notas intro

recursion.tex

@@ -86,6 +86,7 @@ Y para no dejarlo, vamos a hacer más abstracto algo que ya usan desde hace año
   \begin{equation*}
     \{(a,c) \mid \exists b\in B,\ (a,b)\in R\text{ y } (b.c)\in S \}
   \end{equation*}
+  \label{def:comp}
 \end{defi}
 
 Con esto podemos definir uno de esos factores que nos resultán útiles para algunas propiedades algebraicas de los conjuntos, la identidad, en este caso la relación identidad ($I_{A}$) definida como $\{(x,x) \mid x\in A\}$, que es una función total. De manera similar podemos definir la relación \emph{conversa} que al pasarlo a términos de relaciones funcionales derivará en la función inversa.
@@ -146,13 +147,69 @@ Si hablamos de secuencias y el conjunto índice son los naturales, la secuencia
   \item Una relación binaria $R\subset A\times A$ es \emph{reflexiva} si y sólo si para toda $x\in A$, $(x,x)\in R$.
   \item La relación $R$ es \emph{simétrica} si y sólo si para toda las $x,y\in A$, $(x,y)\in R$ implica que $(y,x)\in R$.
   \item La relación $R$ es \emph{transitiva} si y sólo si para todas las $x,y,z\in A$, $(x,y)\in R$ y $(y,z)\in R$ implica que $(x,z)\in R$.
-    \item Si la relación $R$ cimple las tres características anteriores, entonces es una \emph{relación de equivalencia} 
+    \item Si la relación $R$ cumple las tres características anteriores, entonces es una \emph{relación de equivalencia} 
+  \end{itemize}
+  \label{def:rel}
+\end{defi}
+
+\begin{defi}
+  Dada una relación de equivalencia $R$ sobre un conjunto $A$ para toda $x\in A$, el conjunto $\{y\in A\mid (x,y)\in R\}$ es la \emph{clase de equivalencia} de $x$ \emph{módulo} $R$ y se escribe como $[x]_R$.
+\end{defi}
+
+Piensen en los enteros que entran en la clase de equivalencia del $2$ módulo $3$: $2$, $5$, $8$, $11$,$...$.
+
+Si juntamos todas las clases de equivalencia de los enteros módulo $3$ volvemos a formar todos los enteros, pero además ningún elemento está en dos clases a la vez.
+
+\begin{itemize}
+\item El conjunto de clases de equivalencia módulo $R$ es \emph{el cociente} de $A$ por $R$, $A/R$
+\item $A/R$ es también llamada una \emph{partición} de $A$, cualesquiera dos clases de equivalencia son no vacías y disjuntas.Su unión es $A$ misma.
+\item La función suprayectica $h_R : A\rightarrow A/R$ es la \emph{función canónica} respecto a $R$.
+\end{itemize}
+
+Dada cualquier relación $R$ sobre un conjunto $A$, las potencias de $R$ son:
+\begin{itemize}
+\item $R^0 = I_A$,
+\item $R^1= R$,
+\item $R^{n+1} = R^n \cdot R$
+\end{itemize}
+
+La unión $R^+=\bigcup_{n\geq 1} R^n$ es la \emph{cerradura transitiva} de $R$ y es la relación transitiva más pequeña sobre $A$ que contiene a $R$. Por otro lado $R^*=\bigcup_{n\geq 0} R^n$ es la \emph{cerradura reflexiva y transitiva}.
+
+Vamos a un ejercicio:
+
+\begin{enumerate}
+  \item Dada una relación $R$ sobre un conjunto $A$, prueba que $R$ es transitiva \emph{si y sólo si} $R\cdot R\subset R$.
+\end{enumerate}
+
+\emph{De izquierda a derecha}: Asumimos $R$ es transitiva, por definición \ref{def:rel} $R$ es transitiva si y sólo si para todas $x,y,z\in A$, que $(x,y)\in R$ y $(y,z)\in R$ implican que $(x,z)\in R$. Es decir que si $(a,c)\in R$ existe una $b$ tal que $(a,b)\in R$ y $(b,c)\in R$. Pero si recuerdan esta es la definición \ref{def:comp} de la composición de relaciones, si $(a,b)\in R$ y $(b,c)\in R$ entonces $(a,c)\in R\cdot R$ y como $(a,c)\in R$, entonces $R\cdot R \subset R$.
+
+\emph{De derecha a izquierda}: Es similar, por definiciones.
+
+\section*{Órdenes parciales y totales}
+Nos vamos acercando poco a poco a lo que es el tema de esta sección, pero requerimos tener claras las definiciones. Van unas pocas más.
+
+\begin{defi}
+  Una relación $R$ sobre un conjunto $A$ es \emph{antisimétrica} si y sólo si para toda $x,y\in A$, $(x,y)\in R$ y $(y,x)\in R$ implica que $x=y$ 
+\end{defi}
+
+\begin{defi}
+  \begin{itemize}
+  \item Una relación $R$ sobre $A$ es un \emph{orden parcial} si y sólo si $R$ es reflexiva, transitiva y antisimétrica.
+  \item Dado un orden parcial $R$ en $A$, la pareja $\langle A,R \rangle$ es llamado un \emph{conjunto parcialmente ordenado}. Un orden parcial se denota por el símbolo $\leq$.
+  \item Dado un orden parcial $\leq$ en $A$, dado cualquier subconjunto $X$ de $A$, $X$ es una \emph{cadena} si y sólo si para todos $x,y\in X$, o $x\leq y$ o $y\leq x$.
+  \item Un orden parcial $\leq$ en un conjunto $A$ es un \emph{orden total} (u \emph{orden lineal}) si y sólo si $A$ es una cadena.
+  \item Dado un orden parcial $\geq$ en un conjunto $A$, dado cualquier $X\subset A$, un elemento $b\in A$ es una \emph{cota inferior} de $X$ si y sólo si para toda $x\in X$, $b\leq X$. Por el otro extremo $m\in A$ es una \emph{cota superior} si y sólo si para toda $x\in X$, $x\leq m$.
+  \item Un elemento $b\in X$ es el \emph{elemento menor} de $X$ si y sólo si para toda $x\in X$, $b\leq x$.
+    \item Dado un subconjunto $X$ de $A$, un elemento $b\in X$ es minimal en $X$ si y sólo si para toda $x\in X$, $x\leq b$ implica que $x=b$.
   \end{itemize}
 \end{defi}
 
 
 
 
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 %Si caminan por los pasillos de la facultad de ciencias, en una de sus escaleras hayaran el mural de Emmy Noether (quizá no se parece mucho, y no le dieron el tiempo suficiente a la persona que hizo el trabajo creativo, pero es valioso que se reconozca el trabajo de Emmy Noether). A esta matemática se le deben algunos de los conceptos que trataremos en este capítulo, pero ya iremos hablando más de ella.
 
 \end{document}