actualizacion Turing 2

maquinas_turing.tex

@@ -349,7 +349,9 @@ La tabla de transiciones:
     $q_{11}$ & $(q_{11},a,\rightarrow)$ & $(q_{11},b,\rightarrow)$ & $(q_6,0,\leftarrow)$ & $(q_7,1,\leftarrow)$ & $(t,-.-)$ \\ \hline
     \hline
   \end{tabular}
-\end{center}  
+\end{center}
+
+
 
 \section*{Recomendación de lectura referente a máquinas de Turing}
 Les dejo una recomendación para leer, no es un libro de ciencia ni de texto, menos divulgativo, es una novela policiaca.

maquinas_turing_2.tex

@@ -213,6 +213,53 @@ Por ejemplo $FIN$ que vimos en la sección anterior es monótono, todo subconjun
 
 Ya de ese más o menos pueden hacer la demostración.
 
+\section*{Jerarquía aritmética}
+
+Hasta el momento hemos encontrado un problema paradigmático para establecer los limites de lo que es computable y lo que no, el problema de la detención (H.P. por sus siglas en inglés). A partir de él podemos catalogar el resto de problemas que nos encontremos si H.P. o su complemento, \~H.P. puede reducirse a ese otro problema.
+
+Decimos que un problema $B$ es Turing reducible a $A$, y lo escribimos $A\leq_T B$. De acuerdo a esa relación podemos clasificar los tipos de lenguaje como:
+
+\begin{itemize}
+\item $\Sigma_1^0$ = \{ lenguajes recursivamente enumerables\}
+\item $\Delta_1^0$ = \{ lenguajes recursivos\}
+\item $\Sigma_{n+1}^0$ = \{lenguajes recursivamente enumerables en algún $L\in \Sigma_n^0$\}
+\item $\Delta_{n+1}^0$ = \{lenguajes recursivos en algún $L\in \Delta_n^0$\}
+  \item $\Pi_n^0$ = \{complemento de lenguajes en $\Sigma_n^0$\}
+\end{itemize}
+
+Esto se puede verbalizar en forma sintáctica como:
+
+\emph{Un lenguaje es recursivamente enumerable si y sólo si existe una propiedad $R$ decidible de pares de cadenas tal que $L=\{\alpha | \exists \beta\text{ tal que }R(\alpha,\beta)\}$}.
+
+De esta forma se puede escribir nuestro problema paradigmático como:
+
+\begin{equation*}
+  HP = \{ \langle M\#\alpha\rangle | \exists x. M \text{ se detiene con }\alpha\text{ en }x\text{ pasos}\}
+\end{equation*}
+
+Y el problema de la pertenencia:
+
+\begin{equation*}
+  MP = \{ \langle M\#\alpha\rangle | \exists x. M \text{ acepta a }\alpha\text{ en }x\text{ pasos}\}
+\end{equation*}
+
+Sabemos que ambos problemas son recursivamente enumerables, en este caso podemos identificarlo con sólo escribir el enunciado de la forma mencionada:
+
+\begin{itemize}
+\item Un lenguaje $L$ está en $\Sigma_n^0$ si y sólo si existe una propiedad $R$ $(n+1)$-aria\footnote{Es decir, una propiedad es binaria si sólo es para un miembro en relación a la cadena mencionada: $R(\alpha, \beta)$. Sería terciaria si s relación a otros dos objetos: $R(\alpha,\beta,\gamma)$, etc.} decidible tal que
+  \begin{equation*}
+    L=\{ \alpha| \exists \beta_1. \forall \beta_2...\beta_n R(\alpha,\beta_1...,\beta_n)\}
+  \end{equation*}
+\item Un lenguaje $L$ está en $\Pi_n^0$ si y sólo si existe una propiedad $R$ $(n+1)$-aria decidible tal que
+  \begin{equation*}
+    L=\{ \alpha| \forall \beta_1. \exists \beta_2...\beta_n R(\alpha,\beta_1...,\beta_n)\}
+  \end{equation*}
+\item Finalmente $\Delta_n^0 = \Sigma_n^0 \cap \Pi_n^0$
+\end{itemize}
+
+De esta forma, todos los problemas que son recursivamente enumerables pueden escribirse de la primera forma, y los que no son ni siquiera recursivamente enumerables, de la segunda forma.
+
+
 \begin{thebibliography}{10}
 \bibitem{Kozen} Kozen, Dexter C. ``Automata and Computability'' Springer (1997)
 \bibitem{Sipser} Sipser, Michael ``Introduction to the Theory of Computation'' 2a ed., Thomson Course Tecnology (2006)