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Anton Mosich 2022-06-17 11:44:03 +02:00
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LinAlg2.tex
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@ -528,10 +528,13 @@ Es gibt also zu jedem $\K$-VR V mit $\dim(V)=n$ eine nicht ausgeartete alternier
\begin{align*} \begin{align*}
\det(\alpha\beta) & = \frac{\varphi(\alpha(\beta(a_1)), \dots, \alpha(\beta(a_n)))} \det(\alpha\beta) & = \frac{\varphi(\alpha(\beta(a_1)), \dots, \alpha(\beta(a_n)))}
{\varphi(a_1, \dots, a_n)} \\ {\varphi(a_1, \dots, a_n)} \\
& =\frac{\varphi(\alpha(\beta(a_1)), \dots, \alpha(\beta(a_n)))} & \begin{multlined}
{\varphi(\beta(a_1), \dots, \beta(a_n))}\cdot \cdots \\ =\frac{\varphi(\alpha(\beta(a_1)), \dots, \alpha(\beta(a_n)))}
& \cdots \frac{\varphi(\beta(a_1), \dots, \beta(a_n))} {\varphi(\beta(a_1), \dots, \beta(a_n))}\cdot
{\varphi(a_1, \dots, a_n)}\underbrace{=}_{\text{Satz \ref{theo:1.3.2}}} \frac{\varphi(\beta(a_1), \dots, \beta(a_n))}
{\varphi(a_1, \dots, a_n)}
\end{multlined} \\
& \underbrace{=}_{\mathclap{\text{Satz \ref{theo:1.3.2}}}}
\det(\alpha)\det(\beta) \det(\alpha)\det(\beta)
\end{align*} \end{align*}
\end{enumerate} \end{enumerate}
@ -580,11 +583,11 @@ Schreibweise für $A=(a_{ij})$:
Sei $A=(a_1, \dots, a_n)\in\K^{n\times n}$. Dann gilt Sei $A=(a_1, \dots, a_n)\in\K^{n\times n}$. Dann gilt
\begin{enumerate}[label=\alph*)] \begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item $\det(A)=\det(A^T)$ \item $\det(A)=\det(A^T)$
\item $\forall i, j\in[n]: i<n: \item $\forall i, j\in[n]: i<j:
\det((a_1, \dots, \underbrace{a_j}_{i}, \dots, \underbrace{a_i}_{j}, \dots, a_n))=\det(A)$ \det((a_1, \dots, \underbrace{a_j}_{i}, \dots, \underbrace{a_i}_{j}, \dots, a_n))=-\det(A)$
\item $\forall i\in[n]: \lambda_1, \dots, \lambda_n\in\K: \det((a_1, \dots, a_i+ \item $\forall i\in[n]: \lambda_1, \dots, \lambda_n\in\K: \det((a_1, \dots, a_i+
\sum\limits_{\substack{j=1\\j\neq i}}^n\lambda_ja_j, \dots, a_n))=\det(A)$ \sum\limits_{\substack{j=1\\j\neq i}}^n\lambda_ja_j, \dots, a_n))=\det(A)$
\item $\forall i\in[n]: \lambda\in\K: \det((a_1, \dots, \lambda a_i, \dots, a_n)) = \det(A)$ \item $\forall i\in[n]: \lambda\in\K: \det((a_1, \dots, \lambda a_i, \dots, a_n)) = \lambda \det(A)$
\item $\exists i, j\in[n]: i\neq j\land a_i=a_j \implies \det(A)=0$ \item $\exists i, j\in[n]: i\neq j\land a_i=a_j \implies \det(A)=0$
\item $\forall \lambda \in \K: \det(\lambda A)=\lambda^n \det(A)$ \item $\forall \lambda \in \K: \det(\lambda A)=\lambda^n \det(A)$
\item $A$ invertierbar $\implies \det(A^{-1})=\det(A)^{-1}$ \item $A$ invertierbar $\implies \det(A^{-1})=\det(A)^{-1}$
@ -632,7 +635,7 @@ Vielfachen einer Zeile zu einer anderen durch. Raus kommt eine obere Dreiecksmat
0 & \dots & \dots & b_{nn} 0 & \dots & \dots & b_{nn}
\end{pmatrix} \end{pmatrix}
\end{equation} \end{equation}
Operationen 2) ändern die Determinante nicht, Operationen 1) ändern das Vorzeichen. Die Operationen von 2) ändern die Determinante gar nicht, die Operationen von 1) ändern das Vorzeichen.
\begin{satz} \begin{satz}
@ -857,7 +860,7 @@ da obige Matrix aus $M_{ij}$ durch Spaltenadditionen hervorgeht.
Dann gilt Dann gilt
\begin{align*} \begin{align*}
{}_B M(\alpha)_B & = {}_B M(\id)_C \cdot {}_C M(\alpha)_C \cdot {}_C M(\id)_B \\ {}_B M(\alpha)_B & = {}_B M(\id)_C \cdot {}_C M(\alpha)_C \cdot {}_C M(\id)_B \\
& = {}_C M(\id)_{B^{-1}} \cdot {}_C M(\alpha)_C \cdot {}_C M(\id)_B & = {{}_C M(\id)_{B}}^{-1} \cdot {}_C M(\alpha)_C \cdot {}_C M(\id)_B
\end{align*} \end{align*}
Also ist ${}_C M(\alpha)_C$ diagonalisierbar. Also ist ${}_C M(\alpha)_C$ diagonalisierbar.
\item[$\impliedby$:] Sei ${}_C M(\alpha)_C$ diagonalisierbar und $P$ invertierbar mit \item[$\impliedby$:] Sei ${}_C M(\alpha)_C$ diagonalisierbar und $P$ invertierbar mit
@ -1075,7 +1078,7 @@ $\le\genfrac{}{}{0pt}{0}{\dim(V)}{n}$, da
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item[$r=1$:] $v_1$ ist linear unabhängig. \item[$r=1$:] $v_1$ ist linear unabhängig.
\item[$r-1\mapsto r$:] \begin{equation}\label{eq:2.2.10.1} \item[$r-1\mapsto r$:] \begin{equation}\label{eq:2.2.10.1}
\mu_1 v_1 + \cdots + \mu_1 v_1 = 0 \end{equation} \mu_1 v_1 + \cdots + \mu_r v_r = 0 \end{equation}
\[ \implies A(\mu_1 v_1 + \cdots + \mu_r v_r) = 0 \] \[ \implies A(\mu_1 v_1 + \cdots + \mu_r v_r) = 0 \]
\begin{equation}\label{eq:2.2.10.2} \begin{equation}\label{eq:2.2.10.2}
\implies \lambda_1\mu_1 v_1 + \cdots \lambda_r \mu_r v_r = 0 \implies \lambda_1\mu_1 v_1 + \cdots \lambda_r \mu_r v_r = 0