recursion 2

recursion.tex

@@ -198,18 +198,174 @@ Nos vamos acercando poco a poco a lo que es el tema de esta sección, pero reque
   \item Dado un orden parcial $R$ en $A$, la pareja $\langle A,R \rangle$ es llamado un \emph{conjunto parcialmente ordenado}. Un orden parcial se denota por el símbolo $\leq$.
   \item Dado un orden parcial $\leq$ en $A$, dado cualquier subconjunto $X$ de $A$, $X$ es una \emph{cadena} si y sólo si para todos $x,y\in X$, o $x\leq y$ o $y\leq x$.
   \item Un orden parcial $\leq$ en un conjunto $A$ es un \emph{orden total} (u \emph{orden lineal}) si y sólo si $A$ es una cadena.
-  \item Dado un orden parcial $\geq$ en un conjunto $A$, dado cualquier $X\subset A$, un elemento $b\in A$ es una \emph{cota inferior} de $X$ si y sólo si para toda $x\in X$, $b\leq X$. Por el otro extremo $m\in A$ es una \emph{cota superior} si y sólo si para toda $x\in X$, $x\leq m$.
-  \item Un elemento $b\in X$ es el \emph{elemento menor} de $X$ si y sólo si para toda $x\in X$, $b\leq x$.
-    \item Dado un subconjunto $X$ de $A$, un elemento $b\in X$ es minimal en $X$ si y sólo si para toda $x\in X$, $x\leq b$ implica que $x=b$.
+  \item Dado un orden parcial $\geq$ en un conjunto $A$, dado cualquier $X\subset A$, un elemento $b\in A$ es una \emph{cota inferior} de $X$ si y sólo si para toda $x\in X$, $b\leq X$. Por el otro extremo $m\in A$ es una \emph{cota superior} si y sólo si para toda $x\in X$, $x\leq m$. Noten que $b$ y $m$ son elementos de $A$ pero no necesariamente de $X$.
+  \item Un elemento $b\in X$ es el \emph{elemento menor} de $X$ si y sólo si para toda $x\in X$, $b\leq x$. Un elemento $m\in X$ es el \emph{elemento mayor} de $X$ si y sólo si para toda $x\in X$, $x\leq m$. Estos valores son únicos.
+  \item Dado un subconjunto $X$ de $A$, un elemento $b\in X$ es minimal en $X$ si y sólo si para toda $x\in X$, $x\leq b$ implica que $x=b$. Un elemento $m\in X$ es maximal en $X$ si para toda $x\in X$, $m\leq x$ implica $m=x$. Estos valores no son únicos.
+  \item Un elemento $m\in A$ es la \emph{mínima cota superior} de un subconjunto $X$, si y sólo si el conjunto de cotas superiores de $X$ no es vacío y $m$ es el elemento menor en este conjunto. Un elemento $b\in A$ es la \emph{máxima cota inferior} de $X$, si y sólo si el conjunto de cotas inferiores de $X$ no es vacío y $b$ es el elemento mayor en este conjunto. 
   \end{itemize}
 \end{defi}
 
+\section{Conjuntos bien fundados e inducción completa}
+
+Como hasta este punto han visto puras definiciones tomaré una pausa para hablarse de una mujer relacionada con este tema que empezaremos a tratar. Si caminan por los pasillos de la facultad de ciencias, en una de sus escaleras hayaran el mural de Emmy Noether (quizá no se parece mucho, y no le dieron el tiempo suficiente a la persona que hizo el trabajo creativo, pero es valioso que se reconozca el trabajo de la científica). A esta matemática se le deben algunos de los conceptos que trataremos en este capítulo. Nacida el 23 de marzo de 1882 en Erlangen, región bávara alemana, su investigación fue variada y extensa. En física es famosa por el teorema de Noether, relacionado a las conservaciones de magnitudes físicas con simetrías en el formalismo matemático. Para el caso tratado aquí lo relevante es su labor en el álgebra abstracta. Fue una de las primeras mujeres en poder matricularse en la universidad de Baviera donde tomó clases con Karl Schwarzschild (también muy conocido en la física y astrofísica), Minkowski, Klein y Hilbert.
+
+Por varios años ya tras titularse dio clases en la universidad de Erlangen sin recibir sueldo, entre que suplía a su padre y que no tenían contemplado darle un sueldo de profesora a una mujer. Hilbert y Klein insistieron en que se le dejara ingresar como profesora a la universidad de Gotinga, pero una parte de la facultad se negó, un tanto ante el \emph{qué dirán}. A esto Hilbert respondió: \emph{``No veo por qué el sexo de un candidato pueda ser un argumento en contra de su admisión como \textbf{privatdozent}. Después de todo, somos una universidad, no un establecimiento de baños''}.
+
+\begin{figure}[h!]
+  \begin{center}
+    \includegraphics[width=0.3\linewidth]{noether.jpg}
+    \caption{Amalie Emmy Noether, imagen de dominio  público.}
+    \label{fig:noether}
+  \end{center}
+\end{figure} 
+
+La inducción bien fundada también es conocida como inducción noetheriana, justo por la labor de la matemática al respecto. Este tipo de inducción sucede en conjuntos parcialmente ordenadas, que tienen un orden bien fundado. Dado un orden parcial $\leq$ sobre un conjunto $A$, el \emph{orden estricto} $<$ asociado con $\leq$ se define como:
+\begin{equation}
+  x<y \text{ si y sólo si } x\leq y \text{ y } x\neq y.
+\end{equation}
+
+Un conjunto parcialmente ordenado $\langle A, \leq \rangle$ está \emph{bien fundado} si y sólo si no tiene infinitas secuencias decrecientes $(x_i)_{i\in \mathbb{N}}$, es decir, secuencias tales que $x_{i+1}<x_i$ para toda $i\geq0$.
+
+\newtheorem{lema}{Lema}
+\begin{lema}
+  Dado un conjunto parcialmente ordenado $\langle A,\leq \rangle$, $\langle A,\leq \rangle$ es un conjunto bien fundado si y sólo si todo subconjunto no vacío de $A$ tiene un elemento minimal. 
+\end{lema}
+
+\emph{De izquierda a derecha}: Suponemos que $\langle A,\leq \rangle$ es bien fundado, como lo hace el libro \cite{Gallier2003} es por contradicción, suponiendo que cualquier subconjunto $X\subset A$ y que no tiene un elemento minimal, entonces para cualquier $x\in X$ existe una $y\in X$ tal que $y<x$, no hay un minimal $x\in X$. Como $X$ no es vacío existe $x_0\in X$, y de ser cierto lo anterior entonces existe $x_1\in X$ tal que $x_1<x_0$. Si aplicamos este argumento de manera recursiva llegamos a que tenemos una secuencia infinita decreciente, pero eso es una contradicción con nuestra suposición inicial de que el conjunto es bien fundado. Es necesario que $X$ tenga un minimal.
+
+\emph{De derecha a izquierda}: Suponemos que todo subconjunto no vacío de $A$ tiene un minimal. Si una secuencia infinita decreciente $(x_i)$ existe en $A$, debe tener a fuerzas, por la primera suposición, un minimal, pero esto contradice el hecho de que $x_{k+1}< x_k\square$.
+
+Ahora sí, el momento más esperado del día \textbf{definiremos el principio de inducción completa o estructural}.
+
+\begin{defi}
+  Sea $\langle A,\leq \rangle$ un conjunto ordenado parcialmente bien fundado, y sea $P$ una propiedad del conjunto $A$, es decir, la función $P: A\rightarrow \{\mathbf{false}, \mathbf{true}\}$. Decimos que $P(x)$ se cumple si $P(x)=\mathbf{true}$.
+  Para probar que una propiedad $P$ se cumple para toda $z\in A$, basta con mostrar que para toda $x\in A$:
+  \begin{itemize}
+  \item \textbf{Hipótesis inductiva:} si $x$ es minimal o $P(y)$ es cierto para toda $y<x$
+  \item entonces $P(x)$ se cumple.
+  \end{itemize}
+\end{defi}
+
+El \textbf{paso inductivo} es que para toda $x$, el primer inciso implica el segundo. De manera formal:
+
+\begin{equation}
+  (\forall x\in A)[(\forall y\in A)(y<x \supset P(y))\supset P(x)] \supset (\forall z\in A)P(z)
+\end{equation}
+
+Nótese que $x$ es minimal, $P(x)$ es el o los \emph{casos base}.
+
+\begin{lema}
+  El principio de inducción completa se cumple para todo conjunto bien fundado.
+\end{lema}
+
+Y de nueva cuenta el autor de la ya tan citada obra en estas notas lo hace por contradicción:
+
+\emph{Prueba}: Supongamos el principio de inducción completa es falso, entonces
+\begin{equation}
+  (\forall x\in A)[(\forall y\in A)(y<x \supset P(y))\supset P(x)],
+  \label{ec:ver}
+\end{equation}
+\noindent es verdadero, pero $(\forall z\in A)P(z)$ es falso, es decir $(\exists z\in A)(P(z)=\mathbf{false})$ es verdadero. En ese caso el conjunto
+
+\begin{equation}
+  X=\{x\in A \mid P(x)=\mathbf{false}\},
+\end{equation}
+
+\noindent es no vacío. Como $A$ es bien fundado, $X$ tiene algún minimal $b$. Como \ref{ec:ver} es verdadero para toda $x\in A$, sea $x=b$
+
+\begin{equation}
+  [(\forall y\in A)(y<b \supset P(y))\supset P(b)],
+  \label{ec:sub}
+\end{equation}
+
+\noindent es verdadero. Si $b$ además es minimal en $A$, na hay $y\in A$ tal que $y<b$, entonces
+
+\begin{equation}
+  (\forall y\in A)(y<b \supset P(y)),
+\end{equation}
+
+\noindent es cierto de manera trivial (\emph{tribilín}) y entonces $P(b)=\mathbf{true}$ lo que contradice que $b\in X$. De otra forma, para toda $y\in A$ tal que $y<b$, $P(y)=\mathbf{true}$, ya que $y$ pertenecería a $X$ y $b$ ya no sería minimal. Pero entonces
+\begin{equation}
+  (\forall y\in A)(y<b \supset P(y)),
+\end{equation}
+
+\noindent también sería cierto y  \ref{ec:sub}implica que $P(y)=\mathbf{true}$, contradiciendo el hecho de que $b\in X$. Por lo tanto inducción completa es válida para conjuntos bien fundados $\square$.
+\subsection{Ejercicios}
+Veamos un ejercicio de inducción.
+
+\textbf{Proposición:} Todo entero $n\geq 2$ es un producto de números primos.\\
+\textbf{Demostración:} Para $n\geq 2$ denotamos $P(n)$ como el enunciado ``$n$ es un número primo o el producto de dos números primos''.\\
+\textbf{Base inductiva.} $P(2)$ es verdadero ya que $2$ es un número primo.\\
+\textbf{Hipótesis inductiva.} Suponemos $n\geq 2$ y $P(n)$ verdadera para $2\leq k\leq n$. Probamos que $P(n+1)$ es verdadero.
+\begin{itemize}
+\item Si $n+1$ es primo ya la hicimos.
+\item De lo contrario sabemos que $2\leq k\leq n < n+1$, entonces existen $x,y\leq n $, y $n+1=xy$, como $x,y\leq n$ entonces $P(x)$ y $P(y)$ existen, por lo tanto $n+1$ es producto de primos y $P(n+1)$ existe. 
+\end{itemize}
+
+Considera la siguiente función que actúa sobre árboles ternarios de naturales ($A_3(a,b,c)$ es un árbol con ramas $a,b,c$):
+\begin{align*}
+  card(n) =& 1\ n\in \mathbb{N} \\
+  card(A_3(a,b,c)) =& card(a) + card(b) + card(c) \\
+  prof(n) =& 1\ n\in \mathbb{N} \\
+  prof(A_3(a,b,c)) =& \text{máximo}\{ prof(a), prof(b), prof(c) \} +1
+\end{align*}
+Demuestra por inducción bien fundada que $card(a)\leq 3^{prof(a)}$
+
+\begin{figure}
+  \begin{center}
+    \begin{tikzpicture}
+      [
+        %level 1/.style = {sibling distance = 2.0cm, level distance = 0.8cm}
+        level 2/.style = {sibling distance = 0.5cm, level distance = 0.8cm}
+      ] 
+      \node {S}
+      child {node {A}
+        child {node {$a_1$}}
+        child {node {$a_2$}}
+        child {node {$a_3$}}}
+      child {node {B}
+        child {node {$b_1$}}
+        child {node {$b_2$}}
+        child {node {$b_3$}}}
+      child {node {C}
+        child {node {$c_1$}}
+        child {node {$c_2$}}
+        child {node {$c_3$}}};
+        
+    \end{tikzpicture}
+    \caption{Árbol ternario.}
+    \label{fig:tree1}
+  \end{center}
+\end{figure}
+
+\textbf{Base inductiva:} $card(a) = 1$ si $a\in \mathbb{N}$, para el mismo caso $prof(n)=1$. $card(a)=1\leq 3 = 3^1=3^{card(a)}$.
+\textbf{Hipótesis inductiva:} Suponemos que es cierto para $card(A(\square,\square,\square))=3^{prof(A)}$. Por demostrar que es cierto para $B(A,S,T)$.
+\begin{align*}
+  card(B(A,S,T))=& card(A) + card(S) + card(T)\\
+  \leq& 3^{prof(A)} + card(S) + card(T)\\
+  \leq& 3^{prof(A)} + 3^{prof(S)} + 3^{prof(T)}\\
+  \leq& 3(3^{\text{máximo}\{prof(A),prof(S), prof(T)\}})\\
+  =& 3^{\text{máximo}\{prof(A),prof(S), prof(T)\}+1}=3^{prof(B(A,S,T))}
+\end{align*}
+
+\subsection{Orden lexicográfico}
+
+\begin{defi}
+  Sea un conjunto parcialmente ordenado $\langle A,\leq \rangle$, el orden lexicográfico $<_L$ en $A\times A$ inducido por $\leq$ se define: para todas $x,y,x',y'\in A$,
+  \begin{align}
+    (x,y)&<_L (x',y') \text{ si y sólo sí}\\
+    & x=x' \text{ y } y=y', \text{ o }\\
+    & x<x' \text{ o }\\
+    & x=x' \text{ y } y<y'.
+  \end{align}
+\end{defi}
+
 
 
+\begin{thebibliography}{10}
+  \bibitem{Gallier2003} Gallier, Jean. ``Logic for computer science. Foundations of automatic theorem proving'' University of Pensylvania (2003) \url{https://www.researchgate.net/publication/31634432_Logic_for_computer_science_foundations_of_automatic_theorem_proving_JH_Gallier}
+  \bibitem{Lemus} Lemus, Vladimir. ``Notas para el curso de programación funcional para la física computacional'', \url{https://git.disroot.org/vladomiro/notas-tsfc}.
+\end{thebibliography}
 
 
-
-
-%Si caminan por los pasillos de la facultad de ciencias, en una de sus escaleras hayaran el mural de Emmy Noether (quizá no se parece mucho, y no le dieron el tiempo suficiente a la persona que hizo el trabajo creativo, pero es valioso que se reconozca el trabajo de Emmy Noether). A esta matemática se le deben algunos de los conceptos que trataremos en este capítulo, pero ya iremos hablando más de ella.
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 \end{document}