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}

\author{Física Nuclear y subnuclear }
\title{Interacciones y conservaciones}
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\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

%\begin{frame}{Contenido}
%	\tableofcontents
%\end{frame}

\begin{frame}{Conservaciones}
  Sistema cuántico descrito por $\hat{H}$
  \begin{equation}
    -i\hbar \frac{d\Psi}{dt} = \hat{H}\Psi
  \end{equation}
  Relaciones de permutación para un operador $\hat{A}$ con observable $A$:
  \begin{equation*}
    [\mathbf{H},\mathbf{A}] = 0 \rightarrow \frac{d}{dt}\langle A \rangle = 0
  \end{equation*}
  La carga
  \begin{equation*}
    \mathbf{Q}\Psi = q\Psi.
  \end{equation*}
  Invariancia de norma
  \begin{equation*}
    \Psi' = e^{i\epsilon Q}\Psi,
  \end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}{Isospín}
  \begin{table}[ht!]
    \begin{tabular}{|p{0.2\textwidth}|p{0.2\textwidth}|p{0.2\textwidth}|}
      \hline
      Partícula & $I$ & $I_3$   \\
      \hline
      $p$ & $1/2$ & $1/2$   \\
      $n$ & $1/2$ & $-1/2$   \\
      \hline
      $\pi^+$ & $1$ & $1$  \\
      $\pi^0$ & $1$ & $0$\\
      $\pi^-$ & $1$ & $-1$ \\
      \hline
      $K^+$ & $1/2$ & $1/2$ \\
      $K^0$ & $1/2$ & $-1/2$ \\
      \hline
      $\Sigma^+$ & $1$ & $1$  \\
      $\Sigma^0$ & $1$ & $0$  \\
      $\Sigma^-$ & $1$ & $-1$  \\
      \hline 
    \end{tabular}
    \label{tab:lep}
    \caption{Valores del número leptónico por familia para los leptones}
  \end{table} 

\end{frame}

\begin{frame}{Relación Gell-Mann-Nishima\footnote{Realmente se amplía a $Y=B-S-C-\hat{B}-T$, pero nos quedaremos con la extrañeza nada más.}}
  \begin{align*}
    Q &= I_3 + \frac{Y}{2} = I_3 + \frac{B-S}{2},\\
    I_3 &= \frac{1}{2}(N_u-N_d)
  \end{align*}
\end{frame}

\section{Resonancias en hadrones}	
\begin{frame}{Resonancia $\Delta(1234)$}
  \begin{figure}[ht!]
    \begin{center}
      \includegraphics[width=0.6\linewidth]{gaussianas.jpg}
      \caption{Esquema de la sección eficaz de las colisiones $\pi-N$ a bajas energías. Imagen adaptada de: \href{http://www.flickr.com/photos/77004318@N00/91432761}{"case3b"} por \href{http://www.flickr.com/photos/77004318@N00}{Samuel Foucher} con licencia \href{https://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/?ref=ccsearch&atype=rich}{CC BY-SA 2.0}}
      \label{fig:gauss}
    \end{center}
  \end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}{Vida media}
  \begin{equation*}
    \tau_{\Delta} \approx \frac{\hbar}{\Gamma_{\Delta}c^2}\approx \frac{6.6\times 10^{-22}MeV-sec}{100MeV} \approx 10^{-23} segundos
  \end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}{Resonancia $\rho^0$}
  \begin{equation}
    \pi^- + p \rightarrow \pi^+ + \pi^- + n
    \label{ec:rho}
  \end{equation}
	 
  \begin{align*}
    \pi^- + p &\rightarrow \rho^0 + n \\
    \text{después } \rho^0 &\rightarrow \pi^+ + \pi^-
  \end{align*}
  ?`Cómo harían el digrama de Feynmann? Los que estén desde video o en línea les toca dibujarlo en casa o imaginarse a partir de lo que escuchan.
\end{frame}

\begin{frame}{Tiempo de vida media}
  \begin{equation*}
    \psi \propto e^{\frac{ic^2}{\hbar} (M_0-i\frac{\Gamma}{2})t}, t>0.
  \end{equation*}

  \begin{equation*}
    \tau=\frac{\hbar}{\Gamma c^2}.
  \end{equation*}
\end{frame}

\section*{Interacciones}
\begin{frame}{Interacciones electromagnéticas}
  \begin{itemize}
  \item Una interacción muy estudiada
  \item Aproximaciones clásicas
  \item Teoría de perturbaciones
  \item ?`Si las energías son relativistas y el tratamiento cuántico?
    \begin{itemize}
    \item Electrodinámica cuántica
    \item Radiación multipolar
    \end{itemize}
  \end{itemize}
  
\end{frame}


\begin{frame}{Dispersión electromagnética de leptones}
  \begin{itemize}
  \item Dispersión de M\o{}ller
    \begin{equation*}
      e^- + e^- \rightarrow e^- + e^-
    \end{equation*}
  \item Dispersión de Bhabha
    \begin{equation*}
      e^- + e^+ \rightarrow e^- + e^+
    \end{equation*}
  \end{itemize}
		
\end{frame}

\begin{frame}{Dispersión electromagnética de leptones}
  \feynmandiagram [large, vertical=b to c] {
    a -- [anti fermion, edge label'=\( e^- \)] b -- [ anti fermion, edge label'=\( e^- \)] j,
    b -- [photon,edge label'=\(\gamma\)]  c,
    h -- [fermion, edge label'=\( e^+ \)] c -- [fermion, edge label'=\( e^+ \)] i;
  };	
  \feynmandiagram [horizontal=a to b] {
    i1[particle=\( e^- \)] -- [fermion] a -- [fermion] i2[particle=\( e^+ \)],
    a -- [photon, edge label'=\(\gamma\)] b,
    f1[particle= \( e^- \)] -- [fermion] b -- [fermion] f2 [particle=\( e^+ \)],
  };	
	
\end{frame}
	
\begin{frame}{Interacción fotón-hadrón y mesones mediadores}
  ?`Un fotón puede decaer en un par hadrón anti-hadrón?
  \begin{itemize}
  \item $\rho^0$, $\omega^0$ y $\phi^0$
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Conservaciones y violaciones}
  Conserva
  \begin{itemize}
  \item Extrañeza 
  \item Paridad
  \item Conjugación
  \end{itemize}
  
\end{frame}

\begin{frame}{Interacción débil}
  \begin{itemize}
  \item Electrodébil
  \item Radiación nuclear: $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$
  \item $\beta = e^{\pm}$
    \begin{itemize}
    \item ?`Electrones en el núcleo?
    \item Espectro de energías continuo
    \end{itemize}
  \end{itemize}
	
\end{frame}

\begin{frame}{El rincón poético de Vladimir}
  \centering
  Neutrinos, they are very small.\\
  They have no charge and have no mass\\
  And do not interact at all.\\
  The earth is just a silly ball\\
  To them, through which they simply pass,\\
  Like dustmaids down a drafty hall\\
  Or photons through a sheet of glass.\\
  J. Updike\footnote{De \emph{Telephone Poles and Other Poems}, André Deutch, Londres (1964)}
\end{frame}

\begin{frame}{Neutrinos}
  \begin{itemize}
  \item Interacción débil
  \item Partículas neutras
  \item Recuerden
    \begin{align*}
      n &\rightarrow p + e^- + \bar{\nu_e},\\
      p &\rightarrow n + e^+ + \nu_e.
    \end{align*}
    \begin{align*}
      \nu_e + n  &\rightarrow p + e^-,\\
      \bar{\nu_e} + p &\rightarrow n + e^+,
    \end{align*}
  \end{itemize}
  
\end{frame}



\begin{frame}{Corrientes neutras}
  \begin{equation*}
    \nu_{\mu} + e^- \rightarrow \nu_{\mu} + e^-
  \end{equation*}
  
  \feynmandiagram [large, vertical=b to c] {
    a -- [anti fermion, edge label'=\( \nu_{\mu} \)] b -- [anti fermion, edge label'=\( \nu_{\mu} \)] j,
    b -- [scalar,edge label'=\(Z^0\)]  c,
    h -- [anti fermion, edge label'=\( e^- \)] c -- [anti fermion, edge label'=\( e^- \)] i;
  };
		
\end{frame}

\begin{frame}{Mezcla de neutrinos}
  \begin{equation}
    \begin{pmatrix}
      \nu_e \\
      \nu_{\mu} \\
      \nu_{\tau}
    \end{pmatrix} = 
    \begin{pmatrix}
      V_{e1} & V_{e2} & V_{e3} \\
      V_{\mu 1} & V_{\mu 2} & V_{\mu 3} \\
      V_{\tau 1} & V_{\tau 2} & V_{\tau 3}
    \end{pmatrix} 
    \begin{pmatrix}
      \nu_1 \\
      \nu_2 \\
      \nu_3
    \end{pmatrix}
  \end{equation}
  Matriz Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata
\end{frame}

\begin{frame}{Oscilaciones de neutrinos}
  \begin{align*}
    \nu_e =& cos\theta_{12} \nu_1 + sen\theta_{12} \nu_2 \\
    \nu_{\mu} =& -sen\theta_{12} \nu_1 + cos\theta_{12} \nu_2
  \end{align*}
  
  \begin{equation}
    \ket{\nu_e(t)} = e^{-iE_1t/\hbar}cos\theta_{12} \nu_1 + e^{-iE_2t/\hbar}sen\theta_{12} \nu_2
  \end{equation}
  
  \begin{equation}
    \mathbb{P}_{\nu_{\mu}}(t) = |\bra{\nu_{\mu}}\ket{\nu_e}(t)|^2 = sen^2 \theta_{12} sen^2\left[ \frac{1}{2} \frac{(E_1 - E_2)t}{\hbar}\right] 
  \end{equation}
\end{frame}


\begin{frame}{Procesos leptónicos}
  \begin{equation*}
    \mu^+ \rightarrow \bar{\nu_{\mu}} + e^+ + \nu_{e} 
  \end{equation*}
	
  \begin{equation*}
    \nu_{\tau} + e^- \rightarrow \nu_{\tau} + e^-
  \end{equation*}
		
\end{frame}

\begin{frame}{Procesos semileptónicos}
  \begin{equation*}
    \underset{\bar{u}d}{\pi^-} \rightarrow \underset{u\bar{u}}{\pi^0} + e^- + \bar{\nu_e}
  \end{equation*}
	
  \feynmandiagram [horizontal=a to b] {
    i1[particle=\( \bar{u} \)] -- [] a,
    a -- [fermion] b,
    b -- [] f2 [particle=\( \bar{u} \)],
  };	
			
		
  \feynmandiagram [layered layout, horizontal=a to b] {
    a [particle=d] -- [fermion] b -- [fermion] f1 [particle=u],
    b -- [scalar, edge label'=\(W^{-}\)] c,
    c -- [anti fermion] f2 [particle=\(\overline \nu_e\)],
    c -- [fermion] f3 [particle=\( e^- \)],
  };
	
		
\end{frame}

\begin{frame}{Procesos semileptónicos}
  \begin{equation*}
    \nu_{\mu} + \underset{udd}{n} \rightarrow \mu^- + \underset{uud}{p}
  \end{equation*}
  
  \begin{equation*}
    \nu_{\mu} + p \rightarrow \nu_{\mu} + p 
  \end{equation*}

\end{frame}

\begin{frame}{Procesos hadrónicos}
  \begin{multicols}{2}
    \begin{align*}
      K^+ &\rightarrow \pi^+ + \pi^0 \\
      &\rightarrow \pi^+ + \pi^+ + \pi^- \\
      &\rightarrow \pi^+ + \pi^0 + \pi^0.
    \end{align*}
    En ninguno cambia la extrañeza.
    \begin{figure}[h!]
      \feynmandiagram [horizontal=a to b] {
        i1[particle=\( u \)] -- [] a,
        a -- [fermion] b,
        b -- [] f2 [particle=\( u \)],
      };	
      
		
      \feynmandiagram [layered layout, horizontal=a to b] {
        a [particle=\(\bar{s}\)] -- [anti fermion] b -- [anti fermion] f1 [particle=\(\bar{u}\)],
        b -- [scalar, edge label'=\(W^{+}\)] c,
        c -- [fermion] f2 [particle=\(u\)],
        c -- [anti fermion] f3 [particle=\( \bar{d} \)],
      };
    \end{figure}
  \end{multicols}
\end{frame}
	


\begin{frame}{Mamá yo quiero saber de dónde son los muones}
  Fuente de muones
  \begin{equation}
    \pi^+ \rightarrow \mu^+ + \nu_{\mu}
  \end{equation}
  \begin{itemize}
  \item Conservación momento
  \item conservación momento angular
  \end{itemize}			

\end{frame}

\begin{frame}{Paridad}
  1956 Lee y Yang: en interacciones débiles no hay evidencia de que se conserve la paridad

  Vectores polares
  \begin{align*}
    \mathbf{P}(\overrightarrow{r}) &= -\overrightarrow{r} \\
    \mathbf{P}(\overrightarrow{p}) &= -\overrightarrow{p}
  \end{align*}

  Vectores axiales
  \begin{equation*}
    \mathbf{P}(\vec{u}\times \vec{v}) = \vec{u}\times \vec{v}.
  \end{equation*}
  
  \begin{equation*}
    \mathbf{P}(\overrightarrow{L}) = \mathbf{P}(\overrightarrow{r}) \times \mathbf{P}(\overrightarrow{p}) = (-\overrightarrow{r}) \times (-\overrightarrow{p})= (\overrightarrow{r}) \times (\overrightarrow{p}) = \overrightarrow{L}
  \end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{align*}
    \mathbf{P}\square &= +\square \text{ paridad positiva o par} \\
    \mathbf{P}\square &= -\square \text{ paridad negativa o impar}
  \end{align*}

  \begin{equation*}
    \mathbf{P}\Psi(x) = \Psi(-x)
  \end{equation*}
	 	
\end{frame}

\begin{frame}{Paridad invariante, $[\hat{H},\hat{P}]=0$}
  De ser distintas funciones de onda $\Psi(x)$ y $\hat{P}\Psi(x)$ el estado estaría degenreado, la opción:

  \begin{equation*}
    \mathbf{\Psi(x)} = \eta_P\Psi(x),\ \eta_p=\pm 1 
  \end{equation*}
  
  \begin{equation*}
    \mathbf{P}\ket{\text{estado inicial}} = \mathbf{P}(\ket{a})\mathbf{P}(\ket{b})\mathbf{P}(\ket{\text{movimiento relativo}})
    \label{ec:paridad}
  \end{equation*}
	 	
  \begin{align*}
    \eta_p(\text{estado incial}) &= \eta_p(a) \eta_p(b)\eta_p(\text{movimieno relativo}) \notag \\
    \text{función de onda } \eta_p(\text{estado incial}) &= \eta_p(a) \eta_p(b)(-1)^{\ell}
    \label{ec:parorb}
  \end{align*}
	
\end{frame}

\begin{frame}{Determinando paridades}
  Fijamos $\eta(p)=+1$

  \begin{equation*}
    d+\pi^- \rightarrow n + n
  \end{equation*}
  Usamos
  \begin{equation*}
    \eta_p(d) \eta_p(\pi^-)(-1)^{\ell} = \eta_p(n) \eta_p(n)(-1)^{\ell'}
  \end{equation*}
  Deuterón en el estado base, $\ell=0$, al atrapar al pión, $\ell=0$
  \begin{equation*}
    \eta_p(p) \eta_p(n) \eta_p(\pi^-) = -1
  \end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}{Violaciones de conservación de la paridad}
  \begin{itemize}
  \item 1924 Laporte propone que hay dos diferentes clases de niveles para los átomos
  \item Wigner asocio estas clases son producto de la invariancia respecto a la reflexión espacial
  \item Se volvió un dogma, que en 1956 Lee y Yang derribaron
  \item Wu descubre la violación de la paridad en decaimientos $\beta$
  \end{itemize}
  \begin{align*}
    \vec{r} \overset{\hat{P}}{\rightarrow}& -\vec{r} \\
    \vec{J} \overset{\hat{P}}{\rightarrow}& \vec{J}
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Los neutrinos zurdos}
  \begin{figure}
    \tikz [ultra thick]
          {\draw [red, arrows = {-Stealth[red]}] (0,1) -- node[above=1mm] {$\vec{J}$}  (1,1);
            \draw [black, arrows = {-Stealth[black]}] (0,1) -- node[above=1mm] {$\vec{p}$}  (1.5,1);
            \draw [red, arrows = {-Stealth[red]}] (0,0.5) -- node[below=1mm] {$\hat{P}(\vec{J})$} (1,0.5);
            \draw [black, arrows = {-Stealth[black]}] (0,0.5) -- node[below=1mm] {$\hat{P}(\vec{p})$} (-1.5,0.5);}
  \end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Combinación de estados}
  \begin{align*}
    \ket{\alpha} =& c\ket{par} + d\ket{impar}, \ |c|^2 + |d|^2 =1\\
    \hat{P}\ket{\alpha} =& c\hat{P}\ket{par} + d\hat{P}\ket{impar} \neq \eta_p \ket{\alpha}
  \end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Conjugación de carga}
  \begin{align*}
    \mathbf{C} \ket{q_{gen}} &= \ket{-q_{gen}}, \\
    \mathbf{C}^2 &= \mathbf{I} \\
    [Q,C] &\neq 0
  \end{align*}
  Pareciera que sólo en partículas neutras, pero tampoco en neutrinos no.
\end{frame}

\begin{frame}{Inversión del tiempo}
  \begin{align*}
  t\overset{\mathbf{T}}{\rightarrow}& -t \\
  \vec{x}\overset{\mathbf{T}}{\rightarrow}& \vec{x} \\
  \vec{p}\overset{\mathbf{T}}{\rightarrow}& -\vec{p} \\
  \vec{J}\overset{\mathbf{T}}{\rightarrow}& -\vec{J} 
\end{align*}
\end{frame}

\begin{frame}{Neutrinos de Majorana o Dirac}
  \begin{itemize}
  \item Experimentalemnte no hay razón para considerar que los neutrinos siguen la ecuación de Dirac.
  \item En 1937 Majorana propuso una ecuación de onda distinta que funcionaba con partículas neutras.
  \item Pero partículas y antipartículas son indistinguibles.
  \end{itemize}
\end{frame}
  
\begin{frame}{Interacción fuerte}
  \begin{itemize}
  \item Similar a la \emph{QED}, ahora tenemos \emph{QCD}
  \item Tres carga: $r$, $g$ y $b$
  \item Gluón carga bicolor $r\bar{g}$, \emph{QCD} es no abeliana.
  \item La teoría es no lineal e imposibilita ver gluones libres.
  \item Anomalías en momentos magnéticos de protones y neutrones.
  \item Confinamiento
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Hadronización}
  \begin{align*}
    e^+ + e^- &\rightarrow \text{ hadrones}\\
    &\rightarrow q + \bar{q}.
  \end{align*}
  \begin{itemize}
  \item Se forman nuevos pares cuark-anticuark
    \item Energías $\sim 0.5$ y $1$ GeV
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Ángulo de apertura}
  \begin{equation}
    \frac{p_T}{p} \approx \frac{0.5}{\sqrt{s}/2} = \frac{1}{\sqrt{s}}.
  \end{equation}
  \begin{itemize}
  \item Aperturas de unos pocos grados. Espín $1/2$.
  \item Los cuarks aparecen como ángulos sólidos estrechos en estos jets.
  \end{itemize}
  \begin{equation*}
    R=\frac{\sigma(e^+ + e^⁻ \rightarrow \text{ hadrones})}{\sigma(e^+ + e^⁻ \rightarrow \mu^+ + \mu^-)}
  \end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}{Razón de secciones eficaces}
  \begin{itemize}
  \item Si los cuarks son puntuales:
    \begin{equation*}
      R=\sum_i q_i^2.
    \end{equation*}
  \item Resulta que es tres veces mayor.
  \item A energías más altas aparece un tercer jet: el de gluones.
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Bariones pesados y el color}
  \begin{itemize}
  \item $\Delta^{++}= uuu$
    \item Los espines apuntan todos hacia arriba, por ello el $J_{\Delta^{++}}=3/2$
  \item Similar pasa con $\Omega^- = sss$
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Cuarks de valencia y mar de cuarks}
  \begin{itemize}
  \item Los hadrones están constituidos de muchos más cuarks.
  \item \emph{Glueballs}
  \item Mesones con dos pares de cuark-anticuark de valencia.
  \item Mesones híbridos: cuark, antucuark y un gluón.
    \item Pentacuark.
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Descubrimeinto del bosón de Higgs}
  \begin{itemize}
  \item Producción de bosones neutros: choques partícula anti-partícula
  \item Choques $p-\bar{p}$: por \emph{bremsstrahlung}
  \item Choques $p-p$: fusión de gluones
  \item Cuarks de cada partícula emiten bosones vectoriales que se aniquilan.
  \item Para $\sqrt{s}=7 TeV$, $20pb$. Para $\sqrt{s}=30 TeV$ para $M_H= 115 GeV$, $0.4pb$ para $M_H=600 GeV$, hasta $15 fb$ para $M_H=1000 Gev$
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Invariancia de norma}
  \begin{itemize}
  \item Todas las fuerzas pueden expresarse como teorías de norma
  \item Son invariantes ante la transformación de norma
  \item La conservación de carga (conservación aditiva) es invariante ante una transformación global
  \item AL agregar la dependencia para una carga no estática se mantiene la invariancia incluso en transformación local.
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Invariancia de norma - Grados de libertad}
  \begin{itemize}
  \item Libertad parcial de elegir el potencial electromagnético
  \item Parecía una teoría con cabos sueltos, o sólo una peculiaridad matemática
  \item La invariancia de norma dicta la forma d ela interacción y los campos vectoriales sin masa.
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Potenciales vectoriales y normas covariantes}
  $(A_0,\mathbf{A})$
  \begin{align}
    D_{\mu}=& (D_0,\mathbf{D})\\
    D_0 =& \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} + \frac{iqA_0}{\hbar c}\\
    \mathbf{D} =& \nabla - \frac{iq\mathbf{A}}{\hbar c}
  \end{align}
\end{frame}

\begin{frame}{Movimiento de los campos vectoriales}
  \begin{align*}
    \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 A_0}{\partial t^2} -\nabla A_0 =& \rho = \psi^* q \psi \\
    \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 A_i}{\partial t^2} -\nabla A_i =& \frac{j_i}{c} = \psi^* \frac{q\vec{v}_i}{c} \psi
  \end{align*}
  Con la condición para su invariancia de norma:
  \begin{equation}
    \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\epsilon(\vec{x},t)}{\partial t^2} - \nabla^2 \epsilon(\vec{x},t) = 0
  \end{equation}
\end{frame}

\begin{frame}{Bosones sin masa}
  \begin{itemize}
  \item Aparece la necesidad de que los bosones de norma no tengan masa
  \item La invariancia local se extiende a la global
  \item La fase en una función de onda es arbitraria
  \item Pero siempre debe ser la misma fase en todos los puntos del espacio tiempo.
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Sentido físico de los potenciales vectoriales}
  \begin{itemize}
  \item Aparece en la teoría cuántica
  \end{itemize}
  
  En ausencia de campo electromagnético, la ecuación estacionaria de Schrödinger:
  \begin{equation}
    -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi_0 = E\psi_0,
  \end{equation}
\end{frame}

\begin{frame}{Ecuación de Schrödinger con campo vectorial electromagnético estático}
  \begin{equation}
    -\frac{\hbar^2}{2m}\mathbf{D}^2\psi= -\frac{\hbar^2}{2m} \left( \nabla + \frac{ie\mathbf{A}(\vec{x})}{\hbar c}\right)^2 \psi
  \end{equation}
  \begin{figure}[ht!]
    \begin{center}
      \includegraphics[width=0.5\linewidth]{bohm_aharanov.jpg}
      \caption{Imagen del experomento de Aharanov-Bohm. Imagen con licencia CC-BY-SA toma de wikipedia}
      \label{fig:bohm}
    \end{center}
  \end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Invariancia de norma y teorías no abelianas}
  \begin{itemize}
  \item La invariancia pide campos vectoriales sin masa
  \item Bosones de interacción débil con masa y cargados
  \item Bosones de interacción fuerte sin masa, pero cargados
  \item Problemas por ejemplo en teoría de perturbaciones
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Mecanismo de Higgs}
  \begin{itemize}
  \item Rompimiento de simetría aproximada
  \item Rompimiento de simetría espontáneo
  \item Simetrías escondidas por ejemplo en los ferromagnetos
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Bosón de Higgs}
  \begin{itemize}
  \item Campo escalar complejo invariante de norma, $\phi$ y $\phi^*$
  \item Representan mesones escalares $H^+$ y $H^-$
    \begin{equation*}
      \phi = \frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1 + i \phi_2)
    \end{equation*}
    \item Obedecen a la ecuación de Klein-Gordon 
  \end{itemize}
\end{frame}

\end{document}
