Improve induction proofs
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85
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85
LinAlg2.tex
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@ -162,20 +162,20 @@ postaction={decorate}},
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\begin{proof}
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Vollständige Induktion
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\begin{itemize}
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\item $n=1: S_1 = \{\id\}\implies\abs{ S_1} = 1 = 1!$
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\item $n-1\to n:$\\ Angenommen $\abs{ S_{n-1} } = (n-1)!$.
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Dann gilt $\abs{\{\pi \in S_n: \pi(n) = n \}} = (n-1)!$. Sei allgemein $i \in [n]$.
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Dann gilt $\pi(n)=i \iff (in)\circ\pi(n)=n$. Also gilt
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\begin{align*}
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& \abs{\{\pi\in S_n: \pi(n)=i\}} = \abs{\{(in)\circ\pi: \pi(n)=n\}} \\
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& = \abs{\{\pi: \pi(n)=n\}} = (n-1)!
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\end{align*}
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Weiters gilt
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\begin{align*}
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& S_n = \bigcup_{i\in[n]}^\bullet\{\pi\in S_n: \pi(n)=i\} \implies \\
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& \abs{S_n}= \sum_{i\in[n]}\abs{\{\pi \in S_n: \pi(n) = i\}}
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= n\cdot(n-1)! = n!
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\end{align*}
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\item[$n=1$:] $S_1 = \{\id\}\implies\abs{ S_1} = 1 = 1!$
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\item[$n-1\to n$:] Angenommen $\abs{ S_{n-1} } = (n-1)!$.
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Dann gilt $\abs{\{\pi \in S_n: \pi(n) = n \}} = (n-1)!$. Sei allgemein $i \in [n]$.
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Dann gilt $\pi(n)=i \iff (in)\circ\pi(n)=n$. Also gilt
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\begin{align*}
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& \abs{\{\pi\in S_n: \pi(n)=i\}} = \abs{\{(in)\circ\pi: \pi(n)=n\}} \\
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& = \abs{\{\pi: \pi(n)=n\}} = (n-1)!
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\end{align*}
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Weiters gilt
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\begin{align*}
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& S_n = \bigcup_{i\in[n]}^\bullet\{\pi\in S_n: \pi(n)=i\} \implies \\
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& \abs{S_n}= \sum_{i\in[n]}\abs{\{\pi \in S_n: \pi(n) = i\}}
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= n\cdot(n-1)! = n!
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\end{align*}
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\end{itemize}
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\end{proof}
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@ -185,14 +185,15 @@ postaction={decorate}},
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Für $n\in \mathbb{N}_{\ge2}$ ist jedes $\pi \in S_n$ das Produkt von (endlich vielen) Transpositionen.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Vollständige Induktion
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\begin{itemize}
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\item $n=2: S_2 = \{\id, (2 1)\}$
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\item $n-1\to n$\\
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Sei $\pi \in S_n$. Dann gilt (siehe Beweis von Satz \ref{theo:1.1.3}) mit $i=\pi(n)$, dass
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\[\underbrace{(i n)\pi}_{\pi_i}(n) = n\]
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Sei $\pi_i = (\underbrace{\pi_i(1) \dots \pi_i(n-1)}_{\in S_{n-1}} n)
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\underset{\text{Induktions VS}}{\implies} \pi_i = (i_1 j_1) \dots (i_k j_k)$.\\
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Außerdem gilt $\pi = (i n)\pi_i$, also $\pi = (i n)(i_1 j_1) \dots (i_k j_k)$
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\item[$n=2$:] $S_2 = \{\id, (2 1)\}$
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\item[$n-1\to n$:]
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Sei $\pi \in S_n$. Dann gilt (siehe Beweis von Satz \ref{theo:1.1.3}) mit $i=\pi(n)$, dass
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\[\underbrace{(i n)\pi}_{\pi_i}(n) = n\]
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Sei $\pi_i = (\underbrace{\pi_i(1) \dots \pi_i(n-1)}_{\in S_{n-1}} n)
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\underset{\text{Induktions VS}}{\implies} \pi_i = (i_1 j_1) \dots (i_k j_k)$.\\
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Außerdem gilt $\pi = (i n)\pi_i$, also $\pi = (i n)(i_1 j_1) \dots (i_k j_k)$
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\end{itemize}
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\end{proof}
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@ -354,25 +355,25 @@ $\varphi$ alternierend und $a_i = a_j$ für $i\neq j \implies \varphi(a_1, \dots
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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\begin{itemize}
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\item[$\implies$]: folgt aus Definition \ref{theo:1.2.2}
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\item[$\impliedby$]: z.Z.: $\varphi(b_1, \dots, b_n)\neq0\impliedby b_1, \dots, b_n \text{ Basis von } V$.
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Da $\varphi$ nicht ausgeartet ist, gibt es $a_1, \dots, a_n\in V$ mit $\varphi(a_1, \dots, a_n)\neq0$.\\
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Da $b_1, \dots, b_n$ Basis gibt es $\lambda_{ij}\in\K$ mit $a_i=\sum\limits_{j=1}^n{\lambda_{ij}b_j}$\\
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Wegen n-Linearität gilt
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\begin{align*}
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0\neq\varphi(a_1, \dots, a_n) & =\sum_{j_1=1}^n{\dots}\sum_{j_n=1}^n{\varphi(b_{j_1}, \dots, b_{j_n})
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||||
\lambda_{1j_1}\cdots\lambda_{nj_n}} \\
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& \underbrace{=}_{\mathclap{\varphi\text{ alternierend}}}
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\sum_{\substack{j_1, \dots, j_n \\
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||||
\text{paarweise verschieden}}}
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{\varphi(b_{j_1}, \dots, v_{j_n})\lambda_{1j_1} \cdots \lambda_{nj_n}} \\
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& = \sum_{\pi\in S_n} \varphi(b_{\pi(1)}, \dots, b_{\pi(n)})
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\lambda_{1\pi(1)} \cdots \lambda_{n\pi(n)} \\
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||||
& \underbrace{=}_{\mathclap{\text{Lemma \ref{theo:1.2.3}}}}
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\varphi(b_1, \dots, b_n)\left(\sum_{\pi\in S_n}
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\sgn(\pi)\lambda_{1\pi(1)}\cdots\lambda_{n\pi(n)}\right) \\
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||||
& \implies\varphi(b_1, \dots, b_n)\neq 0
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\end{align*}
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\item[$\implies$:] folgt aus Definition \ref{theo:1.2.2}
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\item[$\impliedby$:] z.Z.: $\varphi(b_1, \dots, b_n)\neq0\impliedby b_1, \dots, b_n \text{ Basis von } V$.
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Da $\varphi$ nicht ausgeartet ist, gibt es $a_1, \dots, a_n\in V$ mit $\varphi(a_1, \dots, a_n)\neq0$.\\
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Da $b_1, \dots, b_n$ Basis gibt es $\lambda_{ij}\in\K$ mit $a_i=\sum\limits_{j=1}^n{\lambda_{ij}b_j}$\\
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Wegen n-Linearität gilt
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\begin{align*}
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0\neq\varphi(a_1, \dots, a_n) & =\sum_{j_1=1}^n{\dots}\sum_{j_n=1}^n{\varphi(b_{j_1}, \dots, b_{j_n})
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\lambda_{1j_1}\cdots\lambda_{nj_n}} \\
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& \underbrace{=}_{\mathclap{\varphi\text{ alternierend}}}
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\sum_{\substack{j_1, \dots, j_n \\
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\text{paarweise verschieden}}}
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{\varphi(b_{j_1}, \dots, v_{j_n})\lambda_{1j_1} \cdots \lambda_{nj_n}} \\
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& = \sum_{\pi\in S_n} \varphi(b_{\pi(1)}, \dots, b_{\pi(n)})
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\lambda_{1\pi(1)} \cdots \lambda_{n\pi(n)} \\
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||||
& \underbrace{=}_{\mathclap{\text{Lemma \ref{theo:1.2.3}}}}
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||||
\varphi(b_1, \dots, b_n)\left(\sum_{\pi\in S_n}
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\sgn(\pi)\lambda_{1\pi(1)}\cdots\lambda_{n\pi(n)}\right) \\
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& \implies\varphi(b_1, \dots, b_n)\neq 0
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\end{align*}
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\end{itemize}
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\end{proof}
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@ -842,14 +843,14 @@ da obige Matrix aus $M_{ij}$ durch Spaltenadditionen hervorgeht.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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\begin{itemize}
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\item[$\implies$] Sei $\alpha$ diagonalisierbar und $B$ eine Basis mit $_B M(\alpha)_B$ Diagonalmatrix.
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\item[$\implies$:] Sei $\alpha$ diagonalisierbar und $B$ eine Basis mit $_B M(\alpha)_B$ Diagonalmatrix.
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Dann gilt
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\begin{align*}
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{}_B M(\alpha)_B & = {}_B M(\id)_C \cdot {}_C M(\alpha)_C \cdot {}_C M(\id)_B \\
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& = {}_C M(\id)_{B^{-1}} \cdot {}_C M(\alpha)_C \cdot {}_C M(\id)_B
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\end{align*}
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Also ist ${}_C M(\alpha)_C$ diagonalisierbar.
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\item[$\impliedby$] Sei ${}_C M(\alpha)_C$ diagonalisierbar und $P$ invertierbar mit
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\item[$\impliedby$:] Sei ${}_C M(\alpha)_C$ diagonalisierbar und $P$ invertierbar mit
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$P^{-1}\cdot {}_C M(\alpha)_C \cdot P$ Diagonalmatrix.
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Sei $B$ Basis mit $P={}_C M(\id)_B$.
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Dann gilt ${}_B M(\alpha)_B$ ist Diagonalmatrix.
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