Done exercise 16 and 17

semestre-3/probabilites-finies/escalier.py

@@ -0,0 +1,22 @@
+import math
+
+def nCr(n: int, r: int) -> int:
+    f = math.factorial
+    return f(n) // f(r) // f(n - r)
+
+def inputInteger(msg: str) -> int:
+    while True:
+        n = input(msg)
+        if n.isdigit():
+            return int(n)
+
+if __name__ == '__main__':
+    n = inputInteger('Combiens de marches à l’escalier ? ')
+    total = 0
+    for n3 in range(n//3 + 1):
+        for n2 in range((n - n3*3)//2 + 1):
+            n1 = n - n2*2 - n3*3
+            m = n1 + n2 + n3
+            total += nCr(m, n1)*nCr(m - n1, n2)
+    print(f'Il y a {total} façon(s) de monter l’escalier \
+en groupes de 1, 2 et 3 marches.')

semestre-3/probabilites-finies/td1.tex

@@ -26,6 +26,33 @@
 \lhead{TD1 -- Probabilités finies}
 \cfoot{Page \thepage}
 
+% Code
+\usepackage{listingsutf8}
+\lstdefinestyle{algo}{%
+    inputencoding=utf8,
+    basicstyle=\footnotesize\ttfamily,
+    literate=
+        {'}{{\textquotesingle}}{1}
+        {’}{{'}}{1}
+        {é}{{\'e}}{1}
+        {è}{{\`e}}{1}
+        {à}{{\`a}}{1}
+        {â}{{\^a}}{1}
+        {ç}{{\c{c}}}{1}
+        {œ}{{\oe}}{1}
+        {ù}{{\`u}}{1}
+        {É}{{\'E}}{1}
+        {È}{{\`E}}{1}
+        {À}{{\`A}}{1}
+        {Ç}{{\c{C}}}{1}
+        {Œ}{{\OE}}{1}
+        {Ê}{{\^E}}{1}
+        {ê}{{\^e}}{1}
+        {î}{{\^i}}{1}
+        {ï}{{\"i}}{1}
+        {ô}{{\^o}}{1}
+        {û}{{\^u}}{1}}
+
 \setlength{\parindent}{0pt}
 
 \begin{document}
@@ -67,7 +94,7 @@ Dans les cas où notre calcul mène à $(p,q)\notin\mathbb{N}^2$ nous avons une
 \section*{Exercise 14 (non-corrigé)}
 
 Avec le même résonemment utilisé dans l'exercise 13:
-Tous les chemins qui mènent à $(p,q)$ contiennent $p$ étapes «\,droite\,» et $q$ étapes «\,haut\,»,
+tous les chemins qui mènent à $(p,q)$ contiennent $p$ étapes «\,droite\,» et $q$ étapes «\,haut\,»,
 donc ils ont également $p+q$ étapes.
 
 Nous pouvons conclure qu'il existe $\binom{p+q}{p}$ chemins qui mènet à $(p,q)$.
@@ -87,24 +114,68 @@ Nous pouvons conclure qu'il existe au moins $23$ configurations qui mènent à u
 
 \section*{Exercise 16 (non-corrigé)}
 
-Par observation, j'obtiens ceci:
-
 Sois polygone convexe à $n$ sommets.
 
 Il a $n$ côtés.
 
 Il a $n(n-3)$ diagonales.
 
-Ses diagonales ont au maximum $\frac{n}{4}\left((n-3)(n-4)+2^{n-4}\right)$ intersection entre elles.
+Ses diagonales ont au maximum $\frac{1}{24}n\left((n-2)^3-(n-2)\right)$ intersection entre elles.
 
-J'ai déduis mes réponses avec le triangle de Pascal.
 Essayons de le montrer rigoureusement:
 
-\underline{\emph{Exercise n'est pas fini!}}
+Sois un polygone convexe à $n$ sommets.
+Appelons $S$ l'ensemble de ses sommets.
+
+Sois $s_1\in S$,
+$s_1$ a deux sommets adjacent $s_2$ et $s_n$ et il forme des diagonales avec chaque $s\in \{s_3,\dots,s_{n-1}\}$.
+
+Soit $d_k=(s_1,s_{k+2})$,
+nous avons les sommets à «\,droite\,» de la diagonale $S_\text{droite}=\{s_2,\dots,s_{k+1}\}$
+et les sommets à «\,gauche\,» de la diagonale $S_\text{gauche}=\{s_{k+3},\dots,s_{n-1}\}$.
+
+Les seuls diagonales qui croisent $d$ appartiennent à $S_\text{droite}\times S_\text{gauche}$,
+donc $d$ croise $\#S_\text{droite}\#S_\text{gauche}$ ou $k(n-2-k)$ diagonales (car le polygone est convexe).
+
+Posons $m=n-2$,
+
+La sommes des intersections qui inclut les diagonales partant de $s_1$ est donc
+\[
+  \sum_{k=1}^{m}{k(m-k)}
+  =m\sum_{k=1}^{m}{k}-\sum_{k=1}^{m}{k^2}
+\]
+appelons la $i_1$.
+
+Nous savons que
+\[
+  \sum_{k=1}^{m}{k}=\frac{m(m+1)}{2}
+\]
+et que
+\[
+  \sum_{k=1}^{m}{k^2}=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}
+\]
+donc
+\[
+  \begin{split}
+    i_1 &= m\cdot\frac{m(m+1)}{2}-\frac{m(m+1)(2m+1)}{6} \\
+    &= \frac{1}{6}\left( 3m^3+\cancel{3m^2} - 2m^3-\cancel{3m^2}-m \right) \\
+    &= \frac{1}{6}\left(m^3 - m \right)
+  \end{split}
+\]
+
+Pour avoir le nombre total d'intesections nous pouvons répéter ce calcul pour chaque sommet,
+or chaque intersection sera compté quatre fois,
+une fois pour chaque sommet des deux diagonales.
+
+Nous avons donc $\frac{1}{24}n\left((n-2)^3 - (n-2) \right)$ intersections.
+
+\pagebreak
 
 \section*{Exercise 17 (non-corrigé)}
 
-\underline{\emph{Exercise n'est pas fini!}}
+Implémentation en Python3:
+
+\lstinputlisting[language=Python,style=algo]{escalier.py}
 
 \end{document}