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b133e41abd
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afe8ad2f0d
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@ -2,6 +2,7 @@
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\usepackage{mathtools}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage[makeroom]{cancel}
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\title{Mécanique du point - TD 1 \\ NON CORRIGÉ}
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\title{Mécanique du point - TD 1 \\ NON CORRIGÉ}
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\author{Timéo Pochin}
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\author{Timéo Pochin}
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@ -13,8 +14,8 @@
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\subsection*{a)}
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\subsection*{a)}
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\begin{align}
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\begin{align}
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\vec{u}\land\vec{v}
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\nonumber
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\nonumber
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\vec{u}\land\vec{v}
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&=
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&=
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\begin{pmatrix}
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\begin{pmatrix}
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1 \\
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1 \\
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@ -47,8 +48,8 @@
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\subsection*{b)}
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\subsection*{b)}
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\begin{align}
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\begin{align}
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\vec{v}\land\vec{u}
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\nonumber
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\nonumber
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\vec{v}\land\vec{u}
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&=
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&=
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\begin{pmatrix}
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\begin{pmatrix}
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4 \\
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4 \\
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@ -81,8 +82,8 @@
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\subsection*{c)}
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\subsection*{c)}
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\begin{align}
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\begin{align}
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\vec{u}\cdot\vec{v}
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\nonumber
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\nonumber
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\vec{u}\cdot\vec{v}
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&=
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&=
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\begin{pmatrix}
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\begin{pmatrix}
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1 \\
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1 \\
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@ -102,8 +103,8 @@
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\subsection*{d)}
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\subsection*{d)}
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\begin{align}
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\begin{align}
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\vec{u}\cdot(\vec{u}\land\vec{v})
|
|
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\nonumber
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\nonumber
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\vec{u}\cdot(\vec{u}\land\vec{v})
|
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&=
|
&=
|
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\begin{pmatrix}
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\begin{pmatrix}
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1 \\
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1 \\
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@ -123,8 +124,8 @@
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\subsection*{e)}
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\subsection*{e)}
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\begin{align}
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\begin{align}
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\|\vec{u}\|
|
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\nonumber
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\nonumber
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||||||
|
\|\vec{u}\|
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&=\sqrt{1^2+2^2+3^2}
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&=\sqrt{1^2+2^2+3^2}
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\\ \nonumber
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\\ \nonumber
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&=\sqrt{14}
|
&=\sqrt{14}
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@ -132,8 +133,8 @@
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\subsection*{f)}
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\subsection*{f)}
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||||||
\begin{align}
|
\begin{align}
|
||||||
\|\vec{u}+\vec{v}\|
|
|
||||||
\nonumber
|
\nonumber
|
||||||
|
\|\vec{u}+\vec{v}\|
|
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&=
|
&=
|
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\left\|
|
\left\|
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\begin{pmatrix}
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\begin{pmatrix}
|
||||||
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@ -165,8 +166,8 @@
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\subsection*{g)}
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\subsection*{g)}
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\begin{align}
|
\begin{align}
|
||||||
(\vec{u}\land\vec{v})\land\vec{w}
|
|
||||||
\nonumber
|
\nonumber
|
||||||
|
(\vec{u}\land\vec{v})\land\vec{w}
|
||||||
&=
|
&=
|
||||||
\begin{pmatrix}
|
\begin{pmatrix}
|
||||||
-3 \\
|
-3 \\
|
||||||
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@ -199,8 +200,8 @@
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\subsection*{h)}
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\subsection*{h)}
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\begin{align}
|
\begin{align}
|
||||||
\vec{u}\land(\vec{v}\land\vec{w})
|
|
||||||
\nonumber
|
\nonumber
|
||||||
|
\vec{u}\land(\vec{v}\land\vec{w})
|
||||||
&=
|
&=
|
||||||
\begin{pmatrix}
|
\begin{pmatrix}
|
||||||
1 \\
|
1 \\
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||||||
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@ -265,4 +266,192 @@
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||||||
&= -24\vec{e_x}-6\vec{e_y}+12\vec{e_z}
|
&= -24\vec{e_x}-6\vec{e_y}+12\vec{e_z}
|
||||||
\end{align}
|
\end{align}
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\pagebreak
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\section*{Exercice 2}
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|
\begin{align}
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||||||
|
\nonumber
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||||||
|
\vec{u}\land(\vec{v}\land\vec{w})
|
||||||
|
&=
|
||||||
|
\begin{pmatrix}
|
||||||
|
u_x \\
|
||||||
|
u_y \\
|
||||||
|
u_z
|
||||||
|
\end{pmatrix}
|
||||||
|
\land
|
||||||
|
\begin{pmatrix}
|
||||||
|
v_x \\
|
||||||
|
v_y \\
|
||||||
|
v_z
|
||||||
|
\end{pmatrix}
|
||||||
|
\land
|
||||||
|
\begin{pmatrix}
|
||||||
|
w_x \\
|
||||||
|
w_y \\
|
||||||
|
w_z
|
||||||
|
\end{pmatrix}
|
||||||
|
\\ \nonumber
|
||||||
|
&=
|
||||||
|
\begin{pmatrix}
|
||||||
|
u_x \\
|
||||||
|
u_y \\
|
||||||
|
u_z
|
||||||
|
\end{pmatrix}
|
||||||
|
\land
|
||||||
|
\begin{pmatrix}
|
||||||
|
v_yw_z-v_zw_y \\
|
||||||
|
v_zw_x-v_xw_z \\
|
||||||
|
v_xw_y-v_yw_x
|
||||||
|
\end{pmatrix}
|
||||||
|
\\ \nonumber
|
||||||
|
&=
|
||||||
|
\begin{pmatrix}
|
||||||
|
u_x \\
|
||||||
|
u_y \\
|
||||||
|
u_z
|
||||||
|
\end{pmatrix}
|
||||||
|
\land
|
||||||
|
\begin{pmatrix}
|
||||||
|
v_yw_z-v_zw_y \\
|
||||||
|
v_zw_x-v_xw_z \\
|
||||||
|
v_xw_y-v_yw_x
|
||||||
|
\end{pmatrix}
|
||||||
|
\\ \nonumber
|
||||||
|
&=
|
||||||
|
\begin{pmatrix}
|
||||||
|
u_y(v_xw_y-v_yw_x)-u_z(v_zw_x-v_xw_z) \\
|
||||||
|
u_z(v_yw_z-v_zw_y)-u_x(v_xw_y-v_yw_x) \\
|
||||||
|
u_x(v_zw_x-v_xw_z)-u_y(v_yw_z-v_zw_y)
|
||||||
|
\end{pmatrix}
|
||||||
|
\\
|
||||||
|
&=
|
||||||
|
\begin{pmatrix}
|
||||||
|
u_yv_xw_y-u_yv_yw_x-u_zv_zw_x+u_zv_xw_z \\
|
||||||
|
u_zv_yw_z-u_zv_zw_y-u_xv_xw_y+u_xv_yw_x \\
|
||||||
|
u_xv_zw_x-u_xv_xw_z-u_yv_yw_z+u_yv_zw_y
|
||||||
|
\end{pmatrix}
|
||||||
|
\end{align}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{align}
|
||||||
|
\nonumber
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||||||
|
(\vec{u}\cdot\vec{w})\vec{v}-(\vec{u}\cdot\vec{v})\vec{w}
|
||||||
|
&=
|
||||||
|
\left(
|
||||||
|
\begin{pmatrix}
|
||||||
|
u_x \\
|
||||||
|
u_y \\
|
||||||
|
u_z
|
||||||
|
\end{pmatrix}
|
||||||
|
\cdot
|
||||||
|
\begin{pmatrix}
|
||||||
|
w_x \\
|
||||||
|
w_y \\
|
||||||
|
w_z
|
||||||
|
\end{pmatrix}
|
||||||
|
\right)
|
||||||
|
\begin{pmatrix}
|
||||||
|
v_x \\
|
||||||
|
v_y \\
|
||||||
|
v_z
|
||||||
|
\end{pmatrix}
|
||||||
|
-
|
||||||
|
\left(
|
||||||
|
\begin{pmatrix}
|
||||||
|
u_x \\
|
||||||
|
u_y \\
|
||||||
|
u_z
|
||||||
|
\end{pmatrix}
|
||||||
|
\cdot
|
||||||
|
\begin{pmatrix}
|
||||||
|
v_x \\
|
||||||
|
v_y \\
|
||||||
|
v_z
|
||||||
|
\end{pmatrix}
|
||||||
|
\right)
|
||||||
|
\begin{pmatrix}
|
||||||
|
w_x \\
|
||||||
|
w_y \\
|
||||||
|
w_z
|
||||||
|
\end{pmatrix}
|
||||||
|
\\ \nonumber
|
||||||
|
&=
|
||||||
|
(u_xw_x+u_yw_y+u_zw_z)
|
||||||
|
\begin{pmatrix}
|
||||||
|
v_x \\
|
||||||
|
v_y \\
|
||||||
|
v_z
|
||||||
|
\end{pmatrix}
|
||||||
|
-
|
||||||
|
(u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z)
|
||||||
|
\begin{pmatrix}
|
||||||
|
w_x \\
|
||||||
|
w_y \\
|
||||||
|
w_z
|
||||||
|
\end{pmatrix}
|
||||||
|
\\ \nonumber
|
||||||
|
&=
|
||||||
|
\begin{pmatrix}
|
||||||
|
(u_xw_x+u_yw_y+u_zw_z)v_x \\
|
||||||
|
(u_xw_x+u_yw_y+u_zw_z)v_y \\
|
||||||
|
(u_xw_x+u_yw_y+u_zw_z)v_z
|
||||||
|
\end{pmatrix}
|
||||||
|
-
|
||||||
|
\begin{pmatrix}
|
||||||
|
(u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z)w_x \\
|
||||||
|
(u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z)w_y \\
|
||||||
|
(u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z)w_z
|
||||||
|
\end{pmatrix}
|
||||||
|
\\ \nonumber
|
||||||
|
&=
|
||||||
|
\begin{pmatrix}
|
||||||
|
u_xv_xw_x+u_yv_xw_y+u_zv_xw_z \\
|
||||||
|
u_xv_yw_x+u_yv_yw_y+u_zv_yw_z \\
|
||||||
|
u_xv_zw_x+u_yv_zw_y+u_zv_zw_z
|
||||||
|
\end{pmatrix}
|
||||||
|
-
|
||||||
|
\begin{pmatrix}
|
||||||
|
u_xv_xw_x+u_yv_yw_x+u_zv_zw_x \\
|
||||||
|
u_xv_xw_y+u_yv_yw_y+u_zv_zw_y \\
|
||||||
|
u_xv_xw_z+u_yv_yw_z+u_zv_zw_z
|
||||||
|
\end{pmatrix}
|
||||||
|
\\ \nonumber
|
||||||
|
&=
|
||||||
|
\begin{pmatrix}
|
||||||
|
u_xv_xw_x+u_yv_xw_y+u_zv_xw_z-
|
||||||
|
(u_xv_xw_x+u_yv_yw_x+u_zv_zw_x) \\
|
||||||
|
u_xv_yw_x+u_yv_yw_y+u_zv_yw_z-
|
||||||
|
(u_xv_xw_y+u_yv_yw_y+u_zv_zw_y) \\
|
||||||
|
u_xv_zw_x+u_yv_zw_y+u_zv_zw_z-
|
||||||
|
(u_xv_xw_z+u_yv_yw_z+u_zv_zw_z)
|
||||||
|
\end{pmatrix}
|
||||||
|
\\ \nonumber
|
||||||
|
&=
|
||||||
|
\begin{pmatrix}
|
||||||
|
u_xv_xw_x+u_yv_xw_y+u_zv_xw_z-
|
||||||
|
u_xv_xw_x-u_yv_yw_x-u_zv_zw_x \\
|
||||||
|
u_xv_yw_x+u_yv_yw_y+u_zv_yw_z-
|
||||||
|
u_xv_xw_y-u_yv_yw_y-u_zv_zw_y \\
|
||||||
|
u_xv_zw_x+u_yv_zw_y+u_zv_zw_z-
|
||||||
|
u_xv_xw_z-u_yv_yw_z-u_zv_zw_z
|
||||||
|
\end{pmatrix}
|
||||||
|
\\ \nonumber
|
||||||
|
&=
|
||||||
|
\begin{pmatrix}
|
||||||
|
\cancel{u_xv_xw_x}+u_yv_xw_y+u_zv_xw_z-
|
||||||
|
\cancel{u_xv_xw_x}-u_yv_yw_x-u_zv_zw_x \\
|
||||||
|
u_xv_yw_x+\cancel{u_yv_yw_y}+u_zv_yw_z-
|
||||||
|
u_xv_xw_y-\cancel{u_yv_yw_y}-u_zv_zw_y \\
|
||||||
|
u_xv_zw_x+u_yv_zw_y+\cancel{u_zv_zw_z}-
|
||||||
|
u_xv_xw_z-u_yv_yw_z-\cancel{u_zv_zw_z}
|
||||||
|
\end{pmatrix}
|
||||||
|
\\
|
||||||
|
&=
|
||||||
|
\begin{pmatrix}
|
||||||
|
u_yv_xw_y-u_yv_yw_x-u_zv_zw_x+u_zv_xw_z \\
|
||||||
|
u_zv_yw_z-u_zv_zw_y-u_xv_xw_y+u_xv_yw_x \\
|
||||||
|
u_xv_zw_x-u_xv_xw_z-u_yv_yw_z+u_yv_zw_y
|
||||||
|
\end{pmatrix}
|
||||||
|
\end{align}
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||||||
|
Ligne (1) est égale à ligne (2) donc $\vec{u}\land(\vec{v}\land\vec{w})=(\vec{u}\cdot\vec{w})\vec{v}-(\vec{u}\cdot\vec{v})\vec{w}$
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\end{document}
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\end{document}
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