added td1 theorie des graphes
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fc59db4039
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6a088b56fa
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@ -0,0 +1,305 @@
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## aux folders
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**/aux/
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## Core latex/pdflatex auxiliary files:
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**/*.aux
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**/*.lof
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**/*.log
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**/*.lot
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**/*.fls
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**/*.out
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**/*.toc
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**/*.fmt
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**/*.fot
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**/*.cb
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**/*.cb2
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**/.*.lb
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## Intermediate documents:
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**/*.dvi
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**/*.xdv
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**/*-converted-to.*
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# these rules might exclude image files for figures etc.
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# *.ps
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# *.eps
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# *.pdf
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## Generated if empty string is given at "Please type another file name for output:"
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**/.pdf
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## Bibliography auxiliary files (bibtex/biblatex/biber):
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**/*.bbl
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**/*.bcf
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**/*.blg
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**/*-blx.aux
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**/*-blx.bib
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**/*.run.xml
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## Build tool auxiliary files:
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**/*.fdb_latexmk
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**/*.synctex
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**/*.synctex(busy)
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**/*.synctex.gz
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**/*.synctex.gz(busy)
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**/*.pdfsync
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## Build tool directories for auxiliary files
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# latexrun
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**/latex.out/
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## Auxiliary and intermediate files from other packages:
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# algorithms
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**/*.alg
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**/*.loa
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# achemso
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**/acs-*.bib
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# amsthm
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**/*.thm
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# beamer
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**/*.nav
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**/*.pre
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**/*.snm
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**/*.vrb
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# changes
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**/*.soc
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# comment
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**/*.cut
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# cprotect
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**/*.cpt
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# elsarticle (documentclass of Elsevier journals)
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**/*.spl
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# endnotes
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**/*.ent
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# fixme
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**/*.lox
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# feynmf/feynmp
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**/*.mf
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**/*.mp
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**/*.t[1-9]
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**/*.t[1-9][0-9]
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**/*.tfm
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#(r)(e)ledmac/(r)(e)ledpar
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**/*.end
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**/*.?end
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**/*.[1-9]
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**/*.[1-9][0-9]
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**/*.[1-9][0-9][0-9]
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**/*.[1-9]R
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**/*.[1-9][0-9]R
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**/*.[1-9][0-9][0-9]R
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**/*.eledsec[1-9]
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**/*.eledsec[1-9]R
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**/*.eledsec[1-9][0-9]
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**/*.eledsec[1-9][0-9]R
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||||
**/*.eledsec[1-9][0-9][0-9]
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||||
**/*.eledsec[1-9][0-9][0-9]R
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# glossaries
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**/*.acn
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**/*.acr
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**/*.glg
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**/*.glo
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**/*.gls
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**/*.glsdefs
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**/*.lzo
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**/*.lzs
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**/*.slg
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**/*.slo
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**/*.sls
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# uncomment this for glossaries-extra (will ignore makeindex's style files!)
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# *.ist
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# gnuplot
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**/*.gnuplot
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**/*.table
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# gnuplottex
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**/*-gnuplottex-*
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# gregoriotex
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**/*.gaux
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**/*.glog
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**/*.gtex
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# htlatex
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**/*.4ct
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**/*.4tc
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**/*.idv
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**/*.lg
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**/*.trc
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**/*.xref
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# hyperref
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**/*.brf
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# knitr
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**/*-concordance.tex
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# TODO Uncomment the next line if you use knitr and want to ignore its generated tikz files
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# *.tikz
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**/*-tikzDictionary
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# listings
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**/*.lol
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# luatexja-ruby
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**/*.ltjruby
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# makeidx
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**/*.idx
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**/*.ilg
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**/*.ind
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# minitoc
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**/*.maf
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**/*.mlf
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**/*.mlt
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**/*.mtc[0-9]*
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**/*.slf[0-9]*
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**/*.slt[0-9]*
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**/*.stc[0-9]*
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# minted
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**/_minted*
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**/*.pyg
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# morewrites
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**/*.mw
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# newpax
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**/*.newpax
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# nomencl
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**/*.nlg
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**/*.nlo
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**/*.nls
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# pax
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**/*.pax
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# pdfpcnotes
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**/*.pdfpc
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# sagetex
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**/*.sagetex.sage
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**/*.sagetex.py
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**/*.sagetex.scmd
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# scrwfile
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**/*.wrt
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# svg
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**/svg-inkscape/
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# sympy
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**/*.sout
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**/*.sympy
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**/sympy-plots-for-*.tex/
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# pdfcomment
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**/*.upa
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**/*.upb
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# pythontex
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**/*.pytxcode
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**/pythontex-files-*/
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# tcolorbox
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**/*.listing
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# thmtools
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**/*.loe
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# TikZ & PGF
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**/*.dpth
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**/*.md5
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**/*.auxlock
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# titletoc
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**/*.ptc
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# todonotes
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**/*.tdo
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# vhistory
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**/*.hst
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**/*.ver
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# easy-todo
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**/*.lod
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# xcolor
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**/*.xcp
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# xmpincl
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**/*.xmpi
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# xindy
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**/*.xdy
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# xypic precompiled matrices and outlines
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**/*.xyc
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**/*.xyd
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# endfloat
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**/*.ttt
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**/*.fff
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# Latexian
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**/TSWLatexianTemp*
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## Editors:
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# WinEdt
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**/*.bak
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**/*.sav
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# Texpad
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**/.texpadtmp
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# LyX
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**/*.lyx~
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# Kile
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**/*.backup
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# gummi
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**/.*.swp
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# KBibTeX
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**/*~[0-9]*
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# TeXnicCenter
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**/*.tps
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# auto folder when using emacs and auctex
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**/./auto/*
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**/*.el
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# expex forward references with \gathertags
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**/*-tags.tex
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# standalone packages
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**/*.sta
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# Makeindex log files
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**/*.lpz
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# xwatermark package
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**/*.xwm
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# REVTeX puts footnotes in the bibliography by default, unless the nofootinbib
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# option is specified. Footnotes are the stored in a file with suffix Notes.bib.
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# Uncomment the next line to have this generated file ignored.
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#*Notes.bib
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,231 @@
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\documentclass[french,b5paper]{article}
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||||
\usepackage[T1]{fontenc}
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||||
\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage{babel}
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||||
\usepackage[autolanguage]{numprint}
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\usepackage{hyphenat}
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||||
\usepackage{geometry}
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||||
\usepackage{parskip}
|
||||
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||||
\usepackage{amssymb,amsmath}
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||||
\usepackage[makeroom]{cancel}
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||||
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||||
\usepackage{tikz}
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||||
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||||
\usepackage{fancyhdr}
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\pagestyle{fancy}
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||||
\fancyhf{}
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\rhead{Timéo Pochin}
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||||
\lhead{TD1 -- Théorie des graphes et optimisation discrète}
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\cfoot{Page \thepage}
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||||
\newcommand{\chessMove}[6]{
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||||
\begin{tikzpicture}[scale=0.75, main/.style = {draw, circle, scale=0.75}]
|
||||
\node[main] (1) [fill=#3, text=#4] {#1};
|
||||
\node[main] (2) [right of=1, fill=#5, text=#6] {#2};
|
||||
\draw[->] (1) -- (2);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
}
|
||||
|
||||
\newcommand{\chessMoveBlack}[2]{\chessMove{#1}{#2}{black}{white}{lightgray}{black}}
|
||||
\newcommand{\chessMoveWhite}[2]{\chessMove{#1}{#2}{white}{black}{lightgray}{black}}
|
||||
|
||||
\setlength{\parindent}{0pt}
|
||||
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||||
\begin{document}
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||||
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||||
\section*{Exercise 4 (non-corrigé)}
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||||
Soit $G(S,A)$ un graphe non-orienté de degré minimum $k$,
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montrons qu'il contient une chaîne élémentaire de longeur $k$:
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%\startnarrower[left]
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||||
Prenons une arête $a_1\in A$ et les deux sommets $(s_0,s_1)\in S^2$ à ses extrimitées.
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||||
Si $k = 1$ alors la chaîne élémentaire $(a_1)$ est de longeur $k$.
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||||
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||||
Si $k>1$,
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||||
supposons que $(a_1,\dots,a_n)$ et $\{s_0,\dots,s_n\}$ soit une chaîne élémentaire et ses sommets correspondants,
|
||||
avec $n\in\mathbb{N}^*$ et $n\leq k$.
|
||||
|
||||
%\startnarrower[left]
|
||||
Si $n=k$ alors la chaîne élémentaire $(a_1,\dots,a_n)$ est de longeur $k$.
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||||
|
||||
Dans le cas où $n<k$,
|
||||
nous savons que $s_n$ a au moins $k$ arêtes et au plus $n$ arêtes qui le relie aux sommets $\{s_0,\dots,s_{n-1}\}$.
|
||||
Donc $s_n$ a au moins $k-n\geq 1$ arêtes qui ne le relie pas aux sommets $\{s_0,\dots,s_{n-1}\}$.
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||||
|
||||
Prenons une de ces arêtes $a_{n+1}$,
|
||||
nous pouvons maintenant constater qu'il existe une chaîne elementaire $(a_1,\dots,a_{n+1})$ de longeur $n+1$.
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||||
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||||
%\stopnarrower
|
||||
%\stopnarrower
|
||||
Nous avons montrer qu'il existe une chaîne élémentaire de longeur $k$ si $k=1$.
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||||
Nous avons également montrer que s'il existe une chaîne élémentaire de longeur $n<k$ alors il existe une chaîne élémentaire de longeur $n+1$.
|
||||
Par \underline{récurrence},
|
||||
nous avons montrer qu'il existe une chaîne élémentaire de longeur $k$ contenu dans tout graphe $G(S,A)$ de degré minimum $k$.
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||||
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||||
\section*{Exercise 6 (non-corrigé)}
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\begin{tikzpicture}[thick, main/.style = {draw, circle}]
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||||
% 3 # # #
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||||
% 2 # # #
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||||
% 1 # # #
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||||
% a b c
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||||
\begin{scope}[node distance={13mm}]
|
||||
\node[main] (b2) [fill=lightgray] {$b2$};
|
||||
\node[main] (a2) [left of=b2, fill=lightgray] {$a2$};
|
||||
\node[main] (c2) [right of=b2, fill=lightgray] {$c2$};
|
||||
\node[main] (b1) [below of=b2, fill=lightgray] {$b1$};
|
||||
\node[main] (b3) [above of=b2, fill=lightgray] {$b3$};
|
||||
\node[main] (a1) [below of=a2, fill=black, text=white] {$a1$};
|
||||
\node[main] (c1) [below of=c2, fill=black, text=white] {$c1$};
|
||||
\node[main] (a3) [above of=a2] {$a3$};
|
||||
\node[main] (c3) [above of=c2] {$c3$};
|
||||
\end{scope}
|
||||
|
||||
\draw (a1) -- (b3);
|
||||
\draw (a2) -- (c3);
|
||||
\draw (a3) -- (c2);
|
||||
\draw (b1) -- (a3);
|
||||
\draw (b3) -- (c1);
|
||||
\draw (c1) -- (a2);
|
||||
\draw (c2) -- (a1);
|
||||
\draw (c3) -- (b1);
|
||||
|
||||
\begin{scope}[node distance={15mm}, xshift=5cm]
|
||||
\node[main] (b2) [fill=lightgray] {$b2$};
|
||||
\node[main] (a1) [below left of=b2, fill=black, text=white] {$a1$};
|
||||
\node[main] (b1) [above of=b2, fill=lightgray] {$b1$};
|
||||
\node[main] (c1) [below right of=b2, fill=black, text=white] {$c1$};
|
||||
\node[main] (a2) [right of=b2, fill=lightgray] {$a2$};
|
||||
\node[main] (c2) [left of=b2, fill=lightgray] {$c2$};
|
||||
\node[main] (a3) [above left of=b2] {$a3$};
|
||||
\node[main] (b3) [below of=b2, fill=lightgray] {$b3$};
|
||||
\node[main] (c3) [above right of=b2] {$c3$};
|
||||
\end{scope}
|
||||
|
||||
\draw (a1) -- (b3);
|
||||
\draw (a2) -- (c3);
|
||||
\draw (a3) -- (c2);
|
||||
\draw (b1) -- (a3);
|
||||
\draw (b3) -- (c1);
|
||||
\draw (c1) -- (a2);
|
||||
\draw (c2) -- (a1);
|
||||
\draw (c3) -- (b1);
|
||||
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
Les blancs commence et les deux couleur joue à tour de rôle,
|
||||
une des solutions pour que les cavaliers blancs et noirs échangent de place est:
|
||||
|
||||
\chessMoveWhite{$c3$}{$a2$}
|
||||
\chessMoveBlack{$a1$}{$c2$}
|
||||
\chessMoveWhite{$a3$}{$b1$}
|
||||
\chessMoveBlack{$c1$}{$b3$}
|
||||
\chessMoveWhite{$a2$}{$c1$}
|
||||
\chessMoveBlack{$c2$}{$a3$}
|
||||
\chessMoveWhite{$b1$}{$c3$}
|
||||
\chessMoveBlack{$b3$}{$a1$}
|
||||
|
||||
\chessMoveWhite{$c1$}{$b3$}
|
||||
\chessMoveBlack{$a3$}{$b1$}
|
||||
\chessMoveWhite{$c3$}{$a2$}
|
||||
\chessMoveBlack{$a1$}{$c2$}
|
||||
\chessMoveWhite{$b3$}{$a1$}
|
||||
\chessMoveBlack{$b1$}{$c3$}
|
||||
\chessMoveWhite{$a2$}{$c1$}
|
||||
\chessMoveBlack{$c2$}{$a3$}
|
||||
|
||||
\section*{Exercise 7 (non-corrigé)}
|
||||
|
||||
Soit $G(S,A)$ un graphe non orienté de $n$ sommets et $m$ arêtes,
|
||||
montrons que si \\$m>\frac{1}{2}(n-1)(n-2)$ alors $G$ est connexe:
|
||||
|
||||
Supposons que $G$ n'est pas connexe,
|
||||
alors il existe deux sous-graphes non-nul de $G$,
|
||||
$G'(S',A')$ et $G''(S'',A'')$ tel que $S''=S\setminus S'$ et $\forall a\in A,\ a\in A'\cup A''$,
|
||||
notons aussi leurs nombres de sommets et d'arêtes $n'$, $m'$, $n''$ et $m''$ respectivement.
|
||||
|
||||
Les nombres d'arêtes maximaux de ces graphes correspondent au cas où ils sont complets:
|
||||
\[
|
||||
\begin{split}
|
||||
m'_\text{max} &=\frac{1}{2}n'(n'-1) \\
|
||||
m''_\text{max} &=\frac{1}{2}n''(n''-1) \\
|
||||
&=\frac{1}{2}(n-n')(n-n'-1) \qquad \text{car}\ n''=n-n'
|
||||
\end{split}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
Trouvons $(m'+m'')_\text{max}$:
|
||||
|
||||
\[
|
||||
\begin{split}
|
||||
\text{Posons} \qquad
|
||||
f(n,n') &=m'_\text{max}+m''_\text{max} \\
|
||||
&=\frac{1}{2}n'(n'-1)+\frac{1}{2}(n-n')(n-n'-1) \\
|
||||
&=\frac{1}{2}\left(n'^2-n'\right)+\frac{1}{2}\left(n'^2-2nn'+n'+n^2-n\right) \\
|
||||
&=\frac{1}{2}n'^2-\cancel{\frac{1}{2}n'}+\frac{1}{2}n'^2-nn'+\cancel{\frac{1}{2}n'}+\frac{1}{2}\left(n^2-n\right) \\
|
||||
&=n'^2-nn'+\frac{1}{2}\left(n^2-n\right)
|
||||
\end{split}
|
||||
\]
|
||||
Calculons la dérivée partielle de $f$ en $n'$
|
||||
\[\frac{\partial f}{\partial n'} =2n'-n\]
|
||||
elle s'annule quand $n'=\frac{1}{2}n$.
|
||||
|
||||
Dans le cas où $n'<\frac{1}{2}n$, la dérivée est négative,
|
||||
$f$ est décroissante et donc \\$(m'+m'')$ est le plus grand quand $n'=1$.
|
||||
|
||||
Dans le cas où $n'>\frac{1}{2}n$, la dérivée est positive,
|
||||
$f$ est croissante et donc $(m'+m'')$ est le plus grand quand $n'=n-1$,
|
||||
or ce cas n'est qu’un simple inversement de $n'$ et $n''$.
|
||||
|
||||
Nous savons maintenant que
|
||||
\[
|
||||
\begin{split}
|
||||
(m'+m'')_\text{max} &=\frac{1}{2}(1)(1-1)+\frac{1}{2}(n-1)(n-1-1) \\
|
||||
&=\frac{1}{2}(n-1)(n-2)
|
||||
\end{split}
|
||||
\]
|
||||
|
||||
Reprenons le graphe $G$ dans le cas où il a un nombre d'arêtes $m>(m'+m'')_\text{max}$.
|
||||
Nous pouvons en déduire qu'il existe une arête $a\in A$ tel que $a\notin A'\cup A''$,
|
||||
ceci et une contradiction avec le fait que $\forall a\in A,\ a\in A'\cup A''$.
|
||||
|
||||
Par \underline{contradiction}, nous avons montrer que si $m>\frac{1}{2}(n-1)(n-2)$ alors $G$ est connexe.
|
||||
|
||||
\section*{Exercise 8 (non-corrigé)}
|
||||
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Soit $G(S,A)$ un groupe,
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montrons que au moins un des deux groupe $G$ et $\bar{G}(S,\bar{A})$ est connexe:
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Supposons que $G$ n'est pas connexe.
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Soit $s_0\in S$,
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pour tout $s\in S$ nous pouvons le placer dans un des deux ensemble suivant:
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\begin{itemize}
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\item l'ensemble des sommets qui sont relié à $s_0$ par une chaîne de $G$, appelons le $S_\text{relié}$
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\item l'ensemble des sommets qui ne peuvent pas être relié à $s_0$ par une chaîne de $G$, appelons le $S_\text{non-relié}$
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\end{itemize}
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Regardons maintenant $\bar{G}$,
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Aucune des arêtes $(i,j)\in S_\text{relié}\times S_\text{non-relié}$ n'appartient pas à $A$,
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donc elles appartiennes toute à $\bar{A}$.
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Soit $s_1\in S_\text{non-relié}$,
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pour tout $s\in S$,
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si $s\in S_\text{non-relié}$ alors la chaîne $((s_0,s))$ de $\bar{G}$ relie $s_0$ et $s$;
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si $s\in S_\text{relié}$ alors la chaîne $((s_0,s_1),(s,s_1))$ de $\bar{G}$ relie $s_0$ et $s$.
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Nous pouvons trouver une chaîne de $\bar{G}$ qui relie $s_0$ avec chaqun des autre sommet donc $\bar{G}$ et connexe.
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Supposons maintenant que $\bar{G}$ n'est pas connexe:
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avec le même raisonnement nous pouvons montrer que $\bar{\bar{G}}$ et connexe,
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or $\bar{\bar{G}}=G$ donc $G$ est connexe.
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Par \underline{séparation des cas} et \underline{implication},
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nous avons montrer que au moins un des deux groupe $G$ et $\bar{G}$ est connexe.
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\end{document}
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