\documentclass{article}

\usepackage{mathtools}
\usepackage{amssymb}

\title{Algèbre 1 - TD 1 \\ NON CORRIGÉ}
\author{Timéo Pochin}

\begin{document}
    \maketitle

    \section*{Exercice 1}

    \subsection*{1)}
    \begin{align}
        & \neg ( P \land \neg Q ) \nonumber \\
    \iff\quad & \neg P \lor Q \nonumber
    \end{align}

    \subsection*{2)}
    \begin{align}
        & \neg\big(P\land (Q\land R)\big) \nonumber \\
    \iff\quad & \neg ( P \land Q \land R ) \nonumber \\
    \iff\quad & \neg P \lor \neg Q \lor \neg R \nonumber
    \end{align}

    \subsection*{3)}
    \begin{align}
        & \neg\big(P\lor (Q\land R)\big) \nonumber \\
    \iff\quad & \neg P \land \neg (Q \land R) \nonumber \\
    \iff\quad & \neg P \land (\neg Q \lor \neg R) \nonumber
    \end{align}

    \subsection*{4)}
    \begin{align}
        & \neg\big((P\land Q)\Rightarrow(R\Rightarrow S)\big) \nonumber \\
    \iff\quad & P \land Q \land \neg (R \Rightarrow S) \nonumber \\
    \iff\quad & P \land Q \land R \land \neg S \nonumber
    \end{align}

    \section*{Exercice 2}

    \subsection*{}
    \begin{tabular}{ |c|c|c||c|c|c| }
        \hline
        $P$ & $Q$ & $R$ & $\neg P$ & $\neg Q$ & $\neg P \Leftrightarrow \neg Q$ \\ \hline
        \hline
        F & F & F & V & V & V \\ \hline
        F & F & V & V & V & V \\ \hline
        V & V & F & F & F & V \\ \hline
        V & V & V & F & F & V \\ \hline
    \end{tabular}

    \subsection*{}
    \begin{tabular}{ |c|c|c||c|c|c| }
        \hline
        $P$ & $Q$ & $R$ & $P\Rightarrow R$ & $Q\Rightarrow R$ & $(P\Rightarrow R)\Leftrightarrow(Q\Rightarrow R)$ \\ \hline
        \hline
        F & F & F & V & V & V \\ \hline
        F & F & V & V & V & V \\ \hline
        V & V & F & F & F & V \\ \hline
        V & V & V & V & V & V \\ \hline
    \end{tabular}

    \subsection*{}
    \begin{tabular}{ |c|c|c||c|c|c| }
        \hline
        $P$ & $Q$ & $R$ & $R\Rightarrow P$ & $R\Rightarrow Q$ & $(R\Rightarrow P)\Leftrightarrow(R\Rightarrow Q)$ \\ \hline
        \hline
        F & F & F & V & V & V \\ \hline
        F & F & V & F & F & V \\ \hline
        V & V & F & V & V & V \\ \hline
        V & V & V & V & V & V \\ \hline
    \end{tabular}

    \subsection*{}
    \begin{tabular}{ |c|c|c||c|c|c| }
        \hline
        $P$ & $Q$ & $R$ & $P\land R$ & $Q\land R$ & $(P\land R)\Leftrightarrow(Q\land R)$ \\ \hline
        \hline
        F & F & F & F & F & V \\ \hline
        F & F & V & F & F & V \\ \hline
        V & V & F & F & F & V \\ \hline
        V & V & V & V & V & V \\ \hline
    \end{tabular}

    \subsection*{}
    \begin{tabular}{ |c|c|c||c|c|c| }
        \hline
        $P$ & $Q$ & $R$ & $P\lor R$ & $Q\lor R$ & $(P\lor R)\Leftrightarrow(Q\lor R)$ \\ \hline
        \hline
        F & F & F & F & F & V \\ \hline
        F & F & V & V & V & V \\ \hline
        V & V & F & V & V & V \\ \hline
        V & V & V & V & V & V \\ \hline
    \end{tabular}

    \section*{Exercice 3}

    \subsection*{1)}
    \begin{tabular}{ |c|c||c|c|c|c|c|c| }
        \hline
        $P$ & $Q$ & $P\lor Q$ & $\neg(P\lor Q)$ & $\neg P$ & $\neg Q$ & $\neg P\land\neg Q$ & $\neg(P\lor Q)\Leftrightarrow\neg P\land\neg Q$ \\ \hline
        \hline
        F & F & F & V & V & V & V & V \\ \hline
        F & V & V & F & V & F & F & V \\ \hline
        V & F & V & F & F & V & F & V \\ \hline
        V & V & V & F & F & F & F & V \\ \hline
    \end{tabular}

    \subsection*{2)}
    \begin{tabular}{ |c|c|c||c|c|c|c|c| }
        \hline
        $P$ & $Q$ & $R$ & $P\Rightarrow Q$ & $Q\Rightarrow R$ & $(P\Rightarrow Q)\land(Q\Rightarrow R)$ & $P\Rightarrow R$ & $\big((P\Rightarrow Q)\land(Q\Rightarrow R)\big)\Rightarrow(P\Rightarrow R)$ \\ \hline
        \hline
       %P   Q   R
        F & F & F & V & V & V & V & V \\ \hline
        F & F & V & V & V & V & V & V \\ \hline
        F & V & F & V & F & F & V & V \\ \hline
        F & V & V & V & V & V & V & V \\ \hline
        V & F & F & F & V & F & F & V \\ \hline
        V & F & V & F & V & F & V & V \\ \hline
        V & V & F & V & F & F & F & V \\ \hline
        V & V & V & V & V & V & V & V \\ \hline
    \end{tabular}

    \section*{Exercice 4}

    \subsection*{1)}
    \begin{align}
         & (P\land Q)\Rightarrow P \nonumber \\
    \iff\quad & \neg(P\land Q)\lor P \nonumber \\
    \iff\quad & \neg P\lor\neg Q\lor P \nonumber \\
    \iff\quad & \text{Vrai}\lor\neg Q \nonumber \\
    \iff\quad & \text{Vrai} \nonumber
    \end{align}

    \subsection*{2)}
    \begin{align}
         & \bigg(\big(P\Rightarrow(Q\Rightarrow R)\big)\Leftrightarrow\big((P\land Q)\Rightarrow R\big)\bigg) \nonumber \\
    \iff\quad & \bigg(\big(\neg P\lor(Q\Rightarrow R)\Leftrightarrow\neg(P\land Q)\lor R\big)\bigg) \nonumber \\
    \iff\quad & (\neg P\lor\neg Q\lor R\Leftrightarrow\neg P\lor\neg Q\lor R) \nonumber \\
    \iff\quad & \text{Vrai} \nonumber
    \end{align}

    \subsection*{3)}
    \begin{align}
         & \bigg(\big((P\land Q)\Rightarrow R\big)\Leftrightarrow\big(\neg P\lor(Q\Rightarrow R)\big)\bigg) \nonumber \\
    \iff\quad & \bigg(\big(\neg(P\land Q)\lor R\big)\Leftrightarrow(\neg P\lor\neg Q\lor R)\bigg) \nonumber \\
    \iff\quad & \big((\neg P\lor\neg Q\lor R)\Leftrightarrow(\neg P\lor\neg Q\lor R)\big) \nonumber \\
    \iff\quad & \text{Vrai} \nonumber
    \end{align}

    \section*{Exercice 5}

    \subsection*{1)}
    Faux

    \subsection*{2)}
    Vrai

    \subsection*{3)}
    Faux

    \section*{Exercice 6}

    \subsection*{1)}
    Il existe un triangle rectangle qui ne possède pas un angle droit.

    \subsection*{2)}
    Il existe une maison où au moins un enfant n’aime pas ses deux parents.

    \subsection*{3)}
    Il existe un entier $x$ tel que, pour tout entier $y$, pour tout entier $z$, la relation $z\geq x+1$ implique la relation $z\geq y$.

    \subsection*{4)}
    \[
    \exists\epsilon>0,\quad \forall\alpha>0,\quad |5x-7|\geq\epsilon\Rightarrow|x-\frac{7}{5}|\geq\alpha
    \]

    \section*{Exercice 7}

    \subsection*{1)}
    \[
    \forall n\in\mathbb{R}^+,\quad \exists a\in\{x\in\mathbb{R}\mid-n<x<n\},\quad a\in A
    \]

    \subsection*{2)}
    \[
    \{0\}
    \]

    \subsection*{3)}
    \[
    \{1\}
    \]

    \section*{Exercice 8}

    \subsection*{1)}
    Pour tout entier naturel $n$, il existe un entier naturel $p$ tel que, $n$ est plus petit ou égal à $p$.
    \\\\
    Il existe un entier naturel $n$ tel que, pour tout entier naturel $p$, $n$ est plus grand que $p$.

    \subsection*{2)}
    Pour tout entier naturel $p$, pour tout entier négatif $n$, $p$ est plus grand ou égal à $n$.
    \\\\
    Il existe un entier naturel $p$ et un entier négatif $n$ tel que, $p$ est plus petit que $n$.

\end{document}
