notas 5

elip.py

@@ -0,0 +1,23 @@
+import matplotlib.pyplot as plt
+from matplotlib import cm
+from matplotlib.ticker import LinearLocator
+import numpy as np
+
+from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
+import matplotlib.pyplot as plt
+import numpy as np
+
+phi = np.linspace(0,2*np.pi, 256).reshape(256, 1) # the angle of the projection in the xy-plane
+theta = np.linspace(0, np.pi, 256).reshape(-1, 256) # the angle from the polar axis, ie the polar angle
+radius = 4
+
+# Transformation formulae for a spherical coordinate system.
+ratio=3
+x = ratio*radius*np.sin(theta)*np.cos(phi)
+y = radius*np.sin(theta)*np.sin(phi)
+z = radius*np.cos(theta)
+
+fig = plt.figure()  # Square figure
+ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
+ax.plot_surface(x, y, z, color='b')
+ax.set_box_aspect([ratio,1,1])

notas4.tex

@@ -593,7 +593,7 @@ Este modelo también es útil para calcular momentos magnéticos de los núcleos
 	
 \subsection*{Modelo colectivo}
 	
-Las predicciones del modelo de capas fallan en núcleos pesados, no sólo en espín y paridad pero sobre todo en momentos dipolares magnéticos, aún para núcleos pesados con doble capa cerrada en los que parece que todo ajusta de maravilla se tienen discrepancias en el momento cuadrupolar. El problema como apunta esta última y significativa diferencia parece radicar en la suposición de que el núcleo es esférico, mientras más pesado menos lo es.
+Las predicciones del modelo de capas fallan en núcleos pesados, no sólo en espín y paridad pero sobre todo en momentos cuadrupolares magnéticos, aún para núcleos pesados con doble capa cerrada en los que parece que todo ajusta de maravilla se tienen discrepancias en el momento cuadrupolar. El problema como apunta esta última y significativa diferencia parece radicar en la suposición de que el núcleo es esférico, mientras más pesado menos lo es.
 	
 El modelo colectivo es de interacción fuerte, de manera análoga al modelo de la gota. Propuesto por Aage Bohr, Ben Mottelson y James Rainwater, las propiedades se asocian a un movimiento superficial de la ``gota'' nuclear, las propiedades de núcleos pesados se podían obtener suponiendo que la gota no tenía una forma esférica. 
 	
@@ -607,7 +607,7 @@ Consideramos el núcleo como un elipsoide
   ax^2 + by^2 +\frac{z^2}{ab} = R^2
 \end{equation*}			
 	
-El potencial medio del movimiento nuclear
+
 	
 \begin{equation*}
   V(x,y,z)=\begin{cases}
@@ -617,8 +617,88 @@ El potencial medio del movimiento nuclear
 \end{equation*}
 	
 Como puede verse, los cálculos se volverán más complejos, no entraremos en los detalles sólo nos quedaremos con las predicciones. Ahora se agregan niveles de libertad rotacional y vibracional, tendremos un momento rotacional $I$ asociado.
-	
-		
+
+\subsubsection*{Deformaciones nucleares}
+
+Las discrepancias en el momento cuadrupolar llegan a ser tan grandes para núcleos, sobretodo pesados, que no pueden explicarse por una partícula individual, hay una aportación colectiva.
+
+El momento cuadrupolar se define como:
+
+\begin{equation}
+  \mathbb{Q} = Z\int d^3 r(3z^2-r^2)\rho(r)
+  \label{ec:intcuad}
+\end{equation}
+
+Si consideramos un elipsoide uniformemente cargado con carga $Ze$, este valor se uede aproximar como $\mathbb{Q} = (2/5)Z(b^2-a^2)$, con $b$ a lo largo del eje $z$. Como la deformación no es tanta, por lo que en lugar de decir que es elipsoidal el núcleo, decimos que es eferoidal (no llega a ser esférico, pero tampoco elipsoidal), podemos aproximar el radio por un promedio $\overline{R}=(1/2)(a+b)$, teniendo un desviación $\Delta R = b-a$, y así definimos un factor de deformación $\delta = \overline{R}/\Delta R$. El momento cuadrupolar se convierte en:
+
+\begin{equation}
+  \mathbb{Q}= \frac{4}{5}ZR^2\delta.
+  \label{ec:aprox}
+\end{equation}
+
+Aunque si nos ponemos formales, para obtenerlo en el formalismo de la mecánica cuántica, debemos sustituir $\rho(r)$, que es una densidad de probabilidad, por $\psi*_{m=j}\psi_{m=j}$ y sustituyendo en \ref{ec:intcuad}. Siguiendo en la aproximación podemos dar un momento cuadrupolar reducido, como:
+
+\begin{equation*}
+  \mathbb{Q}_{red} = \frac{\mathbb{Q}}{ZR^2},
+\end{equation*}
+
+\noindent con \ref{ec:aprox} vemos que para un elipsoide uniformemente cargado el momento cuadrupolar es proporcional al factor de deformación:
+
+\begin{equation*}
+  \mathbb{Q}_{red} = \frac{4}{5}\delta.
+\end{equation*}
+
+En la figura \ref{fig:quad} pueden verse algunos de los valores obtenidos experimentalmente para núcleos con número impar de nucleones (sean protones o neutrones). El modelo de capas no logra explicar momentos cuadrupolares tan grandes como los mostrados en los picos más altos, tampoco acierta en varios de los caos en el signo. 
+
+\begin{figure}[ht!]
+  \begin{center}
+    \includegraphics[width=0.7\linewidth]{cuad_nuclei.jpg}
+    \caption{Momentos cuadrupolares reducidos como función del número de nucleones impar. Las flechas muestran los lugares de capa cerrada. Imagen tomada y adaptada de \cite{Henley} con fines educativos.}
+    \label{fig:quad}
+  \end{center}
+\end{figure}
+
+Por ejemplo, para le ${}^{17}O$ (doble mágico más un neutrón) basta una deformación de $\delta = 0.07$ para obtener el valor observado de $-2.5fm^2$, en comparación al predicho por el modelo de capas de $-0.1fm^2$.
+
+\subsubsection*{Espectro rotacional}
+
+Si el núcleo está deformado, ya no es esférico, entonces se puede identificar su posición respecto a los ejes de coordenadas arbitrarios que queramos definir. En particular en coordenadas esféricas la posición puede ser dada por un conjunto de ángulos. Pero, como es costumbre en cuestiones cuánticas, habrá una incertidumbre entre la coordenada del ángulo $\phi$ y el operador de momento angular orbital correspondiente, $L_{\phi}= -i\hbar (\partial /\partial \phi)$:
+
+\begin{equation*}
+  \Delta\phi \delta L_{\phi} \geq \hbar
+\end{equation*}
+
+En la figura \ref{fig:rot} puede verse el espectro rotacional para el ${}^{170}Hf$ que es un núcleo bastante deformado. 
+
+\begin{figure}[ht!]
+  \begin{center}
+    \includegraphics[width=0.7\linewidth]{rot_spectrum.jpg}
+    \caption{Espectro rotacional del núcleo deformado ${}^{170}Hf$}
+    \label{fig:rot}
+  \end{center}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[ht!]
+  \begin{center}
+    \includegraphics[width=0.7\linewidth]{roti.jpg}
+    %\caption{Espectro rotacionel del núcleo deformado ${}^{170}Hf$, con valores de energía rotacionales obtenidos experimentalmente y teóricamente. Imagen tomada de \cite{Henley} con fines educativos.}
+    \label{fig:rot}
+  \end{center}
+\end{figure}
+Rotación alrededor del eje 1
+\begin{equation*}
+  H_{rot}= \frac{R^2}{2\mathbb{I}}
+\end{equation*}
+Traduciendo a mecánica cuántica:
+\begin{align*}
+  \hat{H}_{rot}\psi=& \frac{\hat{R}^2}{2\mathbb{I}}\psi = E\psi\\
+  \hat{R}^2Y_J^M =& J(J+1)\hbar^2Y_J^M, \\ J= 0,1,2,...
+\end{align*}
+Con la paridad dada por $(-1)^J$, sólo se aceptan valore par de $J$
+\begin{equation*}
+  E_J= \frac{\hbar^2}{2\mathbb{I}}J(J+1),\ J=0,1,2,...
+\end{equation*}
+
 \begin{thebibliography}{10}
 \bibitem{DasFerbel}Das, A., Ferbel, T. ``Introduction to Nuclear and Particle Physics'', Segunda edición, World Scientific Publishing Co., 2003.
 		

pres7.tex

@@ -0,0 +1,256 @@
+\documentclass[12pt]{beamer}
+\usetheme{Berlin}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[spanish]{babel}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amssymb}
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+\usepackage{braket}
+\usepackage{multicol}
+
+\usepackage{appendixnumberbeamer}
+
+%\setbeamerfont{page number in head}{size=\large}
+%\setbeamertemplate{footline}{Diapositiva}
+\setbeamertemplate{footline}[frame number]
+
+\newcommand{\backupbegin}{
+  \newcounter{finalframe}
+  \setcounter{finalframe}{\value{framenumber}}		
+}
+
+\newcommand{\backupend}{
+  \setcounter{framenumber}{\value{finalframe}}
+}
+
+\author{Física Nuclear y subnuclear }
+\title{Física Nuclear: extra modelos nucleares}
+%\setbeamercovered{transparent} 
+%\setbeamertemplate{navigation symbols}{} 
+%\logo{} 
+%\institute{} 
+%\date{} 
+%\subject{} 
+\begin{document}
+
+\begin{frame}
+\titlepage
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Fallos del modelo de capas}
+  \begin{itemize}
+  \item Momentos cuadrupolares mucho mayores que los predichos por el modelo
+  \item Deformando se pueden obtener tales momento cuadrupolares
+  \item Modos colectivos de excitación: oscilaciones
+  \item Modelo nuclear unificado
+  \end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Momento cuadrupolar}
+  \begin{equation*}
+    \mathbb{Q} = Z\int d^3 r(3z^2-r^2)\rho(r)
+  \end{equation*}
+  Si es un elipsoide uniformemente cargado con $Ze$
+  \begin{equation*}
+    \mathbb{Q} = \frac{2}{5}Z(b^2-a^2),\ b\parallel z 
+  \end{equation*}
+  Con:
+  \begin{align*}
+    \overline{R} =& (1/2)(a+b)\\
+    \Delta R =& b-a\\
+    \delta =& \overline{R}/\Delta R\text{ tenemos }\\
+    \mathbb{Q} =& \frac{4}{5}ZR^2\delta
+  \end{align*}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Momentos cuadrupolares en el experimento}
+  \begin{multicols}{2}
+    \begin{align*}
+      \mathbb{Q}_{red} =& \frac{\mathbb{Q}}{ZR^2}\\
+      \mathbb{Q}_{red} =& \frac{4}{5}\delta
+    \end{align*}
+    \begin{figure}[ht!]
+      \begin{center}
+        \includegraphics[width=0.7\linewidth]{cuad_nuclei.jpg}
+        %\caption{Momentos cuadrupolares reducidos como función del número de nucleones impar. Las flechas muestran los lugares de capa cerrada. Imagen tomada y adaptada del libro de Henley con fines educativos.}
+        \label{fig:shell}
+      \end{center}
+    \end{figure}
+  \end{multicols}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Espectro rotacional}
+  \begin{figure}[ht!]
+    \begin{center}
+      \includegraphics[width=0.5\linewidth]{rot_spectrum.jpg}
+      \caption{Espectro rotacionel del núcleo deformado ${}^{170}Hf$, con valores de energía rotacionales obtenidos experimentalmente y teóricamente. Imagen tomada de \cite{Henley} con fines educativos.}
+      \label{fig:rot}
+    \end{center}
+  \end{figure}
+  \begin{equation*}
+    \Delta\phi \delta L_{\phi} \geq \hbar
+  \end{equation*}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Rotaciones}
+  \begin{multicols}{2}
+    \begin{figure}[ht!]
+      \begin{center}
+        \includegraphics[width=0.7\linewidth]{roti.jpg}
+        %\caption{Espectro rotacionel del núcleo deformado ${}^{170}Hf$, con valores de energía rotacionales obtenidos experimentalmente y teóricamente. Imagen tomada de \cite{Henley} con fines educativos.}
+        \label{fig:rot}
+      \end{center}
+    \end{figure}
+    Rotación alrededor del eje 1
+    \begin{equation*}
+      H_{rot}= \frac{R^2}{2\mathbb{I}}
+    \end{equation*}
+    Traduciendo a mecánica cuántica:
+    \begin{align*}
+      \hat{H}_{rot}\psi=& \frac{\hat{R}^2}{2\mathbb{I}}\psi = E\psi\\
+      \hat{R}^2Y_J^M =& J(J+1)\hbar^2Y_J^M, \\ J= 0,1,2,...
+    \end{align*}
+    Con la paridad dada por $(-1)^J$, sólo se aceptan valore par de $J$
+    \begin{equation*}
+      E_J= \frac{\hbar^2}{2\mathbb{I}}J(J+1),\ J=0,1,2,...
+    \end{equation*}
+  \end{multicols}
+\end{frame}
+
+\section*{Radiación nuclear}
+\begin{frame}{Lo que sabemos hasta ahora}
+  \begin{itemize}
+  \item Los núcleos están compuestos porpprotones y neutrones
+  \item Protones y neutrones sienten las fuerzas: electromagnética, nuclear fuerte y nuclear débil
+  \item Núcleos de helio, electrones y fotones los hemos tratado, pero no hemos hablado más de ellos como radiación
+  \end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Decaimiento alfa}
+  \begin{equation*}
+    {}^AX^Z \rightarrow {}^{A-4}Y^{Z-2} + {}^4He^2
+  \end{equation*}	
+  
+  \begin{equation*}
+    M_P c^2 = M_Hc^2 + T_H + M_{\alpha}c^2 + T_{\alpha},
+  \end{equation*}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Análisis de energía}
+  \begin{equation*}
+    T_H + T_{\alpha} = (M(A,Z) - M(A-4,Z-2) - M(4,2))c^2
+  \end{equation*}
+	
+  \begin{align*}
+    T_H =& \frac{1}{2} M_H v_H^2, \notag \\
+    T_{\alpha} =& \frac{1}{2} M_{\alpha} v_{\alpha}^2,
+  \end{align*}
+		
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Conservaciones}
+  \begin{align*}
+    M_H v_H =& M_{\alpha} v_{\alpha}, \notag \\
+    \text{despejando, } v_H =& \frac{M_{\alpha}}{M_H} v_{\alpha}
+    \label{ec:vel}
+  \end{align*}
+  Por lo regular $M_H \gg M_{\alpha}$, entonces $v_H\ll v_{\alpha}$.
+	
+  \begin{align*}
+    T_H + T_{\alpha} =& \frac{1}{2}M_H \left( \frac{M_{\alpha}}{M_H} v_{\alpha} \right)^2 + \frac{1}{2} M_{\alpha} v_{\alpha}^2 \\
+    =& \frac{1}{2} M_{\alpha} v_{\alpha}^2 \left( \frac{M_{\alpha}}{M_H} +1 \right) \\
+    =& T_{\alpha}\frac{M_{\alpha} + M_H}{M_H}
+  \end{align*}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Liberación de energía}
+  \begin{align*}
+    T_H &= T_{\alpha}\left( \frac{M_{\alpha} + M_H}{M_H}\right) - T_{\alpha} \\
+    &= T_{\alpha}\left( \frac{M_{\alpha} + M_H}{M_H} - 1\right) \\
+    &= T_{\alpha} \frac{M_{\alpha} + M_H - M_H}{M_H} = \frac{M_{\alpha}}{M_H}T_{\alpha}\ll T_{\alpha}
+  \end{align*}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Diversas energías}
+  \begin{equation*}
+    {}^AX^Z \rightarrow {}^{A-4}{Y^{*}}^{Z-2} + {}^4He^2
+  \end{equation*}	
+  
+  \begin{equation*}
+    {}^{A-4}{Y^{*}}^{Z-2} \rightarrow {}^{A-4}Y^{Z-2} + \gamma
+  \end{equation*}
+  
+  \begin{figure}[ht!]
+    \begin{center}
+      \includegraphics[width=0.6\linewidth]{excitados.jpg}
+      \caption{Decaimineto por emisión $\alpha$ del ${}^{228}Th^{90}$ al ${}^{224}Ra^{88}$. Imagen tomada de Das y Ferbel.}
+      \label{fig:excitados}
+    \end{center}
+  \end{figure}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Un ejemplo}
+  \begin{equation*}
+    {}^{240}Pu^{94} \rightarrow {}^{236}U^{92} + {}^4He^2
+  \end{equation*}
+\end{frame}
+	
+\begin{frame}{Ejemplo}
+  \begin{align*}
+    E &= (M(240,94) - M(236,92) - M(4,2))c^2 \\
+    &= 94m_p + 146m_n +B.E.(240,94) -92m_p-144m_n \\ 
+    &- B.E.(236,92) - 2m_p -2m_n -B.E.(4,2) \\
+    &= B.E.(240,94) - B.E.(236,92) - B.E.(4,2) \\
+    &= -1813.4501\ MeV + 1790.4103\ MeV + 28.2956 \\
+    &\approx 5.2558\ MeV 
+  \end{align*}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Penetración de barrera}
+  \begin{itemize}
+  \item Para $A\approx 200$ barrera coulombiana de $\sim 20-25\ Mev$
+  \item La energía cinética del $\alpha$ es $\sim 5\ MeV$
+  \item Decaimiento alfa es un fenómeno de tunelaje
+  \end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Penetración de barrera}
+  \begin{equation*}
+    {}^{232}Th^{90} \rightarrow {}^{228}Ra^{88} + {}^4He^2
+  \end{equation*}	
+  \begin{itemize}
+  \item $\tau = 1.39\times 10^{10}\ \text{años}$
+  \item $R=r_0(232)^{1/3} fm. \approx 7.37 \times 10^{-15}m.$
+  \item 
+  \end{itemize}
+	
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Coeficiente de transmisión}
+  \begin{align*}
+    T =& \frac{\frac{4k_1k}{(k_1+k)^2}}{1+\left[ 1 + \left( \frac{\kappa^2 - k_1k}{\kappa(k_1+k)}\right)^2 \right]} \\
+    \text{con } k_1 =& \left[ \frac{2M_{\alpha}}{\hbar^2} (E+U_0) \right]^{\frac{1}{2}} \\
+    k =& \left[ \frac{2M_{\alpha}}{\hbar^2} E \right]^{\frac{1}{2}} \\		
+    \kappa =& \left[ \frac{2M_{\alpha}}{\hbar^2} (V_0 - E) \right]^{\frac{1}{2}} 
+  \end{align*}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Posibilidad de penetración de la barrera}
+  De afuera hacia adentro
+  \begin{equation*}
+    T\approx 4\times 10^{40}
+  \end{equation*}
+  De adentro hacia afuera (constante de decaimiento $\lambda$)
+  \begin{align*}
+    P(\text{emisión }\alpha) &\approx \frac{v_{\alpha}}{R}T \approx 6\times 10^{21}\frac{1}{seg} \times 4\times 10^{-40} \\
+    &\approx 2.4\times 10^{-18}seg.
+  \end{align*}
+  
+\end{frame}
+
+%\begin{frame}{Contenido}
+%	\tableofcontents
+%\end{frame}
+
+\end{document}

pres7.tex~

@@ -0,0 +1,46 @@
+\documentclass[12pt]{beamer}
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+\author{Física Nuclear y subnuclear }
+\title{Física Nuclear: extra modelos nucleares}
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