semestre_2/Matemática Discreta I/Lista 4/Resolução Lista 4.2 - Funções - MD.md

Resolução da Lista 4 da disciplina de Matemática Discreta

Feita por Guilherme de Abreu Barreto¹

Funções

Exercício 1

a. Não pois, existem mulheres solteiras as quais, por definição, não são contempladas por esta relação.

b. Está bem definida.

Exercício 2

Vamos admitir dois conjuntos quaisquer X, de tamanho n, e Y de tamanho m, sendo m \ge n, e n, m \in \N. Estes estão relacionados entre si pela função injetora f: X \to Y. Então, pela definição de função injetora, para quaisquer elementos x_i, x_j, 1 \le i < j \le n, em X para os quais x_i \not = x_j correspondem dois valores f(x_i) e f(x_j) em Y os quais f(x_i) \not = f(x_j). Logo, segue que a mesma função no sentido inverso f^{-1} : Y \to X produz um pareamento de um para um tal que para quaisquer valores f(x_i) \not = f(x_j) resultam valores x_i \not = x_j.

No mais, a função composta f^{-1} \circ f comporta-se tal qual uma função identidade \text{id}_n para X se e somente se m \ge n. Por um lado, esta mapeia um valor x_i com ele próprio:

f^{-1} \circ f (x_i) = f^{-1}(f(x_i)) = x_i

Por outro, isso só é possível para valores de i \le n pois (x_{n+1},f(x_{n + 1})) \not \in f.

Exercício 3

Vamos admitir que os conjuntos X, Y e Z possuam tamanhos r, s e t. Ainda, que os índices i, j, k são tais que 1 \le k \le t \le j \le s \le i \le r, sendo i,j,k,r,s,t \in \N. Assim, X = \{x_1, \dots \, x_r\}, Y = \{y_1, \dots , y_s\}, Z = \{z_1, \dots , z_t\}. Segue da definição de sobrejeção que

• \exists x_i \in X tal que f(x_i) = y_j sendo y_j \in Y. Ainda, Y = \{f(x_1), \dots, f(x_r)\}.

• \exists y_j \in Y tal que g(y_j) = z_k sendo z_k \in Z. Ainda, Z = \{g(y_1), \dots, g(y_s)\}.

Assim, se aplicarmos a função g \circ f sobre X teremos:

${g \circ f(x_1), \dots, g \circ f(x_r)} = {g (f(x_1)), \dots, g (f(x_r))} = {g (y_1), \dots, g (y_s)} = \ {z_1, \dots, z_t} = Z$

Ou seja g \circ f também é sobrejetora ao mapear g \circ f: X \to Z.

Exercício 4

Quando dizemos que (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 estamos indicando que para qualquer número x tais expressões possuem o mesmo valor. Isso também pode ser interpretado dizendo que ambos os lados da igualdade representam a mesma função.

Retomando o problema em questão, temos que g \circ f = h \circ f \implies g(f(x)) = h(f(x)), f(x) \in Y. Como f é sobrejetora não existe elemento em Y, domínio tanto de g e h, o qual não possa ser descrito na forma f(x). Assim sendo, se g(f(x)) = h(f(x)) para qualquer valor f(x), por definição estamos falando de funções iguais entre si.

Exercício 5

Em concordância com a definição de função um grafo orientado é adequado a representação de função se e somente se este indica relações entre pares ordenados. Por exemplo:

Representativo de uma função	Não representativo de uma função

No primeiro gráfico vemos que para qualquer nó x à uma relação com um único f(x). No segundo gráfico, um grafo acíclico dirigido, isso não ocorre: podemos destacar a relação f(11) = \{2, 9, 10\}.

Exercício 6

a. A função f: \Z \to \Z pode ser definida como

f = \{(x,y): x = 2k \to y = 1\ \underline \lor\ x = 2k + 1 \to y = -1, \forall k \in \Z\}

Onde \underline \lor é o sinal para a expressão "ou exclusivo"

b. Procederemos por exaustão.

• z_1 par e z_2 par implicam z_1 + z_2 par.

  
  2k + 2k_2 = 2(k + k_2) = 2k_3
  

  Logo,

  
  f(z_1 + z_2) = 1 = 1 \cdot 1 = f(z_1)f(z_2)
  

• z_1 par e z_2 ímpar, ou vice versa, implica z_1 + z_2 ímpar.

  
  2k + 2k_2 + 1 = 2(k + k_2) + 1 = 2k_3 + 1
  

  Logo,

  
  f(z_1 + z_2) = -1 = -1 \cdot 1 = f(z_1)f(z_2)
  

• z_1 e z_2 impares implicam, z_1 + z_2 par.

  
  2k + 1 + 2k_2 + 1 = 2(k + k_2 + 1) = 2k_3
  

  Logo,

  
  f(z_1 + z_2) = 1 = -1 \cdot -1 = f(z_1)f(z_2)
  

c. Procederemos por exaustão.

• z_1 par e z_2 par implicam z_1z_2 par.

  
  2k \cdot 2k_2 = 2(2kk_2) = 2k_3
  

  Logo,

  
  f(z_1z_2) = 1 = 1 \cdot 1 = f(z_1)f(z_2)
  

• z_1 par e z_2 ímpar, ou vice versa, implica z_1z_2 par.

  
  2k(2k_2 + 1) = 2[k(2k_2 + 1)] = 2k_3
  

  Logo,

  
  f(z_1z_2) = 1 \not = -1 \cdot 1 = f(z_1)f(z_2)
  

• z_1 e z_2 impares implicam, z_1z_2 ímpar.

  
  (2k + 1)(2k_2 + 1) = 4kk_2 + 2k + 2k_2 + 1 = 2(2kk_2 + k + k_2) + 1 = 2k_3 + 1
  

  Logo,

  
  f(z_1z_2) = - 1 \not = -1 \cdot -1 = f(z_1)f(z_2)
  

  d. f(x) = 1.

  Exercício 7

  a. f_{c,d} \circ f_{a,b}(x) = f_{c,d}(f_{a,b}(x)) = c(ax + b) + d = \underbrace{(ca)}_{=\ p}x + \underbrace{(cb + d)}_{=\ q} = f_{p,q} (x)

  b. \big \{ f_{a,b} \circ f_{c,d}(x) = a(cx + d) + b = (ca)x + (ad + b) \\ \therefore f_{a,b} \circ f_{c,d}(x) = f_{c,d} \circ f_{a,b}(x) \implies \cancel{(ca)x} + (cb + d) = \cancel{(ca)x} + (ad + b)\\ \implies b(c - 1) = d(a - 1)

  c. f_{a,b} \circ f_{1,1} = f_{1,1} \circ f_{a,b} \implies a(x + 1) + b = 1(ax + b) + 1\\ \implies \cancel{ax} + \cancel b + 1 = \cancel{ax} + a + \cancel b \implies a = 1

  Assim sendo, desde que a = 1 esta expressão é verdadeira \forall b \in \R.

  d. Sendo y = f_{a,b}(x) = ax + b, a função inversa pode ser expressa por:

  
  x = ay + b \implies f^{-1}_{a,b} (x) = \frac{b - x}a
  

  Exercício 8

  Para a função

  long long unsigned int ackermann (unsigned int m, unsigned int n) {
      if (m == 0)
          return n + 1;
      if (n == 0)
          return ackermann (m - 1, 1);
      return ackermann (m - 1, ackermann(m, n - 1));
  }
  

  Os resultados foram, respectivamente:

  A(1,1) = 3
  A(1,2) = 4
  A(2,2) = 7
  A(3,2) = 29
  

  Para o valor A(4,2) o algoritmo foi executado até que a memória a este alocada fosse esgotada (segmentation fault) . Não obstante, conforme constata o artigo referente ao algoritmo na Wikipédia, computadores otimizados para esta tarefa calcularam o resultado de 19,729 dígitos decimais: 2^65536^ − 3.

  Exercício 9 (Divertissement)

  Consideremos uma lista exaustiva dos infinitos números entre 0.0 e 1.0:

  0.	1	1	1	1	1	1	1	\dots
  0.	1	0	0	0	0	0	0	\dots
  0.	3	3	3	3	3	3	3	\dots
  0.	1	4	2	5	9	2	6	\dots
  0.	9	9	9	9	8	9	7	\dots
  0.	2	8	5	1	2	8	3	\dots
  0.	4	2	8	5	1	5	2	\dots
  0.	5	7	2	1	4	2	1	\dots
  \vdots	\vdots	\vdots	\vdots	\vdots	\vdots	\vdots	\vdots	\ddots

Em seguida aplicamos sobre esta lista uma função em uma diagonal que altera o valor da entrada em uma unidade, digamos, f = \{(x,y) : x < 9 \to y = x + 1\ \underline \lor\ x = 9 \to y = 0\}.

0.	1	1	1	1	1	1	1	\dots
0.	2	0	0	0	0	0	0	\dots
0.	3	4	3	3	3	3	3	\dots
0.	1	4	3	5	9	2	6	\dots
0.	9	9	9	0	8	9	7	\dots
0.	2	8	5	1	3	8	3	\dots
0.	4	2	8	5	1	6	2	\dots
0.	5	7	2	1	4	2	2	\dots
\vdots	\vdots	\vdots	\vdots	\vdots	\vdots	\vdots	\vdots	\ddots

O número resultante é de forma tal que encontra-se contido nos reais, mas é diferente de todos os infinitos números aqueles com que cruza na tabela, pois difere destes em pelo menos um dígito. Por isso, os números reais são de grandeza superior a uma infinidade contável: estes são incontáveis.

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1. nUSP: 12543033; Turma 04 ↩︎