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49
LinAlg2.tex
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@ -1191,7 +1191,7 @@ $\le\genfrac{}{}{0pt}{0}{\dim(V)}{n}$, da
\item $\chi_{A/\alpha}$ zerfällt in Linearfaktoren, das heißt
\[
\chi_{A/\alpha}(\lambda)= (\lambda_1 - \lambda)^{k_1} \cdots (\lambda_r - \lambda)^{k_r},
\sum_{i=1}^n k_i = n
\sum_{i=1}^r k_i = n
\]
\item algebraische und geometrische Vielfachheiten stimmen überein, das \\
heißt $m_a(\lambda_i) = m_g(\lambda_i), i=1, \dots, r$
@ -1345,7 +1345,7 @@ $A = \begin{pmatrix}
= (a_{ji} - \delta_{ij} \lambda)_{ij}$
und $C:= \adj(B)$, sodass
\begin{equation}
CB \overset{\text{\ref{theo:1.4.7}}}{=} \det(B) I_n = \chi_A = I_n \; [\chi_A = \chi_{A^T}]
CB \overset{\text{\ref{theo:1.4.7}}}{=} \det(B) I_n = \chi_A \cdot I_n \; [\chi_A = \chi_{A^T}]
\label{eq:2.2.18.1}
\end{equation}
\ref{eq:2.2.18.1} heißt komponentenweise, dass
@ -1356,17 +1356,17 @@ $A = \begin{pmatrix}
= \delta_{ij} \cdot \underbrace{\chi_A} \forall k, j \in [n] \nonumber \\
= & \sum_{i=1}^{n}c_{ki}(A) b_{ij}(A) = \delta_{jk}\chi_A (A) \label{eq:2.2.18.2}
\end{flalign}
Wegen $b_{ij}(A) = a_{ji} I_N - \delta_{ij}A$ gilt weiters
Wegen $b_{ij}(A) = a_{ji} I_n - \delta_{ij}A$ gilt weiters
\begin{equation}
\forall i \in [n]: \sum_{j=1}^{n} b_{ij}(A) e_j = \left(\sum_{j=1}^{n} a_{ji} e_j\right) - A e_i = 0
\label{eq:2.2.18.3}
\end{equation}
Es folgt $\forall k \in [n]$
\begin{align*}
\chi_A (A) e_k & = \sum_{j=1}^{n} \delta_{jk} \chi(A) e_j & \\
\chi_A (A) e_k & = \sum_{j=1}^{n} \delta_{jk} \chi_A(A) e_j & \\
& \underbrace{=}_{\mathclap{\text{\ref{eq:2.2.18.2}}}}
\sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} c_{ki}(A) b_{ij}(A) e_j & \\
& = \sum_{i=1}^{n} c_{ki}(A) \left(\sum_{j=1}^{n} b_{ij(A) e_j}\right) & \\
& = \sum_{i=1}^{n} c_{ki}(A) \left(\sum_{j=1}^{n} b_{ij}(A) e_j\right) & \\
& \underbrace{=}_{\mathclap{\text{\ref{eq:2.2.18.3}}}} 0 & \\
& \implies \chi_A(A) = 0
\end{align*}
@ -1644,7 +1644,7 @@ Wir wollen zeigen, dass $\alpha/A$ genau dann eine Jordan-Normalform besitzt, we
\end{equation*}
Wir bauen uns iterativ eine Basis für Komplemente $W_i$ mit $V_{i-1} \oplus W_i = V_i$.
Sei also $B^{m-1}$ Basis von $V_{m-1}$. \\
$C^m = (c_1^m, \dots, c_{r_{m}})$ Basis von $W_m$
$C^m = (c_1^m, \dots, c_{r_{m}}^m)$ Basis von $W_m$
[das heißt $C^m$ ergänzt die Basis $B^{m-1}$ zu Basis von $V^m$]. \\
\underline{Behauptung}
\begin{enumerate} [label=\arabic*)]
@ -1657,11 +1657,11 @@ Wir wollen zeigen, dass $\alpha/A$ genau dann eine Jordan-Normalform besitzt, we
\item[1)] folgt aus $\alpha(V_{i+1}) \subseteq \alpha(V_i)$
\item[3)] Sei $\sum\limits_{i}\mu_i \alpha(c_i^m) \in V_{m-2}$
\begin{align*}
& \implies \alpha^{m-2} \left(\sum_{i}\mu_i \alpha(c_i^m)\right) = 0 \\
& \implies \alpha^{m-1} \left(\sum_{i} \mu_i \alpha(c_i^m)\right) = 0 \\
& \implies \sum \mu_i c_i^m \in V_{m-1} \\
& \underbrace{\implies}_{\mathclap{\substack{(c_i^m) \text{ liegen} \\
\text{im Komplement} \\
& \implies \alpha^{m-2} \left(\sum_{i}\mu_i \alpha(c_i^m)\right) = 0 \\
& \implies \alpha^{m-1} \left(\sum_{i} \mu_i c_i^m \right) = 0 \\
& \implies \sum \mu_i c_i^m \in V_{m-1} \\
& \underbrace{\implies}_{\mathclap{\substack{(c_i^m) \text{ liegen} \\
\text{im Komplement} \\
\text{von } V_{m-1}}}}
\mu_i = 0, \forall i \implies \sum_{i} \mu_i \alpha(c_i^m) = 0
\end{align*}
@ -1670,8 +1670,8 @@ Wir wollen zeigen, dass $\alpha/A$ genau dann eine Jordan-Normalform besitzt, we
\end{proof}
Es folgt, dass
\[
\underbrace{V_{m-2} \oplus \linspan{ \alpha(C^m) } \oplus
\overset{\linspan{ D^{m-1} }}{\linspan{C^{m-1}}}}_{V_{m-1}} \oplus
\underbrace{V_{m-2} \oplus
\overset{\linspan{ D^{m-1} }}{\linspan{ \alpha(C^m) } \oplus\linspan{C^{m-1}}}}_{V_{m-1}} \oplus
\overset{\linspan{ D^m }}{\linspan{C^m}} = V
\]
Setze $D^m := C^m$ und definiere induktiv für $D^i \subseteq V_i$ die Menge
@ -1694,9 +1694,9 @@ Wir wollen zeigen, dass $\alpha/A$ genau dann eine Jordan-Normalform besitzt, we
\right\} \in V_m \\
\left.
\begin{array}{lll}
J_{m-1}(0) \to & \alpha^{m-1}(d_1^{m-1}), \dots, \alpha(d_1^{m-1}), & d_1^{m-1} \\
J_{m-1}(0) \to & \alpha^{m-2}(d_1^{m-1}), \dots, \alpha(d_1^{m-1}), & d_1^{m-1} \\
& & \vdots \\
J_{m-1}(0) \to & \alpha^{m-1}(d_{r_{m-1}}^{m-1}), \dots, \alpha(d_{r_{m-1}}^{m-1}), & d_{r_{m-1}}^{m-1}
J_{m-1}(0) \to & \alpha^{m-2}(d_{r_{m-1}}^{m-1}), \dots, \alpha(d_{r_{m-1}}^{m-1}), & d_{r_{m-1}}^{m-1}
\end{array}
\right\} \in V_{m-1} \\
\left. \begin{array}{lr}
@ -1716,7 +1716,7 @@ Angenommen \(\alpha - \lambda \id: V \to V\) nilpotent. Dann besitzt \(\alpha\)
\begin{defin}
\label{theo:2.3.4}
Sei \(V \K\)-Vektorraum, \(\dim(V) < \infty, \alpha \in \homkv\) und \(\lambda \in \spec(\alpha)\).
Sei \(V\) \K-Vektorraum, \(\dim(V) < \infty, \alpha \in \homkv\) und \(\lambda \in \spec(\alpha)\).
Für \(l \in \mathbb{N}\) definiere \(V_{l, \lambda}:= \ker((\alpha - \lambda \id)^l)\)
\end{defin}
@ -1736,7 +1736,7 @@ Angenommen \(\alpha - \lambda \id: V \to V\) nilpotent. Dann besitzt \(\alpha\)
\begin{lemma}
\label{theo:2.3.5}
Sei $V \K$-Vektorraum, $\dim(V) < \infty, \alpha \in \homkv$. Für $l\in\mathbb{N}$ sei
Sei $V$ \K-Vektorraum, $\dim(V) < \infty, \alpha \in \homkv$. Für $l\in\mathbb{N}$ sei
$V_l := \ker(\alpha^l)$. Dann gilt $\alpha(V_l) \subseteq V_{l-1} \subseteq V_l$ für alle
$l\in \mathbb{N}$ und es existiert genau ein $k\in \mathbb{N}_0$ mit
\[
@ -1862,14 +1862,14 @@ Angenommen \(\alpha - \lambda \id: V \to V\) nilpotent. Dann besitzt \(\alpha\)
\begin{satz}
Sei $V \K$-Vektorraum, $\dim(V) < \infty$ und $\alpha \in \homkv$ sodass $\chi_A$ in
Sei $V$ \K-Vektorraum, $\dim(V) < \infty$ und $\alpha \in \homkv$ sodass $\chi_A$ in
Linearfaktoren zerfällt. Dann besitzt $\alpha$ Jordan-Normalform.
\end{satz}
\begin{proof}
Zerlege nach Satz \ref{theo:2.3.7}
$V = \widetilde{\eig_\alpha(\lambda_1)} \oplus \cdots \oplus \widetilde{\eig_\alpha(\lambda_r)}$
und \\
$\alpha = \alpha \oplus \cdots \oplus \alpha_r$.
$\alpha = \alpha_1 \oplus \cdots \oplus \alpha_r$.
Da $\widetilde{\eig_\alpha(\lambda_i)} = \ker(\alpha - \lambda_i \id)^{k_i}$ ist
$\alpha_i - \lambda_i \id := \alpha|_{\widetilde{\eig_\alpha(\lambda_i)}} - \lambda
\id|_{\widetilde{\eig_\alpha(\lambda_i)}} $ nilpotent. Nach Lemma \ref{theo:2.3.3} gibt es eine Basis
@ -2648,7 +2648,6 @@ Behauptung: $\inner fp > 0$
\end{defin}
\begin{satz}
\label{theo:3.2.7}
\[
\alpha \text{ normal} \iff \inner{\alpha(v)}{\alpha(w)} = \inner{\alpha^*(v)}{\alpha^*(w)}
@ -2658,7 +2657,7 @@ Behauptung: $\inner fp > 0$
\begin{itemize}
\item[$\implies$:]$\inner{\alpha(v)}{\alpha(w)} = \inner{v}{\alpha^*(\alpha(w))}
\underbrace{=}_{\alpha \text{ normal}} \inner{v}{\alpha(\alpha^*(w))}$ \\
$ \inner{\alpha^*(v)}{\alpha^*(w)} = \inner{v}{(\alpha^*)^{{}^*} (\alpha^*(v))} = \inner{v}{\alpha(\alpha^*(w))}$
$ \inner{\alpha^*(v)}{\alpha^*(w)} = \inner{v}{(\alpha^*)^{{}^*} (\alpha^*(w))} = \inner{v}{\alpha(\alpha^*(w))}$
\end{itemize}
\end{proof}
@ -2727,7 +2726,7 @@ Behauptung: $\inner fp > 0$
\item[$n=1$:] $\exists$ Eigenvektor $e_1 \in V \setminus\{0\}$ mit $\alpha(e_1) = \lambda e_1$.\\
o.B.d.A.: $\norm{e_1} = 1 \implies v$ ist Orthonormalbasis aus Eigenvektoren
\item[$n-1 \to n$:] $\exists$ Eigenvektor $e_1 \in V \setminus\{0\}$ mit $\alpha(e_1) = \lambda e_1$.\\
o.B.d.A.: $\norm{e_1} = 1 \; U= \linspan{ e_1 } ^\bot$
o.B.d.A.: $\norm{e_1} = 1, \; U= \linspan{ e_1 } ^\bot$
\begin{itemize}
\item $V = \linspan{ e_1 } \oplus U, \alpha(U) \overset{\text{!}}{\subseteq} U,
\alpha(\linspan{e_1}) \overset{\checkmark}{\subseteq} \linspan{e_1 }$
@ -3197,7 +3196,7 @@ Das sind genau die Längen- und Winkelerhaltenden Abbildungen.
\begin{proof}
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item $I \in O(n, \R), A,B \in O(n, \R)$ \\
$(AB)^* = B^*A^* = B^{-1}A^{-1} = (AB)^{-1} \implies AB \in =(n, \R)$ \\
$(AB)^* = B^*A^* = B^{-1}A^{-1} = (AB)^{-1} \implies AB \in (n, \R)$ \\
$(A^{-1})^{{}^*} = (A^*)^{{}^*} = A \implies A^{-1} \in O(n, \R)$
\item Genauso
\item $A^{-1} = A^T$.
@ -3874,7 +3873,7 @@ Das heißt $\alpha$ lässt sich aus orthogonalen Endomorphismen und Skalierung z
Mittels der Singulärwertzerlegung können wir für jede Matrix (bzw. lineare Abbildung) eine verallgemeinerte
Inverse berechnen.
Sei ${}_B M(\alpha)_B = \begin{pmatrix}s_1 \\
Sei ${}_{B'} M(\alpha)_B = \begin{pmatrix}s_1 \\
& \ddots \\
& & s_r \\
& & & 0 \\
@ -3935,7 +3934,7 @@ Wir haben eine echte Verallgemeinerung.
\]
(Moore-Penrose) \underline{Pseudoinverse} von $A$.
\item Sei $\alpha \in \homk(V, W), \dim(V), \dim(W) < \infty$ und $B, B'$ Orthonormalbasen mit
${}_{B'} M(\alpha)_B = \Sigma$ und $\alpha^\dagger$ so, dass ${}_B M(\alpha^\dagger)_B = \Sigma^\dagger$.
${}_{B'} M(\alpha)_B = \Sigma$ und $\alpha^\dagger$ so, dass ${}_B M(\alpha^\dagger)_{B'} = \Sigma^\dagger$.
Dann heißt $\alpha^\dagger$ (Moore-Penrose) \underline{Pseudoinverse} von $\alpha$.
\end{itemize}
\end{defin}