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# Resolução da [Lista 4](https://drive.google.com/file/d/1ls29hxpLdYCc-sF8LkKYiFCs1M79PUKb/view?usp=drive_web&authuser=0) da disciplina de Matemática Discreta
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> Feita por Guilherme de Abreu Barreto[^1]
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## Funções
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### Exercício 1
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**a.** Não pois, existem mulheres solteiras as quais, por definição, não são contempladas por esta relação.
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**b.** Está bem definida.
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### Exercício 2
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Vamos admitir dois conjuntos quaisquer $X$, de tamanho $n$, e $Y$ de tamanho $m$, sendo $m \ge n$, e $n, m \in \N$. Estes estão relacionados entre si pela função injetora $f: X \to Y$. Então, pela definição de função injetora, para quaisquer elementos $x_i, x_j$, $1 \le i < j \le n$, em $X$ para os quais $x_i \not = x_j$ correspondem dois valores $f(x_i)$ e $f(x_j)$ em $Y$ os quais $f(x_i) \not = f(x_j)$. Logo, segue que a mesma função no sentido inverso $f^{-1} : Y \to X$ produz um pareamento de um para um tal que para quaisquer valores $f(x_i) \not = f(x_j)$ resultam valores $x_i \not = x_j$.
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No mais, a função composta $f^{-1} \circ f$ comporta-se tal qual uma função identidade $\text{id}_n$ para $X$ se e somente se $m \ge n$. Por um lado, esta mapeia um valor $x_i$ com ele próprio:
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$$
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f^{-1} \circ f (x_i) = f^{-1}(f(x_i)) = x_i
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$$
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Por outro, isso só é possível para valores de $i \le n$ pois $(x_{n+1},f(x_{n + 1})) \not \in f$.
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### Exercício 3
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Vamos admitir que os conjuntos $X$, $Y$ e $Z$ possuam tamanhos $r$, $s$ e $t$. Ainda, que os índices $i$, $j$, $k$ são tais que $1 \le k \le t \le j \le s \le i \le r$, sendo $i,j,k,r,s,t \in \N$. Assim, $X = \{x_1, \dots \, x_r\}$, $Y = \{y_1, \dots , y_s\}$, $Z = \{z_1, \dots , z_t\}$. Segue da definição de sobrejeção que
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- $\exists x_i \in X$ tal que $f(x_i) = y_j$ sendo $y_j \in Y$. Ainda, $Y = \{f(x_1), \dots, f(x_r)\}$.
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- $\exists y_j \in Y$ tal que $g(y_j) = z_k$ sendo $z_k \in Z$. Ainda, $Z = \{g(y_1), \dots, g(y_s)\}$.
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Assim, se aplicarmos a função $g \circ f$ sobre $X$ teremos:
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$\{g \circ f(x_1), \dots, g \circ f(x_r)\} =
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\{g (f(x_1)), \dots, g (f(x_r))\} =
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\{g (y_1), \dots, g (y_s)\} = \\
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\{z_1, \dots, z_t\} = Z$
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Ou seja $g \circ f$ também é sobrejetora ao mapear $g \circ f: X \to Z$.
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### Exercício 4
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Quando dizemos que $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$ estamos indicando que **para qualquer** número $x$ tais expressões possuem o mesmo valor. Isso também pode ser interpretado dizendo que ambos os lados da igualdade representam **a mesma função**.
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Retomando o problema em questão, temos que $g \circ f = h \circ f \implies g(f(x)) = h(f(x)), f(x) \in Y$. Como $f$ é sobrejetora não existe elemento em $Y$, domínio tanto de $g$ e $h$, o qual não possa ser descrito na forma $f(x)$. Assim sendo, se $g(f(x)) = h(f(x))$ para qualquer valor $f(x)$, por definição estamos falando de funções iguais entre si.
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### Exercício 5
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Em concordância com a definição de função um grafo orientado é adequado a representação de função se e somente se este indica relações entre pares ordenados. Por exemplo:
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| Representativo de uma função | Não representativo de uma função |
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|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------:|
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No primeiro gráfico vemos que para qualquer nó $x$ à uma relação com um único $f(x)$. No segundo gráfico, um **grafo acíclico dirigido**, isso não ocorre: podemos destacar a relação $f(11) = \{2, 9, 10\}$.
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### Exercício 6
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**a.** A função $f: \Z \to \Z$ pode ser definida como
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$$
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f = \{(x,y): x = 2k \to y = 1\ \underline \lor\ x = 2k + 1 \to y = -1, \forall k \in \Z\}
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$$
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Onde $\underline \lor$ é o sinal para a expressão "ou exclusivo"
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**b.** Procederemos por exaustão.
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- $z_1$ par e $z_2$ par implicam $z_1 + z_2$ par.
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$$
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2k + 2k_2 = 2(k + k_2) = 2k_3
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$$
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Logo,
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$$
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f(z_1 + z_2) = 1 = 1 \cdot 1 = f(z_1)f(z_2)
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$$
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- $z_1$ par e $z_2$ ímpar, ou vice versa, implica $z_1 + z_2$ ímpar.
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$$
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2k + 2k_2 + 1 = 2(k + k_2) + 1 = 2k_3 + 1
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$$
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Logo,
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$$
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f(z_1 + z_2) = -1 = -1 \cdot 1 = f(z_1)f(z_2)
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$$
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- $z_1$ e $z_2$ impares implicam, $z_1 + z_2$ par.
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$$
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2k + 1 + 2k_2 + 1 = 2(k + k_2 + 1) = 2k_3
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$$
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Logo,
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$$
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f(z_1 + z_2) = 1 = -1 \cdot -1 = f(z_1)f(z_2)
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$$
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**c.** Procederemos por exaustão.
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- $z_1$ par e $z_2$ par implicam $z_1z_2$ par.
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$$
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2k \cdot 2k_2 = 2(2kk_2) = 2k_3
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Logo,
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$$
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f(z_1z_2) = 1 = 1 \cdot 1 = f(z_1)f(z_2)
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$$
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- $z_1$ par e $z_2$ ímpar, ou vice versa, implica $z_1z_2$ par.
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$$
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2k(2k_2 + 1) = 2[k(2k_2 + 1)] = 2k_3
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$$
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Logo,
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$$
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f(z_1z_2) = 1 \not = -1 \cdot 1 = f(z_1)f(z_2)
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$$
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- $z_1$ e $z_2$ impares implicam, $z_1z_2$ ímpar.
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$$
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(2k + 1)(2k_2 + 1) = 4kk_2 + 2k + 2k_2 + 1 = 2(2kk_2 + k + k_2) + 1 = 2k_3 + 1
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$$
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Logo,
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$$
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f(z_1z_2) = - 1 \not = -1 \cdot -1 = f(z_1)f(z_2)
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$$
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**d.** $f(x) = 1$.
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### Exercício 7
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**a.** $f_{c,d} \circ f_{a,b}(x) = f_{c,d}(f_{a,b}(x)) = c(ax + b) + d = \underbrace{(ca)}_{=\ p}x + \underbrace{(cb + d)}_{=\ q} = f_{p,q} (x)$
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**b.** $\big \{ f_{a,b} \circ f_{c,d}(x) = a(cx + d) + b = (ca)x + (ad + b) \\ \therefore f_{a,b} \circ f_{c,d}(x) = f_{c,d} \circ f_{a,b}(x) \implies \cancel{(ca)x} + (cb + d) = \cancel{(ca)x} + (ad + b)\\ \implies b(c - 1) = d(a - 1)$
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**c.** $f_{a,b} \circ f_{1,1} = f_{1,1} \circ f_{a,b} \implies a(x + 1) + b = 1(ax + b) + 1\\ \implies \cancel{ax} + \cancel b + 1 = \cancel{ax} + a + \cancel b \implies a = 1$
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Assim sendo, desde que $a = 1$ esta expressão é verdadeira $\forall b \in \R$.
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**d.** Sendo $y = f_{a,b}(x) = ax + b$, a função inversa pode ser expressa por:
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$$
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x = ay + b \implies f^{-1}_{a,b} (x) = \frac{b - x}a
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$$
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### Exercício 8
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Para a função
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```c
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long long unsigned int ackermann (unsigned int m, unsigned int n) {
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if (m == 0)
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return n + 1;
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if (n == 0)
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return ackermann (m - 1, 1);
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return ackermann (m - 1, ackermann(m, n - 1));
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}
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```
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Os resultados foram, respectivamente:
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A(1,1) = 3
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A(1,2) = 4
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A(2,2) = 7
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A(3,2) = 29
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Para o valor $A(4,2)$ o algoritmo foi executado até que a memória a este alocada fosse esgotada (`segmentation fault`) . Não obstante, conforme constata o artigo referente ao algoritmo na Wikipédia, computadores otimizados para esta tarefa calcularam o resultado de 19,729 dígitos decimais: 2^65536^ − 3.
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### Exercício 9 (*Divertissement*)
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Consideremos uma lista exaustiva dos infinitos números entre 0.0 e 1.0:
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| 0. | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | $\dots$ |
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| -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- |
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| 0. | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | $\dots$ |
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| 0. | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | $\dots$ |
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| 0. | 1 | 4 | 2 | 5 | 9 | 2 | 6 | $\dots$ |
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| 0. | 9 | 9 | 9 | 9 | 8 | 9 | 7 | $\dots$ |
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| 0. | 2 | 8 | 5 | 1 | 2 | 8 | 3 | $\dots$ |
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| 0. | 4 | 2 | 8 | 5 | 1 | 5 | 2 | $\dots$ |
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| 0. | 5 | 7 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | $\dots$ |
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| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\ddots$ |
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Em seguida aplicamos sobre esta lista uma função em uma diagonal que altera o valor da entrada em uma unidade, digamos, $f = \{(x,y) : x < 9 \to y = x + 1\ \underline \lor\ x = 9 \to y = 0\}$.
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| 0. | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | $\dots$ |
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| -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- |
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| 0. | **2** | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | $\dots$ |
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| 0. | 3 | **4** | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | $\dots$ |
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| 0. | 1 | 4 | **3** | 5 | 9 | 2 | 6 | $\dots$ |
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| 0. | 9 | 9 | 9 | **0** | 8 | 9 | 7 | $\dots$ |
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| 0. | 2 | 8 | 5 | 1 | **3** | 8 | 3 | $\dots$ |
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| 0. | 4 | 2 | 8 | 5 | 1 | **6** | 2 | $\dots$ |
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| 0. | 5 | 7 | 2 | 1 | 4 | 2 | **2** | $\dots$ |
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| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\ddots$ |
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O número resultante é de forma tal que encontra-se contido nos reais, mas é diferente de todos os infinitos números aqueles com que cruza na tabela, pois difere destes em pelo menos um dígito. Por isso, os números reais são de grandeza superior a uma infinidade contável: estes são incontáveis.
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[^1]: nUSP: 12543033; Turma 04
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