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def pascal(n):
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if n==1:
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return [1]
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else:
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r=pascal(n-1)
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x=[0]+r
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y=r+[0]
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return [i+j for i,j in zip(x,y)]
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def conc(func,n):
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nueva = [0]+func(n)
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print(nueva)
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def concs(func,n):
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nueva = func(n)+func(n+1)
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print(nueva)
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conc(pascal,5)
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concs(pascal,5)
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def pascal(n):
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if n==1:
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return [1]
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else:
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r=pascal(n-1)
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x=[0]+r
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y=r+[0]
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return [i+j for i,j in zip(x,y)]
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def conc(func,n):
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nueva = [0]+func(n)
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print(nueva)
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conc(pascal,5)
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Binary file not shown.
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\lstloadlanguages{Matlab} %use listings with Matlab for Pseudocode
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\lstnewenvironment{PseudoCode}[1][]
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\author{Programación funcional para la física computacional}
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\title{Cálculo $\lambda$ y programación funcional}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section*{Máquinas de Turing}
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La máquina de Turing es uno de los modelos de computación más usados, es lo más cercano a una computadora (como la que usaron para bajar este pdf, y quizá hasta para leerlo), pero no es el único modelo. Ahora lo mencionó sólo para dar entrada a la idea del cálculo $\lambda$, para entender las cosas. No sé si será el método más pedagógico, o el más sencillo, pero es el estándar en la mayoría de libros del tema (además de que Turing es el más famoso de los matemáticos que trabajaron inicialmente en el área). Los modelos son equivalentes, así que no perderemos generalidad.
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Una máquina de Turing se compone de un conjunto finito de estados $Q$, una cinta semi-infinita limitada por la izquierda con el símbolo $\vdash$ e ilimitada por la derecha (este límite izquierdo es para saber donde empieza la cinta) y una cabeza que puede moverse a izquierda y derecha, capaz de leer y escribir caracteres en la cinta\footnote{Son muy jóvenes para recordar los casetes quizá, aunque por ahí hay unos intentos retros de revivirlos, pero si alguna vez han visto uno con su respectivo reproductor podrán notar que cuenta con una cinta magnética de color café o negro, que es leída por una cabeza también magnética. Era un formato de no muy buena calidad, de riesgo pues un imán de potencia suficiente podía dañar la cinta y los carretes podían provocar accidentes como enrollarse o atorarse. Hubo computadoras que usaban casetes para leer programas, para una crónica al respecto echen un ojo a: \url{https://www.xataka.com/historia-tecnologica/cuando-los-videojuegos-venian-en-cassette-y-habia-que-rebobinarlos-para-poder-jugar}}. Las palabras de entrada, de longitud finita, se escriben sobre la cinta de izquierda a derecha (como escribimos nosotros). Al terminar la palabra de entrada en el resto de casillas de la cinta para distinguir que no contienen caracter alguno está pre-escrito el símbolo $\textvisiblespace$. Un esquema ejemplificando esta disposición se muestra en la figura \ref{fig:tur}.
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\begin{figure}[h]
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[every node/.style={block},
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block/.style={minimum height=1.5em,outer sep=0pt,draw,rectangle,node distance=0pt}]
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\node (A) {$a$};
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\node (B) [left=of A] {$\ldots$};
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\node (C) [left=of B] {$\vdash$};
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\node (D) [right=of A] {$\ldots$};
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\node (E) [right=of D] {$\textvisiblespace$};
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\node (F) [above = 0.75cm of A,draw=red,thick] {\textsf Q};
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\draw[-latex] (F) -- (A);
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%\draw[-latex,blue] ($(F.east)!0.5!(A.east)$) -- ++(7mm,0);
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\draw (C.north west) -- ++(-1cm,0) (C.south west) -- ++ (-1cm,0)
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||||
(E.north east) -- ++(1cm,0) (E.south east) -- ++ (1cm,0);
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||||
\end{tikzpicture}
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||||
\caption{Esquema mecánico de una máquina de Turing.}
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\end{center}
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\label{fig:tur}
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\end{figure}
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Podemos dar una definición formal:
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\newtheorem{defi}{Definición}
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\begin{defi}
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Una máquina de Turing determinista, de cinta única es una 9-tupla (yo lo traduciría como un noneto o enéada, pero quizá no es la terminología) descrita como:
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\begin{equation*}
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M=(Q,\Sigma, \Gamma,\vdash,\textvisiblespace,\delta,s,t,r)
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\end{equation*}
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con:
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\begin{itemize}
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\item $Q$ es el conjunto finito de estados
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\item $\Sigma$ es el alfabeto de entrada (finito)
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\item $\Gamma$ es el alfabeto de cinta (finito), con $\Sigma \subseteq \Gamma$
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\item $\vdash \in \Gamma - \Sigma$ el símbolo de inicio de la cinta
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\item $\textvisiblespace \in \Gamma - \Sigma$ el símbolo de espacio en blanco
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\item $\delta: Q\times \Gamma \rightarrow Q\times \Gamma \times \{ \rightarrow,\leftarrow \}$ la función de transición
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\item $s\in Q$ el estado inicial
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\item $t\in Q$ el estado de aceptación
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\item $r\in Q$ el estado de rechazo.
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\end{itemize}
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\end{defi}
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\subsection*{Un ejemplo}
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Sea la máquina de Turing que decida el lenguaje $A=\{ 0^{2^n}|n\geq 0 \}$, es decir, el lenguaje con puras cadenas de $0$'s que su longitud sea una potencia de $2$.
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\begin{center}
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\begin{tabular}{ | c | c | c | c | c | c }
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\hline
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& $\vdash$ & $0$ & $x$ & $\textvisiblespace$ \\ \hline
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$s$ & $(s,\vdash,\rightarrow)$ & $(q_1,\textvisiblespace,\rightarrow)$ & $(r,-,-)$ & $(r,-,-)$ \\ \hline
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||||
$q_1$ & & $(q_2,x,\rightarrow)$ & $(q_1,x,\rightarrow)$ & $(t,-,-)$ \\ \hline
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||||
$q_2$ & & $(q_3,0,\rightarrow)$ & $(q_2,x,\rightarrow)$ & $(q_4,\textvisiblespace,\leftarrow)$ \\ \hline
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||||
$q_3$ & & $(q_2,x,\rightarrow)$ & $(q_3,x,\rightarrow)$ & $(r,-,-)$ \\ \hline
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||||
$q_4$ & & $(q_4,0,\leftarrow)$ & $(q_4,x,\leftarrow)$ & $(q_1,\textvisiblespace,\rightarrow)$ \\
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||||
\hline
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||||
\end{tabular}
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||||
\end{center}
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\begin{figure}[h]
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||||
\begin{center}
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\begin{tikzpicture}%[shorten >=1pt,node distance=2cm,on grid,auto]
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\node[state,initial,initial text= ] (S) {$S$};
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||||
\node[state,xshift=1cm,right=of S] (q_1) {$q_1$};
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||||
\node[state,above right=of q_1] (q_4) {$q_4$};
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||||
\node[state,below right=of q_4] (q_2) {$q_2$};
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||||
\node[state,below=of S] (r) {$r$};
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||||
\node[state,below=of q_1] (t) {$t$};
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||||
\node[state,below=of q_2] (q_3) {$q_3$};
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\path [-stealth,thick]
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||||
(S) edge node[yshift=-0.3cm]{$0\Rightarrow \textvisiblespace, \rightarrow$} (q_1)
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edge node[xshift=-0.5cm] {$\begin{array}{c l}
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\textvisiblespace \Rightarrow - \\
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||||
x\Rightarrow -
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||||
\end{array}$} (r)
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(q_1) edge node[yshift=-0.3cm]{$0\Rightarrow x,\rightarrow$} (q_2)
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||||
edge [loop above] node {$x\Rightarrow \rightarrow$} ()
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edge node[xshift=-0.5cm]{$\textvisiblespace \Rightarrow -$} (t)
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||||
(q_2) edge[loop above] node{$x\Rightarrow \rightarrow$} ()
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||||
edge [bend right] node[xshift=-0.5cm]{$0\Rightarrow \rightarrow$} (q_3)
|
||||
edge node{$\textvisiblespace \Rightarrow \leftarrow$} (q_4)
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||||
(q_3) edge[bend right] node[xshift=0.5cm]{$0\Rightarrow x,\rightarrow$} (q_2)
|
||||
edge [loop right] node{$x\Rightarrow \rightarrow$} ()
|
||||
edge [bend left] node[yshift=0.3cm]{$\textvisiblespace \Rightarrow -$} (r)
|
||||
(q_4) edge[loop above] node{$\begin{array}{c l}
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||||
0 \Rightarrow \leftarrow \\
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||||
x\Rightarrow \leftarrow
|
||||
\end{array}$} ()
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||||
edge node{$\textvisiblespace \Rightarrow \rightarrow$} (q_1);
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||||
\end{tikzpicture}
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||||
\caption{Diagrama de estados de la máquina de Turing descrita.}
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\label{fig:tur3}
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\end{center}
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\end{figure}
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\section*{Otros modelos computacionales}
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El modelo de máquina de Turing ajusta muy bien para cuando se trabaja de manera teórica con computadoras, pero quizá pueda parecer demasiado mecánico y no se parece a como operamos con computadoras hoy en día. Existen más modelos que sonm equivalentes, sabemos de esa equivalencia por la \textbf{tesis Church-Turing}.
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\newtheorem{church}{Tesis de Church-Turing}
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\begin{church}
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Toda función es efectivamente calculable sí y sólo sí es calculable por una máquina de Turing.
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\end{church}
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En esos otros modelos se encuentran las funciones recursivas $\mu$, relacionadas dierctamente al trabajo de Gödel al preguntarse ¿cuál es el mínimo de funciones necesarias para definir a todas las funciones computables?
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\begin{enumerate}
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\item \emph{Sucesor}. La función $\mathbf{s}:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ dadas por $\mathbf{s}(x)=x+1$ es computable.
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\item \emph{Cero}. La función $\mathbf{z}: \mathbb{N}^0 \rightarrow \mathbb{N}$ dada por $\mathbb{z}()=0$ es computable.
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\item \emph{Proyecciones}. Las funciones $\pi_k^n: \mathbb{N}^n \rightarrow \mathbb{N}$ dadas por $\pi_k^n(x_1,...,x_n) = x_k,\ 1\leq k \leq n$, son computables.
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||||
\item \emph{Composición}. Si $f:\mathbb{N}^k \rightarrow \mathbb{N}$ y $g_1,...g_k:\mathbb{N}^n \rightarrow \mathbb{N}$ son computables, entonces también lo es la función $f\circ (g_1,...,g_k):\mathbb{N}^n \rightarrow\mathbb{N}$ que en la entrada $\overline{x}= x_1,...,x_n$, da
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\begin{equation*}
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f(g_1(\overline{x}),...,g_k(\overline{x}))
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\end{equation*}
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\item \emph{Recursión primitiva}. Si $h_i:\mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}$ y $g_i:\mathbb{N}^{n+k+1} \rightarrow \mathbb{N}$ son computables, $1\leq i \leq k$, entonces también lo son las funciones $f_i:\mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N},\ 1\leq i \leq k$, definidas por inducción mutua de la siguiente manera:
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\begin{align*}
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f_i(0,\overline{x}) &\overset{def}{=} h_i(x) \\
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f_i(x+1,\overline{x}) &\overset{def}{=} g_i(x,\overline{x},f_1(x,\overline{x}),...,f_k(x,\overline{x})),
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||||
\end{align*}
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||||
donde $\overline{x}=x_1,...,x_n$.
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||||
\item \emph{Minimización no acotada}. Si $g:\mathbb{N}^{n+1} \rightarrow \mathbb{N}$ es computable, entonces también lo es la función $f:\mathbb{N}^n \rightarrow $ que con la entrada $\overline{x}=x_1,...,x_n$ de al menos $y$ tal que $g(z,\overline{x})$ esté definida para todas las $z\leq y$ y $g(y,\overline{x})=0$ si tal $y$, y está indefinida de otra manera. Esto se denota como:
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\begin{equation*}
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f(\overline{x})=\mu y.(g(y,\overline{x})=0)
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||||
\end{equation*}
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||||
\end{enumerate}
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\begin{thebibliography}{10}
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||||
\bibitem{Thompson1996} Thompson, Simon J.. ``Haskell - the craft of functional programming.'' International computer science series (1996).
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||||
\bibitem{VanRoy2009} Van Roy, Peter. ``Programming paradigms for dummies: what every programmer should know.'' (2009).
|
||||
\bibitem{VanRoy2004} Van Roy, Peter, Haridi, Seif. ``Concepts, Techniques, and Models of Computer Programming''. *The MIT Press*, (2004). ISBN: 0262220695
|
||||
\bibitem{Kowalski1988} Kowalski, Robert. ``The early years of logic programming'',\textit{Communications of the ACM}, \textbf{31}, 1, (1988).
|
||||
\bibitem{python_concurrency} \url{https://realpython.com/python-concurrency/}, revisado el 15 de febrero de 2023.
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||||
\end{thebibliography}
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||||
\end{document}
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@ -0,0 +1,412 @@
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\documentclass[10pt,a4paper]{article}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage[spanish]{babel}
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\usepackage{caption}
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||||
\author{Programación funcional para la física computacional}
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\title{Introducción}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section*{Lenguajes de programación y sus conceptos básicos}
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A veces los mayores descubrimientos vienen de darse cuenta de qué es lo que no se puede hacer. Ese es el caso de las computadoras, a partir de saber lo que no podemos automatizar, es que podemos construir computadoras para automatizar ciertos procesos, apoyarnos en cálculos extensos para el caso de la física e incluso estudiar sobre fenomenos de la naturaleza y la sociedad, como sucede con casi todas las ciencias sean naturales, formales y hasta sociales.
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Los lenguajes de programación prácticos, usados día a día y que son un poco más amables con los programadores, son una estructura complicada, pero las ideas importantes en la labor de la programación son simples.
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\subsection*{Conceptos básicos}
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\begin{itemize}
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\item[Programa:] Descripción de como se manipula la información.
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\item[Lenguaje de programación:] Lenguaje formal, artificial usado para dar instrucciones a una computadora.
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\item[Lenguaje de alto nivel:] En lugar de pensar en controlar el *hardware* directamente, se piensa en el programa.
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\end{itemize}
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Un paradigma de programación es un enfoque para programar una computadora basado en una teoría matemática o un conjunto coherente de principios.
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\begin{itemize}
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\item \textbf{Programación estructurada}: Uso extensivo de flujo de control estructurado: $if$, $while$, $for$.
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\item \textbf{Programación orientada a objetos}: una gran cantidad de abstracciones de datos con características comunes y una jerarquía: física de partículas y C++.
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\item \textbf{Programación lógica}: manejar estructuras simbólicas complejas de acuerdo a las reglas de la lógica (ejemplo pendiente).
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\item \textbf{Programación funcional}: Usa funciones matemáticas en lugar de declaraciones para expresar las ideas. Como no depende de los estados hay menor riesgo de \textbf{no determinismo}.
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\end{itemize}
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Por lo regular los lenguajes populares de programación tienen a lo más dos paradigmas (como C++ y java), pero lo mejor sería que todo lenguaje de programación acepte múltiples paradigmas. Multiparadigma es el término que se usa para nombrar, como si fuera una cualidad específica y no algo deseable en todo lenguaje.
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\subsection*{Programación orientada a objetos}
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Uno de los paradigmas más populares, uno de los primeros a llegar a las computadoras en laboratorios y personales.
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De sus primeras implementaciones se menciona al lenguaje \textit{Simula67} que fue una ampliación de \textit{Algol60}, el primero en introducir los conceptos de \textbf{objeto}, \textbf{clase}, \textbf{subclases} y \textbf{herencia}.
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Ya en 1980 aparecen $C++$ y $Smaltalk-80$, siendo el primero uno de los lenguajes más utilizados aún hoy en día. Java y C++ son lenguajes de programación orientada a objetos y basta con buscar en internet para notar que son dos de los lenguajes más utilizados en casi cualquier ámbito.
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Dentro de la física suele ser muy utilizado en simulaciones de física de partrículas. Una parte importante del software para el análisis de datos y simulaciones para el LHC está enm $C++$ aunque partió un poco del $FORTRAN$ y empieza a incluir $Python$. El poder definir clases y objetos facilita el manejo de las partículas elementales en las simulaciones, o los árboles de datos en el análisis de los experimentos.
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\subsection*{Programación lógica}
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Como menciona [Kowalski1988] definir la programación lógica puede ser un poco ambiguo. ``La programación lógica comparte con la demostración automática de teoremas el uso de la lógica para representar conocimiento y el uso de la deducción para resolver problemas al derivar consecuencias lógicas''. pero a su vez dice que ``difiere de la demostración mecánica de teoremas en dos formas distintas pero complementarias: (1) explota el hecho de que la lógica puede utilizarse para expresar definiciones de funciones computable y procedimientos, y (2)explota el uso de procedimientos de prueba que realizan deducciones de manera dirigida por el objetivo, para correr tales definiciones como programas''.
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Uno de los lenguajes de programación lógica más utilizados es $Prolog$, con aplicaciones en inteligencia artificial. No sé de algún uso en la física.
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\subsection*{Programación funcional}
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Como su nombre lo dice, la programación funcional parte de funciones. Podría pensarse que un poco como $Fortran$ no está pensado para crear aplicaciones, si no sólo resolver problemas matemáticos, pero no, su impronta ha sido tan dinámica hasta llegar a tener software para la creación musical (\textit{tidal cycles}) y para la transformación de formatos de texto (\textit{pandoc}). Realmente es una manera de concentrarse en las relaciones entre valores más que en los objetos con que se trabaja.
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Usemos el clásico ejemplo de la función como una caja negra, como se puede ver en la figura \ref{fig:func}. La función recibe uno, dos o más argumentos, valores, objetos, en general entradas, y regresa una o más salidas o resultados.
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||||
\begin{center}
|
||||
\begin{figure}[h!]
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\draw[black, very thick] (0,0) rectangle (3,2);
|
||||
\draw[-latex,line width=2pt,black] (-0.8,0.5)--(0,0.5);
|
||||
\draw[-latex,line width=2pt,black] (-0.8,1.5)--(0,1.5);
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||||
\draw[-latex,line width=2pt,black] (3,1)--(3.8,1);
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\draw[black, very thick] (6,0) rectangle (9,2);
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\filldraw[black] (7.5,1.5) circle (0pt) node[below]{Producto escalar};
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\draw[-latex,line width=2pt,black] (5.2,0.5)--(6,0.5);
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\filldraw[black] (5.2,0.5) circle (1pt) node[below]{$(3,2,1)$};
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\draw[-latex,line width=2pt,black] (5.2,1.5)--(6,1.5);
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\filldraw[black] (5.2,1.5) circle (1pt) node[above]{$(2,1,2)$};
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\draw[-latex,line width=2pt,black] (9,1)--(9.8,1);
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\filldraw[black] (9.8,1) circle (0pt) node[above]{$10$};
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\end{tikzpicture}
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\caption{Una función representada como caja negra.}
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\end{figure}
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\label{fig:func}
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\end{center}
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Podría ser una función que recibe como entrada un programa y te dice si tu programa está bien escrito y dará un resultado (\textbf{¿es eso posible?}).
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¿Cómo diferencia una función si se le da un vector, un escalar, un sonido o incluso un programa de computación? Eso tiene que ver con los \textbf{tipos}, que son colecciones de valores agrupados juntos por ciertas características que comparten. Como estamos pensando funcionalmente: podemos aplicar relaciones parecidas entre esos valores, les aplicamos los mismos tipos de funciones.
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En el caso de la figura \ref{fig:func}(b) los tipos de las entradas son vectores, el tipo de la salida es escalar.
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\textit{Haskell} es el lenguaje de programación funcional que usaremos en parte de este curso, \textit{python} permite implementarlo pero no de manera nativa como lo hace \textit{Haskell}. Recibe su nombre por Haskell B. Curry, matemático especializado en lógica que trabajo ampliamente en el calculo $\lambda$, una teoría matemática de las funciones que veremos con un poco más de detalle más adelante.
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\section*{Cuestiones generales de los lenguajes de programación}
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Pensemos en la cuestión más sencilla al usar un lenguaje de programación en nuestra área de trabajo, pensaríamos en hacer una calculadora lo más amplia posible, hasta incluir matrices, cálculos de números complejos. ¿Qué necesitamos?
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\begin{itemize}
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\item Operaciones sencillas: suma, resta, multiplicación, producto escalar, multiplicación de matrices...
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\item Variables: atajos a valores, sólo se asignan una vez. Cada variable cuenta con un identificador y valor guardado, que viene de un estado de memoria. Para esto existen enunciados declarativos.
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\item Funciones: ya las explicamos más o menos a detalle en la sección pasada.
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\item Recursión: poder definir una función a partir de ella misma, en el caso de que dependa del valor anterior.
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\item Abstracciones funcionales: usar funciones para construir abstracciones, pensemos en una cebolla, varias capas de funciones.
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\end{itemize}
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Para entender un poco de como es eso de la recursión definamos la función factorial, primero como y¡una función, pero además como una función recursiva, hagámoslo en $python$.
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\begin{lstlisting}{language=Python}
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def fact(x): #definimos la funcion fact
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if x==0: #caso base
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return 1
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else:
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return x*fact(x-1) #para los demas casos
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x=int(input("Valor a calcular factorial:")) #dar valor
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print(fact(x)) #imprime el resultado
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\end{lstlisting}
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La función es definida en la línea $1$, el argumento será la variable $x$, a dársele en el momento que se desee evaluar. Como saben el factorial de $0$ vale $1$ por definición, el resto de valores se obtiene recursivamente a partir del anterior, así en general $n!=n\times(n-1)!$. Revisen el programa con unos pocos valores a ver que obtienen.
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Para trabajar con estructuras más allá de números podemos hacer uso de las listas, para desarrollar el tema de esta sección veamos un ejemplo algo abstracto pero que puede ser útil: el triángulo de Pascal.
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\subsection*{El triángulo de Pascal}
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El triángulo de Pascal es útil en combinatoria y está relacionado al teorema binomial. No dudo que les pueda ser útil más adelante, pero a esta altura lo veremos como un ejemplo al trabajar con tipos más elaborados que un escalar, los trataremos como listas de números.
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En la fila $1$ empieza con un $1$, la regla para construir los subsecuentes valores es ir en orden descendente sumando las parejas de números justo arriba. Las orillas se suponen llenas de ceros, así seguida de la fila $1$ sigue una pareja de números, el de la izquierda es la suma del $1$ de la fila $1$ con su vecino de la izquierda, que está vacío y tomamos como cero. Esto nos da $1$, de manera similar para el lado derecho, como puede verse en el cuadro \ref{tab:pascal}.
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\begin{table}[h!]
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\centering
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\begin{tabular}{rccccccccc}
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$n=1$:& & & & & 1\\\noalign{\smallskip\smallskip}
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$n=2$:& & & & 1 & & 1\\\noalign{\smallskip\smallskip}
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$n=3$:& & & 1 & & 2 & & 1\\\noalign{\smallskip\smallskip}
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$n=4$:& & 1 & & 3 & & 3 & & 1\\\noalign{\smallskip\smallskip}
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$n=5$:& 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1\\\noalign{\smallskip\smallskip}
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\end{tabular}
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\caption{Primeros $5$ niveles del triángulo de Pascal}
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\label{tab:pascal}
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\end{table}
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Ahora queremos construir una función que nos dé el valor de la fila $n$. Hagámoslo de manera similar al factorial, en $python$ y pensando en funciones. Esta vez no trabajaremos con números naturales, si no con listas de números naturales, en los que no sólo tendremos que operar sobre los números, también sobre la estructura.
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Pensando de nuevo en definir funciones lo que haríamos sería algo más o menos como lo que se ve en la figura \ref{fig:pseudo}.
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\begin{figure}[h]
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\caption{Desarrollo de arriba $pa'bajo$}
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\textbf{Datos:} El valor de la primera fila del triángulo de Pascal\\
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\textbf{Resultados:} Cualquier fila $n$ del triángulo de Pascal\\
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inicialización;
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\begin{PseudoCode}
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function Pascal(n):
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if n==1 then return [1];
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else
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return SumaLista(CorrerListaDerecha(n-1),CorrerListaIzquierda(n-1));
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end
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end
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\end{PseudoCode}
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\label{fig:pseudo}
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\end{figure}
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Esto se llama desarrollo de software de ``arriba a abajo'' (\textit{top-down}), proponemos las funciones que resuelvan los detalles y luego llenamos los huecos.
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¿Cómo serían esa funciones? Lo primero que tenemos que ver es que los objetos que nos regresa la función Pascal son listas, lo que le damos de entrada es un natural que identifica la fila del triángulo. Veamos qué es una lista.
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Una lista la podemos entender como una cadena de ligas, cada liga contiene dos cosas, un elemento de la lista y la referencia al resto de la cadena. Una lista vacía puede escribirse como $[\ ]$ o simplemente como $nil$. A esta lista vacía se le van agregando elementos\footnote{Esta terminología se tomó del lenguaje de programación \textit{lisp}, cuyo nombre deriva de \textit{list processing}.}.
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En $python$ una lista se define encerrada entre corchetes, así la lista vacía de nombre $a$ sería $a=[]$. Para agregar elementos se puede utilizare la función $append$. De esta forma podemos construir la lista $[8,2.3,-4]$ de la siguiente forma:
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\begin{lstlisting}{language=Python}
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a=[] #crea una lista vacia
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a.append(8) #va agregando elementos
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a.append(2.3)
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a.append(-4)
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print(a) #imprime la lista
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\end{lstlisting}
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Noten que los va agregando en el orden empezando de izquierda a derecha, tal como leemos las palabras del español. Pero podemos usar algunos atajos para agregar elementos por ambos lados, las funciones de concatenación de listas que se escriben como $+$, pero no debe confundirse con una suma de números, es una operación distinta al aplicarse en listas.
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\begin{lstlisting}{language=Python}
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a=[2.3] #crea la lista de un solo valor, el central
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a=[8]+a+[-4] #concatenamos por izquierda y derecha
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print(a) #imprime la lista
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\end{lstlisting}
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De esta forma podemos construir una función que nos dé la n-eva fila del triángulo de Pascal, lo que debemos hacer es generar dos listas, a una se le agregará por la izquierda un cero y a la otra por la derecha, para ser sumadas a continuación.
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\begin{lstlisting}{language=Python}
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def pascal(n):
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if n==1:
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return [1]
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else:
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x=[0]+pascal(n-1)
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y=pascal(n-1)+[0]
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return [i+j for i,j in zip(x,y)]
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n=int(input(``Fila (1,2,3,..)?:''))
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print(pascal(n))
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\end{lstlisting}
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\subsection*{Corrección}
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¿Cómo sabemos si lo que hacemos es correcto? Podemos comprobarlo para la línea $1$, $2$, $3$,..., pero ¿para la línea $20$?
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Yo espero recuerden sus cursos de álgebra (la de primer semestre, sea superior o para físicos, en ambas se veía por lo regular el tema de inducción. Al igual espero les hayan constado que hay tres tipos de inducción, son equivalentes pero cada tipo nos da detalles sobre dónde estamos trabajando.
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Para probar que nuestro programa es correcto necesitamos de un modelo matemático de las operaciones del lenguaje de programación, es decir, una semántica del lenguaje. Con esta semántica debemos especificar lo que queremos que el programa haga: especificación del programa. Por último se utilizan técnicas matemáticas para razonar sobre el programa, usando la semántica.
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Los tres tipos de inducción son la normal que conocen, sobre los números naturales, la inducción fuerte y la inducción bien fundada. Por ser la más general me centraré en la inducción bien fundada, pero como mencioné, son equivalentes.
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\newtheorem{defi}{Definición}
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\begin{defi}
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$(A,\preceq)$ es llamado un conjunto bien fundado si y sólo si todo subconjunto no vacío $M$ de $A$ contiene al menos un elemento minimal $m$ con respecto a la relación de orden $\preceq$.
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\end{defi}
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Entonces podemos ir más allá de los naturales siempre y cuando podamos dar una relación de orden para el conjunto sobre el que estamos trabajando.
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\newtheorem{teo}{Teorema}
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\begin{teo}
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(Principio de inducción Noetheriana) Sea $(A,\preceq)$ un conjunto bien fundado. Para probar que una propiedad $P(x)$ es verdadera para todos los elementos $x$ en $A$ es suficiente probar las siguientes propiedades:
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\begin{itemize}
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\item[(a)] \textbf{Base inductiva:} $P(x)$ es verdad para todos los elementos minimales de $A$.
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\item[(b)] \textbf{Paso inductivo} Para cada no minimal $x$ en $A$, si $P(y)$ es verdad para toda $y\prec x$ (\textbf{hipótesis inductiva}), entonces $P(x)$ es verdad.
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\end{itemize}
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\end{teo}
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Para darles un ejemplo no me detendré en el caso del triángulo de Pascal, pero sí en el factorial que antes hicimos. Más que un ejercicio es un ejemplo ilustrativo.
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\textbf{Ejemplo:} Demuestra que el factorial es una función total.
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Recordemos que nuestra función factorial está definida de la siguiente forma:
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\begin{align*}
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f(0) &= 0! = 1\\
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f(x) &= x(x-1)!, \ x>0 \text{ y } x\in\mathbb{N}.
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\end{align*}
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Entonces aplicamos la inducción:
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\begin{itemize}
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\item \textbf{Base inductiva:} Estamos trabajando en los naturales más el $0$ ($\mathbb{N}_0$), el minimal es el $0$ y por la definición de la función $f(0)=0!=1$, ya está.
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\item \textbf{Hipótesis inductiva:} Supongamos es cierto para $n>0$ con $n\in\mathbb{N}_0$, en ese caso tenemos que $f(n)=n!$.
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\item \textbf{Paso inductivo:} Probemos que se cumple para $n+1$. Para este caso por definición $f(n+1)=(n+1)n!$, como supusimos que $n!$ está valuado por consiguiente $(n+1)n!$ está valuado también, es solo una multiplicación de naturales que da un natural $\square$.
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\end{itemize}
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\subsection*{Complejidad}
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Ahora viene un ejercicio entretenido aunque puede llegar a preocupar en algún momento: determinar el tiempo de ejecución de nuestro programa.
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Por un lado es complicado dar un tiempo que valga para toda computadora, el tiempo que tarde dependerá mucho de la arquitectura, el RAM, si se corren más programas a la par, incluso la temperatura del equipo. Pero sobretodo nos interesa saber si podemos correr el programa en tiempos considerables, por un lado humanamente posibles, por otro viables para la tarea que buscamos.
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El tiempo de ejecución de un programa como función del tamaño de entrada, hasta un factor constante, es llamada la complejidad en el tiempo del programa. Es decir, existe una $t(n)$ que nos da el tiempo aproximado de la ejecución, un factor constante más o menos.
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¿Porqué tan impreciso se preguntarán? Si el tiempo es $t(3s)=K\times p(3)$ donde $p(3)$ es un polinomio valuado en $3$ no es lo mismo $K=1$ que $K=1,000,000$. Por un lado ya mencionamos que es una medida muy aproximada, pero además lo interesan te es saber que no se disparará el tiempo de ejecución, es muy diferente $t(n)=n^3$ que $t(n)=3^n$.
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\begin{figure}[ht!]
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\begin{center}
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\includegraphics[width=0.8\linewidth]{comple.jpg}
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\caption{Comparando la complejidad temporal $t(x)=x^3$ con $t(x)=3^x$ para valores muy pequeños.}
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\label{fig:comple}
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\end{center}
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\end{figure}
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¿Qué sucede para nuestro programa que calcula la fila $n$ del triángulo de Pascal? Notemos que como lo tenemos definido para calcular la fila $28$ llama dos veces a calcular la fila $27$, cada una de estas llama dos veces a calcular la fila $26$, lo que equivale a $4$ llamadas de la función, en cada paso se va multiplicando por dos, va como $2^n$, ¡en el paso $28$ hará $268435456$ llamadas a la función!
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¿Cómo podemos mejorarlo? Llamando solo una vez a la función.
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\begin{lstlisting}{language=Python}
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def pascal(n):
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if n==1:
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return [1]
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else:
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r=pascal(n-1)
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x=[0]+r
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y=r+[0]
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return [i+j for i,j in zip(x,y)]
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n=int(input(``Fila (1,2,3,..)?:''))
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print(pascal(n))
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\end{lstlisting}
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Prueben el tiempo y verán las mejoras en el tiempo, esta vez cada paso sólo llama una vez a la función.
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\subsection*{Evaluación perezosa}
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Imaginen que desean obtener todos los números primos posibles, más que eso, operar con ellos. Sin saber mucho de computación podemos estar seguros que esa labor es imposible, ya que es una cantidad de números infinitos. Todo lo que solemos operar en una computadora, o por medioas físicos es finito ¿como operar sobre estructuras infinitas?
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En ese caso se utiliza la evaluación perezosa, su principal característica es que el cálculo se realiza sólo cuando se necesita. Para poner un ejemplo, en la programación normal, ``chambeadora'' si quieres obtener un elemento de una secuencia de números primero debes decirle a la máquina cuál es esa secuencia de números. Ya sea que definas un arreglo o una lista, pero debes determinarlos todos. En la evaluación perezosa puedes trabajar con la estructura infinita y solo calcular el elemento cuando sea necesario evaluar, sin necesidad de generar toda la lista o arreglo antes.
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Pongamos un ejemplo, el más sencillo es tratar de obtener todos los naturales, definir una lista de todos ellos es imposible, es infinita, pero podemos trabajar con el generador de esos números:
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\lstinputlisting[firstline=1,lastline=5]{nats.py}
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Esto no se ve nada impresionante, estamos sumando un número al anterior, pero esta implementación sencilla ya es nuestra entrada al \emph{infinito y más allá}, porque realmente estamos trabajando con un generador. En gran medida es una función que puede generarnos todos los naturales pero que además podemos operar con ella (nótese que ya estamos hablando de programar con funciones). Y se preguntarán ¿Y cómo la uso? Veamos un ejemplo.
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Veamos un algoritmo griego con más de $2000$ años de antigüedad, el colador de Eratostenes. ¿Cómo puedo obtener todos los números primos? Podemos hacerlo por fuerza bruta, es decir, por la simple definición dejar que el programa haga las operaciones, que cheque que cada número solo es múltiplo de el mismo, pero como se imaginarán al poco tiempo la tarea se volverá tardada. A Eratostenes se le ocurrió una manera que lleva menos tiempo: se ponen todos los número naturales sobre la rejilla del colador, en esa primera colada todos los múltiplos de $2$ se quedarán como asientos y los demás número fluirán a la siguiente etapa. En esta etapa todos los múltiplos de $3$ se quedan sedimentados y pasan los siguientes números. El $4$ ya se quedo un sedimento arriba así que sigue el $5$, y así se continúa. Un esquema del proceso de puede ver en la tabla\ref{tab:eratostenes}.
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\begin{table}[h!]
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\centering
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\begin{tabular}{cccccccccccc}
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$1$:& 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & $\hdots$ \\
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$2$:& 3 & 5 & 7 & 9 & 11 & $\hdots$ & & & & & \\\noalign{\smallskip\smallskip}
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$3$:& 5 & 7 & 11 & $\hdots$ & & & & & & & \\\noalign{\smallskip\smallskip}
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$5$:& 7 & 11 & $\hdots$ & & & & & & & & \\\noalign{\smallskip\smallskip}
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$7$:& 11 & $\hdots$ & & & & & & \\\noalign{\smallskip\smallskip}
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$11$:& $\hdots$ & & & & & & & & \\\noalign{\smallskip\smallskip}
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\end{tabular}
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\caption{Obteniendo números primos}
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\label{tab:eratostenes}
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\end{table}
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¿Cómo aplicar lo que sabemos de funciones perezosas para calcular los números primos? Definamos una nueva función que haga la operación de la coladera de Eratostenes.
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Partamos del generador de los naturales que ya definimos, lo usamos en una nueva función que a partir del natural generado calculará el número primo en cada paso de la coladera.
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\lstinputlisting[firstline=1,lastline=10]{prim.py}
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Ahora usemos esto mismo para hacer una evaluación perezosa de nuestra función para calcular la fila $n$ del triángulo de Pascal. Tal como lo hemos hecho crearemos una estructura generadora, que en cierta forma contiene al infinito, pero iremos paso por paso generando cada una de las filas.
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Y no encontré como hacerlo, no sé como hacerlo para listas, hallé una solución pero es chafa.
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\lstinputlisting[firstline=1,lastline=22]{pascalazy.py}
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\subsection*{Programación de más alto orden}
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Imaginen ahora que quieren hacer operaciones con las filas que obtienen del triángulo de Pascal. Está la opción de tomar la salida, asignarla a una variable y operar. Pero acuerdense que nos gusta la flojera, ¿nos podemos ahorrar el tener que definir una variable y simplemente meter la función que nos da la fila del triángulo de Pascal como argumento a otra función?
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Se puede, $python$ lo permite pero sobretodo al llegar a la parte de programación funcional veremos que se puede hacer mucho más fácil y explotando algunas de las ventajas antes mencionadas.
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Esto es lo que se llama programación de alto orden (¿mayor orden?), definimos funciones que dependen de funciones que a su ves pueden depender de funciones. Tenemos un queso oaxaca de funciones.
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\lstinputlisting[firstline=1,lastline=22]{altorden.py}
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Vean en el ejemplo como es posible operar con la salida de una función dando como argumento la función misma.
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\subsection*{Concurrencia}
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Sabemos de la programación en paralelo, para ello requerimos una máquina con más de un núcleo de procesamiento, es decir, dependemos de la arquitectura de la máquina. Pero a nivel de lenguajes de programación podemos hablar de algo similar, la concurrencia.
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La concurrencia sucede cuando distintas actividades interdependientes, cada una se ejecuta en su propio paso. Se implemente concurrencia a través de \textbf{hilos} (\textit{threads}). Un hilo simplemente es un programa que se ejecuta, pero un programa puede tener varios hilos.
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De esta forma, para nuestro ejemplo podríamos ejecutar la cocatenación de filas en el triángulo de Pacal a la par que las estamos calculando, si nuestra computadora puede hacerlo a buena velocidad nos estaríamos ahorrando bastante tiempo en operaciones más complicadas y filas más extensas.
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A nadie le quedará duda de que seguro es una herramienta útil, pero si no tenemos bien controlados los tiempos de asignación y operación podemos obtener errores que nos llevan a un aparente no determinismo. $Python$ lo puede hacer de distintas maneras que a nivel de arquitectura funciona distinto: \textit{thread}, \textit{task} y \textit{process}.
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\textit{Threading} y \textit{asyncio} corren en un solo procesador, sólo toma turnos para hacer cada tarea y acelerar un poco, pero sigue siendo concurrencia. Lo siguinete es paralelizar, con \textit{multiprocessing}. Cada proceso corre su propio intérprete de $python$.
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\subsection*{Flujo de datos, estado explícito, objetos, clases}
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\begin{ietmize}
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\item \textbf{Flujo de datos:} Si una operación trata de usar una variable aún no acotada y espera hasta que otra operación o proceso la acote para usarla es un buen comportamiento que se llama flujo de datos.
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\item \textbf{Estado explícito:} se define una célula de memoria (para diferenciar de una variable aunque su estructura es la misma) que guarda memoria para saber como ha cambiado el comportamiento de una función, aprender de su pasado.
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\item \textbf{Objetos:} Función con memoria interna. Si la célula solo es accesible internamente se dice que está encapsulada. Polimorfismo: la célula funciona bien ante cualquier implementación mientras la interfase sea la misma.
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\item \textbf{Clases:} una clase es una fábrica de objetos.
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\end{itemize}
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La programación orientada a objetos se centra en estas ideas pasadas (sumadas a la programación estructurada). Las operaciones dentro de clases son llamadas métodos. Al agregar herencia se tiene la programación orientada a objetos.
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El no determinismo se da al combinar hilos y estados explícitos. El orden de acceso a los estados puede cambiar de acuerdo a los distintos hilos, dando valores distintos para una ejecución en las mismas condiciones. Sucede cuando no se sabe el tiempo exacto en que se ejecuta una operación. Un ejemplo fatídico fue el de la máquina de terapia de radiación Therac-25. Un problema de concurrencia en el programa que la operaba produjo un error en la cantidad de radiación, produciendo la muerte de algunos pacientes.
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\begin{thebibliography}{10}
|
||||
\bibitem{Thompson1996} Thompson, Simon J.. ``Haskell - the craft of functional programming.'' International computer science series (1996).
|
||||
\bibitem{VanRoy2009} Van Roy, Peter. ``Programming paradigms for dummies: what every programmer should know.'' (2009).
|
||||
\bibitem{VanRoy2004} Van Roy, Peter, Haridi, Seif. ``Concepts, Techniques, and Models of Computer Programming''. *The MIT Press*, (2004). ISBN: 0262220695
|
||||
\bibitem{Kowalski1988} Kowalski, Robert. ``The early years of logic programming'',\textit{Communications of the ACM}, \textbf{31}, 1, (1988).
|
||||
\bibitem{python_concurrency} \url{https://realpython.com/python-concurrency/}, revisado el 15 de febrero de 2023.
|
||||
|
||||
\end{thebibliography}
|
||||
|
||||
\end{document}
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||||
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|
@ -1,43 +0,0 @@
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|||
\relax
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||||
\providecommand\hyper@newdestlabel[2]{}
|
||||
\providecommand\babel@aux[2]{}
|
||||
\@nameuse{bbl@beforestart}
|
||||
\catcode `"\active
|
||||
\catcode `<\active
|
||||
\catcode `>\active
|
||||
\@nameuse{es@quoting}
|
||||
\providecommand\HyperFirstAtBeginDocument{\AtBeginDocument}
|
||||
\HyperFirstAtBeginDocument{\ifx\hyper@anchor\@undefined
|
||||
\global\let\oldcontentsline\contentsline
|
||||
\gdef\contentsline#1#2#3#4{\oldcontentsline{#1}{#2}{#3}}
|
||||
\global\let\oldnewlabel\newlabel
|
||||
\gdef\newlabel#1#2{\newlabelxx{#1}#2}
|
||||
\gdef\newlabelxx#1#2#3#4#5#6{\oldnewlabel{#1}{{#2}{#3}}}
|
||||
\AtEndDocument{\ifx\hyper@anchor\@undefined
|
||||
\let\contentsline\oldcontentsline
|
||||
\let\newlabel\oldnewlabel
|
||||
\fi}
|
||||
\fi}
|
||||
\global\let\hyper@last\relax
|
||||
\gdef\HyperFirstAtBeginDocument#1{#1}
|
||||
\providecommand\HyField@AuxAddToFields[1]{}
|
||||
\providecommand\HyField@AuxAddToCoFields[2]{}
|
||||
\babel@aux{spanish}{}
|
||||
\newlabel{fig:func}{{}{2}{Programación funcional}{figure.caption.6}{}}
|
||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {1}{\ignorespaces Una función representada como caja negra.\relax }}{3}{figure.caption.6}\protected@file@percent }
|
||||
\@writefile{lol}{\contentsline {lstlisting}{language=Python}{3}{lstlisting.-1}\protected@file@percent }
|
||||
\@writefile{lot}{\contentsline {table}{\numberline {1}{\ignorespaces Primeros $5$ niveles del triángulo de Pascal\relax }}{4}{table.caption.9}\protected@file@percent }
|
||||
\providecommand*\caption@xref[2]{\@setref\relax\@undefined{#1}}
|
||||
\newlabel{tab:pascal}{{1}{4}{Primeros $5$ niveles del triángulo de Pascal\relax }{table.caption.9}{}}
|
||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {2}{\ignorespaces Desarrollo de arriba $pa'bajo$\relax }}{4}{figure.caption.10}\protected@file@percent }
|
||||
\newlabel{fig:pseudo}{{2}{4}{Desarrollo de arriba $pa'bajo$\relax }{lstnumber.-2.7}{}}
|
||||
\@writefile{lof}{\contentsline {figure}{\numberline {3}{\ignorespaces Comparando la complejidad temporal $t(x)=x^3$ con $t(x)=3^x$ para valores muy pequeños.\relax }}{7}{figure.caption.13}\protected@file@percent }
|
||||
\newlabel{fig:comple}{{3}{7}{Comparando la complejidad temporal $t(x)=x^3$ con $t(x)=3^x$ para valores muy pequeños.\relax }{figure.caption.13}{}}
|
||||
\bibcite{Thompson1996}{1}
|
||||
\bibcite{VanRoy2009}{2}
|
||||
\bibcite{VanRoy2004}{3}
|
||||
\@writefile{lol}{\contentsline {lstlisting}{prim.py}{8}{lstlisting.-7}\protected@file@percent }
|
||||
\bibcite{Kowalski1988}{4}
|
||||
\@writefile{lot}{\contentsline {table}{\numberline {2}{\ignorespaces Obteniendo números primos\relax }}{9}{table.caption.15}\protected@file@percent }
|
||||
\newlabel{tab:pascal}{{2}{9}{Obteniendo números primos\relax }{table.caption.15}{}}
|
||||
\gdef \@abspage@last{9}
|
||||
817
introduccion.log
817
introduccion.log
|
|
@ -1,817 +0,0 @@
|
|||
This is pdfTeX, Version 3.14159265-2.6-1.40.21 (TeX Live 2020/Debian) (preloaded format=pdflatex 2022.11.21) 14 FEB 2023 17:38
|
||||
entering extended mode
|
||||
restricted \write18 enabled.
|
||||
%&-line parsing enabled.
|
||||
**introduccion.tex
|
||||
(./introduccion.tex
|
||||
LaTeX2e <2020-10-01> patch level 4
|
||||
L3 programming layer <2021-01-09> xparse <2020-03-03>
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/article.cls
|
||||
Document Class: article 2020/04/10 v1.4m Standard LaTeX document class
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/size10.clo
|
||||
File: size10.clo 2020/04/10 v1.4m Standard LaTeX file (size option)
|
||||
)
|
||||
\c@part=\count177
|
||||
\c@section=\count178
|
||||
\c@subsection=\count179
|
||||
\c@subsubsection=\count180
|
||||
\c@paragraph=\count181
|
||||
\c@subparagraph=\count182
|
||||
\c@figure=\count183
|
||||
\c@table=\count184
|
||||
\abovecaptionskip=\skip47
|
||||
\belowcaptionskip=\skip48
|
||||
\bibindent=\dimen138
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/inputenc.sty
|
||||
Package: inputenc 2020/08/01 v1.3d Input encoding file
|
||||
\inpenc@prehook=\toks15
|
||||
\inpenc@posthook=\toks16
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.sty
|
||||
Package: babel 2021/01/26 3.53 The Babel package
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/babel.def
|
||||
File: babel.def 2021/01/26 3.53 Babel common definitions
|
||||
\babel@savecnt=\count185
|
||||
\U@D=\dimen139
|
||||
\l@babelnohyphens=\language10
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel/txtbabel.def)
|
||||
\bbl@readstream=\read2
|
||||
)
|
||||
\bbl@dirlevel=\count186
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/babel-spanish/spanish.ldf
|
||||
Language: spanish.ldf 2016/03/03 v5.0p Spanish support from the babel system
|
||||
\es@quottoks=\toks17
|
||||
\es@quotdepth=\count187
|
||||
Package babel Info: Making " an active character on input line 561.
|
||||
Package babel Info: Making . an active character on input line 662.
|
||||
Package babel Info: Making < an active character on input line 707.
|
||||
Package babel Info: Making > an active character on input line 707.
|
||||
))
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
|
||||
Package: amsmath 2020/09/23 v2.17i AMS math features
|
||||
\@mathmargin=\skip49
|
||||
|
||||
For additional information on amsmath, use the `?' option.
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amstext.sty
|
||||
Package: amstext 2000/06/29 v2.01 AMS text
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
|
||||
File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0 generic functions
|
||||
\@emptytoks=\toks18
|
||||
\ex@=\dimen140
|
||||
))
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
|
||||
Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d Bold Symbols
|
||||
\pmbraise@=\dimen141
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
|
||||
Package: amsopn 2016/03/08 v2.02 operator names
|
||||
)
|
||||
\inf@bad=\count188
|
||||
LaTeX Info: Redefining \frac on input line 234.
|
||||
\uproot@=\count189
|
||||
\leftroot@=\count190
|
||||
LaTeX Info: Redefining \overline on input line 399.
|
||||
\classnum@=\count191
|
||||
\DOTSCASE@=\count192
|
||||
LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 496.
|
||||
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 499.
|
||||
LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 620.
|
||||
\Mathstrutbox@=\box47
|
||||
\strutbox@=\box48
|
||||
\big@size=\dimen142
|
||||
LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OML on input line 743.
|
||||
LaTeX Font Info: Redeclaring font encoding OMS on input line 744.
|
||||
\macc@depth=\count193
|
||||
\c@MaxMatrixCols=\count194
|
||||
\dotsspace@=\muskip16
|
||||
\c@parentequation=\count195
|
||||
\dspbrk@lvl=\count196
|
||||
\tag@help=\toks19
|
||||
\row@=\count197
|
||||
\column@=\count198
|
||||
\maxfields@=\count199
|
||||
\andhelp@=\toks20
|
||||
\eqnshift@=\dimen143
|
||||
\alignsep@=\dimen144
|
||||
\tagshift@=\dimen145
|
||||
\tagwidth@=\dimen146
|
||||
\totwidth@=\dimen147
|
||||
\lineht@=\dimen148
|
||||
\@envbody=\toks21
|
||||
\multlinegap=\skip50
|
||||
\multlinetaggap=\skip51
|
||||
\mathdisplay@stack=\toks22
|
||||
LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2923.
|
||||
LaTeX Info: Redefining \] on input line 2924.
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
|
||||
Package: amsfonts 2013/01/14 v3.01 Basic AMSFonts support
|
||||
\symAMSa=\mathgroup4
|
||||
\symAMSb=\mathgroup5
|
||||
LaTeX Font Info: Redeclaring math symbol \hbar on input line 98.
|
||||
LaTeX Font Info: Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
|
||||
(Font) U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 106.
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
|
||||
Package: amssymb 2013/01/14 v3.01 AMS font symbols
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
|
||||
Package: hyperref 2020-05-15 v7.00e Hypertext links for LaTeX
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/ltxcmds/ltxcmds.sty
|
||||
Package: ltxcmds 2020-05-10 v1.25 LaTeX kernel commands for general use (HO)
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/iftex/iftex.sty
|
||||
Package: iftex 2020/03/06 v1.0d TeX engine tests
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdftexcmds/pdftexcmds.sty
|
||||
Package: pdftexcmds 2020-06-27 v0.33 Utility functions of pdfTeX for LuaTeX (HO
|
||||
)
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/infwarerr/infwarerr.sty
|
||||
Package: infwarerr 2019/12/03 v1.5 Providing info/warning/error messages (HO)
|
||||
)
|
||||
Package pdftexcmds Info: \pdf@primitive is available.
|
||||
Package pdftexcmds Info: \pdf@ifprimitive is available.
|
||||
Package pdftexcmds Info: \pdfdraftmode found.
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/keyval.sty
|
||||
Package: keyval 2014/10/28 v1.15 key=value parser (DPC)
|
||||
\KV@toks@=\toks23
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvsetkeys/kvsetkeys.sty
|
||||
Package: kvsetkeys 2019/12/15 v1.18 Key value parser (HO)
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/kvdefinekeys/kvdefinekeys.sty
|
||||
Package: kvdefinekeys 2019-12-19 v1.6 Define keys (HO)
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pdfescape/pdfescape.sty
|
||||
Package: pdfescape 2019/12/09 v1.15 Implements pdfTeX's escape features (HO)
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hycolor/hycolor.sty
|
||||
Package: hycolor 2020-01-27 v1.10 Color options for hyperref/bookmark (HO)
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/letltxmacro/letltxmacro.sty
|
||||
Package: letltxmacro 2019/12/03 v1.6 Let assignment for LaTeX macros (HO)
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/auxhook/auxhook.sty
|
||||
Package: auxhook 2019-12-17 v1.6 Hooks for auxiliary files (HO)
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/kvoptions/kvoptions.sty
|
||||
Package: kvoptions 2020-10-07 v3.14 Key value format for package options (HO)
|
||||
)
|
||||
\@linkdim=\dimen149
|
||||
\Hy@linkcounter=\count266
|
||||
\Hy@pagecounter=\count267
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
|
||||
File: pd1enc.def 2020-05-15 v7.00e Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
|
||||
Now handling font encoding PD1 ...
|
||||
... no UTF-8 mapping file for font encoding PD1
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/intcalc/intcalc.sty
|
||||
Package: intcalc 2019/12/15 v1.3 Expandable calculations with integers (HO)
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/etexcmds/etexcmds.sty
|
||||
Package: etexcmds 2019/12/15 v1.7 Avoid name clashes with e-TeX commands (HO)
|
||||
)
|
||||
\Hy@SavedSpaceFactor=\count268
|
||||
Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 4464.
|
||||
Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 4469.
|
||||
Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 4472.
|
||||
Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 4479.
|
||||
Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 4484.
|
||||
Package hyperref Info: Implicit mode ON; LaTeX internals redefined.
|
||||
Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 4717.
|
||||
\c@Hy@tempcnt=\count269
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/url/url.sty
|
||||
\Urlmuskip=\muskip17
|
||||
Package: url 2013/09/16 ver 3.4 Verb mode for urls, etc.
|
||||
)
|
||||
LaTeX Info: Redefining \url on input line 5076.
|
||||
\XeTeXLinkMargin=\dimen150
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bitset/bitset.sty
|
||||
Package: bitset 2019/12/09 v1.3 Handle bit-vector datatype (HO)
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/bigintcalc/bigintcalc.sty
|
||||
Package: bigintcalc 2019/12/15 v1.5 Expandable calculations on big integers (HO
|
||||
)
|
||||
))
|
||||
\Fld@menulength=\count270
|
||||
\Field@Width=\dimen151
|
||||
\Fld@charsize=\dimen152
|
||||
Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 6347.
|
||||
Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 6352.
|
||||
Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 6355.
|
||||
Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 6362.
|
||||
Package hyperref Info: Link coloring OFF on input line 6367.
|
||||
Package hyperref Info: Link coloring with OCG OFF on input line 6372.
|
||||
Package hyperref Info: PDF/A mode OFF on input line 6377.
|
||||
LaTeX Info: Redefining \ref on input line 6417.
|
||||
LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 6421.
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atbegshi-ltx.sty
|
||||
Package: atbegshi-ltx 2020/08/17 v1.0a Emulation of the original atbegshi packa
|
||||
ge
|
||||
with kernel methods
|
||||
)
|
||||
\Hy@abspage=\count271
|
||||
\c@Item=\count272
|
||||
\c@Hfootnote=\count273
|
||||
)
|
||||
Package hyperref Info: Driver (autodetected): hpdftex.
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/hpdftex.def
|
||||
File: hpdftex.def 2020-05-15 v7.00e Hyperref driver for pdfTeX
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/base/atveryend-ltx.sty
|
||||
Package: atveryend-ltx 2020/08/19 v1.0a Emulation of the original atvery packag
|
||||
e
|
||||
with kernel methods
|
||||
)
|
||||
\Fld@listcount=\count274
|
||||
\c@bookmark@seq@number=\count275
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/rerunfilecheck/rerunfilecheck.sty
|
||||
Package: rerunfilecheck 2019/12/05 v1.9 Rerun checks for auxiliary files (HO)
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/uniquecounter/uniquecounter.sty
|
||||
Package: uniquecounter 2019/12/15 v1.4 Provide unlimited unique counter (HO)
|
||||
)
|
||||
Package uniquecounter Info: New unique counter `rerunfilecheck' on input line 2
|
||||
86.
|
||||
)
|
||||
\Hy@SectionHShift=\skip52
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphicx.sty
|
||||
Package: graphicx 2020/09/09 v1.2b Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/graphics.sty
|
||||
Package: graphics 2020/08/30 v1.4c Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics/trig.sty
|
||||
Package: trig 2016/01/03 v1.10 sin cos tan (DPC)
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/graphics.cfg
|
||||
File: graphics.cfg 2016/06/04 v1.11 sample graphics configuration
|
||||
)
|
||||
Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 105.
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-def/pdftex.def
|
||||
File: pdftex.def 2020/10/05 v1.2a Graphics/color driver for pdftex
|
||||
))
|
||||
\Gin@req@height=\dimen153
|
||||
\Gin@req@width=\dimen154
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/listings/listings.sty
|
||||
\lst@mode=\count276
|
||||
\lst@gtempboxa=\box49
|
||||
\lst@token=\toks24
|
||||
\lst@length=\count277
|
||||
\lst@currlwidth=\dimen155
|
||||
\lst@column=\count278
|
||||
\lst@pos=\count279
|
||||
\lst@lostspace=\dimen156
|
||||
\lst@width=\dimen157
|
||||
\lst@newlines=\count280
|
||||
\lst@lineno=\count281
|
||||
\lst@maxwidth=\dimen158
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/listings/lstmisc.sty
|
||||
File: lstmisc.sty 2020/03/24 1.8d (Carsten Heinz)
|
||||
\c@lstnumber=\count282
|
||||
\lst@skipnumbers=\count283
|
||||
\lst@framebox=\box50
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/listings/listings.cfg
|
||||
File: listings.cfg 2020/03/24 1.8d listings configuration
|
||||
))
|
||||
Package: listings 2020/03/24 1.8d (Carsten Heinz)
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/xcolor/xcolor.sty
|
||||
Package: xcolor 2016/05/11 v2.12 LaTeX color extensions (UK)
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/graphics-cfg/color.cfg
|
||||
File: color.cfg 2016/01/02 v1.6 sample color configuration
|
||||
)
|
||||
Package xcolor Info: Driver file: pdftex.def on input line 225.
|
||||
Package xcolor Info: Model `cmy' substituted by `cmy0' on input line 1348.
|
||||
Package xcolor Info: Model `hsb' substituted by `rgb' on input line 1352.
|
||||
Package xcolor Info: Model `RGB' extended on input line 1364.
|
||||
Package xcolor Info: Model `HTML' substituted by `rgb' on input line 1366.
|
||||
Package xcolor Info: Model `Hsb' substituted by `hsb' on input line 1367.
|
||||
Package xcolor Info: Model `tHsb' substituted by `hsb' on input line 1368.
|
||||
Package xcolor Info: Model `HSB' substituted by `hsb' on input line 1369.
|
||||
Package xcolor Info: Model `Gray' substituted by `gray' on input line 1370.
|
||||
Package xcolor Info: Model `wave' substituted by `hsb' on input line 1371.
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/caption/caption.sty
|
||||
Package: caption 2020/10/26 v3.5g Customizing captions (AR)
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/caption/caption3.sty
|
||||
Package: caption3 2020/10/21 v2.2e caption3 kernel (AR)
|
||||
\captionmargin=\dimen159
|
||||
\captionmargin@=\dimen160
|
||||
\captionwidth=\dimen161
|
||||
\caption@tempdima=\dimen162
|
||||
\caption@indent=\dimen163
|
||||
\caption@parindent=\dimen164
|
||||
\caption@hangindent=\dimen165
|
||||
Package caption Info: Standard document class detected.
|
||||
)
|
||||
\c@caption@flags=\count284
|
||||
\c@continuedfloat=\count285
|
||||
Package caption Info: hyperref package is loaded.
|
||||
Package caption Info: listings package is loaded.
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgf.sty
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfrcs.sty
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-common.tex
|
||||
\pgfutil@everybye=\toks25
|
||||
\pgfutil@tempdima=\dimen166
|
||||
\pgfutil@tempdimb=\dimen167
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-common-lists.t
|
||||
ex)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfutil-latex.def
|
||||
\pgfutil@abb=\box51
|
||||
) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfrcs.code.tex
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/pgf.revision.tex)
|
||||
Package: pgfrcs 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
))
|
||||
Package: pgf 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/basiclayer/pgfcore.sty
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/systemlayer/pgfsys.sty
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys.code.tex
|
||||
Package: pgfsys 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex
|
||||
\pgfkeys@pathtoks=\toks26
|
||||
\pgfkeys@temptoks=\toks27
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeysfiltered.code.t
|
||||
ex
|
||||
\pgfkeys@tmptoks=\toks28
|
||||
))
|
||||
\pgf@x=\dimen168
|
||||
\pgf@y=\dimen169
|
||||
\pgf@xa=\dimen170
|
||||
\pgf@ya=\dimen171
|
||||
\pgf@xb=\dimen172
|
||||
\pgf@yb=\dimen173
|
||||
\pgf@xc=\dimen174
|
||||
\pgf@yc=\dimen175
|
||||
\pgf@xd=\dimen176
|
||||
\pgf@yd=\dimen177
|
||||
\w@pgf@writea=\write3
|
||||
\r@pgf@reada=\read3
|
||||
\c@pgf@counta=\count286
|
||||
\c@pgf@countb=\count287
|
||||
\c@pgf@countc=\count288
|
||||
\c@pgf@countd=\count289
|
||||
\t@pgf@toka=\toks29
|
||||
\t@pgf@tokb=\toks30
|
||||
\t@pgf@tokc=\toks31
|
||||
\pgf@sys@id@count=\count290
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgf.cfg
|
||||
File: pgf.cfg 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
)
|
||||
Driver file for pgf: pgfsys-pdftex.def
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-pdftex.def
|
||||
File: pgfsys-pdftex.def 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsys-common-pdf.de
|
||||
f
|
||||
File: pgfsys-common-pdf.def 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
)))
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsyssoftpath.code.
|
||||
tex
|
||||
File: pgfsyssoftpath.code.tex 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
\pgfsyssoftpath@smallbuffer@items=\count291
|
||||
\pgfsyssoftpath@bigbuffer@items=\count292
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/systemlayer/pgfsysprotocol.code.
|
||||
tex
|
||||
File: pgfsysprotocol.code.tex 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
))
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcore.code.tex
|
||||
Package: pgfcore 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathcalc.code.tex
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathutil.code.tex)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathparser.code.tex
|
||||
\pgfmath@dimen=\dimen178
|
||||
\pgfmath@count=\count293
|
||||
\pgfmath@box=\box52
|
||||
\pgfmath@toks=\toks32
|
||||
\pgfmath@stack@operand=\toks33
|
||||
\pgfmath@stack@operation=\toks34
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.code.tex
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.basic.code
|
||||
.tex)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.trigonomet
|
||||
ric.code.tex)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.random.cod
|
||||
e.tex)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.comparison
|
||||
.code.tex)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.base.code.
|
||||
tex)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.round.code
|
||||
.tex)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.misc.code.
|
||||
tex)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfunctions.integerari
|
||||
thmetics.code.tex)))
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmathfloat.code.tex
|
||||
\c@pgfmathroundto@lastzeros=\count294
|
||||
))
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfint.code.tex)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepoints.code.te
|
||||
x
|
||||
File: pgfcorepoints.code.tex 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
\pgf@picminx=\dimen179
|
||||
\pgf@picmaxx=\dimen180
|
||||
\pgf@picminy=\dimen181
|
||||
\pgf@picmaxy=\dimen182
|
||||
\pgf@pathminx=\dimen183
|
||||
\pgf@pathmaxx=\dimen184
|
||||
\pgf@pathminy=\dimen185
|
||||
\pgf@pathmaxy=\dimen186
|
||||
\pgf@xx=\dimen187
|
||||
\pgf@xy=\dimen188
|
||||
\pgf@yx=\dimen189
|
||||
\pgf@yy=\dimen190
|
||||
\pgf@zx=\dimen191
|
||||
\pgf@zy=\dimen192
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathconstruct.
|
||||
code.tex
|
||||
File: pgfcorepathconstruct.code.tex 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
\pgf@path@lastx=\dimen193
|
||||
\pgf@path@lasty=\dimen194
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathusage.code
|
||||
.tex
|
||||
File: pgfcorepathusage.code.tex 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
\pgf@shorten@end@additional=\dimen195
|
||||
\pgf@shorten@start@additional=\dimen196
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorescopes.code.te
|
||||
x
|
||||
File: pgfcorescopes.code.tex 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
\pgfpic=\box53
|
||||
\pgf@hbox=\box54
|
||||
\pgf@layerbox@main=\box55
|
||||
\pgf@picture@serial@count=\count295
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoregraphicstate.c
|
||||
ode.tex
|
||||
File: pgfcoregraphicstate.code.tex 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
\pgflinewidth=\dimen197
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransformation
|
||||
s.code.tex
|
||||
File: pgfcoretransformations.code.tex 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
\pgf@pt@x=\dimen198
|
||||
\pgf@pt@y=\dimen199
|
||||
\pgf@pt@temp=\dimen256
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorequick.code.tex
|
||||
File: pgfcorequick.code.tex 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreobjects.code.t
|
||||
ex
|
||||
File: pgfcoreobjects.code.tex 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepathprocessing
|
||||
.code.tex
|
||||
File: pgfcorepathprocessing.code.tex 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorearrows.code.te
|
||||
x
|
||||
File: pgfcorearrows.code.tex 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
\pgfarrowsep=\dimen257
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreshade.code.tex
|
||||
File: pgfcoreshade.code.tex 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
\pgf@max=\dimen258
|
||||
\pgf@sys@shading@range@num=\count296
|
||||
\pgf@shadingcount=\count297
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreimage.code.tex
|
||||
File: pgfcoreimage.code.tex 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoreexternal.code.
|
||||
tex
|
||||
File: pgfcoreexternal.code.tex 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
\pgfexternal@startupbox=\box56
|
||||
))
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorelayers.code.te
|
||||
x
|
||||
File: pgfcorelayers.code.tex 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcoretransparency.c
|
||||
ode.tex
|
||||
File: pgfcoretransparency.code.tex 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorepatterns.code.
|
||||
tex
|
||||
File: pgfcorepatterns.code.tex 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/basiclayer/pgfcorerdf.code.tex
|
||||
File: pgfcorerdf.code.tex 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
)))
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleshapes.code.tex
|
||||
File: pgfmoduleshapes.code.tex 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
\pgfnodeparttextbox=\box57
|
||||
) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmoduleplot.code.tex
|
||||
File: pgfmoduleplot.code.tex 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-0-65
|
||||
.sty
|
||||
Package: pgfcomp-version-0-65 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
\pgf@nodesepstart=\dimen259
|
||||
\pgf@nodesepend=\dimen260
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/compatibility/pgfcomp-version-1-18
|
||||
.sty
|
||||
Package: pgfcomp-version-1-18 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/frontendlayer/tikz.sty
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgffor.sty
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/utilities/pgfkeys.sty
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgfkeys.code.tex))
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/pgf/math/pgfmath.sty
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex))
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/utilities/pgffor.code.tex
|
||||
Package: pgffor 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/math/pgfmath.code.tex)
|
||||
\pgffor@iter=\dimen261
|
||||
\pgffor@skip=\dimen262
|
||||
\pgffor@stack=\toks35
|
||||
\pgffor@toks=\toks36
|
||||
))
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/tikz.code.tex
|
||||
Package: tikz 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryplothandlers
|
||||
.code.tex
|
||||
File: pgflibraryplothandlers.code.tex 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
\pgf@plot@mark@count=\count298
|
||||
\pgfplotmarksize=\dimen263
|
||||
)
|
||||
\tikz@lastx=\dimen264
|
||||
\tikz@lasty=\dimen265
|
||||
\tikz@lastxsaved=\dimen266
|
||||
\tikz@lastysaved=\dimen267
|
||||
\tikz@lastmovetox=\dimen268
|
||||
\tikz@lastmovetoy=\dimen269
|
||||
\tikzleveldistance=\dimen270
|
||||
\tikzsiblingdistance=\dimen271
|
||||
\tikz@figbox=\box58
|
||||
\tikz@figbox@bg=\box59
|
||||
\tikz@tempbox=\box60
|
||||
\tikz@tempbox@bg=\box61
|
||||
\tikztreelevel=\count299
|
||||
\tikznumberofchildren=\count300
|
||||
\tikznumberofcurrentchild=\count301
|
||||
\tikz@fig@count=\count302
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/modules/pgfmodulematrix.code.tex
|
||||
File: pgfmodulematrix.code.tex 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
\pgfmatrixcurrentrow=\count303
|
||||
\pgfmatrixcurrentcolumn=\count304
|
||||
\pgf@matrix@numberofcolumns=\count305
|
||||
)
|
||||
\tikz@expandcount=\count306
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tik
|
||||
zlibrarytopaths.code.tex
|
||||
File: tikzlibrarytopaths.code.tex 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
)))
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tik
|
||||
zlibraryautomata.code.tex
|
||||
File: tikzlibraryautomata.code.tex 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tik
|
||||
zlibraryshapes.multipart.code.tex
|
||||
File: tikzlibraryshapes.multipart.code.tex 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/shapes/pgflibraryshape
|
||||
s.multipart.code.tex
|
||||
File: pgflibraryshapes.multipart.code.tex 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
\pgfnodepartlowerbox=\box62
|
||||
\pgfnodeparttwobox=\box63
|
||||
\pgfnodepartthreebox=\box64
|
||||
\pgfnodepartfourbox=\box65
|
||||
\pgfnodeparttwentybox=\box66
|
||||
\pgfnodepartnineteenbox=\box67
|
||||
\pgfnodeparteighteenbox=\box68
|
||||
\pgfnodepartseventeenbox=\box69
|
||||
\pgfnodepartsixteenbox=\box70
|
||||
\pgfnodepartfifteenbox=\box71
|
||||
\pgfnodepartfourteenbox=\box72
|
||||
\pgfnodepartthirteenbox=\box73
|
||||
\pgfnodeparttwelvebox=\box74
|
||||
\pgfnodepartelevenbox=\box75
|
||||
\pgfnodeparttenbox=\box76
|
||||
\pgfnodepartninebox=\box77
|
||||
\pgfnodeparteightbox=\box78
|
||||
\pgfnodepartsevenbox=\box79
|
||||
\pgfnodepartsixbox=\box80
|
||||
\pgfnodepartfivebox=\box81
|
||||
)))
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tik
|
||||
zlibrarypositioning.code.tex
|
||||
File: tikzlibrarypositioning.code.tex 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/frontendlayer/tikz/libraries/tik
|
||||
zlibraryarrows.code.tex
|
||||
File: tikzlibraryarrows.code.tex 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/pgf/libraries/pgflibraryarrows.code.
|
||||
tex
|
||||
File: pgflibraryarrows.code.tex 2020/12/27 v3.1.8b (3.1.8b)
|
||||
\arrowsize=\dimen272
|
||||
)) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/listings/lstlang1.sty
|
||||
File: lstlang1.sty 2020/03/24 1.8d listings language file
|
||||
)
|
||||
LaTeX Font Info: Trying to load font information for OT1+ptm on input line 5
|
||||
3.
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/psnfss/ot1ptm.fd
|
||||
File: ot1ptm.fd 2001/06/04 font definitions for OT1/ptm.
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/l3backend/l3backend-pdftex.def
|
||||
File: l3backend-pdftex.def 2020-01-29 L3 backend support: PDF output (pdfTeX)
|
||||
\l__color_backend_stack_int=\count307
|
||||
\l__pdf_internal_box=\box82
|
||||
)
|
||||
(./introduccion.aux
|
||||
LaTeX Info: Redefining \. on input line 25.
|
||||
LaTeX Info: Redefining \% on input line 25.
|
||||
|
||||
|
||||
LaTeX Warning: Label `tab:pascal' multiply defined.
|
||||
|
||||
)
|
||||
\openout1 = `introduccion.aux'.
|
||||
|
||||
LaTeX Font Info: Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 53.
|
||||
LaTeX Font Info: ... okay on input line 53.
|
||||
LaTeX Font Info: Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 53.
|
||||
LaTeX Font Info: ... okay on input line 53.
|
||||
LaTeX Font Info: Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 53.
|
||||
LaTeX Font Info: ... okay on input line 53.
|
||||
LaTeX Font Info: Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 53.
|
||||
LaTeX Font Info: ... okay on input line 53.
|
||||
LaTeX Font Info: Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 53.
|
||||
LaTeX Font Info: ... okay on input line 53.
|
||||
LaTeX Font Info: Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 53.
|
||||
LaTeX Font Info: ... okay on input line 53.
|
||||
LaTeX Font Info: Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 53.
|
||||
LaTeX Font Info: ... okay on input line 53.
|
||||
LaTeX Font Info: Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 53.
|
||||
LaTeX Font Info: ... okay on input line 53.
|
||||
LaTeX Info: Redefining \. on input line 53.
|
||||
LaTeX Info: Redefining \% on input line 53.
|
||||
Package hyperref Info: Link coloring OFF on input line 53.
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/hyperref/nameref.sty
|
||||
Package: nameref 2019/09/16 v2.46 Cross-referencing by name of section
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/refcount/refcount.sty
|
||||
Package: refcount 2019/12/15 v3.6 Data extraction from label references (HO)
|
||||
)
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/gettitlestring/gettitlestring.sty
|
||||
Package: gettitlestring 2019/12/15 v1.6 Cleanup title references (HO)
|
||||
)
|
||||
\c@section@level=\count308
|
||||
)
|
||||
LaTeX Info: Redefining \ref on input line 53.
|
||||
LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 53.
|
||||
LaTeX Info: Redefining \nameref on input line 53.
|
||||
|
||||
(./introduccion.out) (./introduccion.out)
|
||||
\@outlinefile=\write4
|
||||
\openout4 = `introduccion.out'.
|
||||
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/context/base/mkii/supp-pdf.mkii
|
||||
[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).]
|
||||
\scratchcounter=\count309
|
||||
\scratchdimen=\dimen273
|
||||
\scratchbox=\box83
|
||||
\nofMPsegments=\count310
|
||||
\nofMParguments=\count311
|
||||
\everyMPshowfont=\toks37
|
||||
\MPscratchCnt=\count312
|
||||
\MPscratchDim=\dimen274
|
||||
\MPnumerator=\count313
|
||||
\makeMPintoPDFobject=\count314
|
||||
\everyMPtoPDFconversion=\toks38
|
||||
) (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/epstopdf-pkg/epstopdf-base.sty
|
||||
Package: epstopdf-base 2020-01-24 v2.11 Base part for package epstopdf
|
||||
Package epstopdf-base Info: Redefining graphics rule for `.eps' on input line 4
|
||||
85.
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/latexconfig/epstopdf-sys.cfg
|
||||
File: epstopdf-sys.cfg 2010/07/13 v1.3 Configuration of (r)epstopdf for TeX Liv
|
||||
e
|
||||
))
|
||||
\c@lstlisting=\count315
|
||||
Package caption Info: Begin \AtBeginDocument code.
|
||||
Package caption Info: End \AtBeginDocument code.
|
||||
LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+msa on input line 55.
|
||||
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
|
||||
File: umsa.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols A
|
||||
)
|
||||
LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+msb on input line 55.
|
||||
|
||||
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
|
||||
File: umsb.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols B
|
||||
) [1
|
||||
|
||||
{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}]
|
||||
|
||||
Package hyperref Warning: Suppressing empty link on input line 101.
|
||||
|
||||
|
||||
LaTeX Warning: `!h' float specifier changed to `!ht'.
|
||||
|
||||
[2]
|
||||
|
||||
Package hyperref Warning: Suppressing empty link on input line 128.
|
||||
|
||||
Package hyperref Info: bookmark level for unknown lstlisting defaults to 0 on i
|
||||
nput line 146.
|
||||
[3]
|
||||
LaTeX Font Info: Trying to load font information for TS1+ptm on input line 1
|
||||
93.
|
||||
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/psnfss/ts1ptm.fd
|
||||
File: ts1ptm.fd 2001/06/04 font definitions for TS1/ptm.
|
||||
) [4] [5]
|
||||
\c@defi=\count316
|
||||
\c@teo=\count317
|
||||
[6]
|
||||
<comple.jpg, id=103, 462.528pt x 346.896pt>
|
||||
File: comple.jpg Graphic file (type jpg)
|
||||
<use comple.jpg>
|
||||
Package pdftex.def Info: comple.jpg used on input line 298.
|
||||
(pdftex.def) Requested size: 276.00105pt x 207.01175pt.
|
||||
|
||||
[7 <./comple.jpg>] (./prim.py)
|
||||
|
||||
LaTeX Warning: `!h' float specifier changed to `!ht'.
|
||||
|
||||
[8] [9] (./introduccion.aux
|
||||
LaTeX Info: Redefining \. on input line 25.
|
||||
LaTeX Info: Redefining \% on input line 25.
|
||||
)
|
||||
|
||||
LaTeX Warning: There were multiply-defined labels.
|
||||
|
||||
Package rerunfilecheck Info: File `introduccion.out' has not changed.
|
||||
(rerunfilecheck) Checksum: D41D8CD98F00B204E9800998ECF8427E;0.
|
||||
)
|
||||
Here is how much of TeX's memory you used:
|
||||
22532 strings out of 481117
|
||||
420388 string characters out of 5912367
|
||||
1009443 words of memory out of 5000000
|
||||
38987 multiletter control sequences out of 15000+600000
|
||||
431901 words of font info for 83 fonts, out of 8000000 for 9000
|
||||
85 hyphenation exceptions out of 8191
|
||||
72i,10n,74p,868b,2038s stack positions out of 5000i,500n,10000p,200000b,80000s
|
||||
{/usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/enc/dvips/base/8r.enc}</usr/share/texliv
|
||||
e/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi10.pfb></usr/share/texlive/texm
|
||||
f-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi7.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/
|
||||
fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/t
|
||||
ype1/public/amsfonts/cm/cmr7.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/pub
|
||||
lic/amsfonts/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/am
|
||||
sfonts/cm/cmsy7.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/
|
||||
cm/cmtt8.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/symbols
|
||||
/msam10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/symbols/
|
||||
msbm10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/urw/times/utmb8a.pfb></us
|
||||
r/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/urw/times/utmbi8a.pfb></usr/share/texliv
|
||||
e/texmf-dist/fonts/type1/urw/times/utmr8a.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fo
|
||||
nts/type1/urw/times/utmri8a.pfb>
|
||||
Output written on introduccion.pdf (9 pages, 192492 bytes).
|
||||
PDF statistics:
|
||||
208 PDF objects out of 1000 (max. 8388607)
|
||||
181 compressed objects within 2 object streams
|
||||
91 named destinations out of 1000 (max. 500000)
|
||||
18 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)
|
||||
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,22 @@
|
|||
def pascal(n):
|
||||
if n==1:
|
||||
return [1]
|
||||
else:
|
||||
r=pascal(n-1)
|
||||
x=[0]+r
|
||||
y=r+[0]
|
||||
return [i+j for i,j in zip(x,y)]
|
||||
|
||||
def nats(n):
|
||||
yield n
|
||||
yield from nats(n+1)
|
||||
|
||||
def primo(s):
|
||||
n=next(s)
|
||||
yield n
|
||||
yield from primo(i for i in s if i%n!=0)
|
||||
|
||||
s=nats(1)
|
||||
print(pascal(next(s)))
|
||||
p=primo(nats(2))
|
||||
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,22 @@
|
|||
def pascal(n):
|
||||
if n==1:
|
||||
return [1]
|
||||
else:
|
||||
r=pascal(n-1)
|
||||
x=[0]+r
|
||||
y=r+[0]
|
||||
return [i+j for i,j in zip(x,y)]
|
||||
|
||||
def nats(n):
|
||||
yield n
|
||||
yield from nats(n+1)
|
||||
|
||||
def primo(s):
|
||||
n=next(s)
|
||||
yield n
|
||||
yield from primo(i for i in s if i%n!=0)
|
||||
|
||||
s=nats(1)
|
||||
print(pascal(next(s)))
|
||||
p=primo(nats(2))
|
||||
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,22 @@
|
|||
def pascal(n):
|
||||
if n==1:
|
||||
return [1]
|
||||
else:
|
||||
r=pascal(n-1)
|
||||
x=[0]+r
|
||||
y=r+[0]
|
||||
return [i+j for i,j in zip(x,y)]
|
||||
|
||||
def nats(n):
|
||||
yield n
|
||||
yield from nats(n+1)
|
||||
|
||||
def primo(s):
|
||||
n=next(s)
|
||||
yield n
|
||||
yield from primo(i for i in s if i%n!=0)
|
||||
|
||||
s=nats(1)
|
||||
print(pascal(next(s)))
|
||||
p=primo(nats(2))
|
||||
|
||||
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