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\author{Física Nuclear y subnuclear }
\title{Física Nuclear I}
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\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

%\begin{frame}{Contenido}
%	\tableofcontents
%\end{frame}
\section*{Física nuclear}
\begin{frame}{Núcelo atómico}
  \begin{itemize}
  \item Rutherford, Geiger y Marsden descubren el núcleo, piensan que sólo son protones
  \item Tras repetir el experimento se percibe que no sólo son protones
  \item 1932 Chadwick descubre el neutrón
  \item El núcleo es un objeto compuesto
  \end{itemize}
\end{frame}
	
\begin{frame}{Etiquetado}
  ${}^AX^Z$, ($X=\text{H, C, Mg, U,...}$)
  \begin{itemize}
  \item \emph{Isótopo}: núcleos con el mismo número de protones pero distinto número de nucleones, ${}^AX^Z$ y ${}^{A'}{X}^{Z}$ son isótopos del núcleo $X$.
  \item \emph{Isóbaros}: núcleos con el mismo número de nucleones pero distinto número de protones, ${}^AX^Z$ y ${}^{A}{X'}^{Z'}$ son isóbaros.
  \item \emph{Isómeros o resonancias}: núcleos exitados a niveles más altos de energía.
  \end{itemize}
  
\end{frame}

\begin{frame}{Masa del núcleo}
  $M({}^AX^Z) = M(A,Z) = Zm_p + (A-Z)m_n$
  Experimentalmente aparece menos masa
  
  \begin{equation*}
    M(A,Z)< Zm_p + (A-Z)m_n 
  \end{equation*}

\end{frame}

\begin{frame}{Defecto de masa y energía de enlace}
	
  \begin{equation*}
    \Delta M(A,Z) = M(A,Z) - Zm_p - (A-Z)m_n,
  \end{equation*}
  
  \begin{equation*}
    B.E. = \Delta M(A,Z)c^2
  \end{equation*}
	
\end{frame}

\begin{frame}{Energía de enlace y masa}
  ?`Qué signo tiene la energía de enlace?
  \begin{equation*}
    M(A,Z) = Zm_p + (A-Z)m_n + B.E.
  \end{equation*}
  
  ?`Cuándo es más ligado el núcleo? ?`Cómo se vería para un núcleo inestable?
  
  Un término útil
	
  \begin{equation*}
    \frac{B}{A} = \frac{-B.E.}{A} = \frac{-\Delta M(A,Z)c^2}{A} 
  \end{equation*}

\end{frame}

\begin{frame}{Energía de enlace promedio}
  \begin{figure}[ht!]
    \begin{center}
      \includegraphics[width=0.7\linewidth]{binding.png}
      \caption{Gráfica de energía de enlace por nucleón contra número de nucleones $A$ en el núcleo. Imagen de dominio público}
      \label{fig:binding}
    \end{center}
  \end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}{Exceso de masa}
  Un valor listado en tablas
  \begin{equation*}
    \delta (A,Z) = [M(Z,A)[uma] - A]keV/c^2\ c^2
  \end{equation*}
  La masa
  \begin{equation*}
    M(Z,A) = \delta (A,Z) + A[uma\rightarrow keV/c^2]
  \end{equation*}
	
	
\end{frame}

\begin{frame}{Energía de enlace en términos de excesos de masa}
  \begin{align*}
    B.E. =& M(A,Z) - Zm_p - (A-Z)m_n \\
    =& (\delta(A,Z) + A) - Z(\delta(1,1) + 1) - (A-Z)(\delta(1,0)+1) \\
    =& \delta(A,Z) + A -Z\delta(1,1) - Z - A\delta(1,0) - A + Z\delta(1,0) +Z \\
    =& \delta(A,Z) -Z\delta(1,1) - (A-Z)\delta(1,0)
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Ejemplo con ${}^{14}C^6$}
  Excesos de masa (de \url{https://www-nds.iaea.org/amdc/ame2016/mass16.txt})
  \begin{align*}
    \delta(14,6) =& 3019.8927\ keV \\
    \delta(1,1) =& 7288.97061\ keV \\
    \delta(1,0) =& 8071.31713\ keV
  \end{align*}
	
\end{frame}

\begin{frame}{Calculo de la energía de enlace}
  \begin{align*}
    B.E. =& \delta(14,6) -6\delta(1,1) - 8\delta(1,0) \\
    =& 3019.8927keV - 6(7288.97061keV) - 8(8071.31713keV) \\
    =& -105284.4680 keV
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Energía de separación del último protón}
  \begin{align*}
    B.E.(A,Z) - B.E.(A-1,Z-1) =& \delta(A,Z) -Z\delta(1,1) - (A-Z)\delta(1,0)\\
    & - (\delta(A-1,Z-1) -(Z-1)\delta(1,1) - ((A-1)-(Z-1))\delta(1,0) \\
    =& \delta(A,Z)-\delta(A-1,Z-1) - \delta(1,1)
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Tamaño del núcleo}
  Al ser un sistema cuántico el tamaño es el valor promedio del operador de coordenada en un estado propio.
  \begin{equation*}
    r_0^{min} = \frac{ZZ'e^2}{E}
  \end{equation*}
  \begin{equation*}
    R_{Au} \lesssim 3.2\times 10^{-12}cm. \text{ y } R_{Ag} \lesssim 2\times 10^{-12} cm
  \end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}{Tamaño del núcleo por electrones}
  Partícula pesada a mayor energía $r_0^{min} \rightarrow 0$
	
  \begin{equation*}
    F(\overrightarrow{q}) = \int_\text{todo el espacio} d^3 r \rho (\overrightarrow{r}) e^{\frac{i}{\hbar}\overrightarrow{q}\cdot \overrightarrow{r}}
  \end{equation*}
  
  \begin{equation*}
    \frac{d\sigma}{dq^2} = |F(\overrightarrow{q})|^2 \left( \frac{d\sigma}{dq^2} \right)_{Mott}
  \end{equation*}	
	
  \begin{equation*}
    \left( \frac{d\sigma}{d\Omega} \right)_{Mott} = 4cos^2\frac{\theta}{2} \left( \frac{d\sigma}{d\Omega} \right)_{Rutherford}
  \end{equation*}
	
\end{frame}

\begin{frame}{Tamaño del núcleo por hadrones}
  \begin{itemize}
  \item Protones y piones
  \item Estructura por fuerza nuclear fuerte
  \end{itemize}
	
  \begin{align*}
    R &= r_0 A^{\frac{1}{3}} \\
    &\approx 1.2\times 10^{-13} A^{\frac{1}{3}}cm.= 1.2A^{\frac{1}{3}}fm. 
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Un ejemplo}
  Núcleo de ${}^{197}Au^{79}$
  \begin{align*}
    R &= r_0 (197)^{\frac{1}{3}} \\
    &\approx 1.2(197)^{\frac{1}{3}}fm = 6.9824 fm 
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Espines nucleares}
  \begin{itemize}
  \item $\frac{1}{2}\hbar$ para protón y neutrón
  \item Momento angular orbital entero
  \item Momento angulr total $\mathbf{J}$
    \begin{itemize}
    \item Núcleos con número atómico par tienen espín nuclear entero
    \item Núcleos con número atómico impar tienen espín nuclear semi-entero
    \item Núcleos con número par de protones y número par de protones (par-par) tienen espín nuclear cero
    \item Núcleos muy grandes tienen espín nuclear muy pequeño en su estado base
    \item Hace pensar que los nucleones dentro del núcleo están fuertemente apareados
    \end{itemize}
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Momneto dipolar}
  \begin{equation*}
    \overrightarrow{\mu} = g\frac{e}{2mc}\overrightarrow{S},
  \end{equation*}	
  
  El magnetón nuclear
  \begin{equation*}
    \mu_N = \frac{e\hbar}{2m_pc},
  \end{equation*}	
  
  Obtenemos
  \begin{equation*}
    \mu_p \approx 2.79\mu_N, \ \mu_n \approx -1.91\mu_N.
  \end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}{Estabilidad nuclear}
  \begin{itemize}
  \item $A\lesssim 40 \Rightarrow N=Z=A/2$
  \item Núcleos más pesados $\Rightarrow N\approx 1.7Z$
  \end{itemize}
  \begin{table}[ht!]
    \begin{tabular}{lll}
      N & Z & Número de núcleos estables   \\
      Par & Par & $156$   \\
      Par & Impar &  $48$  \\
      Impar & Par & $50$  \\
      Impar & Impar & $5$ 
    \end{tabular}
  \end{table} 
\end{frame}

\begin{frame}{Inestabilidad de los núcleos}
  Radiactividad
  \begin{itemize}
  \item $\alpha$, núcelos de ${}^4He^2$
  \item $\beta$, electrones
  \item $\gamma$, fotones de muy alta energía
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Fuerza nuclear}
  \begin{figure}[ht!]
    \begin{center}
      \includegraphics[width=0.7\linewidth]{potencial_nuclear.jpg}
      \caption{Esquema del potencial nuclear. Tomado del libro de Das y Ferbel}
      \label{fig:binding}
    \end{center}
  \end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Modelos nucleares}
  \begin{itemize}
  \item Modelos empíricos
  \item Modelos de partícula independiente
  \item Modelos de interacción fuerte
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Modelo de la gota}
  \begin{itemize}
  \item Modelo de interacción fuerte
  \item Esfera
  \item Icompresible
  \item Fisión: se divide en dos gotas más pequeñas
  \item Nucleones como moléculas de agua
  \item Tensión superficial
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Energía de ligadura en modelo de la gota}
	\begin{equation*}
		B.E. = -a_1 A + a_2 A^{\frac{2}{3}} + a_3 \frac{Z^2}{A^{\frac{1}{3}}} + a_4\frac{(N-Z)^2}{A} \pm a_5A^{-\frac{3}{4}},
	\end{equation*} 
	\begin{align*}
		a_1\approx 15.5\ MeV, \ \ a_2 &\approx 16.8\ MeV, \ \  a_3 \approx 0.72\ MeV, \\
		a_4 &\approx 23.3\ MeV, \ \ a_5 \approx 34\ MeV.
	\end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Fórmula semi-empírica de Bethe-Weiszäcker}
	\begin{equation*}
		M(A,Z) = Zm_p + (A-Z)m_n + \frac{B.E.}{c^2}
	\end{equation*}	
	
	\begin{align*}
		M(A,Z) =& Zm_p + (A-Z)m_n -\frac{a_1}{c^2}A \\
				&+ \frac{a_2}{c^2} + \frac{a_3}{c^@} \frac{Z^2}{A^{\frac{1}{3}}} + \frac{a_4}{c^2}\frac{(N-Z)^2}{A} \pm \frac{a_5}{c^2}A^{-\frac{3}{4}}
	\end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Modelo de gas de Fermi}
	\begin{itemize}
		\item Modelo de partícula independiente
		\item Agrega la parte cuántica
		\item Gas de fermiones confinado en el núcleo
		\item Niveles de energía
		\item Pozos distintos para protones y neutrones
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Energía de Fermi}
	\begin{figure}[ht!]
		\begin{center}
  			\includegraphics[width=0.7\linewidth]{fermi.jpg}
  				\caption{Esquema de los pozos de potencial en el modelo de Fermi. Figure by \href{https://flic.kr/p/6KjVBz}{MIT OpenCourseWare from Marmier and Sheldon}, con licencia \href{https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/}{CC-BY-NC-SA}}
  			\label{fig:binding}
  		\end{center}
	\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Profundidad de pozo}
	\begin{equation*}
		E_F = \frac{p_F^2}{2m}
	\end{equation*}
	\begin{equation*}
		V_{p_F} = \frac{4\pi}{3} p_F^3
	\end{equation*}
	\begin{align*}
		V_{TOT} =& V\times V_{p_F} = \frac{4\pi}{3}r_0^3A \times \frac{4\pi}{3}p_F^3 	\\
			=& \left( \frac{4\pi}{3} \right)^2 A (r_0 p_F)^3	
	\end{align*}
	
\end{frame}

\begin{frame}{Espacio fase}
	\begin{figure}[ht!]
		\begin{center}
  			\includegraphics[width=0.5\linewidth]{fase.jpg}
  				\caption{El espacio fase, imagen de \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Brews_ohare}{Brews ohare} con licencia \href{https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.en}{CC-BY-SA}}
  			\label{fig:fase}
  		\end{center}
	\end{figure}	
\end{frame}

\begin{frame}{Energía de Fermi y profundidad}
	\begin{equation*}
		\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}
	\end{equation*}
	\begin{equation*}
		V_{estado} = (2\pi \hbar)^3 = h^3
	\end{equation*}
	\begin{equation*}
		n_F = 2\frac{V_{TOT}}{(2\pi\hbar)^3} =  \frac{2}{(2\pi\hbar)^3} \left( \frac{4\pi}{3} \right)^2 A (r_0 p_F)^3 = \frac{4}{9\pi}A \left( \frac{r_0 p_F}{\hbar} \right)^3,
	\end{equation*}
	\begin{align*}
		N=Z=\frac{A}{2} =& \frac{4}{9\pi}A \left( \frac{r_0 p_F}{\hbar} \right)^3 \\
		\text{despejando } p_F =& \frac{\hbar}{r_0} \left( \frac{9\pi}{8} \right)^{\frac{1}{3}}.
	\end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Profundidad del pozo}
	\begin{align*}
		E_F = \frac{p_F^2}{2m} = \frac{1}{2m} \left( \frac{\hbar}{r_0} \right)^2 \left( \frac{9\pi}{8} \right)^{\frac{2}{3}}\approx 33\ MeV
	\end{align*}
	\begin{equation*}
		V_0 = E_F + \frac{B}{A} \approx 40\ MeV
	\end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}{Modelo de capas atómico}
	\begin{itemize}
		\item Modelo de partícula independiente
		\item Estados de energía etiquetados por $n$
		\item Degeneraciones con el número cuántico $\ell =  0,1,2,...,n-1$
		\item $2\ell +1$ subestados
		\item Espín $s$ con $2s+1$ proyecciones
		\item ($n$, $\ell$, $m_{\ell}$, $m_s$)
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Estados degenerados}
	\begin{align*}
		n_d &= 2\sum_{\ell=0}^{n-1} (2\ell + 1) \\
		&= 2 \left( 2\sum_{\ell=0}^{n-1} \ell + 1 \right) \\
		&= 2 \left( 2 \times \frac{1}{2} n(n-1) + n \right) \\
		&= 2(n^2-n+n) = 2n^2
	\end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Rompimiento de la degeneración}
	\begin{itemize}
		\item Dirección preferencial del espacio
		\item Campo magnético en la dirección $z$
		\item La energía depenede de $m_{\ell}$ y $m_s$
		\item Al potencial se agrega $-\overrightarrow{\mu}\cdot \overrightarrow{B}$
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Acoplamiento espín-órbita}
	\begin{itemize}
		\item El campo magnético se debe al momento angular del núcleo
		\item Rompe otras degeneraciones
		\item Estructura fina
		\item Tengase en cuenta para física nuclear
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Esquema de rompimientos}
	\begin{itemize}
		\item $n$ niveles de energía con subcapas $\ell$
		\item $\ell$ muy grande provoca átomos menos esféricos y menos estables
		\item Todas las capas y subcapas llenas
		\begin{itemize}
			\item Suma $m_{\ell}$ es cero
			\item Suma $m_s$ es cero
		\end{itemize}
		\item $\overrightarrow{J} = \overrightarrow{L} + \overrightarrow{S}=0$
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Números mágicos}
	\begin{itemize}
		\item Atómicos: $Z=2,10, 18,36,54,$
		\item Nucleares: 
		\begin{align*}
		N =& 2,8,20,28,50,82,126 \\
		Z =& 2,8,20,28,50,82.
	\end{align*}
	\end{itemize}
	${}^4He^2$, ${}^{16}O^8$, ${}^{208}Pb^{82}$		
\end{frame}

\begin{frame}{Ecuación de Schrödinger nuclear}
	\begin{itemize}
		\item En el núcleo a diferencia del átomo no tenemos un núcleo central que provee la energía de enlace
		\item Debemos considerar entonces un potencial central efectivo
		\item La fuerza nuclear no es tan bien entendida como la fuerza coulombiana del átomo.
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Ecuación de Schrödinger nuclear}
	\begin{align*}
		\left( -\frac{\hbar^2}{2m}\overrightarrow{\nabla}^2 + V(\overrightarrow{r}) \right) \psi(\overrightarrow{r}) =& E \psi(\overrightarrow{r}) \\
		\text{ó } \left( \overrightarrow{\nabla}^2 + \frac{2m}{\hbar^2}(E-V(\overrightarrow{r}))  \right) \psi(\overrightarrow{r}) =& 0, 
	\end{align*}
	
	\begin{equation*}
		\overrightarrow{\nabla}^2 = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}r^2\frac{\partial}{\partial r} - \frac{1}{\hbar^2 r^2} \overrightarrow{L}^2,
	\end{equation*}
	$\hbar^2 \ell (\ell + 1)$
\end{frame}

\begin{frame}{Pozo de potencial infinito}
	\begin{equation*}
		V(\overrightarrow{r})=\begin{cases}
		\infty \quad &\text{si } r\geq R \\
		0 \quad &\text{de otra forma,} \\
		\end{cases}
	\end{equation*}
	
	\begin{equation*}
		\left( \frac{d^2}{dr^2} + \frac{2m}{\hbar^2} \left( E_{n\ell} - \frac{\hbar \ell(\ell + 1)}{2mr^2} \right) \right) u_{n\ell}(r) = 0
	\end{equation*}	
	$u_{n\ell}(r) = j_{\ell}(k_{n\ell}r)$
	
	\begin{equation*}
		k_{n\ell} = \sqrt{\frac{2mE_{n\ell}}{\hbar^2}}.
	\end{equation*}	
	
\end{frame}

\begin{frame}{Ecuación radial}
	\begin{align*}
		u_{n\ell}(R) =& j_{\ell}(k_{n\ell}R) = 0,\\ 
		&\ell= 0,1,2,3,...\ y\ n=1,2,3,...\text{ para cualquier } \ell
	\end{align*}	
	
	\begin{equation*}
		\mathbf{2}, 2+6=\mathbf{8}, 8+10=\mathbf{18}, 18+14=\mathbf{32}, 32+18=\mathbf{50},... 
	\end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}{Oscilador armónico}
	\begin{equation*}
		V(r) = \frac{1}{2} m\omega^2 r^2,
	\end{equation*}
	
	\begin{equation}
		\left( \frac{d^2}{dr^2} + \frac{2m}{\hbar^2} \left( E_{n\ell} -\frac{1}{2} m\omega^2 r^2 - \frac{\hbar^2 \ell (\ell + 1)}{2mr^2} \right) \right) u_{n\ell} = 0.
	\end{equation}
	
	Solución: polinomios de Laguerre
	
	\begin{equation*}
		E_{n\ell} = \hbar \omega \left( 2n + \ell -\frac{1}{2} \right),\ n=1,2,3,..\ y\ \ell=0,1,2,...\text{ para }n.
	\end{equation*}
	
\end{frame}

\begin{frame}{Oscilador armónico}
	$\Lambda=2n+\ell-2$
	\begin{equation*}
		E_{n\ell} = \hbar \omega \left( \Lambda + \frac{3}{2} \right),\ con\ \Lambda = 0,1,2,...,
	\end{equation*}
	
	\begin{equation*}
		n= 2, 8, 20, 40, 70
	\end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}{Potencial espín-órbita}
	\begin{itemize}
		\item Propuesta 1949 de Maria Goeppert Mayer y Hans Jensen
		\item Un fuerte acoplamiento espín-órbita
		\item Siguiendo el ejemplo atómico
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Acoplamiento espín-órbita}
	\begin{equation*}
		V_{TOT} = V(r)-f(r)\overrightarrow{L}\cdot \overrightarrow{S},
	\end{equation*}
	
	Rompe la degeneración en $j=\ell \pm \frac{1}{2}$
	
	\begin{align*}
		\overrightarrow{J} =& \overrightarrow{L} + \overrightarrow{S} \\
		\overrightarrow{J}^2 =& \overrightarrow{L}^2 + \overrightarrow{S}^2 + 2\overrightarrow{L} \cdot \overrightarrow{S} \\
		\text{o despejando } \overrightarrow{L}\cdot \overrightarrow{S} =& \frac{1}{2}(\overrightarrow{J}^2 - \overrightarrow{L}^2 - \overrightarrow{S}^2),
	\end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Estados esperados}
	\begin{align*}
		\langle \overrightarrow{L} \cdot \overrightarrow{S} \rangle &= \langle \frac{1}{2} (\overrightarrow{J}^2 - \overrightarrow{L}^2 - \overrightarrow{S}^2) \rangle \\
		&= \frac{\hbar^2}{2} [j(j+1) - \ell(\ell + 1) - s(s+1)] \\
		&= \frac{\hbar^2}{2} [j(j+1) - \ell(\ell + 1) - \frac{3}{4}] \\
		&= \begin{cases}
		\frac{\hbar^2}{2} \ell \quad &\text{para } j=\ell + \frac{1}{2} \\
		-\frac{\hbar^2}{2}(\ell +1) \quad &\text{para } j=\ell - \frac{1}{2} \\
		\end{cases}
	\end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Corrimientos de energía}
	\begin{align*}
		\Delta E_{n\ell}\left( j=\ell + \frac{1}{2} \right) =& -\frac{\hbar^2 \ell}{2} \int d^3r |\psi_{n\ell}(\overrightarrow{r})|^2 f(r) \\
		\Delta E_{n\ell}\left( j=\ell - \frac{1}{2} \right) =& \frac{\hbar^2 (\ell+1)}{2} \int d^3r |\psi_{n\ell}(\overrightarrow{r})|^2 f(r)
	\end{align*}
	
	\begin{align*}
		\Delta =& \Delta E_{n\ell}\left( j=\ell - \frac{1}{2} \right) - \Delta E_{n\ell}\left( j=\ell + \frac{1}{2} \right) \\
		=& \hbar^2 \left( \ell + \frac{1}{2} \right) \int d^3r |\psi_{n\ell}(\overrightarrow{r})|^2 f(r)
	\end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Niveles de energía}
	\begin{figure}[ht!]
		\begin{center}
  			\includegraphics[width=0.3\linewidth]{shells.png}
  				\caption{Diagrama de niveles para el modelo de capas, imagen de \href{https://en.wikipedia.org/wiki/User:Bakken}{Bakken} con licencia \href{https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0}{CC-BY-SA-3.0}}
  			\label{fig:shell}
  		\end{center}
	\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Predicciones}
	\begin{itemize}
		\item Espín nuclear $j$
		\item Paridad $\pi=(-1)^{\ell}$
		\item Momento dipolar
	\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Un ejemplo}
	Los núcleos espejo ${}^{13}C^6$ y ${}^{13}Ni^7$
	
	\begin{equation*}
		(1S_{\frac{1}{2}})^2 (1P_{\frac{3}{2}})^4 (1P_{\frac{1}{2}})^1
	\end{equation*}	 

\end{frame}

\begin{frame}{Niveles de energía}
	\begin{figure}[ht!]
		\begin{center}
  			\includegraphics[width=0.5\linewidth]{shells.png}
  				\caption{Diagrama de niveles para el modelo de capas, imagen de \href{https://en.wikipedia.org/wiki/User:Bakken}{Bakken} con licencia \href{https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0}{CC-BY-SA-3.0}}
  			\label{fig:shell}
  		\end{center}
	\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Modelo colectivo}
	\begin{equation*}
		ax^2 + by^2 +\frac{z^2}{ab} = R^2
	\end{equation*}	
	
	\begin{equation*}
		V(x,y,z)=\begin{cases}
		0 \quad &\text{para } ax^2 + by^2 +\frac{z^2}{ab} \leq R^2 \\
		\infty \quad &\text{de otra forma,} \\
		\end{cases}
	\end{equation*}
\end{frame}

\end{document}
