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195
Algebra.tex
195
Algebra.tex
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@ -877,8 +877,12 @@ Der \underline{Homomorphiesatz} besteht aus 3 Teilen:
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$U \cap N \trianglelefteq U$ und $\faktor{UN}N \cong \faktor{U}{U\cap N}$
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Seien $u_1n_1, u_2n_2 \in UN$. Dann gilt $(u_1n_1)(u_2n_2)^{-1} = (u_1n_1)(\inv n_2 \inv u_2) = % Hier irgendwie multlinen
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u_1(n_1 = n_2) \inv u_2 = u_1 (n_3 \inv u_2) = u_1(\inv u_2 n_4) = (u_1 \inv u_2) n_4 \in UN$ mit $n_3, n_4 \in N$ passend gewählt $\implies UN \le G$.
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Seien $u_1n_1, u_2n_2 \in UN$. Dann gilt
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\begin{align*}
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(u_1n_1)(u_2n_2)^{-1} & = (u_1n_1)(\inv n_2 \inv u_2) = {u_1(n_1 n_2) \inv u_2}= \\
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& = u_1 (n_3 \inv u_2) = u_1(\inv u_2 n_4) = (u_1 \inv u_2) n_4 \in UN
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\end{align*}
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mit $n_3, n_4 \in N$ passend gewählt $\implies UN \le G$.
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$N \trianglelefteq UN$ ist klar, da sogar $N \trianglelefteq G$. Sei $\phi$ der kanonische
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Epimorphismus $\phi: \fun G {\faktor GN} g {gN}$. Sei $\bar \phi := \phi|_U$. $\bar \phi(u) = uN$ für $u \in U$.
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@ -3561,8 +3565,8 @@ ist ein Ringhomomorphismus.
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$X^4 + X^2 + 2$ hat keine Nullstelle in $\faktor \Z {3\Z} \implies$ einzige mögliche Zerlegung
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$f = gh$ mit $\deg g = \deg h = 2$. Dafür gibt es zwei Möglichkeiten.
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\begin{align}
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(X^2 + ax + 1)(X^2 + bx + 2) \label{polynom} \\
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(2x^2 + ax + 1)(2x^2 + bx + 2) \nonumber
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\left(X^2 + ax + 1\right)\left(X^2 + bx + 2\right) \label{polynom} \\
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\left(2x^2 + ax + 1\right)\left(2x^2 + bx + 2\right) \nonumber
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\end{align}
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\ref{polynom} liefert uns folgende Kongruenzen:
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\[
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@ -3576,4 +3580,187 @@ ist ein Ringhomomorphismus.
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dritten.
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\end{bsp}
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Irreduzible Polynome in $\C[X]$. Fundamentalsatz der
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Algebra: jedes nicht-konstante Polynom aus $\C[X]$ besitzt
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mindestens eine Nullstelle. Sei also $\deg(f) \ge 2$, Dann
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$\exists a \in \C: f(a) = 0$ und daher $f(x) = (x-a) * q(x)$
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mit $q(x)\in\C[X], \deg(q) < \deg(f).$
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Irreduzible Polynome in $\R[X]$. Sei $R[X]\ni f = (x -
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\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n)$ mit $\alpha_i \in \C$, das
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heißt $f(\alpha_i) = 0, i = 1, \dots, n$. $f(\alpha_i) = 0
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\implies \overline{f(\alpha_i)} = 0 \iff
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f(\overline{\alpha_i}) = 0$. Schreibe $f(x) =
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\underbrace{(x-\alpha_1)(x-\bar\alpha_1)}_{x^2 - (\alpha_1 +
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\overline{\alpha_1})x + \alpha_1 \overline{\alpha_1} \in
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\R[X]}(x-\alpha_2)(x-\bar\alpha_2)\cdots(x-\alpha_k)(x-\bar\alpha_k)
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(x-\alpha_{2k+1})\cdots(x-\alpha_n)$ mit $\alpha_{2k+1},
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\dots, \alpha_n \in \R$. Die irreduziblen Polynome $/\R[X]$
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haben Grad 1 oder Grad 2, in letzterem Fall muss die
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Diskriminante negativ sein.
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\begin{bsp}
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$x^4 + 1$ ist reduzibel in $\C[X]$ und in $\R[X]$.
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\[
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x^4 + 1 = \left(x^2 + \sqrt 2 x + 1\right)\left(x^2 - \sqrt 2 x + 1\right)
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\]
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\end{bsp}
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\chapter{Anwendungen in der elementaren Zahlentheorie}
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\section[Die Ringe \texorpdfstring{$\Z$}{Z} und \texorpdfstring{$\Z/{n\Z}$}{Z/nZ}]{Die Ringe \texorpdfstring{$\Z$}{Z} und \texorpdfstring{$\faktor \Z {n\Z}$}{Z/nZ}} %TODO: fix
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\Z{} ist ein HIB, ${m\Z: m \in \N}$ enthält alle Ideale von \Z.
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\begin{korollar}
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Seien $a_1, \dots, a_n \in \Z \setminus \{0\}$ mit $\ggT(a_1, \dots, a_n) = d$.
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Dann $\exists x_1, \dots, x_n \in \Z$ mit $a_1x_1 + \dots + a_n x_n = d$. \\
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$a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = s$ hat eine Lösung $\iff d \mid s$.
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\end{korollar}
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\begin{proof}
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$I := \{a_1 x_1 + \dots + a_n x_n: x_1, \dots, x_n \in \Z\}$ ist Ideal in $\Z$.
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$\implies I = m\Z$ und $a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = m$ hat Lösung. z.Z.: $d = m$.
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$a_1, \dots, a_n \in I$, sodass $m \mid a_i, i=1, \dots, n$ und daher $m \mid d$. \\
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$d \mid a_i, i = 1, \dots, n \implies d \mid a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = m$.
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Ist $(x_1, \dots, x_n)$ Lösung von $a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = d$, so ist
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$(x_1 \frac sd, \dots, x_n \frac sd)$ eine von $a_1 x_1 + \dots + a_n x_n =
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s$. $d \mid s$, da $d$ stets $a_1 x_1 + \dots + a_n x_n$ teilt.
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\end{proof}
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\begin{description}
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\item[$n = 2$:] $a, b \in \Z \setminus \{0\}, \ggT(a, b) = d, c \in Z. (x_0, y_0)$ eine Lösung von
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$ax + by = c$. Dann sind alle Lösungen von $ax + by = c$ von der Gestalt
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$(x_0 + \frac bd t, y_0 - \frac ad t)$ für ein $t \in \Z$.
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\end{description}
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\begin{proof}
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Das sind Lösungen (einsetzen!).
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\begin{align}
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\begin{rcases}
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ax + by = c \\
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ax_0 + by_0 = c
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\end{rcases}
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& \implies a(x-x_0) + b(y-y_0) = 0 \label{eq:2} \\
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\nonumber
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& \iff a (x - x_0) = -b(y-y_0) \\
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\nonumber
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& \iff \frac ad (x- x_0) = \frac{-b} d (y-y_0)
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\end{align}
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Es folgt: $\frac bd \mid (x-x_0)$, das heißt $\exists t \in \Z: (x - x_0) = \frac bd t$. Durch Einsetzen
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in \ref{eq:2} ergibt sich $y- y_0 = \frac{-a}d t$. Daraus folgt die Behauptung.
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\end{proof}
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Sei $R$ ein kommutativer Ring. Ist $\equiv$ eine
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Kongruenzrelation, so ist $\{a \in R: a \equiv 0\}$ ein
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Ideal von $R$. Ist $I$ ein Ideal von $R$, so ist durch $a
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\equiv b \pmod I \iff a -b \in I$ eine Kongruenzrelation
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definiert. Die Zuordnungen sind invers zueinander.
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$\faktor \Z {m\Z}$ ist Körper $\iff m \in \Primes$.
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\begin{proof}
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Ist $m \notin \Primes$, so hat $\faktor \Z {m\Z}$ Nullteiler, diese sind nicht invertierbar.
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Umgekehrt, bei $a+m\Z \neq 0 + m\Z$ betrachten wir $au + mv = 1$. Das hat eine Lösung
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$(u, v) \in \Z \times \Z$, da $\ggT(a, m) = 1$.
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$\implies (a + m\Z) (u + m\Z) = 1 + m\Z$.
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\end{proof}
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\section[Die Struktur von \texorpdfstring{$(\Z /{m\Z})^*$}{(Z/mZ)*}]{Die Struktur von \texorpdfstring{$\left(\faktor \Z {m\Z}\right)^*$}{(Z/mZ)*}}
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$\left(\faktor \Z {m\Z}\right)^*$ heißt prime Restklassengruppe mod m.
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\begin{align*}
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\abs{\left(\faktor \Z {m\Z}\right)^*} =: \varphi(m) & & \text{\dq Eulersche $\varphi$-Funktion\dq}
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\end{align*}
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$\varphi$ ist multiplikativ $:\iff \varphi(mn) = \varphi(m)\varphi(n)$ falls $(m, n) = 1$.
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Es gilt: $R, S$ seien KREs. Dann ist $(R \times S)^* = R^* \times S^*$.
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\begin{lemma}
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\label{lemma:einheiten}
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Ist $f: R \to S$ ein Ringisomorphismus, so gilt:
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\[
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f(R^*) = S^*
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\]
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Sei $x \in R^*$. Dann existiert $y \in R$ mit $xy = 1_R$.
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\[
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1_S = f(1_R) = f(xy) = f(x) f(y) \implies f(x) \in S^*
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\]
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Die Umkehrung folgt durch Anwendung dieser Überlegung auf $\inv f: S \to
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R$.
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\end{proof}
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\begin{korollar}
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Sei $\ggT(m, n) = 1$. Dann gilt:
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\[
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f^*: \fun {\left({\faktor \Z {mn\Z}}\right)^*} {\left(\faktor \Z {m\Z}\right)^* \times\left(\faktor \Z {n\Z}\right)^*}
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{x + mn \Z} {(x + m\Z, x + n\Z)}
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\]
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ist ein Gruppenisomorphismus. Insbesondere $\varphi(mn) =
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\varphi(m)\varphi(n)$.
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\end{korollar}
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\begin{proof}
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$\faktor \Z {mn\Z} \cong \faktor \Z{m\Z} \times \faktor \Z{n\Z}$ nach Chinesischem Restsatz ($(m, n) = 1$)
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Es folgt:
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\begin{align*}
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\left(\faktor \Z {mn\Z}\right)^* & \cong \left(\faktor \Z{m\Z}\right)^* \times \left(\faktor \Z{n\Z}\right)^* & \text{nach dem \cref{lemma:einheiten}.} \\
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& = \left(\faktor \Z{m\Z}\right)^* \times \left(\faktor \Z{n\Z}\right)^*
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\end{align*}
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\end{proof}
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\begin{korollar}
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Für $m \in \N$ gilt:
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\[
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\varphi(m) = m \prod_{p\mid m} \left(1 - \frac 1p\right).
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\]
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\end{korollar}
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\begin{proof}
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Für $m = 1$: \checkmark
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Sonst sei $m = p_1^{\alpha_1} \cdot \dots \cdot p_k^{\alpha_k} \implies
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\varphi(m) = \varphi(p_1^{\alpha_1}) \cdots \varphi(p_k^{\alpha_k})$. \\
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Behauptung: $\varphi(p^\alpha) = p^\alpha - p^{\alpha-1}$ ($p^{\alpha-1} =
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\#$Vielfache von $p$ zwischen 1 und $p^\alpha$.) \\ $\implies \varphi(m) =
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(p_1^{\alpha_1} - p_1^{\alpha_1} - 1) \cdots (p^{\alpha_k} - p^{\alpha_k} -
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1) = p_1 ^{\alpha_1} (1 - \frac 1 {p_1}) \cdots p_k^{\alpha_k} (1 - \frac 1
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{pk}) = m(1 - \frac 1 {p_1}) \cdots (1 - \frac 1 {p_k})
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\implies$Behauptung.
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Es ist $\abs{\Z_m^*} = \varphi(m)$. Für $a \in \Z_m^*$ gilt daher
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$a^{\varphi(m)} = a^{\abs{\Z_m^*}} = 1$. \\ $a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod
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m$ "kleiner Satz von Fermat" \\ $m = p \in \Primes. a^{p-1} \equiv 1 \pmod
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m$ für $(a, m) = 1$ oder $a^p \equiv a \pmod m$ für beliebige $m$.
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\end{proof}
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\begin{defin}
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Sei $m \in \N$ eine Zahl für die $\left( \faktor \Z {m\Z} \right)^*$ zyklisch ist und $g$ ein Erzeuger von
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$\left(\faktor \Z {m\Z}\right)^*$. Dann heißt $g$ Primitivwurzel mod $m$.
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\end{defin}
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Behauptung: Falls es eine Primitivwurzel (PW) $\mod m$ gibt,
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so gibt es $\varphi(\varphi(m))$ viele.
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\begin{proof}
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\[
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\abs{\left(\faktor \Z{m\Z}\right)^*} = \varphi(m).
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\]
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Ist $\hull g = \left( \faktor \Z {m\Z} \right)^*$, so ist $\hull{g^s} =
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\left( \faktor \Z {m\Z} \right)^* \iff \ggT\left(s, \underbrace{\abs{\left(
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\faktor \Z {m\Z} \right)^*}}_{\varphi(m)}\right) = 1$
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\end{proof}
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Behauptung: $\left( \faktor \Z {p\Z} \right)^*$ ist für $p
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\in \Primes$ zyklisch. (Denn $\faktor \Z{p\Z}$ ist Körper
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und \\ ${\left( \faktor \Z {p\Z} \right)^* \ssq \left(
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\faktor \Z {p\Z} \right)^*}$)
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Es gilt sogar: $\left( \faktor \Z {p^m\Z} \right)^*$ ist
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zyklisch. \\ Sei $g$ eine PW $\mod p$.
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\begin{lemma}
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Es gilt: $g^{p-1} \not\equiv 1 \pmod {p^2}$ oder $(g+p)^{p-1} \not\equiv 1 \pmod {p^2}$
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Angenommen $g^{p-1} \equiv 1 \equiv (g+p)^{p-1} \pmod {p^2}$.
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$(g+p)^{p-1} = g^{p-1} + p(p-1)g^{p-2} + \underbrace{\cdots}_{\equiv 0 \pmod {p^2}} \pmod{p^2}$.
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$(g+p)^{p-1} \equiv 1 \pmod{p^2} \land g^{p-1} \equiv 1 \pmod{p^2} \implies p(p-1)g^{p-2} \equiv 0 \pmod {p^2}$.
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Das hieße $(p-1)g^{p-2} \equiv 0 \pmod p \implies {g^{p-2} \equiv 0 \pmod p}$. $g$ ist aber PW. \qed
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\end{proof}
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\end{document}
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