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%			>=stealth’, % makes the arrow heads bold
%			node distance=3cm, % specifies the minimum distance between two nodes. Change if necessary.
%			every state/.style={thick, fill=gray!10}, % sets the properties for each ’state’ node
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%			}
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\author{Autómatas y lenguajes formales}
\title{Máquinas de Turing}
\begin{document}
\maketitle
\section*{Máquina de Turing}
	
La máquina de Turing es uno de los modelos de computación más poderosos, es lo más cercano a una computadora (como la que usaron para bajar este pdf, y quizá hasta para leerlo), pero no es el único modelo. Tomaremos la máquina de Turing como el formalismo con el que trabajaremos ahora, para entender las cosas, pero más adelante veremos otros modelos de máquinas. No sé si será el método más pedagógico, o el más sencillo, pero es el estándar en la mayoría de libros del tema (además de que Turing es el más famoso de los matemáticos que trabajaron inicialmente en el área). Los modelos son equivalentes, así que no perderemos generalidad.
		
A su vez hay variaciones en los modelos de máquinas de Turing cuyas características extras ayudan a hacer más entendible el modelo, reducir la notación, ahorrar un poco de trabajo, pero de nueva cuenta, son equivalentes entre sí. 
		
Una máquina de Turing se compone de un conjunto finito de estados $Q$, una cinta semi-infinita limitada por la izquierda con el símbolo $\vdash$ e ilimitada por la derecha (este límite izquierdo es para saber donde empieza la cinta) y una cabeza que puede moverse a izquierda y derecha, capaz de leer y escribir caracteres en la cinta\footnote{Son muy jóvenes para recordar los casetes quizá, aunque por ahí hay unos intentos retros de revivirlos, pero si alguna vez han visto uno con su respectivo reproductor podrán notar que cuenta con una cinta magnética de color café o negro, que es leída por una cabeza también magnética. Era un formato de no muy buena calidad, de riesgo pues un imán de potencia suficiente podía dañar la cinta y los carretes podían provocar accidentes como enrollarse o atorarse. Hubo computadoras que usaban casetes para leer programas, para una crónica al respecto echen un ojo a: \url{https://www.xataka.com/historia-tecnologica/cuando-los-videojuegos-venian-en-cassette-y-habia-que-rebobinarlos-para-poder-jugar}}. Las palabras de entrada, de longitud finita, se escriben sobre la cinta de izquierda a derecha (como escribimos nosotros). Al terminar la palabra de entrada en el resto de casillas de la cinta para distinguir que no contienen caracter alguno está pre-escrito el símbolo $\textvisiblespace$. Un esquema ejemplificando esta disposición se muestra en la figura \ref{fig:tur}.

\begin{figure}[h]
  \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[every node/.style={block},
        block/.style={minimum height=1.5em,outer sep=0pt,draw,rectangle,node distance=0pt}]
      \node (A) {$a$};
      \node (B) [left=of A] {$\ldots$};
      \node (C) [left=of B] {$\vdash$};
      \node (D) [right=of A] {$\ldots$};
      \node (E) [right=of D] {$\textvisiblespace$};
      \node (F) [above = 0.75cm of A,draw=red,thick] {\textsf Q};
      \draw[-latex] (F) -- (A);
      %\draw[-latex,blue] ($(F.east)!0.5!(A.east)$) -- ++(7mm,0);
      \draw (C.north west) -- ++(-1cm,0) (C.south west) -- ++ (-1cm,0) 
      (E.north east) -- ++(1cm,0) (E.south east) -- ++ (1cm,0);
    \end{tikzpicture}
    \caption{Esquema mecánico de una máquina de Turing.}
  \end{center}
  \label{fig:tur}
\end{figure}
		
Esto puede verse un poco más complicado que nuestro clásico diagrama de estados, aquí los estados no son tan obvios ya que además van acompañados de acciones sobre la cabeza lectora y sobre la cinta. La máquina se encontrará en su estado inicial, leerá el carácter en la cinta y dependiendo de lo que lea y el estado escribe un nuevo símbolo (puede escribir el mismo símbolo y se entiende que no alteró la cinta) y la cabeza lectora se mueve a la izquierda o derecha en una sola posición, una vez completado esto entra en un nuevo estado.
		
Las reglas que nos dan las transiciones entre estados son las ya conocidas transiciones $\delta$. Para detenerse la máquina entra en su estado final de \emph{aceptación} o \emph{rechazo}, aunque existe la posibilidad de que no entre a ninguno de estos estados y se quede trabajando por siempre, en un \emph{loop} o ciclo infinito.
			 	 
\subsection*{Definición formal}
\newtheorem{defi}{Definición}
\begin{defi}
  Una máquina de Turing determinista, de cinta única es una 9-tupla (yo lo traduciría como un noneto o enéada, pero quizá no es la terminología) descrita como:
  \begin{equation*}
    M=(Q,\Sigma, \Gamma,\vdash,\textvisiblespace,\delta,s,t,r)
  \end{equation*}
  
  con:
  \begin{itemize}
  \item $Q$ es el conjunto finito de estados
  \item $\Sigma$ es el alfabeto de entrada (finito)
  \item $\Gamma$ es el alfabeto de cinta (finito), con $\Sigma \subseteq \Gamma$
  \item $\vdash \in \Gamma - \Sigma$ el símbolo de inicio de la cinta
  \item $\textvisiblespace \in \Gamma - \Sigma$ el símbolo de espacio en blanco
  \item $\delta: Q\times \Gamma \rightarrow Q\times \Gamma \times \{ \rightarrow,\leftarrow \}$ la función de transición 
  \item $s\in Q$ el estado inicial
  \item $t\in Q$ el estado de aceptación
  \item $r\in Q$ el estado de rechazo. 
  \end{itemize}	 		  
\end{defi}
		
La manera de describir las transiciones es: $\delta (p,a) = (q,b,\rightarrow)$, que se entiende como "si la maquina en el estado $p$ lee en la posición de la cinta en que se encuentra la cabeza lectora una $a$ entonces pasa a un estado $q$, escribe en la misma posición de la cinta una $b$ y mueve la cabeza lectora a la derecha ($\rightarrow$ o $R$)". Un caso especial es cuando se lee el símbolo $\vdash$, la cinta no puede ir más a la izquierda, entonces si se tiene: $\delta(q,\vdash) = (p,\vdash,\rightarrow)$, nunca con $\leftarrow$.
		
Si se entra a los estados de aceptación o rechazo, ahí se queda la máquina: $\delta(t,a)=(t,b,\rightarrow / \leftarrow)$, puede moverse izquierda o derecha de la cinta, incluso escribir en la cinta pero ya no sale del estado, y $\delta(r,d) = (r,f,\rightarrow /\leftarrow)$, de manera similar, puede moverse en cualquier dirección de la cinta la cabeza, puede escribir en ella, pero no sale del estado de rechazo\footnote{Incluso puede ponerse $\delta(t,a)=(t,-,-)$ o $\delta(r,a)=(t,-,-)$ para indicar que ya no importa que se haga, al entrar al estado de aceptación o rechazo ya no importa lo que pase después}.
		
\subsection*{Un ejemplo}
Como hemos hecho regularmente vamos a ver un ejemplo que vaya más allá de los modelos que hemos visto antes, en este caso trabajaremos el lenguaje dependiente de contexto $\{ a^nb^nc^n| n\geq 0 \}$. Lo que hará la máquina es lo siguiente: 
		
\begin{enumerate}
\item[0] Empieza en su estado inicial, supongamos que la cabeza lectora está al inicio de la cinta (si no lo está solo haría falta poner una función de \emph{reset} o algo parecido, no es relevante ahora, imaginemos todo ideal), al leer que la cinta está en su orilla izquierda la cabeza lectora empieza a moverse a la derecha. 
\item[1] Seguimos en el estado inicial y lo que esperamos al movernos al primer símbolo no vacío de la cinta es hallar una $a$, mientras se lean $a$'s la cabeza sigue moviéndose a la derecha, se sobrescriben las $a$'s y se queda en el estado inicial.  
\item[2] Al leer la primera $b$ se pasa al estado $q_1$ y la cabeza lectora sigue andando a la derecha, mientras lea $b$'s se quedará en el estado $q_1$ y la cabeza seguirá corriendo a la derecha.
\item[3] La máquina sigue en el estado $q_1$ y lee una $c$, entonces se pasa al estado $q_2$ y la cabeza lectora sigue su camino a la derecha, mientras lea $c$'s se queda en el estado $q_2$.
\item[3b] Si está en el estado $q_1$ leyendo $b$'s y de repente se encuentra una $a$ en lugar de una $c$, se manda al estado de rechazo $r$ y la cinta podría seguir corriendo, pero no tiene sentido, se puede parar ahí, fin, la cadena no es parte del lenguaje.
\item[4] La máquina se encuentra en el estado $q_2$ leyendo $c$'s y se encuentra con un símbolo vacío, es decir $\textvisiblespace$, entonces pasa al estado $q_3$ y escribe un símbolo especial, en este caso escribimos una $\dashv$ pero podría ser una $x$, o un símbolo que no vayamos a usar, este no es crucial, sólo es para que en los próximos recorridos sepa donde pararse. Hasta aquí sólo se hizo el primer recorrido, se comprobó que la cadena tiene el orden correcto en los caracteres, ahora hay que contar. Una vez llegando al final, marcando la orilla derecha, la cabeza empieza a viajar a la izquierda.
\item[5] Fase de conteo: La cabeza ahora corre hacia la izquierda (de regreso), si encuentra una $c$ la borra (escribiendo $\textvisiblespace$) y pasa al estado $q_4$, mientras la cabeza sigue corriendo a la izquierda. Las siguientes $c$'s que encuentre las sobre escribirá, se quedará en el mismo estado y seguirá la cabeza corriendo a la izquierda. 
\item[5b] Si está en el estado $q_3$, corriendo a la izquierda la cabeza lectora, y lee una $b$ o $a$ en lugar de una $c$, inmediatamente se va al estado de rechazo (en principio no debería pasar, pues ya checamos el orden en la primera fase, pero nunca está de más reiterar las órdenes, además de que en muchos casos no se guarda memoria de instrucciones anteriores).
\item[6] La máquina está en el estado $q_4$ y corre a la izquierda, si de repente se encuentra una $b$, se borra (se sustituye por $\textvisiblespace$), se pasa al estado $q_5$ y la cabeza continúa su camino a la izquierda. Mientras encuentre $b$ subsecuentes se quedará en el mismo estado y no les hará nada a esos símbolos (reescribirá $b$), la cabeza seguirá su camino a la izquierda.
\item[6b] Si se encuentra en el estado $q_4$ y en lugar de $b$ la cabeza lectora lee una $a$ o el símbolo del extremo izquierdo de la cinta, $\vdash$, se va a un estado de rechazo y no hace nada más.
\item[7]  La máquina se encuentra en el estado $q_5$, la cabeza corre a la izquierda, si en su camino encuentra una $a$ la sustituye por $\textvisiblespace$, pasa al estado $q_6$ y continúa corriendo a la izquierda. Las siguientes $a$'s que encuentre las reescribirá, se quedará en el mismo estado y seguirá la cabeza su camino a la izquierda.
\item[7b] Si se encuentra en el estado $q_5$ y en lugar de $a$ la cabeza lectora lee la orilla izquierda de la cinta, $\vdash$, se va a un estado de rechazo y no hace nada más.
\item[8] En el estado $q_6$, la cabeza sigue corriendo a la izquierda, en este punto ya ha marcado (borrando) una $c$, una $b$ y una $a$, si la cabeza lee el símbolo $\vdash$ lo reescribe, pasa al estado $q_7$ y la cabeza se da vuelta, empieza a correr a la derecha y de nueva cuenta borra conforme se vaya encontrando en orden una $a$, una $b$ y una $c$.
\end{enumerate}

\begin{table}
\begin{center}
\begin{tabular}{ |p{0.6cm}||p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.6cm}|p{1.6cm}|p{1.5cm}|}
 \hline
  & $\vdash$ & $a$ & $b$ & $c$ & $\textvisiblespace$ & $\dashv$\\
 \hline
 \hline
 $s$   & $(s,\vdash,\rightarrow)$ & $(s,a,\rightarrow)$ & $(q_1,b,\rightarrow)$& $(q_2,c,\rightarrow)$  & $(q_3,\dashv,\leftarrow)$ & \\
 \hline
 $q_1$ &  & $(r,-,-)$ & $(q_1,b,\rightarrow)$ & $(q_2,c,\rightarrow)$  & $(q_3,\dashv,\leftarrow)$ & \\
 \hline
 $q_2$ & & $(r,-,-)$ & $(r,-,-)$ & $(q_2,c,\rightarrow)$ & $(q_3,\dashv,\leftarrow)$ &\\
 \hline
 $q_3$ & $(t,-,-)$ & $(r,-,-)$ & $(r,-,-)$ & $(q_4,\textvisiblespace,\leftarrow)$  & $(q_3,\textvisiblespace,\leftarrow)$ &\\
 \hline
 $q_4$ & $(r,-,-)$ & $(r,-,-)$ & $(q_5,\textvisiblespace,\leftarrow)$ & $(q_4,c,\leftarrow)$ & $(q_4,\textvisiblespace,\leftarrow)$  &\\
 \hline
 $q_5$ & $(r,-,-)$  & $(q_6,\textvisiblespace,\leftarrow)$  & $(q_5,b,\leftarrow)$  & & $(q_5,\textvisiblespace,\leftarrow)$  &\\
 \hline
 $q_6$ & $(q_7,\vdash,\rightarrow)$& $(q_6,a,\leftarrow)$  & & & $(q_6,\textvisiblespace,\leftarrow)$ &\\
 \hline
 $q_7$ & & $(q_8,\textvisiblespace,\rightarrow)$  & $(r,-,-)$  & $(r,-,-)$ & $(q_7,\textvisiblespace,\rightarrow)$ & $(t,-,-)$ \\
 \hline
 $q_8$ & & $(q_8,a,\rightarrow)$ & $(q_9,\textvisiblespace,\rightarrow)$ & $(r,-,-)$ & $(q_8,\textvisiblespace,\rightarrow)$ & $(r,-,-)$\\
 \hline
 $q_9$ &   & & $(q_9,b,\rightarrow)$ & $(q_{10},\textvisiblespace,\rightarrow)$ & $(q_9,\textvisiblespace,\rightarrow)$ & $(r,-,-)$\\
 \hline
 $q_{10}$ & & & & $(q_{10},c,\rightarrow)$ & $(q_{10},\textvisiblespace,\rightarrow)$ & $(q_3,\dashv,\leftarrow)$\\
 \hline

\end{tabular}
\end{center}
\caption{Tabla de transiciones de la máquina de Turing.}
 \label{fig:tur2}
\end{table}

			 		
La idea es que la cinta vaya recorriendo, borrando una y otra vez, si se encuentra símbolos sin borrar cuando los correspondientes en orden ya hayan sido borrados, rechaza la cadena, si no halla ya más que vacío, acepta la cadena. Hay algunas características que no definí pero pueden verse en la tabla \ref{fig:tur2} de la página \pageref{fig:tur2}.
		 
  		

Hay que ver más ejemplos, por el momento les dejo definiciones importantes:
		
\begin{defi}
  Un lenguaje es \emph{Turing-reconocible} si alguna máquina de Turing lo reconoce.
  También se dice que es recursivamente enumerable.
\end{defi}
		
La colección de cadenas aceptadas por una máquina de Turing $T$, es el lenguaje reconocido por la máquina, $L(T)$.
		
\begin{defi}
  Un lenguaje es \emph{Turing-decidible} o simplemente \emph{decidible} si alguna máquina de Turing lo decide.
  También se dice que es recursivo.
\end{defi}
		
¿Cuál es la diferencia entre decidible o reconocible? Una cadena reconocida es aceptada por la máquina de Turing, está en su alfabeto de entrada, pero puede ser que la cadena provoque que la máquina entre a un estado de aceptación, a uno de rechazo o se quede atrapada en un ciclo infinito.
		
Quedar atrapado en un ciclo infinito es un problema, a veces no se puede saber si está en un ciclo infinito o sólo está tardando demasiado (pasa en la vida), entonces nos gustaría tener máquinas de Turing que sólo puedan entrar a estados de aceptación o rechazo, nada de ciclos infinitos (esto es muy idóneo), en ese caso, las cadenas que al entrar en una máquina de Turing sólo pueden producir estados de aceptación o rechazo, nunca ciclos infinitos, forman un lenguaje Turing-decidible, y la máquina asociada se llama total. Determinar estos lenguajes es un gran problema teórico en la mayoría de máquinas.
		
Una forma matemática de decir si una cadena es decidible:
\begin{equation*}
  (s,\vdash \alpha {\textvisiblespace}^{\infty},0) \implies^* (q,\vdash \beta {\textvisiblespace}^{\infty},n)
\end{equation*}
		
\noindent $q$ debe ser el estado $t$ (aceptación) o $r$ (rechazo), $n$ son los pasos que toma para llegar al estado de aceptación o rechazo. Lo que verá en la cinta antes de empezar será $\vdash \alpha {\textvisiblespace}^{\infty}$, con $\alpha \in \Sigma^*$ y los símbolos que ya conocemos, es una forma reducida de decir qué está escrito en la cinta, como es infinita y la cadena aceptada es finita, los espacios en blanco al final de la cinta los escribimos como $\textvisiblespace^{\infty}$. Al terminar la lectura y escritura y llegar a un estado de aceptación o rechazo, seguramente habrá alterado la cinta (como hicimos en el ejemplo anterior) y ahora hay una nueva cadena $\beta\in \Gamma^*$, en caso de que hallamos agregado símbolos nuevos como indicadores.
		
		
		
\subsection*{Otro ejemplo}
Veamos un ejemplo más, sea la máquina de Turing que decida el lenguaje $A=\{ 0^{2^n}|n\geq 0 \}$, es decir, el lenguaje con puras cadenas de $0$'s que su longitud sea una potencia de $2$.
Sea nuestra máquina $M$ y la haremos algo parecida a la del ejemplo anterior, la idea es llevar la cuenta de la cantidad de $0$'s que hay. 
\begin{enumerate}			
\item Estamos en el estado inicial $s$, si hay un sólo $0$ la idea es aceptarlo (es parte del lenguaje), pero aún hay que comprobar que es el único. Para los siguientes ceros se llevará la cuenta, por el momento, para evitar un movimiento extra hasta el borde izquierdo de la cinta el primer $0$ lo podemos sustituir por un espacio en blanco $\textvisiblespace$ y movemos la cabeza lectora a la derecha buscando más $0$'s, pasamos del estado inicial al estado $q_1$. Si la cadena está vacía o tiene cualquier otro símbolo, vamos al estado de rechazo $r$.
\item Estamos en $q_1$ y se lee un espacio en blanco, es decir, se acaba la cadena, entonces hay un sólo $0$ y se va a el estado de aceptación $t$. El estado $q_1$ será crucial para todas las cadenas aceptadas, hay que tenerlo en cuenta. Si en cambio se lee otro $0$, la cabeza escribe una $x$ sobre él, empezamos a llevar la cuenta. Cambiamos al estado $q_2$ y se mueve la cabeza lectora a la derecha. Si se lee una $x$ quiere decir que ya estamos en una de las subsecuentes vueltas de la cabeza, ya llevamos ese $0$ en la cuenta, nos quedamos en el mismo estado y la cabeza lectora se mueve a la derecha (a la izquierda ya no hay a qué ir, hay un espacio en blanco).
			
\item Vamos en el estado $q_2$, si estamos aquí es que llevamos al menos dos ceros detrás de nosotros, el siguiente $0$ que se reciba no se marca (se reescribe el $0$), pasamos al estado $q_3$ y la cabeza lectora se mueve a la derecha. Si en lugar de un $0$ se lee un espacio en blanco $\textvisiblespace$ quiere decir que llegamos a la orilla derecha de la cinta, entonces se pasa al estado $q_4$, no se altera el $\textvisiblespace$ y la cabeza empieza a moverse a la izquierda (vamos de regreso). Si se lee una $x$ es que ya pasamos por aquí al menos una vez, entonces ya se agregó ese cero a la cuenta, no se cambia lo escrito en la cinta, se queda en el mismo estado y la cabeza lectora sigue su camino a la derecha.
			
\item Estamos en el estado $q_3$, si la cabeza lectora encuentra un $0$ lo marca, es decir, lo sustituye por una $x$, regresa al estado $q_2$ y la cabeza continúa su recorrido a la derecha. Entre estos dos estados entra en un ciclo, dejando un $0$ sin marcar y marcando el siguiente, así hasta que llega al final de la cinta o sucede lo siguiente: estamos en el estado $q_3$ y la cabeza lectora encuentra el final de la cadena, eso quiere decir que llevamos un número impar de $0$'s, en definitiva no puede ser de longitud potencia de dos si es impar, se va al estado $r$, si encuentra una casilla marcada $x$ quiere decir que ya pasamos por aquí en un recorrido anterior, no se hace nada (reescribe $x$), se queda en el mismo estado y continúa su camino a la derecha.
			
\item Estamos en el estado $q_4$, recordemos que llegamos aquí porque en el estado $q_3$ dimos con el final derecho de la cadena, la cabeza ya corre hacia la izquierda y empieza a recorrer lo que ya recorrimos al menos una vez, los $0$'s y $x$'s que encuentre los deja sin alterar (los reescribe) y continúa su camino a la izquierda, se queda en el mismo estado $q_4$, pero en el momento que encuentre la orilla izquierda de la cinta (que recordarán es un $0$ que marcamos como $\textvisiblespace$) entonces regresa al estado $q_1$ sin cambiar nada de ese limite de la cinta y la cabeza vuelve a viajar hacia la derecha, vamos  darle un repasada a la cadena. Del estado $q_2$ decide si debe seguir contando (marcando con $x$) o si ya está todo marcado y se llega al final derecho de la cinta, la cadena pasa al estado $t$.
			
\end{enumerate}	
		
Escribimos la tabla con estas transiciones:
		
\begin{center}
  \begin{tabular}{ | c | c | c | c | c | c }
    \hline
    & $\vdash$ & $0$ & $x$ & $\textvisiblespace$ \\ \hline
    $s$ & $(s,\vdash,\rightarrow)$  & $(q_1,\textvisiblespace,\rightarrow)$ & $(r,-,-)$ & $(r,-,-)$ \\ \hline
    $q_1$ &  & $(q_2,x,\rightarrow)$ & $(q_1,x,\rightarrow)$ & $(t,-,-)$ \\ \hline
    $q_2$ &  & $(q_3,0,\rightarrow)$ & $(q_2,x,\rightarrow)$ & $(q_4,\textvisiblespace,\leftarrow)$ \\ \hline
    $q_3$ &  & $(q_2,x,\rightarrow)$ & $(q_3,x,\rightarrow)$ &  $(r,-,-)$ \\ \hline
    $q_4$ &  & $(q_4,0,\leftarrow)$ & $(q_4,x,\leftarrow)$ & $(q_1,\textvisiblespace,\rightarrow)$ \\
    \hline
  \end{tabular}
\end{center}  
		
Para $t$ (aceptación) y $r$ (rechazo) no hay transiciones, no las ponemos, los guiones dentro de los estados es porque ya no importa que pase con la cinta y la cabeza lectora, y los espacios en blanco son estados inaccesibles. Como no son tantos estados, podemos hacer un diagrama de estados, como se ve en la figura \ref{fig:tur3}, noten la diferencia entre $\Rightarrow$ que hace referencia a la transición, y $\rightarrow$ que es el movimiento hacia la derecha de la cabeza lectora, como ya se mencionó $-$ denota que ya no importa a dónde se mueva la cabeza lectora.
\begin{figure}[h]
  \begin{center}
    \begin{tikzpicture}%[shorten >=1pt,node distance=2cm,on grid,auto] 
      \node[state,initial,initial text= ] (S)   {$S$}; 
      \node[state,xshift=1cm,right=of S] (q_1) {$q_1$};
      \node[state,above right=of q_1] (q_4) {$q_4$};
      \node[state,below right=of q_4] (q_2) {$q_2$};
      \node[state,below=of S] (r) {$r$};
      \node[state,below=of q_1] (t) {$t$};
      \node[state,below=of q_2] (q_3) {$q_3$};
  
    			  			
      \path [-stealth,thick]
      (S) edge  node[yshift=-0.3cm]{$0\Rightarrow \textvisiblespace, \rightarrow$} (q_1)
      edge  node[xshift=-0.5cm] {$\begin{array}{c l}	
          \textvisiblespace \Rightarrow - \\
          x\Rightarrow -
        \end{array}$} (r) 
      (q_1) edge node[yshift=-0.3cm]{$0\Rightarrow x,\rightarrow$} (q_2)
      edge [loop above] node {$x\Rightarrow \rightarrow$} ()
      edge node[xshift=-0.5cm]{$\textvisiblespace \Rightarrow -$} (t)
      (q_2) edge[loop above] node{$x\Rightarrow \rightarrow$} ()
      edge [bend right] node[xshift=-0.5cm]{$0\Rightarrow \rightarrow$} (q_3)
      edge node{$\textvisiblespace \Rightarrow \leftarrow$} (q_4)
      (q_3) edge[bend right] node[xshift=0.5cm]{$0\Rightarrow x,\rightarrow$} (q_2)
      edge [loop right] node{$x\Rightarrow \rightarrow$} ()
      edge [bend left] node[yshift=0.3cm]{$\textvisiblespace \Rightarrow -$} (r)
      (q_4) edge[loop above] node{$\begin{array}{c l}	
          0 \Rightarrow \leftarrow \\
          x\Rightarrow \leftarrow
        \end{array}$} ()
      edge node{$\textvisiblespace \Rightarrow \rightarrow$} (q_1);
    \end{tikzpicture}
    \caption{Diagrama de estados de la máquina de Turing descrita.}
    \label{fig:tur3}
  \end{center}
\end{figure}
		
Esta construcción puede parecer un tanto sacada de la manga ¿cómo nos consta que funciona para el lenguaje mencionado? Pues debemos checar, por ejemplo la cadena $0000$, de acuerdo a la descripción está en el lenguaje, vamos a meterla en nuestra máquina para checar. Lo vamos viendo por pasos:
\begin{itemize}
\item[$\overset{\rightarrow}{s}0000$] Empezamos la maquina en el estado $s$ y en la orilla izquierda de la cinta. La cabeza lectora empezará a correr hacia la derecha, donde se encuentra el primer cero, el cual cambiará por un $\textvisiblespace$ y pasará al estado $q_1$.
\item[$\textvisiblespace \overset{\rightarrow}{q_1} 000$] Noten que los estados van recorriendo la cadena, pero no ocupan espacios en la cinta, la ponemos ahí para facilidad de entendimiento. Estamos en el estado $q_1$, la cabeza lectora corre hacia la derecha, donde halla un $0$, lo cambia por un $x$ (lo marca), pasa al estado $q_2$.
\item[$\textvisiblespace x \overset{\rightarrow}{q_2} 00$] Ya en el estado $q_2$ la cabeza sigue corriendo a la derecha donde encuentra otro cero, como se puede ver en el diagrama y la tabla de transiciones, en este estado de hallarse un $0$ no lo marca, se va al estado $q_3$ y la cabeza sigue corriendo a la derecha.
\item[$\textvisiblespace x0 \overset{\rightarrow}{q_3} 0$] Ahora en el estado $q_3$ la cabeza lectora corriendo hacia la derecha se encuentra un cero, por la tabla de transiciones cambia el $0$ por una $x$, regresa al estado $q_2$ y la cinta sigue corriendo hacia la derecha.
\item[$\textvisiblespace x0x \overset{\rightarrow}{q_2} \textvisiblespace$] Llegamos al final de la palabra (no habíamos puesto antes el símbolo de espacio vacío pero realmente ahí estaba al final de la cadena), estamos en el estado $q_2$, cuando esto pasa se va al estado $q_4$, deja igual escrito el espacio vacío y la cabeza lectora empieza a correr ahora hacia la izquierda (eso lo tendremos en cuenta en nuestras próximas cadenas).
\item[$\textvisiblespace x0x\overset{\leftarrow}{q_4}  \textvisiblespace$] Ahora estamos en el estado $q_4$, la cabeza lectora está corriendo a la izquierda, así que se encuentra una $x$, no la altera, se queda en el mismo estado y la cabeza sigue corriendo a la izquierda.
\item[$\textvisiblespace x0\overset{\leftarrow}{q_4}x  \textvisiblespace$] Seguimos en el estado $q_4$, la cabeza lectora corre hacia la izquierda y se encuentra un $0$, lo deja igual, se queda en el mismo estado y la cabeza lectora sigue corriendo a la izquierda.
\item[$\textvisiblespace x\overset{\leftarrow}{q_4} 0x  \textvisiblespace$]  Seguimos en el estado $q_4$, la cabeza lectora corre hacia la izquierda y se encuentra una $x$, la deja igual, se queda en el mismo estado y la cabeza lectora sigue corriendo a la izquierda.
\item[$\textvisiblespace \overset{\leftarrow}{q_4} x0x  \textvisiblespace$] En el estado $q_4$, la cabeza corre hacia la izquierda y se encuentra el espacio vacío del inicio de la cadena (el primer cero que convertimos en un $\textvisiblespace$), entonces pasa al estado $q_1$, la cabeza empieza a correr a la derecha y deja el espacio como estaba.
\item[$\textvisiblespace \overset{\rightarrow}{q_1} x0x  \textvisiblespace$] Ahora en el estado $q_1$ la cabeza corriendo a la derecha se halla una $x$ (un cero que marcamos en un paso anterior), se queda en el mismo estado, la cabeza corre a la derecha y no se cambia nada en la cinta.
\item[$\textvisiblespace  x\overset{\rightarrow}{q_1}0x  \textvisiblespace$] Estamos en el estado $q_1$, la cabeza lectora corre hacia la derecha, donde halla un $0$, lo cambia por un $x$ (lo marca), pasa al estado $q_2$.
\item[$\textvisiblespace  xx\overset{\rightarrow}{q_2}x  \textvisiblespace$] Ahora en el estado $q_2$ la cabeza corriendo a la derecha se halla una $x$ (un cero que marcamos en un paso anterior), se queda en el mismo estado, la cabeza corre a la derecha y no se cambia nada en la cinta.
\item[$\textvisiblespace  xxx\overset{\rightarrow}{q_2}  \textvisiblespace$] Llegamos al final de la palabra, estamos en el estado $q_2$, cuando esto pasa se va al estado $q_4$, deja igual escrito el espacio vacío y la cabeza lectora empieza a correr ahora hacia la izquierda.
\item[$\textvisiblespace  xxx\overset{\leftarrow}{q_4}  \textvisiblespace$] En el estado $q_4$, la cabeza lectora corre a la izquierda, se encuentra una $x$, no la altera, se queda en el mismo estado y la cabeza sigue corriendo a la izquierda.
\item[$\textvisiblespace  xx\overset{\leftarrow}{q_4}x  \textvisiblespace$] Lo mismo del inciso anterior.
\item[$\textvisiblespace  x\overset{\leftarrow}{q_4}xx  \textvisiblespace$] Lo mismo del inciso anterior.
\item[$\textvisiblespace  \overset{\leftarrow}{q_4}xxx  \textvisiblespace$] Llegamos a la orilla izquierda de la cadena, se pasa al estado $q_1$ y la cabeza corre a la derecha.
\item[$\textvisiblespace \overset{\rightarrow}{q_1} xxx  \textvisiblespace$] Ahora en el estado $q_1$ la cabeza corriendo a la derecha se halla una $x$ (un cero que marcamos en un paso anterior), se queda en el mismo estado, la cabeza corre a la derecha y no se cambia nada en la cinta.
\item[$\textvisiblespace  x\overset{\rightarrow}{q_1}xx  \textvisiblespace$] Lo mismo del inciso anterior.
\item[$\textvisiblespace  xx\overset{\rightarrow}{q_1}x  \textvisiblespace$] Lo mismo del inciso anterior.
\item[$\textvisiblespace  xxx\overset{\rightarrow}{q_1}  \textvisiblespace$] Estamos en $q_1$, la cabeza corre a la derecha y se encuentra un espacio vacío, la máquina pasa al estado de aceptación y ya no importa que pase con la cabeza lectora y la cinta, ya llegó a su fin la máquina y la cadena fue aceptada.
\item[$\textvisiblespace  xxx\textvisiblespace r$] Fin, cadena aceptada.
			
\end{itemize}
		
Prueben con cadenas más grandes, pero ya se pueden dar una idea de como funciona la máquina, es un proceso recursivo que va dividiendo a mitades la cadena y checando que cada mitad tenga la longitud igual a una potencia de $2$.

\section*{Un ejemplo con más de una cinta}

\textbf{Construir una máquina de Turing que cheque si una cadena binaria es un palíndromo.}

Esquematiuzo los pasos a seguir de esta forma:
\begin{itemize}
\item Máquina de dos cintas, la entrada está en la primera cinta.
\item Copiar la entrada de la primera cinta a la segunda.
\item Regresa la cabeza lectora en la primera cinta al inicio
\item Empieza a mover en sentidos contrarios para comparar, borrando cada carácter que coincida en la segunda cinta.
\end{itemize}

Las funciones de transición quedarían de la forma:

\begin{multicols}{2}
  \begin{align*}
    \text{Cinta 1: } &\delta(s,0)\rightarrow (s,0,\rightarrow) \\
    \text{Cinta 2: } &\delta(s,\textvisiblespace)\rightarrow (s,0,\rightarrow) \\
    \hline
    \text{Cinta 1: } &\delta(s,1)\rightarrow (s,1,\rightarrow) \\
    \text{Cinta 2: } &\delta(s,\textvisiblespace)\rightarrow (s,1,\rightarrow)\\
    \hline
    \text{Cinta 1: } &\delta(s,\textvisiblespace)\rightarrow (q_1,\textvisiblespace,\leftarrow)\\
    \text{Cinta 2: } &\delta(s,\textvisiblespace)\rightarrow (q_1,\textvisiblespace,-) \\
    \text{Cinta 1: } &\delta(q_1,0)\rightarrow (q_0,0,\leftarrow) \\
    \text{Cinta 2: } &\delta(q_1,\textvisiblespace)\rightarrow (q_1,\textvisiblespace,-) \\
    \hline
    \text{Cinta 1: } &\delta(q_1,1)\rightarrow (q_1,1,\leftarrow) \\
    \text{Cinta 2: } &\delta(q_1,\textvisiblespace)\rightarrow (q_1,\textvisiblespace,-)\\
    \hline
    \text{Cinta 1: } &\delta(q_1,\textvisiblespace)\rightarrow (q_2,\textvisiblespace,\rightarrow) \\
    \text{Cinta 2: } &\delta(q_1,\textvisiblespace)\rightarrow (q_2,\textvisiblespace,\leftarrow)
  \end{align*}
    
  \begin{align*}
    \text{Cinta 1: } &\delta(q_2,0)\rightarrow (q_2,0,\rightarrow) \\
    \text{Cinta 2: } &\delta(q_2,0)\rightarrow (q_2,\textvisiblespace,\leftarrow)\\
    \hline
    \text{Cinta 1: } &\delta(q_2,1)\rightarrow (q_2,1,\rightarrow) \\
    \text{Cinta 2: } &\delta(q_2,1)\rightarrow (q_2,\textvisiblespace,\leftarrow)\\
    \hline
    \text{Cinta 1: } &\delta(q_2,0)\rightarrow (r,-,-) \\
    \text{Cinta 2: } &\delta(q_2,1)\rightarrow (r,-,-)\\
    \hline
    \text{Cinta 1: } &\delta(q_2,1)\rightarrow (r,-,-) \\
    \text{Cinta 2: } &\delta(q_2,0)\rightarrow (r,-,-)\\
    \hline
    \text{Cinta 1: } &\delta(q_2,\textvisiblespace)\rightarrow (t,-,-) \\
    \text{Cinta 2: } &\delta(q_2,\textvisiblespace)\rightarrow (r,-,-)
  \end{align*}
\end{multicols}

\section*{Otro ejemplo, contando cadenas iguales}
\textbf{Construir una máquina de Turing que acepte dos cadenas iguales, sin separación distinguible del alfabeto $\{0,1\}$}.
De nueva cuenta listo los pasos a seguir:
\begin{enumerate}
\item Checar que la longitud de la cadena sea múltiplo de $2$ (primer barrido)
\item En el camino de regreso marcar el último carácter, identificando si es $0$ o $1$ y llevar la cuenta, para los demás caracteres no cambiar.
\item Al llegar al inicio de la cadena, o al primer carácter marcado reiniciar el proceso
\item Al repetir se llegará al punto en que todo está marcado, ahí nos aseguramos donde está la mitad de la cadena, ahora sí comparar
\end{enumerate}

La tabla de transiciones:

\begin{center}
  \begin{tabular}{ | c | c | c | c | c | c | c |}
    \hline
    & $\vdash$ & $0$ & $1$ & $X$ & $Y$ & $\textvisiblespace$ \\ \hline
    $s$ & $(s,\vdash,\rightarrow)$  & $(q_1,0,\rightarrow)$ & $(q_1,1,\rightarrow)$ &  &  & $(q_2,\textvisiblespace,\leftarrow)$\\ \hline
    $q_1$ &  & $(s,0,\rightarrow)$ & $(s,1,\rightarrow)$ & & & $(r,-,-)$ \\ \hline
    $q_2$ & $(t,-,-)$  & $(q_3,X,\leftarrow)$ & $(q_3,Y,\leftarrow)$ & $(q_5,X,\rightarrow)$ & $(q_5,Y,\rightarrow)$ & \\ \hline
    $q_3$ & $(q_4,\vdash,\rightarrow)$  & $(q_3,0,\leftarrow)$ & $(q_3,1,\leftarrow)$ & $(q_4,X,\rightarrow)$ & $(q_4,Y,\rightarrow)$ &  \\ \hline
    $q_4$ &  & $(q_4,X,\rightarrow)$ & $(q_4,Y,\rightarrow)$ & $(q_2,X,\leftarrow)$  & $(q_2,Y,\leftarrow)$ & \\ \hline
    $q_5$ &  &  &  & $(q_6,0,\leftarrow)$ & $(q_7,1,\leftarrow)$ & \\ \hline
    $q_6$ & $(q_8,\vdash,\rightarrow)$  & $(q_6,0,\leftarrow)$  & $(q_6,1,\leftarrow)$  & $(q_6,X,\leftarrow)$ & $(q_6,Y,\leftarrow)$ & $(q_8,\textvisiblespace,\rightarrow)$\\ \hline
    $q_7$ & $(q_9,\vdash,\rightarrow)$  & $(q_7,0,\leftarrow)$  & $(q_7,1,\leftarrow)$  & $(q_7,X,\leftarrow)$ & $(q_7,Y,\leftarrow)$ & $(q_9,\textvisiblespace,\rightarrow)$ \\ \hline
    $q_8$ & & & & $(q_{10},\textvisiblespace,\rightarrow)$ & $(r,-,-)$ & \\ \hline
    $q_9$ & & & & $(r,-,-)$ & $(q_{10},\textvisiblespace,\rightarrow)$ &  \\ \hline
    $q_{10}$ & & $(q_{11},a,\rightarrow)$ & $(q_{11},b,\rightarrow)$ & $(q_{10},X,\rightarrow)$ & $(q_{10},Y,\rightarrow)$ & \\ \hline
    $q_{11}$ & $(q_{11},a,\rightarrow)$ & $(q_{11},b,\rightarrow)$ & $(q_6,0,\leftarrow)$ & $(q_7,1,\leftarrow)$ & $(t,-.-)$ \\ \hline
    \hline
  \end{tabular}
\end{center}



\section*{Recomendación de lectura referente a máquinas de Turing}
Les dejo una recomendación para leer, no es un libro de ciencia ni de texto, menos divulgativo, es una novela policiaca.
		
Quizá conozcan una famosa serie de películas y novelas suecas, con \emph{remake} estadounidense y una más reciente película que según dicen no se apega a la historia original, llamada Milennium: "Los hombres que no amaban a las mujeres", "La chica que soñaba con una cerilla y un bidón de gasolina", "La reina en el palacio de las corrientes de aire" (estas tres novelas son de Stieg Larsson, periodista y escritor sueco, también fueron hechas película en Suecia, y la primera tiene una version estadounidense, aunque grabada en Suecia, valen la pena), "Lo que no te mata te hace más fuerte", "El hombre que perseguía su sombra" y "La chica que vivió dos veces" (estas últimas tres el autor original no las terminó, falleció incluso antes de que se publicaran las primeras tres, David Lagercrantz fue el escritor designado por la editorial para terminar la serie, de estas últimas tres hubo una supuesta adaptación no muy clara).
		
Son novelas policiacas que al parecer son muy populares en Suecia, a diferencia de las series y películas policiacas de Estados Unidos (y otros países que los siguen muy de cerca) los héroes no son detectives o policías honestos y honrados, o que de menos caigan bien (eso no suele suceder en la mayoría de países), son periodistas, y en esta serie en específico, un periodista y una \emph{hacker}. Yo no he leído estas novelas, son muy extensas, quizá algún día. Lo interesante aquí es el autor de las últimas tres.
		
David Lagercrantz fue elegido por la editorial, en una maniobra plenamente comercial, para terminar la serie dado el éxito de un libro policiaco que escribió antes: "El enigma de Turing". Recabando algunos datos históricos, incluso con una excelente y muy bien explicada sección sobre el \emph{Entscheidungsproblem}, Lagercrantz altera un poco la historia para contarla como una novela policiaca, donde Turing aparece en las anécdotas y las historias referentes a él (no es un personaje activo en la novela). 
		
La novela, muy al gusto Sueco diría yo, es algo extensa, muy rica en descripciones, en generar el ambiente (en ocasiones se aleja demasiado de la historia para contar cosas aparentemente secundarias) pero al final justo salta la intriga, hay un poco de acción aunque no hay pistolas y solo un poco de sangre. Hay una adaptación cinematográfica, que no es mala, aunque un poco absurda en ciertas cosas, la novela es mucho mejor y va más allá de lo que cuenta la película.
		
Dirán: "Si bueno, mucha recomendación, ¿pero de donde la voy a sacar? Ha de ser costosa (seguramente es edición española), quién sabe si haya en las librerías cerca de casa y prefiero no salir a buscarla". Eso no es problema, si les interesa y tiene la posibilidad de leer en un lector electrónico, su celular o tableta (hay aplicaciones o en la misma configuración que les ayuda a hacer más tolerable la luz de la pantalla) o en la computadora (asegúrense de descansar la vista) yo se las presto muy amablemente, de cuates (no somos piratas porque no robamos barcos, yo ni nadar sé, no le robamos nada a nadie), el libro electrónico.
		
Descarguen el libro de: \url{https://www.dropbox.com/s/f010wkl7usewzet/Lagercrantz%2C%20David%20-%20El%20enigma%20Turing%20%5B36660%5D%20%28r1.2%29.epub?dl=0}. Esta en formato epub, hay varias aplicaciones libres para celular, tableta y computadora para leerlo.
		  
		
\begin{thebibliography}{10}
\bibitem{Kozen} Kozen, Dexter C. ``Automata and Computability'' Springer (1997)
\bibitem{Sipser} Sipser, Michael ``Introduction to the Theory of Computation'' 2a ed., Thomson Course Tecnology (2006)
  
\end{thebibliography}		
		
\end{document}
