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afe8ad2f0d
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@ -2,6 +2,7 @@
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\usepackage{mathtools}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage[makeroom]{cancel}
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||||
\title{Mécanique du point - TD 1 \\ NON CORRIGÉ}
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\author{Timéo Pochin}
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@ -13,8 +14,8 @@
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\subsection*{a)}
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\begin{align}
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||||
\vec{u}\land\vec{v}
|
||||
\nonumber
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||||
\vec{u}\land\vec{v}
|
||||
&=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1 \\
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||||
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@ -47,8 +48,8 @@
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\subsection*{b)}
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||||
\begin{align}
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||||
\vec{v}\land\vec{u}
|
||||
\nonumber
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||||
\vec{v}\land\vec{u}
|
||||
&=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
4 \\
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@ -81,8 +82,8 @@
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\subsection*{c)}
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||||
\begin{align}
|
||||
\vec{u}\cdot\vec{v}
|
||||
\nonumber
|
||||
\vec{u}\cdot\vec{v}
|
||||
&=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1 \\
|
||||
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@ -102,8 +103,8 @@
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||||
\subsection*{d)}
|
||||
\begin{align}
|
||||
\vec{u}\cdot(\vec{u}\land\vec{v})
|
||||
\nonumber
|
||||
\vec{u}\cdot(\vec{u}\land\vec{v})
|
||||
&=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1 \\
|
||||
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@ -123,8 +124,8 @@
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||||
\subsection*{e)}
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||||
\begin{align}
|
||||
\|\vec{u}\|
|
||||
\nonumber
|
||||
\|\vec{u}\|
|
||||
&=\sqrt{1^2+2^2+3^2}
|
||||
\\ \nonumber
|
||||
&=\sqrt{14}
|
||||
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@ -132,8 +133,8 @@
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|||
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||||
\subsection*{f)}
|
||||
\begin{align}
|
||||
\|\vec{u}+\vec{v}\|
|
||||
\nonumber
|
||||
\|\vec{u}+\vec{v}\|
|
||||
&=
|
||||
\left\|
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
|
@ -165,8 +166,8 @@
|
|||
|
||||
\subsection*{g)}
|
||||
\begin{align}
|
||||
(\vec{u}\land\vec{v})\land\vec{w}
|
||||
\nonumber
|
||||
(\vec{u}\land\vec{v})\land\vec{w}
|
||||
&=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
-3 \\
|
||||
|
@ -199,8 +200,8 @@
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|||
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||||
\subsection*{h)}
|
||||
\begin{align}
|
||||
\vec{u}\land(\vec{v}\land\vec{w})
|
||||
\nonumber
|
||||
\vec{u}\land(\vec{v}\land\vec{w})
|
||||
&=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1 \\
|
||||
|
@ -265,4 +266,192 @@
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|||
&= -24\vec{e_x}-6\vec{e_y}+12\vec{e_z}
|
||||
\end{align}
|
||||
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||||
\pagebreak
|
||||
\section*{Exercice 2}
|
||||
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||||
\begin{align}
|
||||
\nonumber
|
||||
\vec{u}\land(\vec{v}\land\vec{w})
|
||||
&=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
u_x \\
|
||||
u_y \\
|
||||
u_z
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\land
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
v_x \\
|
||||
v_y \\
|
||||
v_z
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\land
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
w_x \\
|
||||
w_y \\
|
||||
w_z
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\\ \nonumber
|
||||
&=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
u_x \\
|
||||
u_y \\
|
||||
u_z
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\land
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
v_yw_z-v_zw_y \\
|
||||
v_zw_x-v_xw_z \\
|
||||
v_xw_y-v_yw_x
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\\ \nonumber
|
||||
&=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
u_x \\
|
||||
u_y \\
|
||||
u_z
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\land
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
v_yw_z-v_zw_y \\
|
||||
v_zw_x-v_xw_z \\
|
||||
v_xw_y-v_yw_x
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\\ \nonumber
|
||||
&=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
u_y(v_xw_y-v_yw_x)-u_z(v_zw_x-v_xw_z) \\
|
||||
u_z(v_yw_z-v_zw_y)-u_x(v_xw_y-v_yw_x) \\
|
||||
u_x(v_zw_x-v_xw_z)-u_y(v_yw_z-v_zw_y)
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\\
|
||||
&=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
u_yv_xw_y-u_yv_yw_x-u_zv_zw_x+u_zv_xw_z \\
|
||||
u_zv_yw_z-u_zv_zw_y-u_xv_xw_y+u_xv_yw_x \\
|
||||
u_xv_zw_x-u_xv_xw_z-u_yv_yw_z+u_yv_zw_y
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
\begin{align}
|
||||
\nonumber
|
||||
(\vec{u}\cdot\vec{w})\vec{v}-(\vec{u}\cdot\vec{v})\vec{w}
|
||||
&=
|
||||
\left(
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
u_x \\
|
||||
u_y \\
|
||||
u_z
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\cdot
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
w_x \\
|
||||
w_y \\
|
||||
w_z
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\right)
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
v_x \\
|
||||
v_y \\
|
||||
v_z
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
-
|
||||
\left(
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
u_x \\
|
||||
u_y \\
|
||||
u_z
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\cdot
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
v_x \\
|
||||
v_y \\
|
||||
v_z
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\right)
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
w_x \\
|
||||
w_y \\
|
||||
w_z
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\\ \nonumber
|
||||
&=
|
||||
(u_xw_x+u_yw_y+u_zw_z)
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
v_x \\
|
||||
v_y \\
|
||||
v_z
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
-
|
||||
(u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z)
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
w_x \\
|
||||
w_y \\
|
||||
w_z
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\\ \nonumber
|
||||
&=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
(u_xw_x+u_yw_y+u_zw_z)v_x \\
|
||||
(u_xw_x+u_yw_y+u_zw_z)v_y \\
|
||||
(u_xw_x+u_yw_y+u_zw_z)v_z
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
-
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
(u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z)w_x \\
|
||||
(u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z)w_y \\
|
||||
(u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z)w_z
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\\ \nonumber
|
||||
&=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
u_xv_xw_x+u_yv_xw_y+u_zv_xw_z \\
|
||||
u_xv_yw_x+u_yv_yw_y+u_zv_yw_z \\
|
||||
u_xv_zw_x+u_yv_zw_y+u_zv_zw_z
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
-
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
u_xv_xw_x+u_yv_yw_x+u_zv_zw_x \\
|
||||
u_xv_xw_y+u_yv_yw_y+u_zv_zw_y \\
|
||||
u_xv_xw_z+u_yv_yw_z+u_zv_zw_z
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\\ \nonumber
|
||||
&=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
u_xv_xw_x+u_yv_xw_y+u_zv_xw_z-
|
||||
(u_xv_xw_x+u_yv_yw_x+u_zv_zw_x) \\
|
||||
u_xv_yw_x+u_yv_yw_y+u_zv_yw_z-
|
||||
(u_xv_xw_y+u_yv_yw_y+u_zv_zw_y) \\
|
||||
u_xv_zw_x+u_yv_zw_y+u_zv_zw_z-
|
||||
(u_xv_xw_z+u_yv_yw_z+u_zv_zw_z)
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\\ \nonumber
|
||||
&=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
u_xv_xw_x+u_yv_xw_y+u_zv_xw_z-
|
||||
u_xv_xw_x-u_yv_yw_x-u_zv_zw_x \\
|
||||
u_xv_yw_x+u_yv_yw_y+u_zv_yw_z-
|
||||
u_xv_xw_y-u_yv_yw_y-u_zv_zw_y \\
|
||||
u_xv_zw_x+u_yv_zw_y+u_zv_zw_z-
|
||||
u_xv_xw_z-u_yv_yw_z-u_zv_zw_z
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\\ \nonumber
|
||||
&=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
\cancel{u_xv_xw_x}+u_yv_xw_y+u_zv_xw_z-
|
||||
\cancel{u_xv_xw_x}-u_yv_yw_x-u_zv_zw_x \\
|
||||
u_xv_yw_x+\cancel{u_yv_yw_y}+u_zv_yw_z-
|
||||
u_xv_xw_y-\cancel{u_yv_yw_y}-u_zv_zw_y \\
|
||||
u_xv_zw_x+u_yv_zw_y+\cancel{u_zv_zw_z}-
|
||||
u_xv_xw_z-u_yv_yw_z-\cancel{u_zv_zw_z}
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\\
|
||||
&=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
u_yv_xw_y-u_yv_yw_x-u_zv_zw_x+u_zv_xw_z \\
|
||||
u_zv_yw_z-u_zv_zw_y-u_xv_xw_y+u_xv_yw_x \\
|
||||
u_xv_zw_x-u_xv_xw_z-u_yv_yw_z+u_yv_zw_y
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\end{align}
|
||||
Ligne (1) est égale à ligne (2) donc $\vec{u}\land(\vec{v}\land\vec{w})=(\vec{u}\cdot\vec{w})\vec{v}-(\vec{u}\cdot\vec{v})\vec{w}$
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\end{document}
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