Fix typos and replace R with Re for real part

LinAlg2.tex

@@ -86,6 +86,7 @@
 \newcommand\norm[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
 \newcommand\ontop[2]{\genfrac{}{}{0pt}{0}{#1}{#2}}
 \newcommand\abs[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
+\newcommand\real{\mathfrak{Re}}
 
 \newif\ifhideproofs
 %\hideproofstrue
@@ -464,13 +465,13 @@ Es gibt also zu jedem $\K$-VR V mit $\dim(V)=n$ eine nicht ausgeartete alternier
 
 \begin{satz}
 	\label{theo:1.3.2}
-	$\det(\alpha)$ ist unabhängig von der Wahl der Basis B und der der Form $\varphi$.
+	$\det(\alpha)$ ist unabhängig von der Wahl der Basis B und der Form $\varphi$.
 \end{satz}
 \begin{proof}
 	\leavevmode
 	\begin{enumerate}[label=\arabic *. Fall:]
 		\item $\alpha$ nicht bijektiv\\
-		      $\implies \alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n) \text{linear unabhängig} \implies \det(\alpha) = 0$
+		      $\implies \alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n) \text{ linear abhängig} \implies \det(\alpha) = 0$
 		\item $\alpha$ bijektiv. Sei $B=(a_1, \dots, a_n)$.
 
 		      Dann ist auch $\alpha(a_1), \dots, \alpha(a_n)$ Basis und,
@@ -2263,7 +2264,7 @@ Auch skalare Produkte können eindeutig fortgesetzt werden.
 			                     & = \inner u{u+v} + \inner v{u+v} = \inner uu + \inner uv +
 			      \inner vu + \inner vv                                                        \\
 			                     & = \inner uu + \inner uv + \overline{\inner uv } + \inner vv \\
-			                     & = \inner uu + 2 \Re(\inner uv ) + \inner vv                 \\
+			                     & = \inner uu + 2 \real(\inner uv ) + \inner vv               \\
 			                     & \le \inner uu + 2 \abs{ \inner uv } + \inner vv             \\
 			                     & \le \inner uu + 2 \norm u \norm v + \inner vv               \\
 			                     & = \norm{u}^2 + 2 \norm u \norm v + \norm{v}^2
@@ -2922,7 +2923,7 @@ Im Reellen/Euklidischen Fall gilt dieser Satz genau dann, wenn $\alpha$ diagonal
 	$\lambda_{k+j} = \gamma_j + i \delta_j$
 	\subsubsection{Bemerkung}
 	Jedem Kästchen $\eta(\gamma, \delta)$ entspricht ein Paar $\lambda, \overline\lambda$ konjugiert komplexer
-	Eigenwerte von $\alpha_\C$. $\gamma = \Re(\lambda), \delta = \Im(\lambda)$
+	Eigenwerte von $\alpha_\C$. $\gamma = \real(\lambda), \delta = \Im(\lambda)$
 \end{satz}
 \begin{proof}
 	\leavevmode
@@ -2988,7 +2989,7 @@ Im Reellen/Euklidischen Fall gilt dieser Satz genau dann, wenn $\alpha$ diagonal
 	Sei $V$ ein euklidischer/unitärer Vektorraum, $\alpha \in \homkv$ \\
 	anti-selbstadjungiert. Dann gilt
 	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
-		\item $\lambda \in \spec(\alpha) \implies \Re(\lambda) = 0$
+		\item $\lambda \in \spec(\alpha) \implies \real(\lambda) = 0$
 		\item $\alpha_\C$ besitzt eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren.
 		\item Ist $V$ euklidisch, so sind die Diagonalelemente der Matrix ${}_B M(\alpha)_B$ gleich $0$, wobei
 		      $B$ die Basis aus Satz \ref{theo:3.2.14} ist.
@@ -3001,7 +3002,7 @@ Im Reellen/Euklidischen Fall gilt dieser Satz genau dann, wenn $\alpha$ diagonal
 		      Mit $0 \neq v \in \eig_{\alpha}(\lambda)$:
 		      \[
 			      \alpha(v) = \lambda v = -\alpha^*(v) = -\overline \lambda v \implies \lambda = -\overline \lambda
-			      \implies \Re (\lambda) = 0
+			      \implies \real (\lambda) = 0
 		      \]
 		\item $\alpha$ ist normal, $\alpha^*= -\alpha$
 		\item Folgt aus dem Satz~\ref{theo:3.2.14}, sowie a).
@@ -3333,7 +3334,7 @@ Klassifizierung aller Skalarprodukte.
 		A \in & \R^{\nxn} \text{heißt} &  & \text{\underline{symmetrisch}, wenn}       &  & A = A^T  \\
 		A \in & \C^{\nxn} \text{heißt} &  & \text{\underline{hermitesch}, wenn}        &  & A = A^*  \\
 		A \in & \R^{\nxn} \text{heißt} &  & \text{\underline{schiefsymmetrisch}, wenn} &  & A = -A^T \\
-		A \in & \C^{\nxn} \text{heißt} &  & \text{\underline{schiefhermitesch}, wenn}  &  & A = A^*
+		A \in & \C^{\nxn} \text{heißt} &  & \text{\underline{schiefhermitesch}, wenn}  &  & A = -A^*
 	\end{align*}
 \end{defin}