end_inset , \begin_inset Formula $r_{2}$ \end_inset , \begin_inset Formula $r_{3}$ \end_inset , etc.; \end_layout \begin_layout Itemize \series bold Conectivos Lógicos: \series default teremos os símbolos \begin_inset Quotes eld \end_inset \begin_inset Formula $\sim$ \end_inset \begin_inset Quotes erd \end_inset para negação, \begin_inset Quotes eld \end_inset \begin_inset Formula $\land$ \end_inset \begin_inset Quotes erd \end_inset para conjunção, \begin_inset Quotes eld \end_inset \begin_inset Formula $\vee$ \end_inset \begin_inset Quotes erd \end_inset para disjunção inclusiva, \begin_inset Quotes eld \end_inset \begin_inset Formula $\equiv$ \end_inset \begin_inset Quotes erd \end_inset para equivalência material e \begin_inset Quotes eld \end_inset \begin_inset Formula $\supset$ \end_inset \begin_inset Quotes erd \end_inset para implicação material; \end_layout \begin_layout Itemize \series bold Parênteses: \series default ( , ) \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Definição de fórmula: \end_layout \begin_layout Enumerate \series bold Fórmula: \series default é toda sequência finita de símbolos do nosso alfabeto. Por exemplo: \begin_inset Formula $(p)$ \end_inset ; \begin_inset Formula $\sim q$ \end_inset ; \begin_inset Formula $q\supset\sim p$ \end_inset são fórmulas da Linguagem L. \end_layout \begin_layout Enumerate \series bold Fórmula Bem-Formada (FBF): \series default são Fórmulas que satisfazem pelo menos um dos itens a seguir: \end_layout \begin_layout Itemize Toda letra proposicional do nosso alfabeto é uma \series bold FBF \series default ; \end_layout \begin_layout Itemize Seja \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset \begin_inset Foot status collapsed \begin_layout Plain Layout Não utilizamos as letras do inicio do alfabeto grego em linguagem objeto, somente em metalinguagem. \end_layout \end_inset uma variável proposicional, se é uma \series bold FBF \series default , então \begin_inset Formula $(\sim\alpha)$ \end_inset é uma \series bold FBF \series default ; \end_layout \begin_layout Itemize Sejam \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset e \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset variáveis proposicionais, se são \series bold FBFs \series default , então \begin_inset Formula $(\alpha\wedge\beta)$ \end_inset é uma \series bold FBF \series default ; \end_layout \begin_layout Itemize Sejam \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset e \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset variáveis proposicionais, se são \series bold FBFs \series default , então \begin_inset Formula $(\alpha\vee\beta)$ \end_inset é uma \series bold FBF \series default ; \end_layout \begin_layout Itemize Sejam \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset e \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset variáveis proposicionais, se são \series bold FBFs \series default , então \begin_inset Formula $(\alpha\equiv\beta)$ \end_inset é uma \series bold FBF; \end_layout \begin_layout Itemize Sejam \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset e \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset variáveis proposicionais, se são \series bold FBFs \series default , então \begin_inset Formula $(\alpha\supset\beta)$ \end_inset é uma \series bold FBF. \end_layout \begin_layout Itemize Todas as demais não são Fómulas Bem-Formadas. \end_layout \begin_layout Subsection Semântica em linguagem L \end_layout \begin_layout Standard A LPC trabalha com \color red \color inherit dois valores de verdade, verdadeiro e falso. Assumindo uma função valorativa \shape italic \begin_inset Formula $v_{i}$ \end_inset \shape default sobre a qual a cada letra proposicional é admitido somente um dos valores de verdade \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite[p. 11]{SMULLYAN2002/2009} \end_layout \end_inset , então tal função \begin_inset Formula $v_{i}$ \end_inset atribui a cada letra proposicional verdadeiro (V) ou falso (F) \begin_inset Foot status collapsed \begin_layout Plain Layout Em \shape italic A Survey of Symbolic Logic \shape default , Lewis caracteriza essa bivalência como \shape italic Álgebra de dois valores \shape default . Para qualquer x, se x \begin_inset Formula $\neq$ \end_inset 1, então x=0, e se x \begin_inset Formula $\neq$ \end_inset 0, então x=1. Onde x=0 é equivalente a \begin_inset Quotes eld \end_inset x é falso \begin_inset Quotes erd \end_inset e x=1 é equivalente a \begin_inset Quotes eld \end_inset x é verdadeiro \begin_inset Quotes erd \end_inset . Também, x \begin_inset Formula $\neq$ \end_inset 0 significa a negação de x=0, bem como x \begin_inset Formula $\neq$ \end_inset 1 é a negação de x=1. \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite[p. 222]{LEWIS1918} \end_layout \end_inset . \end_layout \end_inset \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite[p. 223]{LEWIS1918} \end_layout \end_inset . Nesse caso, para cada letra proposicional \begin_inset Formula $p_{i}$ \end_inset (onde \begin_inset Formula $i$ \end_inset percorre os números naturais \begin_inset Formula $\mathbb{N}$ \end_inset ) só existem duas possibilidades: \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula $v_{i}(p_{i})=V$ \end_inset ou \begin_inset Formula $v_{i}(p_{i})=F$ \end_inset , onde \begin_inset Formula $i\geqslant1$ \end_inset em \begin_inset Formula $\mathbb{N}$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard É a partir desse princípio semântico \begin_inset Foot status collapsed \begin_layout Plain Layout Este princípio estabelece que, para FBFs complexas cuja característica é apresentar letras proposicionais e conectivos, há \begin_inset Formula $2^{n}$ \end_inset possibilidades de atribuição de valores de verdade, onde \begin_inset Formula $n$ \end_inset é o número de FBFs atômicas. \end_layout \end_inset que o valor de verdade das fórmulas bem-formadas complexas será estabelecido na linguagem L. \end_layout \begin_layout Subsection Negação \end_layout \begin_layout Standard A Negação é uma função \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout troquei noção por função. \end_layout \end_inset lógica que simplesmente troca o valor de verdade de uma proposição. Se \shape italic \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset \shape default é uma proposição verdadeira, então \begin_inset Formula $(\sim\alpha)$ \end_inset é uma proposição falsa. Da mesma forma, se \color black \shape italic \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset \shape default for uma proposição falsa, então \begin_inset Formula $(\sim\alpha)$ \end_inset é verdadeira. \color inherit Seguindo esse princípio semântico, \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset equivale a \begin_inset Formula $(\sim(\sim\alpha))$ \end_inset . Pois, se uma proposição \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset é verdadeira, então \begin_inset Formula $(\sim(\sim\alpha))$ \end_inset é verdadeira (e vice-versa), \color black porque negar uma negação é o mesmo que afirmar \color inherit . Portanto, a tabela de verdade da negação será: \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $(\sim\alpha)$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $(\sim(\sim\alpha))$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Conjunção \end_layout \begin_layout Standard Na LPC, basta uma das proposições ser falsa para que a conjunção seja falsa também. Só há um caso em que a conjunção é verdadeira, quando os conjuntos são ambos verdadeiros . Portanto, a tabela-verdade \begin_inset Foot status collapsed \begin_layout Plain Layout A função de verdade ou a função valorativa \shape italic v \shape default para a conjunção é: \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout Função característica \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout par \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout Valor da Conjunção \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $v_{1}(p_{1})=V$ \end_inset e \begin_inset Formula $v_{1}(p_{2})=V$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout (V,V) \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $v_{2}(p_{1})=V$ \end_inset e \begin_inset Formula $v_{2}(p_{2})=F$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout (V,F) \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $v_{3}(p_{1})=F$ \end_inset e \begin_inset Formula $v_{3}(p_{2})=V$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout (F,V) \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $v_{4}(p_{1})=F$ \end_inset e \begin_inset Formula $v_{4}(p_{2})=F$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout (F,F) \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold F \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \end_inset será: \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $(\alpha\land\beta)$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $(\beta\land\alpha)$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard No entanto, a conjunção é uma função lógica que apresenta um aspecto problemátic o se levarmos em conta certas características em associação com a linguagem ordinária. Tal constatação se dá pelo fato da LPC trabalhar somente com conjunções comutativas, desconsiderando a ambiguidade que a comutatividade traz nas conjunções em linguagem ordinária. \end_layout \begin_layout Standard Normalmente vemos a conjunção como proposições que estão acontecendo ao mesmo tempo. Por exemplo, traduzindo a proposição \shape italic \begin_inset Quotes eld \end_inset Marcos é filosofo \begin_inset Quotes erd \end_inset \shape default por \shape italic \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset \shape default e \shape italic \begin_inset Quotes eld \end_inset Marcos é brasileiro \begin_inset Quotes erd \end_inset \shape default por \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset , \begin_inset Formula $(\alpha\land\beta)$ \end_inset é verdadeira se ambas as proposições \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset e \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset forem verdadeiras ao mesmo tempo. Em LPC, portanto, se \begin_inset Formula $(\alpha\land\beta)$ \end_inset é verdadeira, então \begin_inset Formula $(\beta\land\alpha)$ \end_inset também é verdadeira. Assim, a comutatividade funciona perfeitamente. Todavia, quando trabalhamos com proposições que estão ligadas por um \begin_inset Quotes eld \end_inset sequenciamento temporal \begin_inset Quotes erd \end_inset encontraremos um problema semântico de tradução, pois a conjunção agora deixaria de ser comutativa. Por exemplo, seja a sentença \shape italic \begin_inset Quotes eld \end_inset Sócrates tomou sicuta \series bold e \series default morreu \begin_inset Quotes erd \end_inset \shape default . Traduzindo \begin_inset Quotes eld \end_inset Sócrates tomou sicuta \begin_inset Quotes erd \end_inset por \shape italic \begin_inset Formula $\alpha_{1}$ \end_inset \shape default e \begin_inset Quotes eld \end_inset Sócrates morreu \begin_inset Quotes erd \end_inset por \begin_inset Formula $\beta_{1}$ \end_inset , teremos a conjunção \begin_inset Formula $(\alpha_{1}\land\beta_{1})$ \end_inset como verdadeira, pois ambas \begin_inset Formula $\alpha_{1}$ \end_inset e \begin_inset Formula $\beta_{1}$ \end_inset são verdadeiras. Porém, dizer que \begin_inset Formula $(\beta_{1}\land\alpha_{1})$ \end_inset é verdadeira, ou seja, afirmar que \begin_inset Quotes eld \end_inset Sócrates morreu \series bold e \series default tomou sicuta \begin_inset Quotes erd \end_inset não é usual \begin_inset Note Note status collapsed \begin_layout Plain Layout tava: não tem sentido \end_layout \end_inset em linguagem ordinária. Agora, a \color black comutatividade \color inherit não faz sentido porque as proposições estão ligadas numa sequência de tempo. Podemos traduzir o conectivo da conjunção por \begin_inset Quotes eld \end_inset e depois \begin_inset Quotes erd \end_inset , que a tornaria \shape italic \begin_inset Quotes eld \end_inset Sócrates tomou sicuta \series bold e depois \series default ele morreu \begin_inset Quotes erd \end_inset \shape default \begin_inset Foot status open \begin_layout Plain Layout Podemos dizer também que esse tipo de conjunção pode ser chamada de CONJUNÇÃO CAUSAL. Por evidenciar uma sequência de eventos espaço-temporal. \end_layout \end_inset . Entretanto, a LPC não tem nenhum artifício que traduza uma conjunção não-comuta tiva, admitindo-se então que a LPC não comporta as relações temporais \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite[p. 20]{Girle2003} \end_layout \end_inset . E que, portanto, esse caráter temporal se perde na tradução para linguagem formal. \end_layout \begin_layout Subsection Disjunção inclusiva \end_layout \begin_layout Standard Diferentemente da conjunção, nesta função lógica, basta uma das proposições ser verdadeira para que a disjunção inclusiva \color black seja \color inherit verdadeira. Então a tabela-verdade \begin_inset Foot status collapsed \begin_layout Plain Layout A função valorativa da disjunção aparece da seguinte forma: \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout função característica \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout par \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout valor da disjunção \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $v_{1}(p_{1})=V$ \end_inset e \begin_inset Formula $v_{1}(p_{2})=V$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout (V,V) \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $v_{2}(p_{1})=V$ \end_inset e \begin_inset Formula $v_{2}(p_{2})=F$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout (V,F) \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $v_{3}(p_{1})=F$ \end_inset e \begin_inset Formula $v_{3}(p_{2})=V$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout (F,V) \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $v_{4}(p_{1})=F$ \end_inset e \begin_inset Formula $v_{4}(p_{2})=F$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout (F,F) \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold F \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \end_inset será: \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $(\alpha\lor\beta)$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard A \shape italic disjunção exclusiva \shape default , não mencionada até agora, é uma função lógica que, por definição, é verdadeira somente quando um dos disjuntos é verdadeiro, mas não ambos. Sua equivalência lógica é obtida a partir da disjunção inclusiva, da conjunção e da negação. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula $(\alpha\oplus\beta)\Leftrightarrow((\alpha\lor\beta)\land(\sim(\alpha\land\beta)))$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Ambas as proposições possuem a mesma tabela-verdade \begin_inset Foot status collapsed \begin_layout Plain Layout Para nossa linguagem usaremos o símbolo \begin_inset Quotes eld \end_inset \begin_inset Formula $\Leftrightarrow$ \end_inset \begin_inset Quotes erd \end_inset para estabelecer a equivalência lógica, que significa que ambas as proposições têm a mesma tabela-verdade. \end_layout \end_inset : \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $(\alpha\oplus\beta)$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold F \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $(\alpha\lor\beta)$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $(\alpha\land\beta)$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $(\sim(\alpha\land\beta))$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $((\alpha\lor\beta)\land(\sim(\alpha\land\beta)))$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold F \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace medskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard A última coluna de cada tabela acima apresenta a mesma característica, então \begin_inset Formula $(\alpha\oplus\beta)$ \end_inset é logicamente equivalente a \begin_inset Formula $((\alpha\lor\beta)\land(\sim(\alpha\land\beta)))$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Equivalência material \end_layout \begin_layout Standard A equivalência material é verdadeira quando ambas as proposições têm o mesmo valor de verdade. Do contrário, quando as proposições têm valores diferentes a equivalência material será falsa. Ou seja, \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset equivale materialmente a \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset , se e somente se, \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset implica materialmente \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset e \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset implica materialmente \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite[p. 293]{LEWIS1918} \end_layout \end_inset . Portanto, a tabela-verdade \begin_inset Foot status collapsed \begin_layout Plain Layout A Função Valorativa da Equivalência Material é: \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout Função de verdade \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout par \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout Valor da Conjunção \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $v_{1}(p_{1})=V$ \end_inset e \begin_inset Formula $v_{1}(p_{2})=V$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout (V,V) \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $v_{2}(p_{1})=V$ \end_inset e \begin_inset Formula $v_{2}(p_{2})=F$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout (V,F) \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $v_{3}(p_{1})=F$ \end_inset e \begin_inset Formula $v_{3}(p_{2})=V$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout (F,V) \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $v_{4}(p_{1})=F$ \end_inset e \begin_inset Formula $v_{4}(p_{2})=F$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout (F,F) \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold V \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \end_inset da equivalência material é: \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $(\alpha\equiv\beta)$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold V \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Subsection Implicação material \end_layout \begin_layout Standard A implicação é uma função lógica cuja função semântica é estabelecida através do seguinte critério, a saber, \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset implica materialmente \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset , se ou o antecedente é falso ou o consequente é verdadeiro \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite[p. 228]{LEWIS1918} \end_layout \end_inset . Lewis define a implicação material como \shape italic é falso que o antecedente seja verdadeiro e o consequente falso \shape default . Ou seja, \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset implica (materialmente) \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset é logicamente equivalente a \begin_inset Formula $\sim(\alpha\land(\sim\beta))$ \end_inset . Portanto, \begin_inset Formula $(\alpha\supset\beta)\Leftrightarrow(\sim(\alpha\land(\sim\beta)))$ \end_inset , e também \begin_inset Formula $(\alpha\supset\beta)\Leftrightarrow((\sim\beta)\supset(\sim\alpha))$ \end_inset \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite[p. 124]{LEWIS1918} \end_layout \end_inset . Assim, podemos apresentar a tabela-verdade \begin_inset Foot status collapsed \begin_layout Plain Layout A função valorativa \shape italic v \shape default da implicação material é estabelecida da seguinte forma: \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout Função característica \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout par \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout Valor da Implicação \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $v_{1}(p_{1})=V$ \end_inset e \begin_inset Formula $v_{1}(p_{2})=V$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $v_{2}(p_{1})=V$ \end_inset e \begin_inset Formula $v_{2}(p_{2})=F$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $v_{3}(p_{1})=F$ \end_inset e \begin_inset Formula $v_{3}(p_{2})=V$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $v_{4}(p_{1})=F$ \end_inset e \begin_inset Formula $v_{4}(p_{2})=F$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold V \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \end_inset para a implicação material: \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $(\sim\alpha)$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $(\sim\beta)$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $(\alpha\land(\sim\beta))$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $(\alpha\supset\beta)$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\sim(\alpha\land(\sim\beta))$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $(\sim\beta)\supset(\sim\alpha)$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold V \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace medskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Repare que as colunas em negrito possuem as mesmas características por represent arem equivalências entre elas. \end_layout \begin_layout Subsection Consequência lógica \end_layout \begin_layout Standard Introduziremos agora a função de consequência lógica usada na semântica da LPC. Uma proposição \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset é consequência lógica de \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset , se e somente se quando não é possível que \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset seja verdadeira e \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset seja falsa. Usaremos o símbolo \begin_inset Quotes eld \end_inset \begin_inset Formula $\models$ \end_inset \begin_inset Quotes erd \end_inset para expressar esta relação. Então, \begin_inset Formula $\alpha\models\beta$ \end_inset , se e somente se, para toda valoração \shape italic v \shape default , se \shape italic v \shape default \begin_inset Formula $(\alpha)$ \end_inset =V, então \shape italic v \shape default \begin_inset Formula $(\beta)$ \end_inset =V. Isso vale também para um conjunto \begin_inset Formula $\Gamma$ \end_inset de proposições. Assim, \begin_inset Formula $\Gamma\models\beta$ \end_inset expressa que, para toda valoração \shape italic v \shape default , se \shape italic v \shape default \begin_inset Formula $(\gamma_{i})$ \end_inset =V, onde \begin_inset Formula $\gamma_{i}\in\Gamma$ \end_inset , então \shape italic v \shape default \begin_inset Formula $(\beta)$ \end_inset =V. \end_layout \begin_layout Section Os paradoxos da implicação material \end_layout \begin_layout Standard Seguindo a definição usada na subseção 2.2.7, a implicação material \begin_inset Formula $(\alpha\supset\beta)$ \end_inset significa que \begin_inset Quotes eld \end_inset é falso que \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset seja verdadeira e \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset seja falsa \begin_inset Quotes erd \end_inset . O que Lewis discute no capítulo 5 em \shape italic A Survey of Symbolic Logic \shape default \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite[p. 291]{LEWIS1918} \end_layout \end_inset é que o conectivo \begin_inset Quotes eld \end_inset implica materialmente \begin_inset Quotes erd \end_inset , normalmente usado como \begin_inset Quotes eld \end_inset se...então... \begin_inset Quotes erd \end_inset , não representa todos os significados dos condicionais em linguagem ordinária. A implicação material em si não é problema para o cálculo proposicional. Porém, quando nos deparamos com um condicional natural onde não existe uma \shape italic conexão factual \shape default entre seus termos (antecedente e consequente) estamos diante de uma implicação que não é material, por exemplo, \begin_inset Quotes eld \end_inset se a lua é feita de queijo, então 2+2=5 \begin_inset Quotes erd \end_inset . Repare que este condicional não contém uma \shape italic conexão factual \begin_inset Note Note status collapsed \begin_layout Plain Layout \shape italic nem o Rocha entra em detalhes a respeito desta noção. só menciona que tais implicações exṕrimem conexao factual entre as proposições e a estrita conexao necessaria entre as proposições. \end_layout \end_inset \shape default entre as proposições \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite{ROCHA2013} \end_layout \end_inset . Pois, se não levarmos em conta esse aspecto na formalização, diremos \shape italic simplesmente \shape default que tal condicional material é verdadeiro pelo fato de que seu antecedente é falso, independente do valor de verdade do consequente. Podemos observar também que, para esta análise, não basta ter somente os valores de verdade das proposições para tornar o condicional natural numa implicação verdadeira. A natureza das proposições também deverá ser levada em conta para que a análise lógica da implicação seja consistente. Considerando os problemas sobre a natureza das proposições, Lewis traz ao cerne de discussão os paradoxos da implicação material \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite[p. 291]{LEWIS1918} \end_layout \end_inset , que se segue abaixo: \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \shape italic P1 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\alpha\models\beta\supset\alpha$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \shape italic P2 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\sim\alpha\models\alpha\supset\beta$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \shape italic P3 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\models(\alpha\supset\beta)\lor(\beta\supset\alpha)$ \end_inset \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \shape italic P1 \shape default representa que \shape italic uma proposição supostamente \begin_inset Note Note status collapsed \begin_layout Plain Layout \shape italic é supostamente verdadeira. mas e pra P2? é supostamente falsa tambem? \end_layout \end_inset verdadeira é implicada materialmente por qualquer proposição \shape default . \shape italic P2 \shape default representa que \shape italic uma proposição falsa implica materialmente qualquer proposição \shape default . E \shape italic P3 \shape default representa que, dada duas quaisquer proposições, \shape italic ou uma proposição implica materialmente a outra ou vice-versa \shape default . Em linguagem ordinária, estas fórmulas (P1, P2 e P3) dão origem a várias afirmações esquisitas. Primeiramente, assumiremos \begin_inset Formula $\alpha_{1}$ \end_inset para \begin_inset Quotes eld \end_inset João é estudante \begin_inset Quotes erd \end_inset e \begin_inset Formula $\beta_{1}$ \end_inset para \begin_inset Quotes eld \end_inset A lua é azul \begin_inset Quotes erd \end_inset . Em \shape italic P1, \shape default o condicional \begin_inset Formula $(\beta_{1}\supset\alpha_{1})$ \end_inset é verdadeiro, pois se assumirmos que \begin_inset Quotes eld \end_inset João é estudante \begin_inset Quotes erd \end_inset é uma sentença verdadeira, então \begin_inset Quotes eld \end_inset Se a lua é azul, então João é estudante \begin_inset Quotes erd \end_inset é uma sentença verdadeira. É estranho afirmarmos alguma relação entre as duas proposições. Uma vez que entre elas não há uma relação factual, e assim, não caracterizando uma implicação material. \end_layout \begin_layout Standard Em \shape italic P2 \shape default , o paradoxo se caracteriza por afirmar que toda proposição falsa pode implicar materialmente qualquer outra proposição. Tomamos outro exemplo onde assumimos \begin_inset Formula $\alpha_{2}$ \end_inset para \begin_inset Quotes eld \end_inset a lua é azul \begin_inset Quotes erd \end_inset e \begin_inset Formula $\beta_{2}$ \end_inset para \begin_inset Quotes eld \end_inset João é estudante \begin_inset Quotes erd \end_inset . Nesse caso, a implicação material \begin_inset Formula $(\alpha_{2}\supset\beta_{2})$ \end_inset é verdadeira, pois \begin_inset Formula $\alpha_{2}$ \end_inset é falsa. O problema não é assumir a implicação material em si. O caráter interpretativo aqui é tentar estabelecer que, com o antecedente falso, todo condicional em linguagem ordinária seria verdadeiro. \end_layout \begin_layout Standard Em \shape italic P3 \shape default , o paradoxo afirma que, dadas duas quaisquer proposições, é verdadeiro que ou uma implica materialmente a outra ou vice-versa. Uma vez que foi verificado que nem todos os condicionais em linguagem ordinária é um condicional material, tal afirmação não corresponde a todos os condicionai s. Na tentativa de solucionar os paradoxos da implicação material, Lewis introduz uma noção modal de possibilidade que se caracteriza na Implicação Estrita, que significa que \begin_inset Quotes eld \end_inset \shape italic é impossível \shape default que \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset seja verdadeira e \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset seja falsa \begin_inset Quotes erd \end_inset , ou \begin_inset Formula $(\alpha\strictif\beta)$ \end_inset , onde \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset implica estritamente \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset \begin_inset Foot status collapsed \begin_layout Plain Layout Na época, Lewis ainda não gozava de uma semântica que pudesse dar um caráter extensional à modalidade. Ele estabeleceu princípios axiomáticos com regras que refletem o raciocínio lógico intuitivo. Em geral, um sistema lógico axiomático é um tipo de sistema formal que compreende axiomas, regras de inferência e teoremas deles demonstrados cujo o objetivo é estabelecer certos princípios básicos que revelam as noções lógicas, por exemplo, o sistema axiomático euclidiano. A dificuldade nesse tipo de sistema é que não existe algo que justifique os axiomas, pois são dados intuitivamente como primitivos \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite[p. 37]{Girle2003} \end_layout \end_inset . Uma das explicações a esta questão era que sem esses princípios axiomáticos não poderíamos provar a validade de certos \begin_inset Quotes eld \end_inset argumentos obviamente válidos \begin_inset Quotes erd \end_inset \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite[p. 37]{Girle2003} \end_layout \end_inset . Lewis não poderia afirmar que seu sistema era correto e completo. \end_layout \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Girle também aponta que muitos lógicos, como Hunt, adotaram a implicação material como única tradução do condicional em linguagem ordinária \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite[pág. 20]{Girle2003} \end_layout \end_inset . Ele critica esta posição apontando que é um erro de interpretação indicar que todos condicionais da linguagem ordinária podem ser traduzidos para a implicação material. Veremos então dois apontamentos de Girle que evidenciaram essas discrepâncias. \end_layout \begin_layout Standard O primeiro apontamento está na maneira pela qual são abordados os significados dos termos das proposições nos argumentos em linguagem ordinária. Verificaremos como a noção de consequência lógica pode evidenciar tal problema se olharmos para o conteúdo das proposições. A definição de Consequência Lógica, abordada na subseção 2.2.8, estabelece que é impossível que, dada uma proposição verdadeira ou um conjunto de proposições verdadeiras, se segue uma proposição falsa, ou seja, há uma relação de preservação de verdade entre \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset e \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset ( \begin_inset Formula $\Gamma$ \end_inset e \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset ) , quando \begin_inset Formula $\alpha\models\beta$ \end_inset ou \begin_inset Formula $\Gamma\models\beta$ \end_inset \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite[p. 21]{Girle2003} \end_layout \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Analisemos o seguinte argumento: \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash begin{enumerate} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash item[(A1)] \end_layout \end_inset Se Sócrates é homem, então Sócrates é um mamífero. \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash \backslash \end_layout \end_inset Sócrates é homem. \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash \backslash \end_layout \end_inset Portanto, Sócrates é mamífero. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash end{enumerate} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Podemos usar a abreviação \shape italic \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset \shape default para \begin_inset Quotes eld \end_inset Sócrates é homem \begin_inset Quotes erd \end_inset \shape italic e \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset \shape default para \begin_inset Quotes eld \end_inset Sócrates é mamífero \begin_inset Quotes erd \end_inset . O argumento A1 abreviado será: \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout Se \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset então \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout premissa \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout premissa \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout Portanto, \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout conclusão \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Substituindo \begin_inset Quotes eld \end_inset portanto \begin_inset Quotes erd \end_inset pelo símbolo \begin_inset Quotes eld \end_inset \begin_inset Formula $\therefore$ \end_inset \begin_inset Quotes erd \end_inset , a forma de A1 na Linguagem L será: \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $(\alpha\supset\beta)$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout premissa \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout premissa \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\therefore\beta$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout conclusão \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard No argumento A1, \begin_inset Formula $(\alpha\supset\beta),\,\alpha\models\beta$ \end_inset , pois não é possível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa, independente do que significam \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset e \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset . Agora vejamos outra forma de argumento: \end_layout \begin_layout Standard A2 \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout Se \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset então \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout premissa \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout premissa \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout Portanto, \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout conclusão \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Usando as mesmas abreviações, percebemos que a forma do argumento A2 \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset não é consequência lógica \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout eu mudei validade por consequencia lógica. Ta certo isso? tambem nao consegui pra introduzir o simbolo de \begin_inset Quotes eld \end_inset nao é consequencia logica. \end_layout \end_inset de \begin_inset Formula $(\alpha\supset\beta)$ \end_inset e \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset , pois podemos encontrar um contraexemplo em que as premissas são verdadeiras e a conclusão falsa. Por exemplo, um argumento da mesma forma que A2, onde instanciamos \shape italic \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset \shape default para \begin_inset Quotes eld \end_inset 2+2=5 \begin_inset Quotes erd \end_inset e \shape italic \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset \shape default para \begin_inset Quotes eld \end_inset 2+2=4 \begin_inset Quotes erd \end_inset \begin_inset Foot status collapsed \begin_layout Plain Layout \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash begin{enumerate} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash item[(A1)] \end_layout \end_inset Se 2+2=5, então 2+2=4. \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash \backslash \end_layout \end_inset 2+2=4. \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash \backslash \end_layout \end_inset Portanto, 2+2=5. \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash end{enumerate} \end_layout \end_inset \end_layout \end_inset , evidenciamos que as premissas são verdadeiras e a conclusão falsa. Entretanto, em LPC, os significados dos termos das proposições não são traduzidos, e, portanto, o argumento A1 é uma consequência lógica e A2 não é segundo a forma. O que garante a validade desses argumentos é a forma deles. \end_layout \begin_layout Standard Quando olhamos para o conteúdo das proposições, podemos perceber que o argumento A2 cuja forma não é uma consequência lógica, pode vir a ser. Observe o seguinte argumento A3: \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash begin{enumerate} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash item[(A3)] \end_layout \end_inset Se Marcos é solteiro, então Marcos é não-casado. \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash \backslash \end_layout \end_inset Marcos é não-casado. \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash \backslash \end_layout \end_inset Portanto, Marcos é solteiro. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash end{enumerate} \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Se dermos \shape italic \begin_inset Formula $\alpha_{1}$ \end_inset \shape default para \begin_inset Quotes eld \end_inset Marcos é solteiro \begin_inset Quotes erd \end_inset e \shape italic \begin_inset Formula $\beta_{1}$ \end_inset \shape default para \begin_inset Quotes eld \end_inset Marcos é não-casado \begin_inset Quotes erd \end_inset , segue-se as abreviações de A3: \end_layout \begin_layout Standard A3 \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout Se \begin_inset Formula $\alpha_{1}$ \end_inset então \begin_inset Formula $\beta_{1}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout premissa \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\beta_{1}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout premissa \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout Portanto, \begin_inset Formula $\alpha_{1}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout conclusão \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Traduzindo para Linguagem L, o argumento A3 apresenta a seguinte forma: \end_layout \begin_layout Standard A3 \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $(\alpha_{1}\supset\beta_{1})$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout premissa \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\beta_{1}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout premissa \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\therefore\alpha_{1}$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout conclusão \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Como foi discutido anteriormente, a forma do argumento A2 não é consequência lógica, e, portanto, o argumento A3 também deveria não ser também, pois os dois argumentos têm a mesma forma. Contudo, quando olhamos para os termos das proposições, por exemplo os termos \begin_inset Quotes eld \end_inset solteiro \begin_inset Quotes erd \end_inset e \begin_inset Quotes eld \end_inset não-casado \begin_inset Quotes erd \end_inset , observamos que elas podem manter uma relação sinonímica em consideração ao significado dos termos. Nesse caso, \begin_inset Quotes eld \end_inset solteiro \begin_inset Quotes erd \end_inset e \begin_inset Quotes eld \end_inset não-casado \begin_inset Quotes erd \end_inset seriam sinônimos, pois poderiam ter o mesmo significado. O que tornaria o argumento A3 uma consequência lógica é afirmar que \begin_inset Quotes eld \end_inset x é solteiro \begin_inset Quotes erd \end_inset equivale a dizer \begin_inset Quotes eld \end_inset x é não-casado \begin_inset Quotes erd \end_inset . Portanto, \shape italic \begin_inset Quotes eld \end_inset Marcos é solteiro \begin_inset Quotes erd \end_inset \shape default equivale a \shape italic \begin_inset Quotes eld \end_inset Marcos é não-casado \shape default \begin_inset Quotes erd \end_inset \begin_inset Foot status collapsed \begin_layout Plain Layout Uma discussão semelhante em relação ao significado apontada por Quine na seção 1 em \begin_inset Quotes eld \end_inset Dois Dogmas do Empirismo \begin_inset Quotes erd \end_inset \shape italic , \shape default sobre a qual ele discute a sinonímia cognitiva entre os termos \begin_inset Quotes eld \end_inset solteiro \begin_inset Quotes erd \end_inset e \begin_inset Quotes eld \end_inset não-casado \begin_inset Quotes erd \end_inset \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite[p. 236]{QUINE1980} \end_layout \end_inset . Segundo Quine, \shape italic Todo solteiro é solteiro \shape default é um enunciado analítico. O que dificulta afirmar que \shape italic Todo solteiro é não-casado \shape default é um enunciado analítico é apresentar alguma relação entre os termos \shape italic solteiro \shape default e \shape italic não-casado \shape default . \end_layout \end_inset , se levarmos em consideração que \begin_inset Quotes eld \end_inset Marcos \begin_inset Quotes erd \end_inset tem o mesmo referencial nestas sentenças. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \color black O segundo apontamento segue a mesma problemática apresentada anteriormente, em achar que todos os condicionais naturais podem ser traduzidos pela implicaçã o material. \color red \color inherit Só que agora Girle segue uma análise dos condicionais negados. Consideremos que, se \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset é equivalente a \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset , então \begin_inset Formula $(\sim\alpha)$ \end_inset é equivalente a \begin_inset Formula $(\sim\beta)$ \end_inset . Podemos afirmar que a negação do condicional material \shape italic (Se \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset então \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset ) \shape default é equivalente a negação da disjunção inclusiva \shape italic (não \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset ou \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset ) \shape default , pois possuem a mesma tabela-verdade. Analisemos a negação do seguinte condicional \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite[p. 35]{Girle2003} \end_layout \end_inset : \end_layout \begin_layout Standard \shape italic É falso que se Alemanha tivesse invadido a Inglaterra em 1940, então a Alemanha teria ganhado a Segunda Guerra Mundial. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard A implicação material é logicamente equivalente a disjunção inclusiva da negação do antecedente com o consequente. Segue-se que: \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula $(\alpha\supset\beta)\Leftrightarrow((\sim\alpha)\lor\beta)$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Veja as tabelas de verdade abaixo \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $(\alpha\supset\beta)$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold V \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $(\sim\alpha)$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $((\sim\alpha)\lor\beta)$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \series bold V \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \color black No entanto, ao analisar o problema mais de perto, Girle pondera que este condicional não é um condicional material, ou seja, não pode ser traduzido para a linguagem formal por uma implicação material \color inherit . \end_layout \begin_layout Standard Vimos que, por definição, a implicação material \begin_inset Formula $(\alpha\supset\beta)$ \end_inset é logicamente equivalente a \begin_inset Formula $((\sim\alpha)\lor\beta)$ \end_inset . E que, portanto, a negação de \begin_inset Formula $(\alpha\supset\beta)$ \end_inset é equivalente a negação de \begin_inset Formula $((\sim\alpha)\lor\beta)$ \end_inset . \color black Para LPC, \color inherit \begin_inset Formula $(\sim(\alpha\supset\beta))$ \end_inset \color black é equivalente a \color inherit \begin_inset Formula $(\alpha\land(\sim\beta))$ \end_inset . Segue abaixo as equivalências: \end_layout \begin_layout Standard 1 \begin_inset Formula $(\sim(\alpha\supset\beta))\Leftrightarrow(\sim((\sim\alpha)\lor\beta))$ \end_inset — segue-se por equivalência \end_layout \begin_layout Standard 2 \begin_inset Formula $(\sim((\sim\alpha)\lor\beta))\Leftrightarrow(\alpha\land(\sim\beta))$ \end_inset — segue por \shape italic De Morgan \begin_inset Foot status collapsed \begin_layout Plain Layout \shape italic De Morgan: \begin_inset Formula $(\sim(p\lor q))\equiv((\sim p)\land(\sim q))$ \end_inset \end_layout \end_inset \shape default e dupla negação \begin_inset Foot status open \begin_layout Plain Layout Dupla negação: \begin_inset Formula $\alpha\Leftrightarrow(\sim(\sim\alpha))$ \end_inset \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard 3 \begin_inset Formula $\alpha\Leftrightarrow\beta$ \end_inset , \begin_inset Formula $\beta\Leftrightarrow\gamma$ \end_inset , então \begin_inset Formula $\alpha\Leftrightarrow\gamma$ \end_inset — propriedade de transitividade para equivalência lógica \begin_inset Note Note status collapsed \begin_layout Plain Layout é desse jeito a propriedade de transitividade para equivalencia lógica? \end_layout \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard 4 \begin_inset Formula $(\sim(\alpha\supset\beta))\Leftrightarrow(\alpha\land(\sim\beta))$ \end_inset — esta equivalência se segue de 1 e 2 \begin_inset Note Note status collapsed \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\Leftrightarrow$ \end_inset recebe parênteses? na sintaxe proposta no inicio ele não aparece como formula, ou nao aparece como conectivo. \end_layout \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace bigskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \color black O paradoxo da implicação material agora encara a crítica de Girle no que concerne às equivalências materiais, apontando que estas equivalências são paradoxais pelo fato de que alguns condicionais naturais não são materiais \color inherit \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite[p. 36]{Girle2003} \end_layout \end_inset . Se for verdadeiro que \shape italic \begin_inset Quotes eld \end_inset É falso que se Alemanha tivesse invadido a Inglaterra em 1940, então a Alemanha teria ganhado a Segunda Guerra Mundial \begin_inset Quotes erd \end_inset , \shape default então sua equivalência lógica \color black deveria ser também verdadeira. \color inherit Contudo, podemos afirmar que \shape italic \begin_inset Quotes eld \end_inset A Alemanha invadiu a Inglaterra em 1940 e não ganhou a Segunda Guerra Mundial \begin_inset Quotes erd \end_inset \shape default é uma conjunção falsa, pois a Alemanha não invadiu a Inglaterra em 1940. \end_layout \begin_layout Standard A noção lógica de implicação estrita apresentada por Lewis foi uma tentativa de resolução dos paradoxos apresentados na implicação material em linguagem ordinária. Porém, Lewis não estabeleceu uma semântica satisfatória que estabeleça a corretude e completude do seu sistema \begin_inset Foot status collapsed \begin_layout Plain Layout Um sistema é correto se \begin_inset Formula $\vdash\alpha$ \end_inset , então \begin_inset Formula $\models\alpha$ \end_inset . Isto é, se uma proposição \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset é derivável no sistema, então ela é válida. E, num sistema completo, se \begin_inset Formula $\models\alpha$ \end_inset , então \begin_inset Formula $\vdash\alpha$ \end_inset . Ou seja, se uma proposição \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset é válida, então ela é derivável no sistema. \end_layout \end_inset , acabando por alguns lógicos contemporâneos de Lewis desconfiarem do alcance da implicação estrita. Além disso, a implicação estrita encarou problemas similares em relação à implicação material \begin_inset Foot status collapsed \begin_layout Plain Layout São os seguintes paradoxos: \end_layout \begin_layout Plain Layout \shape italic P1' \shape default \begin_inset Formula $\Square\alpha\models(\beta\strictif\alpha)$ \end_inset \end_layout \begin_layout Plain Layout \shape italic P2' \shape default \begin_inset Formula $\sim\lozenge\alpha\models(\alpha\strictif\beta)$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite{ROCHA2013} \end_layout \end_inset . Com o estabelecimento da Semântica de Mundos Possíveis (SMP) por Kripke \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite{KRIPKE1959} \end_layout \end_inset , a Lógica Proposicional Modal adquiri uma perspectiva mais sistemática em relação à noção modal estabelecida por Lewis. A intenção de Kripke foi tornar a noção modal lewisiana intensional numa modalidade extensional, através da inserção de uma entidade primitiva denominad a de \begin_inset Quotes eld \end_inset mundos possíveis \begin_inset Quotes erd \end_inset \begin_inset Foot status collapsed \begin_layout Plain Layout Como veremos no próximo capítulo, a noção filosófica dessa entidade chamada de \begin_inset Quotes eld \end_inset mundos possíveis \begin_inset Quotes erd \end_inset não é levada em questão pela Lógica Modal \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite[p. 2]{KRIPKE1959} \end_layout \end_inset . \end_layout \end_inset . Na semântica extensional, basta ter os valores de verdade das proposições componentes para apresentarmos o valor de verdade das proposições complexas. Por exemplo, se \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset e \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset são proposições verdadeiras, então \begin_inset Formula $(\alpha\land\beta)$ \end_inset é verdadeira. Diferentemente, na semântica intensional, não basta ter o valor de verdade de \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset para estabelecer o valor de \begin_inset Formula $\Square\alpha$ \end_inset \begin_inset Foot status collapsed \begin_layout Plain Layout Veremos também no próximo capítulo, a caixa \begin_inset Quotes eld \end_inset \begin_inset Formula $\Square$ \end_inset \begin_inset Quotes erd \end_inset representa a noção modal de necessidade. \end_layout \end_inset , pois não sabemos a natureza de \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Chapter Lógica proposicional modal \end_layout \begin_layout Standard Antes de iniciarmos a análise da Lógica Proposicional Modal (LPM), vale a pena ressaltar que o trabalho técnico em Lógica Modal não se precisa estabelecer uma discussão filosófica do conceito de \begin_inset Quotes eld \end_inset mundos possíveis \begin_inset Quotes erd \end_inset . Entretanto, muitos filósofos e lógicos entraram nesse debate filosófico e apresentaram diversas interpretações acerca de \begin_inset Quotes eld \end_inset mundos possíveis \begin_inset Quotes erd \end_inset , como, por exemplo, Kripke, Plantinga, David Lewis, Stalnaker, Armstrong entre outros \begin_inset Foot status collapsed \begin_layout Plain Layout Em outra ocasião trataremos deste debate filosófico, pois é de grande importânci a a discussão filosófica sobre a ontologia de mundos possíveis. \end_layout \end_inset . O mais importante para a lógica modal e para o intuito deste trabalho é entender que esta entidade é primitiva e nos ocuparemos em trazer o desenvolvim ento da semântica de mundos possíveis na LPM. \end_layout \begin_layout Standard Assim como na LPC, a Lógica Proposicional Modal desenvolveu também uma sintaxe e uma semântica (de mundos possíveis). Se acreditarmos que a LPM é uma extensão da LPC, podemos avançar este capítulo assumindo as noções lógicas primitivas em LPC como negação, conjunção, disjunção inclusiva, equivalência material, implicação material, todas apresentadas no capítulo anterior, e inserindo agora as noções de possibilidade e necessidade. Como já foi discutido, Lewis apresenta a noção modal de possibilidade para dar conta dos paradoxos apresentados na implicação material em inferências ordinárias e define a implicação estrita em termos de \begin_inset Quotes eld \end_inset é impossível que... \begin_inset Quotes erd \end_inset . Em geral, definimos a implicação estrita lewisiana numa relação de necessidade entre os componentes da implicação material e isto é possível porque há uma equivalência entre as noções de possibilidade e necessidade \begin_inset Foot status open \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $(\alpha\strictif\beta)$ \end_inset é logicamente equivalente a \begin_inset Formula $\Square(\alpha\supset\beta)$ \end_inset . Assim, \begin_inset Formula $(\alpha\strictif\beta)\Leftrightarrow\Square(\alpha\supset\beta)$ \end_inset é obtida da seguinte forma: \end_layout \begin_layout Plain Layout \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 1 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $(\alpha\strictif\beta)$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\Leftrightarrow$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\sim\diamondsuit(\alpha\land(\sim\beta))$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout Definição lewisiana para implicação estrita. \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 2 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\sim\diamondsuit\alpha$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\Leftrightarrow$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\Square\sim\alpha$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout Equivalência apresentada por Lewis. \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 3 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\sim\diamondsuit(\alpha\land(\sim\beta))$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\Leftrightarrow$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\Square\sim(\alpha\land(\sim\beta))$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout Esta equivalência se segue de 1 e 2. \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 4 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $(\alpha\supset\beta)$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\Leftrightarrow$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\sim(\alpha\land(\sim\beta))$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout Por equivalência lógica. \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 5 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $(\alpha\strictif\beta)$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\Leftrightarrow$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\Square(\alpha\supset\beta)$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout Esta equivalência se segue de 3 e 4. \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite[p. 3]{GIRLE2000} \end_layout \end_inset . O símbolo de possibilidade é representado pelo diamante \begin_inset Quotes eld \end_inset \begin_inset Formula $\diamondsuit$ \end_inset \begin_inset Quotes erd \end_inset e o símbolo de necessidade pela caixa \begin_inset Quotes eld \end_inset \begin_inset Formula $\Square$ \end_inset \begin_inset Quotes erd \end_inset . Assim, \begin_inset Formula $\diamondsuit\alpha$ \end_inset representa \begin_inset Quotes eld \end_inset é possível que \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset \begin_inset Quotes erd \end_inset e \begin_inset Formula $\Square\alpha$ \end_inset representa \begin_inset Quotes eld \end_inset é necessário que \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset \begin_inset Quotes erd \end_inset \begin_inset Foot status open \begin_layout Plain Layout Há outros símbolos que podem caracterizar a possibilidade e a necessidade, respectivamente, \begin_inset Quotes eld \end_inset M \begin_inset Quotes erd \end_inset e \begin_inset Quotes eld \end_inset L \begin_inset Quotes erd \end_inset \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite[p. 3]{GIRLE2000} \end_layout \end_inset . \end_layout \end_inset . Estas noções modais são interdefiníveis \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite[p. 3]{GIRLE2000} \end_layout \end_inset \begin_inset Foot status collapsed \begin_layout Plain Layout Também em \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite[p. 292]{LEWIS1918} \end_layout \end_inset . \end_layout \end_inset : \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 1 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\sim\diamondsuit\alpha$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\Leftrightarrow$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\Square\sim\alpha$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 2 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\diamondsuit\sim\alpha$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\Leftrightarrow$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\sim\Square\alpha$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 3 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\diamondsuit\alpha$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\Leftrightarrow$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\sim\Square\sim\alpha$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout 4 \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\Square\alpha$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\Leftrightarrow$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\sim\diamondsuit\sim\alpha$ \end_inset \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Todos os sistemas que serão apresentados aqui são baseados em mais uma obra de Girle intitulada \shape italic Modal Logics and Philosophy \shape default \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash nocite{GIRLE2000} \end_layout \end_inset . Vale a pena ressaltar que a LPM não só trabalha com possibilidade e necessidade , isto é, não se resume apenas às noções modais aléticas. Ela pode trabalhar também com noções de conhecimento, crença, tempo, mudança e obrigação. E podemos caracterizar cada uma, respectivamente, em lógicas epistêmicas, doxáticas, temporais, dinâmicas e deônticas, comportando um número maior de noções lógicas para dar conta de outros termos em linguagem ordinária. \end_layout \begin_layout Section Sintaxe da LPM \end_layout \begin_layout Standard Acrescentaremos à sintaxe da nossa linguagem L regras de boa-formação referentes a estas duas noções modais aléticas, que se seguem abaixo: \end_layout \begin_layout Itemize Se \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset é uma \series bold FBF \series default , então \begin_inset Formula $\diamondsuit\alpha$ \end_inset é uma \series bold FBF \series default ; \end_layout \begin_layout Itemize Se \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset é uma \series bold FBF \series default , então \begin_inset Formula $\Square\alpha$ \end_inset é uma \series bold FBF \series default . \end_layout \begin_layout Standard Desta forma, não há muito o que acrescentar à sintaxe da LPM, pois estamos assumindo de antemão toda àquela estrutura sintática estabelecida no capítulo anterior e mais estas duas regras \begin_inset Foot status collapsed \begin_layout Plain Layout Em seus sistemas axiomáticos (S1, S2, S3, S4 e S5), CI Lewis \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite[p. 225]{LEWIS1918} \end_layout \end_inset trabalhou com as noções de negação \begin_inset Quotes eld \end_inset \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout $-$ \end_layout \end_inset \begin_inset Quotes erd \end_inset , conjunção \begin_inset Quotes eld \end_inset \begin_inset Formula $\times$ \end_inset \begin_inset Quotes erd \end_inset (ou a partir da concatenação de duas fórmulas), disjunção \begin_inset Quotes eld \end_inset + \begin_inset Quotes erd \end_inset , implicação material \begin_inset Quotes eld \end_inset \begin_inset Formula $\subset$ \end_inset \begin_inset Quotes erd \end_inset e depois impossibilidade \begin_inset Quotes eld \end_inset \series bold \begin_inset Formula $\thicksim$ \end_inset \series default \begin_inset Quotes erd \end_inset . \end_layout \end_inset . \end_layout \begin_layout Section Semântica da LPM \end_layout \begin_layout Standard Inicialmente, poderíamos caracterizar semanticamente estas duas noções modais, possibilidade e necessidade, afirmando que uma \begin_inset Quotes eld \end_inset proposição é possível \begin_inset Quotes erd \end_inset quando ela é verdadeira pelo menos em \shape italic algum \shape default mundo possível e que uma \begin_inset Quotes eld \end_inset proposição é necessária \begin_inset Quotes erd \end_inset quando ela é verdadeira em \shape italic todos \shape default os mundos possíveis \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite[p. 2]{KRIPKE1959} \end_layout \end_inset \begin_inset Foot status collapsed \begin_layout Plain Layout Também em \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite[p. 15]{GIRLE2000} \end_layout \end_inset . \end_layout \end_inset . No início do século XX, CI Lewis formulou cinco sistemas axiomáticos para a implicação estrita, a saber, sistema 1, sistema 2, sistema 3, sistema 4, sistema 5 \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite{LEWIS1918} \end_layout \end_inset , sendo este último aquele que captura exatamente o significado das noções modais aléticas. \end_layout \begin_layout Standard De acordo com o que foi mencionado acima, temos as seguintes regras semânticas para \begin_inset Formula $\Square$ \end_inset e \begin_inset Formula $\diamondsuit$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Description \begin_inset Formula $\Square$ \end_inset -Sem \begin_inset Formula $\Square\alpha$ \end_inset é V em \begin_inset Formula $w$ \end_inset se e somente se \begin_inset Formula $\forall v$ \end_inset , \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset é V em \begin_inset Formula $v$ \end_inset , onde \begin_inset Formula $w$ \end_inset e \begin_inset Formula $v$ \end_inset referem-se a mundos possíveis \begin_inset Note Note status collapsed \begin_layout Plain Layout o prof guitarrari menciona que nao está claro a natureza de w e v. Sendo que eles são denominados por mundos possiveis, como mencionar a natureza deles? \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Description \begin_inset Formula $\diamondsuit$ \end_inset -Sem \begin_inset Formula $\diamondsuit\alpha$ \end_inset é V em \begin_inset Formula $w$ \end_inset se e somente se \begin_inset Formula $\exists v$ \end_inset , \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset é V em \begin_inset Formula $v$ \end_inset , onde \begin_inset Formula $w$ \end_inset e \begin_inset Formula $v$ \end_inset referem-se a mundos possíveis \end_layout \begin_layout Standard Mais adiante, veremos que essas regras serão relativizadas através das relações de acessibilidade entre os mundos possíveis \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite[p. 13]{GIRLE2000} \end_layout \end_inset com o intuito de dar conta das diversas noções modais aplicadas à linguagem ordinária. As regras semânticas acima introduzem o seguinte problema: em sistemas modais doxáticos e deônticos, onde reflexividade não vale para a relação de acessibilidade, a proposição \begin_inset Formula $(\Square\alpha\supset\alpha)$ \end_inset deveria ser inválida, pois parece plausível dizer que do fato de um agente cognoscente acreditar em uma proposição \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset não se segue necessariamente que \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset é verdadeira e do fato que é obrigatório que \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset não se segue necessariamente que \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset é o caso. Isso será discutido mais a frente. \end_layout \begin_layout Standard As demais noções lógicas assumidas em LPC se regulamentam em LPM da seguinte forma. Arbitrariamente assumimos um mundo possível \shape italic w \shape default , então: \end_layout \begin_layout Description Dupla \begin_inset Formula $\,$ \end_inset negação \begin_inset Formula $\sim(\sim\alpha)$ \end_inset é V em \begin_inset Formula $w$ \end_inset se e somente se \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset é V em \begin_inset Formula $w$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Description Disjunção \begin_inset Formula $(\alpha\lor\beta)$ \end_inset é V em \begin_inset Formula $w$ \end_inset se e somente se \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset é V em \begin_inset Formula $w$ \end_inset ou \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset é V em \begin_inset Formula $w$ \end_inset (ou ambos). \end_layout \begin_layout Description Conjunção \begin_inset Formula $(\alpha\wedge\beta)$ \end_inset é V em \begin_inset Formula $w$ \end_inset se e somente se \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset é V em \begin_inset Formula $w$ \end_inset e \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset é V em \begin_inset Formula $w$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Description Implicação-material \begin_inset Formula $(\alpha\supset\beta)$ \end_inset é V em \begin_inset Formula $w$ \end_inset se e somente se ou \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset é F em \begin_inset Formula $w$ \end_inset ou \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset é V em \begin_inset Formula $w$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Description Equivalência-material \begin_inset Formula $(\alpha\equiv\beta)$ \end_inset é V em \begin_inset Formula $w$ \end_inset se e somente se \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset e \begin_inset Formula $\beta$ \end_inset tiverem o mesmo valor de verdade em \begin_inset Formula $w$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Standard Se assumirmos essas regras semânticas, então a fórmula \begin_inset Formula $(\Square\alpha\supset\alpha)$ \end_inset será válida. \end_layout \begin_layout Standard (por redução ao absurdo): assuma que \begin_inset Formula $(\Square\alpha\supset\alpha)$ \end_inset não é válida. Pelas regras acima, significa que existe um mundo possível, digamos \begin_inset Formula $w$ \end_inset , no qual ela é falsa. Pela regra da implicação, isso significa que \begin_inset Formula $\Square\alpha$ \end_inset é V em \begin_inset Formula $w$ \end_inset e \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset é F em \begin_inset Formula $w.$ \end_inset Por outro lado, \begin_inset Formula $\Square\alpha$ \end_inset é V em \begin_inset Formula $w$ \end_inset sse \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset é V em todos os mundos possíveis, em particular, em \begin_inset Formula $w$ \end_inset . Portanto, \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset teria de ser V e F em \begin_inset Formula $w$ \end_inset , o que é uma contradição. \end_layout \begin_layout Standard A validade de \begin_inset Formula $(\Square\alpha\supset\alpha)$ \end_inset demonstra que as estipulações semânticas acima são inadequadas para interpretar noções doxáticas e deônticas. Daí a necessidade de introduzir as relações de acessibilidade. \end_layout \begin_layout Subsection As relações de acessibilidade e a LPM \end_layout \begin_layout Standard Para resolver o problema mencionado acima, introduziremos uma relação binária primitiva \begin_inset Formula $xAy$ \end_inset chamada de relação de acessibilidade entre mundos possíveis que significa que o mundo \begin_inset Formula $y$ \end_inset é acessível a partir de \begin_inset Formula $x$ \end_inset . Com isso, fazemos as seguintes modificações em \begin_inset Formula $\Square$ \end_inset -Sem e \begin_inset Formula $\diamondsuit$ \end_inset -Sem: \end_layout \begin_layout Description \begin_inset Formula $\Square$ \end_inset -Sem* \begin_inset Formula $\Square\alpha$ \end_inset é V em \begin_inset Formula $w$ \end_inset se e somente se \begin_inset Formula $\forall v$ \end_inset , se \begin_inset Formula $wAv$ \end_inset , então \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset é V em \begin_inset Formula $v$ \end_inset \end_layout \begin_layout Description \begin_inset Formula $\diamondsuit$ \end_inset -Sem* \begin_inset Formula $\diamondsuit\alpha$ \end_inset é V em \begin_inset Formula $w$ \end_inset se e somente se \begin_inset Formula $\exists v$ \end_inset , \begin_inset Formula $wAv$ \end_inset e \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset é V em \begin_inset Formula $v$ \end_inset \end_layout \begin_layout Standard A relação de acessibilidade pode possuir certas características, entre as quais podemos destacar as propriedades de reflexividade \begin_inset Foot status collapsed \begin_layout Plain Layout Uma relação \begin_inset Formula $R$ \end_inset é reflexiva sobre um determinado domínio de objetos se todos eles estiverem nesta relação consigo mesmos. \end_layout \end_inset , simetria \begin_inset Foot status collapsed \begin_layout Plain Layout Uma relação \begin_inset Formula $R$ \end_inset é simétrica sobre um domínio de objetos se para quaisquer dois objetos \begin_inset Formula $x$ \end_inset e \begin_inset Formula $y$ \end_inset , se \begin_inset Formula $R(x,y)$ \end_inset , então \begin_inset Formula $R(y,x)$ \end_inset . \end_layout \end_inset e transitividade \begin_inset Foot status collapsed \begin_layout Plain Layout Uma relação \begin_inset Formula $R$ \end_inset é transitiva sobre um domínio de objetos se para quaisquer três objetos \begin_inset Formula $x$ \end_inset , \begin_inset Formula $y$ \end_inset e \begin_inset Formula $z$ \end_inset , se \begin_inset Formula $R(x,y)$ \end_inset e \begin_inset Formula $R(y,z)$ \end_inset , então \begin_inset Formula $R(x,z)$ \end_inset . \end_layout \end_inset . É possível obter diferentes tipos de sistemas modais a partir da combinação dessas propriedades. \end_layout \begin_layout Section Árvores de refutação para LPM \end_layout \begin_layout Standard Nessa seção, serão estabelecidas regras sintáticas para produção de árvores de refutação para LPM \begin_inset Foot status open \begin_layout Plain Layout Essas regras sintáticas são parasitárias das regras semânticas mencionadas em 3.2 e 3.2.1. \end_layout \end_inset . Em relação aos conectivos lógicos que ocorrem apenas em LPC, não há nenhuma mudança drástica. É necessário apenas introduzir a indexação a mundos possíveis. Portanto, temos as seguintes regras \begin_inset Note Note status collapsed \begin_layout Plain Layout no comentario ele diz que essas regras dentro de uma semantica deveriam ser validas. Onde que isso nao é claro aqui? ele diz que \begin_inset Quotes eld \end_inset de outro modo, voce está misturando a apresentaçao de lógica de uma maneira semantica como uma em que apresenta como um conjunto de regras (de mera troca de simbolos). sinceramente, nao entendi muito bem. \end_layout \end_inset : \end_layout \begin_layout Itemize Dupla Negação: \end_layout \begin_layout Standard \align center \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing. \end_layout \begin_layout Plain Layout { \backslash begin{pspicture}(0,-0.775)(2.13,0.775) \backslash rput[bl](0.0,0.425){$ \backslash sim \backslash sim \backslash alpha$} \backslash rput[bl](1.6,0.425){($w$)} \backslash rput[bl](0.4,-0.375){$ \backslash vdots$} \backslash rput[bl](0.4,-0.775){$ \backslash alpha$} \backslash rput[bl](1.6,-0.775){($w$)} \backslash end{pspicture} } \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Itemize Conjunção Comutativa: \end_layout \begin_layout Standard \align center \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing. \end_layout \begin_layout Plain Layout { \backslash begin{pspicture}(0,-1.2174512)(2.13,1.2174512) \backslash rput[bl](0.4,0.46745118){$ \backslash vdots$} \backslash rput[bl](1.6,0.8674512){($w$)} \backslash rput[bl](0.8,-0.33254883){($w$)} \backslash rput[bl](0.8,-1.1325488){($w$)} \backslash rput[bl](0.4,-0.33254883){$ \backslash alpha$} \backslash rput[bl](0.0,0.8674512){($ \backslash alpha \backslash wedge \backslash beta$)} \backslash rput[bl](0.4,-1.1325488){$ \backslash beta$} \backslash end{pspicture} } \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace medskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \align center \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing. \end_layout \begin_layout Plain Layout { \backslash begin{pspicture}(0,-0.975)(3.33,0.975) \backslash rput[bl](1.6,0.225){$ \backslash vdots$} \backslash rput[bl](2.8,0.625){($w$)} \backslash rput[bl](0.8,-0.975){($w$)} \backslash rput[bl](2.8,-0.975){($w$)} \backslash psline[linecolor=black, linewidth=0.04](1.6,-0.175)(0.4,-0.575) \backslash psline[linecolor=black, linewidth=0.04](1.6,-0.175)(2.8,-0.575) \backslash rput[bl](0.0,-0.975){$ \backslash sim \backslash alpha$} \backslash rput[bl](2.0,-0.975){$ \backslash sim \backslash beta$} \backslash rput[bl](0.8,0.625){$ \backslash sim$($ \backslash alpha \backslash wedge \backslash beta$)} \backslash end{pspicture} } \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Itemize Equivalência Material: \end_layout \begin_layout Standard \align center \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing. \end_layout \begin_layout Plain Layout { \backslash begin{pspicture}(0,-1.375)(3.3363245,1.375) \backslash rput[bl](0.8063245,1.025){($ \backslash alpha \backslash equiv \backslash beta$)} \backslash rput[bl](1.2063245,0.625){$ \backslash vdots$} \backslash psline[linecolor=black, linewidth=0.04](1.2063245,0.225)(2.4063244,-0.175) \backslash psline[linecolor=black, linewidth=0.04](1.2063245,0.225)(0.006324463,-0.175) \backslash rput[bl](0.006324463,-0.575){$ \backslash alpha$} \backslash rput[bl](0.40632448,-0.575){($w$)} \backslash rput[bl](2.4063244,1.025){($w$)} \backslash rput[bl](0.006324463,-1.375){$ \backslash beta$} \backslash rput[bl](0.40632448,-1.375){($w$)} \backslash rput[bl](2.0063245,-0.575){$ \backslash sim \backslash alpha$} \backslash rput[bl](2.0063245,-1.375){$ \backslash sim \backslash beta$} \backslash rput[bl](2.8063245,-0.575){($w$)} \backslash rput[bl](2.8063245,-1.375){($w$)} \backslash end{pspicture} } \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace medskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \align center \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing. \end_layout \begin_layout Plain Layout { \backslash begin{pspicture}(0,-1.575)(3.33,1.575) \backslash rput[bl](1.6,0.825){$ \backslash vdots$} \backslash rput[bl](2.8,1.225){($w$)} \backslash rput[bl](0.8,-0.775){($w$)} \backslash rput[bl](2.8,-0.775){($w$)} \backslash psline[linecolor=black, linewidth=0.04](1.6,0.425)(0.4,0.025) \backslash psline[linecolor=black, linewidth=0.04](1.6,0.425)(2.8,0.025) \backslash rput[bl](2.0,-0.775){$ \backslash sim \backslash alpha$} \backslash rput[bl](0.0,-1.575){$ \backslash sim \backslash beta$} \backslash rput[bl](0.8,1.225){$ \backslash sim$($ \backslash alpha \backslash equiv \backslash beta$)} \backslash rput[bl](2.4,-1.575){$ \backslash beta$} \backslash rput[bl](0.4,-0.775){$ \backslash alpha$} \backslash rput[bl](2.8,-1.575){($w$)} \backslash rput[bl](0.8,-1.575){($w$)} \backslash end{pspicture} } \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Itemize Implicação Material: \end_layout \begin_layout Standard \align center \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing. \end_layout \begin_layout Plain Layout { \backslash begin{pspicture}(0,-1.175)(3.33,1.175) \backslash rput[bl](1.6,0.425){$ \backslash vdots$} \backslash rput[bl](2.8,0.825){($w$)} \backslash rput[bl](0.8,-1.175){($w$)} \backslash psline[linecolor=black, linewidth=0.04](1.6,0.025)(0.4,-0.375) \backslash psline[linecolor=black, linewidth=0.04](1.6,0.025)(2.8,-0.375) \backslash rput[bl](0.0,-1.175){$ \backslash sim \backslash alpha$} \backslash rput[bl](2.4,-1.175){$ \backslash beta$} \backslash rput[bl](2.8,-1.175){($w$)} \backslash rput[bl](1.2,0.825){($ \backslash alpha \backslash supset \backslash beta$)} \backslash end{pspicture} } \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace medskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \align center \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing. \end_layout \begin_layout Plain Layout { \backslash begin{pspicture}(0,-1.175)(2.53,1.175) \backslash rput[bl](0.8,0.425){$ \backslash vdots$} \backslash rput[bl](2.0,0.825){($w$)} \backslash rput[bl](1.2,-0.375){($w$)} \backslash rput[bl](1.2,-1.175){($w$)} \backslash rput[bl](0.0,0.825){$ \backslash sim$($ \backslash alpha \backslash supset \backslash beta$)} \backslash rput[bl](0.8,-0.375){$ \backslash alpha$} \backslash rput[bl](0.4,-1.175){$ \backslash sim \backslash beta$} \backslash end{pspicture} } \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Agora, estabeleceremos as regras para os conectivos modais \begin_inset Formula $\Square$ \end_inset e \begin_inset Formula $\diamondsuit$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize Regra de Possibilidade \begin_inset Formula $\diamondsuit$ \end_inset -Sem*: É uma regra \shape italic geradora \shape default de mundos. \end_layout \begin_layout Standard \align center \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing. \end_layout \begin_layout Plain Layout { \backslash begin{pspicture}(0,-0.775)(1.33,0.775) \backslash rput[bl](0.8,0.425){($w$)} \backslash rput[bl](0.0,-0.775){$ \backslash alpha$} \backslash rput[bl](0.4,-0.775){($v$)} \backslash rput[bl](0.0,-0.375){$wAv$} \backslash rput[bl](0.0,0.025){$ \backslash vdots$} \backslash rput[bl](0.0,0.425){$ \backslash diamondsuit \backslash alpha$} \backslash end{pspicture} } \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Essa regra diz que se \begin_inset Formula $\diamondsuit\alpha$ \end_inset é verdadeira em \begin_inset Formula $w$ \end_inset , então tem de existir um mundo possível \begin_inset Formula $v$ \end_inset acessível a partir de \begin_inset Formula $w$ \end_inset tal que \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset seja verdadeira. \end_layout \begin_layout Itemize Regra de Necessidade \begin_inset Formula $\Square$ \end_inset -Sem*: É a regra que \shape italic preenchedora \shape default de mundos. \end_layout \begin_layout Standard \align center \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing. \end_layout \begin_layout Plain Layout { \backslash begin{pspicture}(0,-0.775)(1.33,0.775) \backslash rput[bl](0.8,0.425){($w$)} \backslash rput[bl](0.0,-0.775){$ \backslash alpha$} \backslash rput[bl](0.4,-0.775){($v$)} \backslash rput[bl](0.0,0.025){$wAv$} \backslash rput[bl](0.0,-0.375){$ \backslash vdots$} \backslash rput[bl](0.0,0.425){$ \backslash square \backslash alpha$} \backslash end{pspicture} } \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Ou seja, se \begin_inset Formula $\Square\alpha$ \end_inset é verdadeira em \begin_inset Formula $w$ \end_inset , então \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset será verdadeira em qualquer mundo possível acessível a partir de \begin_inset Formula $w$ \end_inset . \end_layout \begin_layout Itemize Negação Modal (MN): Esta regra está fundamentada na relação de interdefinibilida de entre as noções modais aléticas. \end_layout \begin_layout Standard \align center \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing. \end_layout \begin_layout Plain Layout { \backslash begin{pspicture}(0,-0.575)(1.73,0.575) \backslash rput[bl](1.2,0.225){($w$)} \backslash rput[bl](0.4,-0.175){$ \backslash vdots$} \backslash rput[bl](0.0,0.225){$ \backslash sim \backslash diamondsuit \backslash alpha$} \backslash rput[bl](0.0,-0.575){$ \backslash square \backslash sim \backslash alpha$} \backslash rput[bl](1.2,-0.575){($w$)} \backslash end{pspicture} } \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \align center \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing. \end_layout \begin_layout Plain Layout { \backslash begin{pspicture}(0,-0.575)(1.73,0.575) \backslash rput[bl](1.2,0.225){($w$)} \backslash rput[bl](0.4,-0.13254882){$ \backslash vdots$} \backslash rput[bl](1.2,-0.53254884){($w$)} \backslash rput[bl](0.0,0.26745117){$ \backslash sim \backslash square \backslash alpha$} \backslash rput[bl](0.0,-0.53254884){$ \backslash diamondsuit \backslash sim \backslash alpha$} \backslash end{pspicture} } \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Finalmente, temos a regra de fechamento: \end_layout \begin_layout Standard \align center \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing. \end_layout \begin_layout Plain Layout { \backslash begin{pspicture}(0,-0.975)(2.53,0.975) \backslash rput[bl](0.4,0.625){$ \backslash alpha$} \backslash rput[bl](2.0,0.625){($w$)} \backslash rput[bl](0.4,0.225){$ \backslash vdots$} \backslash rput[bl](0.0,-0.575){$ \backslash sim \backslash alpha$} \backslash rput[bl](2.0,-0.575){($w$)} \backslash rput[bl](0.4,-0.975){$ \backslash times$ } \backslash end{pspicture} } \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Essa regra diz que toda ramificação na qual \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset e \begin_inset Formula $\sim\alpha$ \end_inset ocorrem é fechada \begin_inset Foot status collapsed \begin_layout Plain Layout Uma ramificação é fechada, ou seja, não se deriva mais, quando dentro do ramo encontra-se uma contradição. \end_layout \end_inset \begin_inset Note Note status open \begin_layout Plain Layout ele pergunta a noção de fechada. \end_layout \end_inset . \end_layout \begin_layout Section Sistema K \end_layout \begin_layout Standard O sistema K é o sistema de lógica proposicional modal normal mais simples \begin_inset Foot status open \begin_layout Plain Layout Toda fórmula válida em K será válida em qualquer sistema proposicional modal aqui apresentado. \end_layout \end_inset . Nele nenhuma propriedade a respeito da relação de acessibilidade entre mundos possíveis é assumida. Em tal sistema, as tautologias de LPC são todas válidas. Além disso, a seguinte fórmula \begin_inset Formula $\square(\alpha\supset\beta)\supset(\square\alpha\supset\square\beta)$ \end_inset é válida \begin_inset Foot status collapsed \begin_layout Plain Layout No sistema axiomático K, essa fórmula é um axioma. \end_layout \end_inset , como demonstra a árvore abaixo: \end_layout \begin_layout Standard \align center \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing. \end_layout \begin_layout Plain Layout { \backslash begin{pspicture}(0,-4.975)(9.19,4.975) \backslash rput[bl](0.8,4.625){$ \backslash sim$($ \backslash square$($ \backslash alpha \backslash supset \backslash beta$)$ \backslash supset$($ \backslash square \backslash alpha \backslash supset \backslash square \backslash beta$))} \backslash rput[bl](5.6,4.625){($w$)} \backslash rput[bl](7.2,4.625){NTF (Nega \backslash c c \backslash ~ao Total da F \backslash 'ormula)} \backslash rput[bl](0.0,4.625){1.} \backslash rput[bl](0.0,3.825){2.} \backslash rput[bl](0.0,3.025){3.} \backslash rput[bl](0.0,2.225){4.} \backslash rput[bl](2.0,3.825){$ \backslash square$($ \backslash alpha \backslash supset \backslash beta$)} \backslash rput[bl](5.6,3.825){($w$)} \backslash rput[bl](7.2,3.825){1} \backslash rput[bl](1.6,3.025){$ \backslash sim$($ \backslash square \backslash alpha \backslash supset \backslash square \backslash beta$)} \backslash rput[bl](5.6,3.025){($w$)} \backslash rput[bl](7.2,3.025){1} \backslash rput[bl](2.4,2.225){$ \backslash square \backslash alpha$} \backslash rput[bl](0.0,1.425){5.} \backslash rput[bl](0.0,0.625){6.} \backslash rput[bl](0.0,-0.175){7.} \backslash rput[bl](5.6,2.225){($w$)} \backslash rput[bl](2.0,1.425){$ \backslash sim \backslash square \backslash beta$} \backslash rput[bl](5.6,1.425){($w$)} \backslash rput[bl](7.2,2.225){3} \backslash rput[bl](7.2,1.425){3} \backslash rput[bl](2.0,0.625){$ \backslash diamondsuit \backslash sim \backslash beta$} \backslash rput[bl](5.6,0.625){($w$)} \backslash rput[bl](7.2,0.625){5, MN} \backslash rput[bl](0.0,-0.975){8.} \backslash rput[bl](0.0,-1.775){9.} \backslash rput[bl](2.4,-0.175){$wAv$} \backslash rput[bl](2.4,-0.975){$ \backslash sim \backslash beta$} \backslash rput[bl](5.6,-0.975){($v$)} \backslash rput[bl](7.2,-0.975){6, 7, $ \backslash diamondsuit$-Sem*} \backslash rput[bl](2.4,-1.775){($ \backslash alpha \backslash supset \backslash beta$)} \backslash rput[bl](5.6,-1.775){($v$)} \backslash rput[bl](7.2,-1.775){2, 7, $ \backslash square$-Sem*} \backslash rput[bl](0.0,-3.375){10.} \backslash rput[bl](0.0,-4.175){11.} \backslash psline[linecolor=black, linewidth=0.04](3.2,-2.175)(1.6,-2.575) \backslash psline[linecolor=black, linewidth=0.04](3.2,-2.175)(4.8,-2.575) \backslash rput[bl](0.8,-3.375){$ \backslash sim \backslash alpha$} \backslash rput[bl](1.6,-3.375){($v$)} \backslash rput[bl](4.8,-3.375){$ \backslash beta$} \backslash rput[bl](5.2,-3.375){($v$)} \backslash rput[bl](6.0,-3.375){9} \backslash rput[bl](1.2,-4.175){$ \backslash alpha$} \backslash rput[bl](2.4,-3.375){9} \backslash rput[bl](1.6,-4.175){($v$)} \backslash rput[bl](2.4,-4.175){4, 7, $ \backslash square$-Sem*} \backslash rput[bl](1.2,-4.975){$ \backslash times$} \backslash rput[bl](4.8,-4.175){$ \backslash times$} \backslash end{pspicture} } \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard É possível mostrar que K também gera um paradoxo relacionado à implicação estrita, pois a seguinte fórmula \begin_inset Formula $(\Square\sim\alpha\supset\Square(\alpha\supset\beta))$ \end_inset \begin_inset Foot status collapsed \begin_layout Plain Layout Essa fórmula diz que qualquer proposição impossível implica estritamente qualquer outra proposição. \end_layout \end_inset é válida no sistema: \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing. \end_layout \begin_layout Plain Layout { \backslash begin{pspicture}(0,-3.8174512)(6.51,3.8174512) \backslash rput[bl](4.4,3.467451){($w$)} \backslash rput[bl](4.4,2.6674511){($w$)} \backslash rput[bl](0.0,3.467451){1.} \backslash rput[bl](0.4,3.467451){$ \backslash sim$($ \backslash square \backslash sim \backslash alpha \backslash supset \backslash square$($ \backslash alpha \backslash supset \backslash beta$))} \backslash rput[bl](0.0,2.6674511){2.} \backslash rput[bl](1.6,2.6674511){$ \backslash square \backslash sim \backslash alpha$} \backslash rput[bl](5.2,3.467451){NTF} \backslash rput[bl](0.0,1.8674512){3.} \backslash rput[bl](1.2,1.8674512){$ \backslash sim \backslash square$($ \backslash alpha \backslash supset \backslash beta$)} \backslash rput[bl](4.4,1.8674512){($w$)} \backslash rput[bl](5.2,2.6674511){1} \backslash rput[bl](5.2,1.8674512){1} \backslash rput[bl](0.0,1.0674511){4.} \backslash rput[bl](0.0,0.26745117){5.} \backslash rput[bl](0.0,-0.53254884){6.} \backslash rput[bl](0.0,-1.3325489){7.} \backslash rput[bl](0.0,-2.1325488){8.} \backslash rput[bl](1.2,1.0674511){$ \backslash diamondsuit \backslash sim$($ \backslash alpha \backslash supset \backslash beta$)} \backslash rput[bl](4.4,1.0674511){($w$)} \backslash rput[bl](5.2,1.0674511){3, MN} \backslash rput[bl](1.6,0.26745117){$wAv$} \backslash rput[bl](1.2,-0.53254884){$ \backslash sim$($ \backslash alpha \backslash supset \backslash beta$)} \backslash rput[bl](4.4,-0.53254884){($v$)} \backslash rput[bl](1.6,-1.3325489){$ \backslash alpha$} \backslash rput[bl](4.4,-1.3325489){($v$)} \backslash rput[bl](1.6,-2.1325488){$ \backslash sim \backslash beta$} \backslash rput[bl](4.4,-2.1325488){($v$)} \backslash rput[bl](5.2,-0.53254884){4, 5, $ \backslash diamondsuit$-Sem*} \backslash rput[bl](5.2,-1.3325489){6} \backslash rput[bl](5.2,-2.1325488){6} \backslash rput[bl](0.0,-2.9325488){9.} \backslash rput[bl](1.6,-2.9325488){$ \backslash sim \backslash alpha$} \backslash rput[bl](4.4,-2.9325488){($v$)} \backslash rput[bl](5.2,-2.9325488){2, 5, $ \backslash square$-Sem*} \backslash rput[bl](1.6,-3.7325487){$ \backslash times$} \backslash end{pspicture} } \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Iremos mostrar agora que a fórmula ( \begin_inset Formula $\Square\alpha\supset\alpha$ \end_inset ) não é válida em K. Vejamos a seguinte árvore: \end_layout \begin_layout Standard \align center \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing. \end_layout \begin_layout Plain Layout { \backslash begin{pspicture}(0,-2.175)(11.33,2.175) \backslash rput[bl](5.6,1.825){($w$)} \backslash rput[bl](7.2,1.825){NTF} \backslash rput[bl](0.0,1.825){1.} \backslash rput[bl](0.0,1.025){2.} \backslash rput[bl](0.0,0.225){3.} \backslash rput[bl](5.6,1.025){($w$)} \backslash rput[bl](7.2,1.025){1} \backslash rput[bl](5.6,0.225){($w$)} \backslash rput[bl](7.2,0.225){1} \backslash rput[bl](2.0,1.825){$ \backslash sim$($ \backslash square \backslash alpha \backslash supset \backslash alpha$)} \backslash rput[bl](2.8,1.025){$ \backslash square \backslash alpha$} \backslash rput[bl](2.8,0.225){$ \backslash sim \backslash alpha$} \backslash rput[bl](2.8,-2.175){$ \backslash uparrow$} \backslash rput[bl](0.0,-0.575){4.} \backslash rput[bl](2.8,-0.575){$wAv$} \backslash rput[bl](0.0,-1.375){5.} \backslash rput[bl](2.8,-1.375){$ \backslash alpha$} \backslash rput[bl](5.6,-1.375){($v$)} \backslash rput[bl](7.2,-1.375){2, 4, $ \backslash square$-Sem*} \backslash rput[bl](7.2,-2.175){(a ramifica \backslash c c \backslash ~ao est \backslash 'a aberta)} \backslash end{pspicture} } \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Um contraexemplo que justifica a invalidade da fórmula ( \begin_inset Formula $\Square\alpha\supset\alpha$ \end_inset ) em K: \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $w$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $v$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\Square\alpha$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\Square\alpha\supset\alpha$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Section Sistema T \end_layout \begin_layout Standard O sistema T é obtido quando assumimos que a relação de acessibilidade é \shape italic reflexi \shape default va \begin_inset Foot status collapsed \begin_layout Plain Layout Girle a chama de regra de \shape italic auto acesso \shape default \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite[p. 32]{GIRLE2000} \end_layout \end_inset . \end_layout \end_inset . Tal relação estabelece que para todo mundo possível \begin_inset Formula $w$ \end_inset , \begin_inset Formula $wAw$ \end_inset . Veremos que a fórmula \begin_inset Formula $(\Square\alpha\supset\alpha)$ \end_inset é válida no sistema T e, portanto, é ela que o distingue o sistema K: \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing. \end_layout \begin_layout Plain Layout { \backslash begin{pspicture}(0,-2.175)(6.11,2.175) \backslash rput[bl](4.4,1.825){($w$)} \backslash rput[bl](4.4,1.025){($w$)} \backslash rput[bl](0.0,1.825){1.} \backslash rput[bl](0.0,1.025){2.} \backslash rput[bl](5.2,1.825){NTF} \backslash rput[bl](0.0,0.225){3.} \backslash rput[bl](4.4,0.225){($w$)} \backslash rput[bl](5.2,1.025){1} \backslash rput[bl](5.2,0.225){1} \backslash rput[bl](0.0,-0.575){4.} \backslash rput[bl](0.0,-1.375){5.} \backslash rput[bl](4.4,-0.575){($w$)} \backslash rput[bl](1.6,1.825){$ \backslash sim$($ \backslash square \backslash alpha \backslash supset \backslash alpha$)} \backslash rput[bl](2.0,1.025){$ \backslash square \backslash alpha$} \backslash rput[bl](2.0,0.225){$ \backslash sim \backslash alpha$} \backslash rput[bl](2.0,-0.575){$wAw$} \backslash rput[bl](5.2,-0.575){2, $ \backslash square$T} \backslash rput[bl](2.0,-1.375){$ \backslash alpha$} \backslash rput[bl](4.4,-1.375){($w$)} \backslash rput[bl](5.2,-1.375){2, $ \backslash square$T} \backslash rput[bl](2.0,-2.175){$ \backslash times$} \backslash end{pspicture} } \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard As seguintes fórmulas não são válidas em T. \end_layout \begin_layout Standard ( \begin_inset Formula $\Square\alpha\supset\Square\Square\alpha$ \end_inset ): \end_layout \begin_layout Standard \align center \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing. \end_layout \begin_layout Plain Layout { \backslash begin{pspicture}(0,-4.175)(7.99,4.175) \backslash rput[bl](4.4,3.825){($w$)} \backslash rput[bl](6.0,3.825){NTF} \backslash rput[bl](0.0,3.825){1.} \backslash rput[bl](0.0,3.025){2.} \backslash rput[bl](0.0,2.225){3.} \backslash rput[bl](4.4,3.025){($w$)} \backslash rput[bl](6.0,3.025){1} \backslash rput[bl](4.4,2.225){($w$)} \backslash rput[bl](6.0,2.225){1} \backslash rput[bl](0.0,1.425){4.} \backslash rput[bl](0.0,0.625){5.} \backslash rput[bl](1.2,3.825){$ \backslash sim$($ \backslash square \backslash alpha \backslash supset \backslash square \backslash square \backslash alpha$)} \backslash rput[bl](2.0,3.025){$ \backslash square \backslash alpha$} \backslash rput[bl](1.6,2.225){$ \backslash sim \backslash square \backslash square \backslash alpha$} \backslash rput[bl](1.6,1.425){$ \backslash diamondsuit \backslash sim \backslash square \backslash alpha$} \backslash rput[bl](6.0,1.425){3, MN} \backslash rput[bl](4.4,1.425){($w$)} \backslash rput[bl](2.0,0.625){$wAv$} \backslash rput[bl](0.0,-0.175){6.} \backslash rput[bl](2.0,-0.175){$ \backslash sim \backslash square \backslash alpha$} \backslash rput[bl](4.4,-0.175){($v$)} \backslash rput[bl](6.0,-0.175){4, 5, $ \backslash diamondsuit$-Sem*} \backslash rput[bl](0.0,-0.975){7.} \backslash rput[bl](2.0,-0.975){$ \backslash diamondsuit \backslash sim \backslash alpha$} \backslash rput[bl](4.4,-0.975){($v$)} \backslash rput[bl](6.0,-0.975){6, MN} \backslash rput[bl](0.0,-1.775){8.} \backslash rput[bl](2.0,-1.775){$vAu$} \backslash rput[bl](0.0,-2.575){9.} \backslash rput[bl](2.0,-2.575){$ \backslash sim \backslash alpha$} \backslash rput[bl](4.4,-2.575){($u$)} \backslash rput[bl](6.0,-2.575){7, 8, $ \backslash diamondsuit$-Sem*} \backslash rput[bl](0.0,-3.375){10.} \backslash rput[bl](2.0,-3.375){$ \backslash alpha$} \backslash rput[bl](4.4,-3.375){($v$)} \backslash rput[bl](6.0,-3.375){2, 5, $ \backslash square$-Sem*} \backslash rput[bl](2.0,-4.175){$ \backslash uparrow$} \backslash end{pspicture} } \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Um contraexemplo abaixo mostra que em algum modelo a fórmula ( \begin_inset Formula $\Square\alpha\supset\Square\Square\alpha$ \end_inset ) é falsa. Assumindo as relações \begin_inset Formula $wAw$ \end_inset , \begin_inset Formula $wAv$ \end_inset , \begin_inset Formula $vAu$ \end_inset , temos: \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $w$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $v$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $u$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\Square\alpha$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\Square\Square\alpha$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\Square\alpha\supset\Square\Square\alpha$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset VSpace medskip \end_inset \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Formula $\Square(\alpha\supset\Square\diamondsuit\alpha)$ \end_inset : \end_layout \begin_layout Standard \align center \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing. \end_layout \begin_layout Plain Layout { \backslash begin{pspicture}(0,-4.217451)(7.99,4.217451) \backslash rput[bl](4.4,3.8674512){($w$)} \backslash rput[bl](6.0,3.8674512){NTF} \backslash rput[bl](0.0,3.8674512){1.} \backslash rput[bl](0.0,3.0674512){2.} \backslash rput[bl](0.0,2.2674513){3.} \backslash rput[bl](4.4,3.0674512){($w$)} \backslash rput[bl](0.0,1.4674512){4.} \backslash rput[bl](0.0,0.66745114){5.} \backslash rput[bl](0.0,-0.13254882){6.} \backslash rput[bl](4.4,0.66745114){($v$)} \backslash rput[bl](6.0,-0.13254882){4, 5, $ \backslash diamondsuit$-Sem*} \backslash rput[bl](0.0,-0.9325488){7.} \backslash rput[bl](4.4,-0.13254882){($v$)} \backslash rput[bl](6.0,-0.9325488){6, MN} \backslash rput[bl](0.0,-1.7325488){8.} \backslash rput[bl](0.0,-2.532549){9.} \backslash rput[bl](4.4,-2.532549){($u$)} \backslash rput[bl](6.0,-2.532549){7, 8, $ \backslash diamondsuit$-Sem*} \backslash rput[bl](0.0,-3.3325489){10.} \backslash rput[bl](1.2,3.8674512){$ \backslash sim \backslash square$($ \backslash alpha \backslash supset \backslash square \backslash diamondsuit \backslash alpha$)} \backslash rput[bl](1.2,3.0674512){$ \backslash diamondsuit \backslash sim$($ \backslash alpha \backslash supset \backslash square \backslash diamondsuit \backslash alpha$)} \backslash rput[bl](6.0,3.0674512){1, MN} \backslash rput[bl](2.0,2.2674513){$wAv$} \backslash rput[bl](1.6,1.4674512){$ \backslash sim$($ \backslash alpha \backslash supset \backslash square \backslash diamondsuit \backslash alpha$)} \backslash rput[bl](4.4,1.4674512){($v$)} \backslash rput[bl](6.0,1.4674512){2, 3, $ \backslash diamondsuit$-Sem*} \backslash rput[bl](2.4,0.66745114){$ \backslash alpha$} \backslash rput[bl](2.0,-0.13254882){$ \backslash sim \backslash square \backslash diamondsuit \backslash alpha$} \backslash rput[bl](2.0,-0.9325488){$ \backslash diamondsuit \backslash sim \backslash diamondsuit \backslash alpha$} \backslash rput[bl](4.4,-0.9325488){($v$)} \backslash rput[bl](2.4,-1.7325488){$vAu$} \backslash rput[bl](2.4,-2.532549){$ \backslash sim \backslash diamondsuit \backslash alpha$} \backslash rput[bl](2.4,-3.3325489){$ \backslash square \backslash sim \backslash alpha$} \backslash rput[bl](4.4,-3.3325489){($u$)} \backslash rput[bl](6.0,-3.3325489){9, MN} \backslash rput[bl](2.4,-4.132549){$ \backslash uparrow$} \backslash end{pspicture} } \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard Um contraexemplo que evidencia tal invalidade: \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset Tabular \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $w$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $v$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $u$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\alpha$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\diamondsuit\alpha$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout V \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\Square\diamondsuit\alpha$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\alpha\supset\Square\diamondsuit\alpha$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \begin_inset Formula $\Square(\alpha\supset\Square\diamondsuit\alpha)$ \end_inset \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout F \end_layout \end_inset \begin_inset Text \begin_layout Plain Layout \end_layout \end_inset \end_inset \end_layout \begin_layout Section Sistema S4 \end_layout \begin_layout Standard O sistema S4 é obtido quando assumimos que a relação de acessibilidade entre mundos é refleviva e transitiva. Para elucidarmos melhor tais relações, mostraremos que a seguinte fórmula \begin_inset Formula $(\Square\alpha\supset\Square\Square\alpha)$ \end_inset é válida nesse sistema e, portanto, tal fórmula o distingue do sistema T: \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing. \end_layout \begin_layout Plain Layout { \backslash begin{pspicture}(0,-4.575)(7.36,4.575) \backslash rput[bl](4.4,4.225){($w$)} \backslash rput[bl](4.4,3.425){($w$)} \backslash rput[bl](0.0,4.225){1.} \backslash rput[bl](0.0,3.425){2.} \backslash rput[bl](5.2,4.225){NTF} \backslash rput[bl](0.0,2.625){3.} \backslash rput[bl](4.4,2.625){($w$)} \backslash rput[bl](5.2,3.425){1} \backslash rput[bl](5.2,2.625){1} \backslash rput[bl](0.0,1.825){4.} \backslash rput[bl](0.0,1.025){5.} \backslash rput[bl](4.4,1.825){($w$)} \backslash rput[bl](2.0,-4.575){$ \backslash times$} \backslash rput[bl](1.2,4.225){$ \backslash sim$($ \backslash square \backslash alpha \backslash supset \backslash square \backslash square \backslash alpha$)} \backslash rput[bl](2.0,3.425){$ \backslash square \backslash alpha$} \backslash rput[bl](1.6,2.625){$ \backslash sim \backslash square \backslash square \backslash alpha$} \backslash rput[bl](1.6,1.825){$ \backslash diamondsuit \backslash sim \backslash square \backslash alpha$} \backslash rput[bl](5.2,1.825){3, MN} \backslash rput[bl](2.0,0.225){$ \backslash sim \backslash square \backslash alpha$} \backslash rput[bl](4.4,0.225){($v$)} \backslash rput[bl](0.0,0.225){6.} \backslash rput[bl](2.0,1.025){$wAv$} \backslash rput[bl](5.2,0.225){4, 5, $ \backslash diamondsuit$-Sem*} \backslash rput[bl](0.0,-0.575){7.} \backslash rput[bl](2.0,-0.575){$ \backslash diamondsuit \backslash sim \backslash alpha$} \backslash rput[bl](4.4,-0.575){($v$)} \backslash rput[bl](5.2,-0.575){6, MN} \backslash rput[bl](0.0,-1.375){8.} \backslash rput[bl](2.0,-1.375){$vAu$} \backslash rput[bl](5.2,-1.375){$ \backslash diamondsuit$-Sem*} \backslash rput[bl](5.2,1.025){$ \backslash diamondsuit$-Sem*} \backslash rput[bl](0.0,-2.175){9.} \backslash rput[bl](2.0,-2.175){$ \backslash sim \backslash alpha$} \backslash rput[bl](4.4,-2.175){($u$)} \backslash rput[bl](5.2,-2.175){7, 8, $ \backslash diamondsuit$-Sem*} \backslash rput[bl](0.0,-2.975){10.} \backslash rput[bl](2.0,-2.975){$wAu$} \backslash rput[bl](5.2,-2.975){5, 8} \backslash rput[bl](0.0,-3.775){11.} \backslash rput[bl](2.0,-3.775){$ \backslash alpha$} \backslash rput[bl](4.4,-3.775){($u$)} \backslash rput[bl](5.2,-3.775){2, 10, $ \backslash square$-Sem*} \backslash end{pspicture} } \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Standard No entanto, a fórmula \begin_inset Formula $\Square(\alpha\supset\Square\lozenge\alpha)$ \end_inset continua sendo inválida em S4. Veja na árvore abaixo: \end_layout \begin_layout Standard \align center \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing. \end_layout \begin_layout Plain Layout { \backslash begin{pspicture}(0,-4.217451)(7.99,4.217451) \backslash rput[bl](4.4,3.8674512){($w$)} \backslash rput[bl](6.0,3.8674512){NTF} \backslash rput[bl](0.0,3.8674512){1.} \backslash rput[bl](0.0,3.0674512){2.} \backslash rput[bl](0.0,2.2674513){3.} \backslash rput[bl](4.4,3.0674512){($w$)} \backslash rput[bl](0.0,1.4674512){4.} \backslash rput[bl](0.0,0.66745114){5.} \backslash rput[bl](0.0,-0.13254882){6.} \backslash rput[bl](4.4,0.66745114){($v$)} \backslash rput[bl](0.0,-0.9325488){7.} \backslash rput[bl](4.4,-0.13254882){($v$)} \backslash rput[bl](6.0,-0.9325488){6, MN} \backslash rput[bl](0.0,-1.7325488){8.} \backslash rput[bl](0.0,-2.532549){9.} \backslash rput[bl](4.4,-2.532549){($u$)} \backslash rput[bl](6.0,-2.532549){7, 8, $ \backslash diamondsuit$-Sem*} \backslash rput[bl](0.0,-3.3325489){10.} \backslash rput[bl](6.0,3.0674512){1, MN} \backslash rput[bl](4.4,1.4674512){($v$)} \backslash rput[bl](6.0,1.4674512){2, 3, $ \backslash diamondsuit$-Sem*} \backslash rput[bl](4.4,-0.9325488){($v$)} \backslash rput[bl](4.4,-3.3325489){($u$)} \backslash rput[bl](6.0,-3.3325489){9, MN} \backslash rput[bl](1.2,3.8674512){$ \backslash sim \backslash square$($ \backslash alpha \backslash supset \backslash square \backslash diamondsuit \backslash alpha$)} \backslash rput[bl](1.2,3.0674512){$ \backslash diamondsuit \backslash sim$($ \backslash alpha \backslash supset \backslash square \backslash diamondsuit \backslash alpha$)} \backslash rput[bl](2.0,2.2674513){$wAv$} \backslash rput[bl](1.2,1.4674512){$ \backslash sim$($ \backslash alpha \backslash supset \backslash square \backslash diamondsuit \backslash alpha$)} \backslash rput[bl](2.0,0.66745114){$ \backslash alpha$} \backslash rput[bl](6.0,0.66745114){4} \backslash rput[bl](1.6,-0.13254882){$ \backslash sim \backslash square \backslash diamondsuit \backslash alpha$} \backslash rput[bl](6.0,-0.13254882){4} \backslash rput[bl](1.6,-0.9325488){$ \backslash diamondsuit \backslash sim \backslash diamondsuit \backslash alpha$} \backslash rput[bl](2.0,-1.7325488){$vAu$} \backslash rput[bl](2.0,-2.532549){$ \backslash sim \backslash diamondsuit \backslash alpha$} \backslash rput[bl](2.0,-3.3325489){$ \backslash square \backslash sim \backslash alpha$} \backslash rput[bl](2.4,-4.132549){$ \backslash uparrow$} \backslash end{pspicture} } \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Section Sistema S5 \end_layout \begin_layout Standard Em S5, assumimos que a relação de acessibilidade possui as propriedades de reflexividade, transitividade e simetria \begin_inset Foot status open \begin_layout Plain Layout Uma relação reflexiva, simétrica e transitiva é uma relação de equivalência. \end_layout \end_inset . Então, podemos constatar que a seguinte fórmula \begin_inset Formula $\Square(\alpha\supset\Square\diamondsuit\alpha)$ \end_inset \begin_inset Foot status collapsed \begin_layout Plain Layout Nesse caso, \begin_inset Formula $wAv$ \end_inset , \begin_inset Formula $vAu$ \end_inset e \begin_inset Formula $uAv$ \end_inset . \end_layout \end_inset é válida: \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash psscalebox{1.0 1.0} % Change this value to rescale the drawing. \end_layout \begin_layout Plain Layout { \backslash begin{pspicture}(0,-4.975)(10.14,4.975) \backslash rput[bl](4.4,4.625){($w$)} \backslash rput[bl](4.4,3.825){($w$)} \backslash rput[bl](0.0,4.625){1.} \backslash rput[bl](0.0,3.825){2.} \backslash rput[bl](5.2,4.625){NTF} \backslash rput[bl](0.0,3.025){3.} \backslash rput[bl](0.0,2.225){4.} \backslash rput[bl](0.0,1.425){5.} \backslash rput[bl](1.6,-4.975){$ \backslash times$} \backslash rput[bl](4.4,0.625){($v$)} \backslash rput[bl](0.0,0.625){6.} \backslash rput[bl](0.0,-0.175){7.} \backslash rput[bl](4.4,-0.175){($v$)} \backslash rput[bl](5.2,-0.175){6, MN} \backslash rput[bl](0.0,-0.975){8.} \backslash rput[bl](5.2,-0.975){$ \backslash diamondsuit$-Sem*} \backslash rput[bl](0.0,-1.775){9.} \backslash rput[bl](4.4,-1.775){($u$)} \backslash rput[bl](5.2,-1.775){7, 8, $ \backslash diamondsuit$-Sem*} \backslash rput[bl](0.0,-2.575){10.} \backslash rput[bl](0.0,-3.375){11.} \backslash rput[bl](1.2,4.625){$ \backslash sim \backslash square$($ \backslash alpha \backslash supset \backslash square \backslash diamondsuit \backslash alpha$)} \backslash rput[bl](1.2,3.825){$ \backslash diamondsuit \backslash sim$($ \backslash alpha \backslash supset \backslash square \backslash diamondsuit \backslash alpha$)} \backslash rput[bl](5.2,3.825){1, MN} \backslash rput[bl](1.6,3.025){$wAv$} \backslash rput[bl](5.2,3.025){$ \backslash diamondsuit$-Sem*} \backslash rput[bl](1.2,2.225){$ \backslash sim$($ \backslash alpha \backslash supset \backslash square \backslash diamondsuit \backslash alpha$)} \backslash rput[bl](4.4,2.225){($v$)} \backslash rput[bl](5.2,2.225){2, 3, $ \backslash diamondsuit$-Sem*} \backslash rput[bl](2.0,1.425){$ \backslash alpha$} \backslash rput[bl](4.4,1.425){($v$)} \backslash rput[bl](5.2,1.425){4} \backslash rput[bl](1.6,0.625){$ \backslash sim \backslash square \backslash diamondsuit \backslash alpha$} \backslash rput[bl](5.2,0.625){4} \backslash rput[bl](1.6,-0.175){$ \backslash diamondsuit \backslash sim \backslash diamondsuit \backslash alpha$} \backslash rput[bl](1.6,-0.975){$vAu$} \backslash rput[bl](1.6,-1.775){$ \backslash sim \backslash diamondsuit \backslash alpha$} \backslash rput[bl](1.6,-2.575){$ \backslash square \backslash sim \backslash alpha$} \backslash rput[bl](4.4,-2.575){($u$)} \backslash rput[bl](5.2,-2.575){9, MN} \backslash rput[bl](1.6,-3.375){$uAv$} \backslash rput[bl](0.0,-4.175){12.} \backslash rput[bl](1.6,-4.175){$ \backslash sim \backslash alpha$} \backslash rput[bl](4.4,-4.175){($v$)} \backslash rput[bl](5.2,-3.375){8 (Propriedade de simetria)} \backslash rput[bl](5.2,-4.175){10, 11, $ \backslash square$-Sem*} \backslash end{pspicture} } \end_layout \end_inset \end_layout \begin_layout Chapter Conclusão \end_layout \begin_layout Standard Tudo o que vimos até agora sobre os aspectos da Lógica Modal recai na expectativ a de elucidarmos a Lógica Proposicional Modal como a Lógica de mundos possíveis. Lembrando que os autores apresentados aqui, como a interpretação de CI Lewis, versaram a LPM como uma extensão da LPC. A importância de apresentarmos a Lógica Proposicional Clássica foi uma tentativa de evidenciar os paradoxos que rondaram a LPC no que tange ao funcionamento interpretativo da linguagem ordinária. \end_layout \begin_layout Standard A expectativa de que a LPM moderna apresentada embrionariamente por CI Lewis não ter encarado paradoxos similares aos da LPC é afirmar que a LPM enfrentou outros problemas. Porém, como foi dito no segundo capítulo, a interpretação de Rocha apontando que os paradoxos da Implicação Estrita são similares aos da Implicação Material mostra que CI Lewis apenas transferiu o problema \begin_inset ERT status open \begin_layout Plain Layout \backslash cite{ROCHA2013} \end_layout \end_inset , em outras palavras, ele só adiou a solução desses paradoxos em linguagem ordinária. Evidentemente, a Semântica de Mundos Possíveis de Kripke com seu caráter extensional a modalidade apenas amenizou o problema com a inserção das relações de acessibilidades entre mundos. \end_layout \begin_layout Standard Podemos caracterizar agora que o aspecto da Lógica Modal moderna é como uma Lógica de mundos possíveis que caracteriza os diversos sistemas modais através das relações de acessibilidade entre mundos. Isso fica claro quando tratamos dos aspectos da Lógica Modal em inferências ordinárias, uma vez que esta caracterização em momento algum estabeleceu um perfil que elimine aqueles paradoxos da LPC. O que se pode concluir desta análise é que talvez não seja do interesse da Lógica Modal também como não foi em LPC estabelecer uma real resolução a esses problemas. Ou talvez esses paradoxos nem sejam problema tanto para a LPC quanto para a LPM. \end_layout \begin_layout Standard Apesar de encontrarmos na filosofia diversas interpretações, a análise filosófic a do conceito de mundos possíveis não interferiu basicamente na sistemática da LPM. Contudo, tal análise sobre mundos possíveis poderia ser útil no que tange aos fundamentos desta entidade que muito ajudou na sistematização da LPM como a conhecemos hoje. Isto sim seria mais um problema filosófico a ser encarado em outra ocasião. \end_layout \begin_layout Standard \begin_inset CommandInset bibtex LatexCommand bibtex bibfiles "mybib" options "abntex2-alf" \end_inset \end_layout \end_body \end_document